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Lista Exercicios 1

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© T.F.Bogutchi – PUC-MG / 2014-1 
1 Medicina / 2º. Período / Betim 
Introdução à Pesquisa Médica II 
 
Resolução 
Modulo I: Lista de Exercícios 1 – Estatísticas Descritivas 
Para Estudo 
 
1) Os resultados abaixo são referentes ao nível de glicose no sangue de um grupo de 40 estudantes do 
primeiro ano de Medicina selecionados aleatoriamente e apresentados na seguinte ordem: gráfico de 
ramos-e-folhas; box-plot; histograma; resumo numérico: 
 
Stem-and-leaf of glicoce(mmol/l) N = 40 
Leaf Unit = 0,10 
 
 2 2 
 2 9 
 3 333444 
 3 6666778889 
 4 00011123444 
 4 56777899 
 5 01 
 5 
 6 0 (no histograma foi considerado como 5,9) 
 
 
 
 
 
 
 
g
lic
o
c
e
(m
m
o
l/
l)
6
5
4
3
2
Boxplot de Glicoce (mmol/l)
Média Desvio-
padrão 
Minimo Percentil 
25 
Mediana Percentil 
75 
Máximo 
4,055 0,698 2,2 3,6 4,0 4,575 6,0 
 
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Introdução à Pesquisa Médica II 
 
 
 
 
 
Com base nas informações acima responda: 
a) Utilizando as opções: V (verdadeira) ou F (falsa) decida se a forma de distribuição de frequências 
pode ser descrita usando: 
i) (V ) Box-plot; 
ii) (V ) Histograma; 
iii) (V ) Ramo-e-folhas; 
iv) (F ) Média e variância; - pois só nos informa locação e expansão/compressão 
v) (V ) Tabela de frequências. 
 
b) Qual a forma da distribuição das medidas de glicose desses estudantes? 
 
Práticamente simétrica, a média e a mediana estão muito próximas. 
 
c) Qual o valor da mediana e o que ele significa? 
 
Mediana = 4,0 : significa que 50% dos estudantes possuem valor da glicose abaixo de 4,0 
mmol/l e 50% dos estudantes possuem o valor da glicose acima de 4,0 mmol/l. 
 
 
d) Qual o valor da glicose que deixa 25% dos dados nele e abaixo dele? 
 
Percentil 25 = Quartil 1 = 3,6 mmol/l 
 
glicoce(mmol/l)
Fr
e
q
ü
ê
n
c
ia
6,05,55,04,54,03,53,02,52,0
12
10
8
6
4
2
0
MédiaMediana
1
2
8
11
10
6
11
Histograma para Glicoce (mmol/l)
 
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Introdução à Pesquisa Médica II 
e) Qual o valor da glicose que deixa 25% dos dados nele e acima dele? 
 
Percentil 75 = Quartil 3 = 4,575 mmol/l 
 
f) Qual o percentual de alunos que estão com o nível de glicose abaixo de 3,5 mmol/l? 
 
7 alunos em 40 , ou seja, 17,5% 
 
g) Qual o percentual de alunos que estão com o nível de glicose entre 4,0 e 5,0 mmol/l? 
 
19 alunos em 40, ou seja, 47,5% 
 
h) Qual o percentual de alunos que estão com o nível de glicose acima de 5,0 mmol/l? 
 
3 alunos em 40, ou seja, 7,5% 
 
i) Através do histograma acima é possível reproduzir a tabela de frequências dos dados? Em caso 
afirmativo reproduza-a e acrescente o percentual (frequência relativa) simples e a acumulado. 
 
Frequência relativa como proporção: 
Faixa de Frequências 
Glicose (mmol/l) 
Absoluta Relativa 
Simples Simples Acumulada 
2,0 |-- 2,5 1 0,025 0,025 
2,5 |-- 3,0 1 0,025 0,050 
3,0 |-- 3,5 6 0,150 0,200 
3,5 |-- 4,0 10 0,250 0,450 
4,0 |-- 4,5 11 0,275 0,725 
4,5 |-- 5,0 8 0,200 0,925 
5,0 |-- 5,5 2 0,050 0,975 
5,5 |-- 6,0 1 0,025 1,000 
Total 40 1,000 
 
Ou 
 
 
Frequência relativa como percentual (=proporçãox100): 
 
