Física 1C Aula 17

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AULA 17
Conservação 
de Energia
Exemplo:
Um objeto é solto do repouso em uma pista metálica que consiste
em uma rampa seguida de um loop de raio R. Determine qual a
altura h mínima da qual o objeto deve ser solto para que ele
consiga completar o loop. Considere que não há atrito.
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Menor h para completar o loop  se mantenha na trajetória
circular  não caia no topo do loop  menor valor que a força
que atua como centrípeta pode ter no topo  N = 0
R
h
v0 = 0
𝑷
𝑭𝒄𝒆𝒏𝒕 = 𝑷 𝒎 ∙
𝒗𝒕𝒐𝒑𝒐
𝟐
𝑹
= 𝒎 ∙ 𝒈
𝒗𝒕𝒐𝒑𝒐 = 𝒈 ∙ 𝑹
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Sem atrito  energia mecânica se conserva
𝑬𝑴𝒊 = 𝑬𝑴𝒇
𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝒕𝒐𝒑𝒐
𝟐 +𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝟐𝑹
𝒈 ∙ 𝒉 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒈 ∙ 𝑹
𝟐
+ 𝒈 ∙ 𝟐𝑹
𝒈 ∙ 𝒉 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒈 ∙ 𝑹 + 𝒈 ∙ 𝟐𝑹
𝒉 =
𝟓
𝟐
∙ 𝑹  Não depende de m !
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Exemplo:
Uma caixa de massa m = 2,0 kg é lançada contra uma mola com
velocidade v1 = 4,0 m/s. A mola está inicialmente relaxada e é
então comprimida pela caixa, até fazer a caixa parar
momentaneamente. O piso é liso até o ponto onde a caixa
encontra a mola, mas o piso sob a mola é áspero, apresentando
um coeficiente de atrito cinético com a caixa igual a 0,765. Sendo
a constante da mola k = 10.000 N/m, determine qual a
compressão da mola quando a caixa para.
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Existe atrito  energia mecânica NÃO se conserva
∆𝑬𝑴 = 𝑾𝑭𝒅𝒊𝒔𝒔 𝑬𝑴𝒇 − 𝑬𝑴𝒊 = 𝑾𝒇𝒄
𝟏
𝟐
∙ 𝒌 ∙ 𝒙𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝟏
𝟐 = 𝒇𝒄 ∙ ∆𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜽
Deformação da mola x = deslocamento com atrito Dx
𝟏
𝟐
∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒙𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝟐 ∙ 𝟒𝟐 = 𝝁𝒄 ∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎°
𝟓𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = −𝟎, 𝟕𝟔𝟓 ∙ 𝟏𝟗, 𝟔 ∙ 𝒙
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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𝟓𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟓 ∙ 𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎
Bhaskara...
𝒙′ = 𝟎, 𝟎𝟓𝟓
𝒙′′ = −𝟎, 𝟎𝟓𝟖
O correto é o resultado positivo (0,055 m) pois quem entra na
equação do trabalho de fc é o módulo do deslocamento (que
nesse caso tem magnitude igual à deformação da mola)
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Exemplo:
Um bloco de 1,0 kg comprime uma mola (k = 1000 N/m) em 10
cm. Levando em consideração que a distância entre o ponto de
equilíbrio da mola e a base da rampa é de 40 cm e que o
coeficiente de atrito cinético entre as superfícies e o bloco é de
0,10, determine qual a distância d que o bloco percorre sobre a
rampa até parar momentaneamente. Considere q = 53,13°
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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xA = - 0,1 m xB = 0,4 m
m = 1,0 kg
k = 1000 N/m
c = 0,10
sen q = 0,80
cos q = 0,60
g = 9,8 m/s2
Primeiro o trajeto A  B :
𝒗𝑩 = 𝟑, 𝟎 m/s
𝑬𝑴𝑩 − 𝑬𝑴𝑨 = 𝑾𝒇𝒂𝒕
𝑲𝑩 − 𝑼𝒆𝑨 = 𝑾𝒇𝒂𝒕
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝑩
𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒌𝒙𝑨
𝟐 = 𝝁𝒄𝑵 ∙ ∆𝒙𝑨→𝑩 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎°
𝒗𝑩 =
𝟐 ∙
𝟏
𝟐𝒌𝒙𝑨
𝟐 − 𝝁𝒄𝒎𝒈 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨
𝒎
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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E agora o trajeto B  C :
Por trigonometria:
𝐬𝐞𝐧𝜽 =
𝒉
𝒅
𝒉 = 𝐝 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑬𝑴𝑪 − 𝑬𝑴𝑩 = 𝑾𝒇𝒂𝒕
𝑼𝒈𝑪 −𝑲𝑩 = 𝑾𝒇𝒂𝒕
𝒎𝒈𝒉 −
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝑩
𝟐 = 𝝁𝒄𝑵 ∙ ∆𝒙𝑩→𝑪 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎°
𝒎𝒈𝒉 −
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝑩
𝟐 = −𝝁𝒄𝒎𝒈cos 𝜽 ∙ 𝒅
𝒅 =
𝒗𝑩
𝟐
𝟐𝒈 𝐬𝐞𝐧𝜽 + 𝝁𝒄 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒅 = 𝟎, 𝟓𝟐 m
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Exemplo:
Considere um sistema bloco-mola na vertical, que está
inicialmente em equilíbrio. Um agente externo então puxa o bloco
uma distância d para baixo e o libera a partir do repouso. Qual
será a velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio?
