Física 1C Aula 15

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AULA 15
TRABALHO dE
uma força 
variável
Trabalho de uma força variável:
Em muitos casos, a força
resultante agindo sobre um
objeto não é constante.
Nesse caso, é necessário
calcular o trabalho da força
por outra abordagem.
https://www.youtube.com/
watch?v=2N-qIOTlyfY
AULA 15 – TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL
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Para ilustrar essa abordagem começamos pelo gráfico Fx vs x
26°
0 1 432 x (m)
Puxa com T constante de 
20 N, desde x = 1,0 m 
até x = 4,0 m
𝑻
𝑻𝒙 = 𝑻 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟔° = 𝟏𝟖 N
0 1 4
Fx (N)
x (m)
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Área do gráfico Fx vs x é 
igual ao trabalho de Fx
W
𝑾 = 𝟐𝟎 ∙ 𝟑 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟔° = 𝟓𝟒 J
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E quando a força não for constante...
Podemos usar o fato de que a área do gráfico Fx vs x nos dá o W
e aproximar a situação por uma sucessão de forças constantes
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Quanto menores forem as “fatias” 
Dx, mais preciso será o resultado 
para o trabalho de Fx ...
E o resultado exato para o trabalho de Fx será obtido quando os 
intervalos Dx forem tão pequenos que tendam a zero
𝑾 = lim
∆𝒙→𝟎
෍
𝒊
𝑭𝒙𝒊 ∙ ∆𝒙𝒊 𝑾 = න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
𝑭𝒙 ∙ 𝒅𝒙
Vale para qualquer força
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Trabalho realizado por uma mola ideal:
Mola ideal  obedece à lei de Hooke 𝑭𝒎 = −𝒌 ∙ 𝒙
k  constante elástica da mola (unidade: N/m)
x  deformação da mola em relação à posição de equilíbrio
posição de equilíbrio  é a
posição inicial para qual o
sistema se mantém em repouso
após ser solto. Para uma mola
horizontal, corresponde à mola
relaxada (nem distendida, nem
comprimida)
𝒙 = 𝟎 𝑭𝒎 = 𝟎
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Mola distendida  deformação
da mola para a direita, força da
mola para a esquerda
𝒙 > 𝟎 𝑭𝒎 < 𝟎
Mola comprimida  deformação
da mola para a esquerda, força
da mola para a direita
𝒙 < 𝟎 𝑭𝒎 > 𝟎
Fm sempre aponta para a posição de equilíbrio  Fm é uma
força restauradora
y
x
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Trabalho realizado pela mola:
𝑾𝒎 = න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
𝑭𝒎 ∙ 𝒅𝒙 𝑾𝒎 = න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
−𝒌 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝑾𝒎 = −𝒌 ∙ න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
𝒙 ∙ 𝒅𝒙 𝑾𝒎 = −𝒌 ∙
𝒙𝒇
𝟐
𝟐
−
𝒙𝟎
𝟐
𝟐
𝑾𝒎 =
𝒌 ∙ 𝒙𝟎
𝟐
𝟐
−
𝒌 ∙ 𝒙𝒇
𝟐
𝟐
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Trabalho realizado sobre a mola:
𝑾 =
𝒌 ∙ 𝒙𝒇
𝟐
𝟐
−
𝒌 ∙ 𝒙𝟎
𝟐
𝟐
3ª lei de Newton  se a mola exerce sobre a mão uma força
Fm = – kx, então a mão exerce sobre a mola uma força F = kx
𝑾 = න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
𝒌 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
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Exemplo:
Um bloco de 4,0 kg está sobre uma mesa sem atrito e preso a
uma mola horizontal de constante elástica 400 N/m. Um agente
externo comprime a mola de 5,0 cm e então libera o sistema a
partir do repouso.
a) Qual o trabalho realizado pela mola sobre o bloco desde o instante que o
sistema é liberado até o bloco atingir a posição de equilíbrio?
b) Qual é a velocidade do bloco ao atingir a posição de equilíbrio?
c) Se não houver ação de agentes externos, qual será a distensão máxima
da mola na sequência do movimento?
d) Qual o trabalho realizado pela mola sobre o bloco desde a posição de
equilíbrio até a distensão máxima?
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a) ti
tf
- 5 cm
0 cm
𝑾𝒎 = න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
−𝒌 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝑾𝒎 = −𝟒𝟎𝟎න
−𝟎,𝟎𝟓
𝟎
𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝑾𝒎 = −𝟒𝟎𝟎 ∙
𝟎 𝟐
𝟐
−
−𝟎, 𝟎𝟓 𝟐
𝟐
𝑾𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟎 J
Pelo método gráfico:
ti
tf
x = - 0,05 m
x = 0 m
Fm = - k.x
Fm = - k.x
Fm = - 400.(-0,05) = 20 N
Fm = - 400.(0) = 0
Calculando:
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0
Fm (N)
x (m)- 0,05
20
𝑨𝒓𝒆𝒂 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
𝑨 =
𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝟐𝟎
𝟐
𝑨
𝑨 = 𝟎, 𝟓 𝑾𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟎 J
Área acima do eixo horizontal é sempre positiva
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b) 𝑾𝒕𝒐𝒕 = ∆𝑲 𝑾𝒎 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝒇
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝟎
𝟐
𝟎, 𝟓 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟒 ∙ 𝒗𝒇
𝟐 𝒗𝒇 = 𝟎, 𝟓𝟎 m/s
c) 𝒙𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟎 m
d)
𝑾𝒎 = න
𝒙𝟎
𝒙𝒇
−𝒌 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒙 𝑾𝒎 = −𝟒𝟎𝟎න
𝟎
𝟎,𝟎𝟓
𝒙 ∙ 𝒅𝒙
𝑾𝒎 = −𝟒𝟎𝟎 ∙
𝟎, 𝟎𝟓 𝟐
𝟐
−
𝟎 𝟐
𝟐
𝑾𝒎 = − 𝟎, 𝟓𝟎 J
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0
Fm (N)
x (m)
0,05
- 20
𝑨𝒓𝒆𝒂 =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
𝑨 =
𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝟐𝟎
𝟐
𝑨
𝑨 = − 𝟎, 𝟓 𝑾𝒎 = −𝟎, 𝟓𝟎 J
Área abaixo do eixo horizontal é sempre negativa
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Potência:
Potência é a taxa na qual uma força realiza trabalho. Como
trabalho é uma forma de transferir energia, potência é uma taxa
de transferência de energia.
Potência instantânea: 𝑷 =
𝒅𝑾
𝒅𝒕
Para forças constantes:
𝑷 =
𝒅 𝑭 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒅𝒕
=
𝑭 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽 ∙ 𝒅 ∆𝒙
𝒅𝒕
𝑷 = 𝑭 ∙ 𝒗 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝑷 = 𝑭 ∗ 𝒗
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Potência média: ഥ𝑷 =
𝑾𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒐
∆𝒕
Unidade de potência:
𝑱
𝒔
= 𝑾𝒂𝒕𝒕
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