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Faixa de Frequências 
Glicose (mmol/l) 
Absoluta Percentual 
Simples Simples Acumulado 
2,0 |-- 2,5 1 2,5% 2,5% 
2,5 |-- 3,0 1 2,5% 5,0% 
3,0 |-- 3,5 6 15,0% 20,0% 
3,5 |-- 4,0 10 25,0% 45,0% 
4,0 |-- 4,5 11 27,5% 72,5% 
4,5 |-- 5,0 8 20,0% 92,5% 
5,0 |-- 5,5 2 5,0% 97,5% 
5,5 |-- 6,0 1 2,5% 100,0% 
Total 40 100,0% 
 
 
 
2) A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento de certos tipos de bactérias. 
Uma contagem de micro-organismos presentes no petróleo (número de bactérias por 100 mililitros), 
em 10 porções de água do mar, indicou as seguintes medidas: 
 
 49 70 54 67 59 40 71 67 67 52 
(a) Determine e interprete a média, mediana e moda. 
(b) Calcule o desvio padrão desses dados. 
 
a) Média: 6,59
10
52676771405967547049
10
10
1
=
+++++++++
==
∑∑
=i
ix
x 
 
Mediana: 
Passo 1: ordenar os dados 
 40 49 52 54 59 67 67 67 70 71 
 
Passo 2: como n = 10 elementos, a mediana será a média dos elementos que ocupam a 5ª. e a 6ª. posição. 
5ª. posição – elemento é o 59 
6ª. posição – elemento é o 67 
 
Mediana: 63
2
6759
=
+
=med 
 
Moda: valor mais frequente foi 67 – 3 vezes, logo a moda = 67 
b) Desvio-padrão: 
 
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Calcular primeiro a variância: 
82,109
9
40,988
9
)6,5952(....)6,5970()6,5949(
1
)(
)(
222
1
2
≅=
−++−+−
=
−
−
=
∑
=
n
xx
XVar
n
i
i
 
Logo, 
 
Desvio-padrão: 48,1082,109)()( ≅≅= XVarXdp 
 
 
3) Os dados abaixo foram colhidos de uma amostra de aves de certa espécie, onde estudou-se o tempo, 
em dias, que os filhotes levavam para abandonar o ninho: 
 
TEMPO Nº DE FILHOTES 
 5 | 10 
 10 | 15 
 15 | 20 
 20 | 25 
 25 | 30 
14 
16 
18 
15 
7 
 
Determine: 
(a) o tempo médio; 
(b) o intervalo que contém o valor da mediana. 
(c) o desvio padrão da distribuição e interprete-o. 
 
Primeiramente, amos fazer os cálculos intermediários: 
 
Tempo Freq (fi) xi xifi (xi-16,43)
2fi 
Percentual 
Simples Acumulado 
5 |-- 10 14 7,5 105,00 1.116,43 20,0% 20,0% 
10 |-- 15 16 12,5 200,00 247,12 22,9% 42,9% 
15 |-- 20 18 17,5 315,00 20,61 25,7% 68,6% 
20 |-- 25 15 22,5 337,50 552,67 21,4% 90,0% 
25 |-- 30 7 27,5 192,50 857,81 10,0% 100,0% 
Total 70 1.150,00 2.794,64 100,0% 
 
a) Tempo médio: 43,16
70
150.11 ≅==
∑∑
=
n
fx
x
i
n
i
i
dias. 
b) O intervalo que contém a mediana é de 15 |-- 20, pois nele tem-se de 42,9% até 68,6%. Pode ser 
verificado pela construção da ogiva. 
 
 
 
 
 
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c) Desvio-padrão: 
 
Calcular primeiro a variância: 502,40
69
643,794.2
1
)(
)( 1
2
≅≅
−
−
=
∑
=
n
fxx
XVar
n
i
ii
 
Logo, 
 
Desvio-padrão: 36,6502,40)()( ≅≅= XVarXdp dias. 
 
 
 
4) A tabela abaixo informa o número de pessoas atendidas de urgência no HPS de certa cidade no período 
de 22 dias. 
 
Nº DE ATENDIMENTOS Nº DE DIAS 
0 
1 
2 
3 
4 
4 
7 
8 
2 
1 
(a) Qual a média e a mediana dos atendimentos? 
(b) Determine o desvio padrão do número de atendimentos. 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
5 10 15 20 25 30
P
e
rc
e
n
tu
a
l 
A
cu
m
u
la
d
o
Tempo, em dias
Med = ~ 16,2 
 
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(c) Desenhe o polígono de frequências relativas. 
(d) Calcule e interprete o correspondente coeficiente de variação. 
 
