Matemática I Métodos Quantitativos.doc

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Prof. Marcos Métodos Quantitativos
Métodos Quantitativos
 SUMÁRIO
PLANO DE ENSINO									03							
1- CONJUNTOS										05
1.1 – Representação de um conjunto						05
1.2 – Operações com conjuntos							06
1.2.1 – União de conjuntos						06
1.2.2 – Intersecção de conjuntos						06
1.2.3 – Diferença de conjuntos						06
1.3 – Número de elementos da união de conjuntos				07
2 - REGRA DE TRÊS (ferramentas)							10
2.1 – Razão										10
2.2 – Proporção									11
2.2.1 – Propriedade fundamental das proporções			11
2.2.2 – Propriedades das proporções 					11
2.3 – Grandezas diretamente proporcionais					12
2.4 – Grandezas inversamente proporcionais					12
3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES								13
4 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA							14
5- MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS (ferramentas)				17
5.1 - Revisão de ferramentas necessárias à teoria				17
5.1.1 – Gráficos								17
5.1.2 – Plano Cartesiano							18
5.1.3 – Coordenadas cartesianas						19
5.1.4 – Função polinomial do 1º grau					20
5.1.5 – Gráfico de uma função do 1° grau				20
5.1.6 – Intersecção de duas retas					21
5.1.7– Inequações de 1° grau						23
5.1.8 – Representação gráfica de uma inequação do 1° grau
com duas variáveis							23
5.1.9 – Resolução gráfica de um sistema de inequações
do 1° grau								24
6 – MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS					26
7 – ENIGMAS										29
 8 – Porcentagem
 
 9 – Exercícios complementares
						PLANO DE ENSINO
	Curso
	Série
	Administração/Ciências Contábeis
	 1ª
	Disciplina
	Carga Horária
	Métodos Quantitativos
	 66 h/a
	Ementa
	Teoria dos Conjuntos
Regra de Três
Funções
Máximos e Mínimos Condicionados
Porcentagem
	Objetivos Gerais
	O mundo em que vivemos, embora não nos apercebamos disto, depende fundamentalmente da matemática.
Hoje se olharmos os livros textos em Biologia, Economia, Administração, entre outros utilizados em nossas Faculdades e compararmos com aqueles de 20 anos atrás , notaremos que os mesmos contêm muito mais fórmulas matemáticas que no passado.
A tendência de todas as Ciências é cada vez mais de se “matematizarem” em função do desenvolvimento de modelos matemáticos que descrevem os fenômenos ( determinísticos ou aleatórios ) naturais de maneira adequada.
Em resumo, podemos afirmar que dominar o uso da matemática hoje em dia é uma condição necessária para o sucesso em uma quantidade enorme de profissões. As projeções para o futuro próximo indicam que essa tendência tende a se intensificar.
Na maioria dos programas de nível superior o estudante deve fazer algum curso de matemática. Numa sociedade moderna em que a eficiência é um dos objetivos maiores, maximizar objetivos e minimizar perdas é essencial. Quando se fala em maximizar ou minimizar algo, invariavelmente algum modelo matemático deve entrar em jogo!
	Objetivos Específicos
	A cadeira de Métodos Quantitativos tem como objetivos: (1) restaurar as bases necessárias para o desenvolvimento de cadeiras afins na área de Economia, Administração, Estatística, Finanças, e outras; (2) tratar da alocação de recursos limitados – dinheiro-, pessoal, materiais, máquinas, espaço e tempo – tendo em vista maximizar alguns índices de performance, ou minimizar alguma medida de custo; (3) desenvolver o raciocínio lógico/analítico e o espírito crítico do aluno, criando um perfil inovador, que esteja apto, com auxílio de instrumentos matemáticos, a responder eficazmente aos desafios colocados pela situação de mudança às solicitações propostas em nível organizacional, facilitando soluções no domínio da Economia, Administração, Finanças; e (4) enfrentar o novo, buscando soluções a partir de formas simples e noções conhecidas.
	Conteúdo Programático
	Teoria dos conjuntos
Regra de três simples e composta
Apresentação do R² e representação de seus subconjuntos
Funções do 1º grau e suas representações gráficas 
Resoluções algébrica e gráfica de sistemas de duas equações com duas incógnitas (variáveis)
Representação gráfica de inequações do 1º grau
Representação gráfica da solução de um sistema de duas inequações do 1º grau com duas incógnitas
Máximos e mínimos condicionados
Porcentagem
	Critérios de Avaliação
	