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟎
bloco em
equilíbrio:
𝑭𝒎 = 𝑷
𝒌 ∙ 𝒙𝒆𝒒 = 𝒎 ∙ 𝒈
A deformação da
mola na posição
de equilíbrio é:
𝒙𝒆𝒒 =
𝒎 ∙ 𝒈
𝒌
Quando não há
um bloco preso,
a deformação da
mola é zero. 𝑷
𝑭𝒎
m
𝒙𝒆𝒒
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Bloco é liberado
e sobe
m
Bloco em
equilíbrio
m
d
Bloco é puxado e mantido
abaixo da posição de equilíbrio
𝒗𝟎 = 𝟎
m
𝒗 =? ?
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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𝟏
𝟐
∙ 𝒌 ∙ 𝒅𝟐 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝟐 +𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒅
𝒗 =
𝒌 ∙ 𝒅𝟐
𝒎
𝑬𝑴𝒊 = 𝑬𝑴𝒇
𝟏
𝟐
𝒌 𝒅 + 𝒙𝒆𝒒
𝟐
=
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒌𝒙𝒆𝒒
𝟐 +𝒎𝒈𝒅
𝟏
𝟐
𝒌 𝒅 +
𝒎𝒈
𝒌
𝟐
=
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒌
𝒎𝒈
𝒌
𝟐
+𝒎𝒈𝒅
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Energia potencial gravitacional (não mais restrita a corpos 
próximos da superfície da Terra):
Considere uma partícula lançada para cima, a partir da
superfície da Terra, com velocidade suficiente para se afastar
bastante da superfície da Terra.
𝑾 = න
𝑹
∞
𝑭𝑮 ∗ 𝒅𝒓
𝑭𝑮
𝒅𝒓
𝑹
O trabalho realizado pela força gravitacional
FG enquanto a partícula viaja desde um
ponto a uma distância R da Terra até um
ponto infinitamente distante da Terra (onde a
energia potencial gravitacional seria zero) é
dado por:
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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𝑾 = −න
𝑹
∞
𝑭𝑮 ∙ 𝒅𝒓
𝑾 = න
𝑹
∞
𝑭𝑮 ∙ 𝒅𝒓 ∙ cos 180°
𝑾 = −න
𝑹
∞
𝑮 ∙
𝒎 ∙ 𝑴𝑻
𝒓𝟐
∙ 𝒅𝒓
𝑾 = −𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻න
𝑹
∞ 𝟏
𝒓𝟐
∙ 𝒅𝒓
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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𝑾 = −𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻 ∙ −
𝟏
𝒓
∞
𝑹
𝑾 = 𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻 ∙
𝟏
∞
−
𝟏
𝑹
𝑾 = 𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻 ∙ 𝟎 −
𝟏
𝑹
𝑾 = −
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻
𝑹
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Lembrando a relação entre o trabalho da força gravitacional e a
variação da energia potencial gravitacional:
𝑾 = −∆𝑼𝑮
− 𝑼𝑮𝒇 − 𝑼𝑮𝒊 = 𝑾
− 𝟎 − 𝑼𝑮𝒊 = −
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻
𝑹
𝑼𝑮𝒊 = −
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴𝑻
𝑹
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Podemos escrever:
Essa equação pode ser generalizada para qualquer par de
objetos, de massas m e M, que estejam a uma distância r um
do outro:
𝑼𝑮 = −
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴
𝒓
Note que a UG foi tomada como igual a zero no infinito. Isso
quer dizer que, para qualquer distância r menor do que infinito,
a UG deve ser menor do que zero, por isso o sinal negativo na
equação.
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Note que a energia potencial gravitacional foi deduzida a partir
da integral da força gravitacional na variável r. Podemos fazer
o caminho inverso, achando a força gravitacional a partir da
derivada da energia potencial gravitacional em relação a r :
𝑭𝑮 = −
𝒅𝑼𝑮
𝒅𝒓
𝑭𝑮 = −
𝒅 −
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴
𝒓
𝒅𝒓
𝑭𝑮 = −𝑮 ∙
𝒎 ∙𝑴
𝒓𝟐
O sinal negativo nessa equação indica que a força aponta na
direção e sentido de onde o outro corpo está, ou seja, é uma
força de natureza atrativa.
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Velocidade de escape:
Geralmente, quando lançamos um objeto para cima, ele sobe
até uma determinada altura máxima e então começa a cair.
Mas, se a velocidade de lançamento for muito alta, o objeto
pode escapar do campo gravitacional da Terra, e continuar
subindo até eventualmente entrar em repouso numa distância
que tende a infinito.
A velocidade de lançamento mínima necessária para que o
objeto consiga escapar do campo gravitacional da Terra (ou de
um planeta qualquer) é chamada de velocidade de escape.
𝒗𝒆
AULA 17 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
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Aplicando a conservação da energia entre o ponto inicial
(superfície do planeta) e o ponto final (distância infinita), temos:
𝑲𝒊 + 𝑼𝑮𝒊 = 𝑲𝒇 + 𝑼𝑮𝒇
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝒆
𝟐 + −
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴
𝑹
= 𝟎 + 𝟎
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒗𝒆
𝟐 =
𝑮 ∙ 𝒎 ∙ 𝑴
𝑹
𝒗𝒆 =
𝟐 ∙ 𝑮 ∙ 𝑴
𝑹
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Para um objeto lançado apartir da superfície da Terra, temos:
𝒗𝒆 =
𝟐 ∙ 𝟔, 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 ∙ 𝟓, 𝟗𝟕 × 𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟔, 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟔
𝒗𝒆 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟐𝟑𝟐𝟑𝟑, 𝟗
𝒗𝒆 = 𝟏𝟏𝟏𝟖𝟏, 𝟒 m/s
𝒗𝒆 = 𝟏𝟏, 𝟐 km/s
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