Tabela com os cálculos intermediários: 
 
Atendimentos 
(xi) 
Freq (fi) xifi (xi-1,5)
2*fi 
Percentual 
Simples Acumulado 
0 4 0 9,00 18,2% 18,2% 
1 7 7 1,75 31,8% 50,0% 
2 8 16 2,00 36,4% 86,4% 
3 2 6 4,50 9,1% 95,5% 
4 1 4 6,25 4,5% 100,0% 
Total 22 33 23,50 100,0% 
 
a) Média: ≅==
∑∑
=
22
331
n
fxx
i
n
i
i
1,5 atendimentos (ou aproximadamente 2 ) 
Pela tabela acima, pode-se observar que o 50% está exatamente para 1 atendimento... Dessa maneira, 
pode-se afirmar que a mediana é de 1 atendimento. 
O recurso da ogiva também pode ser utilizado: 
 
 
b) Desvio-padrão: 
 
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
P
e
rc
e
n
tu
a
l 
A
cu
m
u
la
d
o
No. atendimentos
Med = 1
 
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8 Medicina / 2º. Período / Betim 
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Calcular primeiro a variância: 119,1
21
5,23
1
)(
)( 1
2
≅≅
−
−
=
∑
=
n
fxx
XVar
n
i
ii
 
Logo, 
 
Desvio-padrão: 1,1058,1119,1)()( ≅≅≅= XVarXdp atendimentos. 
 
c) Polígono de frequências relativas simples (percentual) 
 
 
d) Coeficiente de Variação: CV= 73,0
5,1
1,1
≅=
x
dp
 
Dados altamente heterogêneos! 
 
5) Considere os resultados, apresentados nos gráficos, da análise de 30 exames de composição química do 
sangue, referentes aos níveis de bilirrubina (total), obtidos pelo método de Van den Bergh em um 
grupo de pacientes com icterícia e anemia ferropênica, expressos em miligramas por cada 100 mililitros 
de plasma e responda o que se pede: 
a) Qual o percentual de pacientes que tem o nível de bilirrubina abaixo de 0,4 ml/100mg? 
b) Qual o percentual de pacientes que estão dentro da faixa que contém o nível médio de bilirrubina? 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
P
e
rc
e
n
tu
a
l 
Tempo, em dias
 
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9 Medicina / 2º. Período / Betim 
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c) Estime o valor dos 25% dos maiores níveis de bilirrubina. 
d) Qual o valor mediano do nível de bilirrubina desses pacientes? 
e) Qual o par de medidas – (média, desvio-padrão) ou (mediana, desvio-interquartílico) – é mais 
apropriado para esses dados? Explique. 
f) É possível utilizar a aproximação desses dados pela distribuição Normal? Explique. 
g) Estime uma faixa de referência de 90% para o nível de bilirrubina desses pacientes, pelo método 
dos percentis. 
h) Calcule uma faixa de referência que englobe 90% desses dados, utilizando o método de Gauss. 
 
Os itens (f), (g) e (h) foram eliminados nessa etapa. 
 
 
 
1,21,00,80,60,40,20,0
10
8
6
4
2
0
Bilirrubina (mg/100ml)
Fr
e
q
u
ê
n
c
ia
3
2
9
10
5
1
Média= 0,56 mg/100ml
 Desvio-padrão= 0,259 mg/100ml
 
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a) Abaixo de 0,4: 1 + 5 = 6 em 30 corresponde a 20,0% 
b) Média de bilirrubina é 0,56, que está dentro da faixa de 0,4 a 0,6. Essa faixa contém 10 pacientes 
em 30 o que corresponde a 33,3%. 
c) Os 25% dos maiores níveis de bilirrubina estão acima do percentil 75. O valor estimado do percentil 
75 ( P75) é de aproximadamente 0,72 – conforme esquema gráfico: 
 
1,21,00,80,60,40,20,0
100
80
60
40
20
0
Bilirrubina (mg/100ml)
P
e
rc
e
n
tu
a
l 
A
c
u
m
u
la
d
o
1,21,00,80,60,40,20,0
100
80
60
40
20
0
Bilirrubina (mg/100ml)
P
e
rc
e
n
tu
a
l 
A
c
u
m
u
la
d
o
 
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11Medicina / 2º. Período / Betim 
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d) O valor mediano encontra-se na mesma faixa do valor médio: entre 0,4 e 0,6. E pelo gráfico está 
em aproximadamente 0,57. 
e) O par de medidas mais apropriado para esses dados é a média e o desvio-padrão, pois a sua 
distribuição é aproximadamente simétrica.

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