A avaliação NI é composta de um trabalho específico realizado em sala de aula com valor de 8 pontos agregado a pontuação pela entrega dos TEAs que podem acrescer até 2 pontos.
A avaliação pontual (NII) ocorrerá no final do semestre representando peso 7, em que será avaliado todo conteúdo desenvolvido, acrescido da pontuação da API ( não obrigatória )
A avaliação NIII é composta de um trabalho indicado pelo professor com valor de 5 pontos, acrescido em até 5 pontos decorrentes de entrega e acerto da totalidade dos TEAs
A aprovação na disciplina se dará quando o aluno obtiver nota 6 na média de avaliações 
{[(N1 x 1) + (N2 x 7) + (N3 x 2)] / 10} e freqüência superior ou igual a 75%.
1 – CONJUNTOS
Na utilização usual da linguagem, quando falamos, a maioria das palavras pode
ter mais de um significado; quando escrevemos, um mesmo símbolo pode ser interpretado, às vezes, de diferentes maneiras.
A matemática, no entanto, tem finalidades diferentes das da língua e elas exigem a utilização de uma linguagem mais específica.
A teoria dos conjuntos fornece os elementos para essa linguagem matemática, que se tem revelado também conveniente para o tratamento matemático de fenômenos relativos às mais variadas ciências, da Economia a Psicologia, por exemplo.
Como o próprio nome indica, conjunto dá uma ideia de coleção. Assim, toda coleção de objetos, pessoas, coisas etc. constitui um conjunto.
Os objetos que formam um conjunto são denominados elementos. 
Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c ... e os conjuntos, por letras maiúsculas. A, B, C ...
Alguns termos e definições são importantes no estudo de conjuntos:
Pertinência 
Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. Para indicar que um elemento pertence a um dado conjunto, utilizemos o símbolo “” e quando não pertence usamos o “”.
x  A (lê-se: x pertence a A)
x  B (lê-se: x não pertence a B)
Obs.: Os símbolos  e  são utilizados para relacionar elemento com conjunto.
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmo elementos.
Indica-se: A = B (A é igual a B).
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. 
Representa-se o conjunto vazio por  ou 
Conjunto Universo
Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte de nosso estudo.
Subconjuntos
Dados dois conjunto, A e B, dizemos que A é subconjunto de B. Se cada elemento do conjunto A é, também, um elemento do conjunto B.
Indicamos esta relação por:
A  B (lê-se: A está contido em B)
B  A (lê-se: B contém A)
1.1 - Representação de um conjunto
Um conjunto pode ser representado de 3 formas:
1º)	Por extensão
Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas.
Ex.: A = {1,2,3,4,5}
2º)	Por compreensão
O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos
Ex.: A = { x  N / x é par }.
3º) 	Por figuras
 Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venn. 
 Ex.: O conjunto A = {1,2,3,4} pode ser representado pelo diagrama:
Os elementos de A são representados por pontos internos desta figura. Observe que: 2  A (é ponto interno)
 7  A (é ponto externo)
 
 .7
 1 2A
 3 4
1.2 – Operações com conjuntos
1.2.1.União de Conjuntos
   
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B o conjunto representado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A B = {x / x A ou x B}.
1.2.2.Intersecção de Conjuntos
 
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A B, formado por todos elementos pertencentes a A e B simultaneamente, ou seja: A B: {x / x A e x B}
   
 
1.2.3.Diferença de Conjuntos
 
 Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja A - B = {x / x A e x B}
 
1.3 – Número de elementos da união de conjuntos
 Sendo nA o número de elementos de A e nB o número de elementos de B, temos:
	 nAB = nA + nB - nAB
 				Exercícios de aplicação (série A)
A1) Numa pesquisa feita sobre os produtos A e B com 600 consumidores, obteve-se o seguinte resultado:
120 pessoas consomem ambos os produtos.
250 pessoas consomem o produto A.
135 pessoas consomem o produto B.
Responda:
a) Quantas pessoas consomem somente o produto A ?
b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o B ?
c) Quantas pessoas não consomem nem A nem B ?
A2) Numa sala de aula com 50 alunos, todos falam pelo menos uma língua estrangeira; sabe-se que 35 falam inglês e 27 espanhol.Responda:
a) Quantos alunos falam inglês e espanhol ?
b) Quantos alunos falam somente inglês ?
c) Quantos alunos falam somente espanhol ?
A3) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores com 3 produtos P1, P2 e P3, mostrou que, dos entrevistados 20 consumiam os 3 produtos, 30 os produtos P1 e P2, 50 os produtos P2 e P3, 60 os produtos P1 e P3, 120 o produtos P1, 75 o produto P2. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos pergunta-se:
a) Qtas. consumiam somente o produto P3 ? 
b) Qtas. consumiam pelo menos 2 dos produtos?
c) Qtas. consumiam os produtos P1 e P2 e não o P3?/ 
A4) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme quadro abaixo.
Conv A			Conv B		Somente INSS
 	 430			 160			 60
Pergunta-se:
a) Qtos. eram filiados as duas empresas A e B?
b) Qtos. eram filiados somente a empresa A?
A5) Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em relação a 3 jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi precisamente:
44 pessoas lêem o jornal A.
37 pessoas lêem o jornal B.
32 pessoas lêem os jornais A e C.
28 pessoas lêem os jornais A e B.
26 pessoas lêem os jornais B e C.
20 pessoas lêem os jornais A, B e C.
7 pessoas não lêem jornais.
Pergunta-se, com base neste resultado, quantas pessoas lêem o jornal C. 
A6) Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula com 30 alunos
 perguntando quem havia lido as obras Dom Casmurro ou Memórias Póstumas de Brás Cubas, ambas de Machado de Assis. O resultado da pesquisa foi precisamente:
19 alunos leram D. Casmurro.
20 alunos leram Memórias Póstumas de Brás Cubas.
3 alunos não leram nenhum dos dois itens.
Com base neste resultado, qtos. alunos leram as duas obras? 
A7) Num depto. de seleção de pessoal de uma indústria automobilística aplicou - se
 um teste em 44 candidatos. Uma das perguntas foi:
Você já trabalhou no:
a) setor de montagem.
b) setor de pintura.
c) setor de eletricidade.
Conclui-se que todos candidatos tem experiência em pelo menos um dos setores e que exatamente:
28 pessoas trabalharam em montagem.
4 pessoas trabalharam só em montagem.
1 pessoa trabalhou só em eletricidade.
21 pessoas já trabalharam em montagem e pintura.
16 pessoas trabalharam em pintura e eletricidade.
13 pessoas trabalharam em montagem e eletricidade.
a) Qtas. pessoas tem experiência nos 3 setores?
b) Qtas. pessoas tem experiência em pintura?
c) Qtas. pessoas tem experiência em eletricidade?
A8) Numa prova sobre o corpo humano constavam 3 questões: a 1a. sobre o sistema circulatório, a 2a. sobre o sistema respiratório e a 3a. sobre o sistema nervoso. Sabe-se que dos 29 alunos que fizeram a prova precisamente:
15 alunos acertaram a 1a questão.
7 alunos acertaram somente a 2a. questão.
1 aluno acertou somente a 3a. questão.
11 alunos acertaram a 2a. e 3a. questões.
Nenhum aluno errou todas as questões.
Pergunta: Quantos alunos acertaram as 3 questões?
A9) Um professor de história fez 3 perguntas aos 32 alunos da sala e pediu para que os alunos levantassem o braço se a resposta fosse sim.
a) Quem já estudou história do Egito?
b) Quem já estudou o mundo grego?
c) Quem já estudou o mundo romano?
O professor observou que 17 alunos responderam sim a 1a. pergunta, 19 alunos responderam sim a 2a. pergunta, 21 alunos responderam sim a 3a. pergunta, 11 alunos responderam sim a 1a. e 2a. perguntas, 13 alunos responderam sim a 2a. e 3a. perguntas, 12 alunos responderam sim a 1a. e 3a. perguntas e 10 alunos responderam sim as 3 perguntas. Pergunta-se:
Quantos alunos da sala não estudaram nem Egito, nem o mundo grego, nem o mundo romano?
A10) Nas favelas, devido as péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em exames feitos em 41 crianças foi constatada a presença de 3 tipos de bactérias A, B e C.
23 crianças apresentaram bactéria A
25 crianças apresentaram bactéria B
22 crianças apresentaram bactéria C
11 crianças apresentaram bactéria A e B
12 crianças apresentaram bactéria B e C
9 crianças apresentaram bactéria A e C
Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias. Quantas crianças apresentaram as 3 bactérias? 
A11) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de 2 refrigerantes Coca-Cola e Pepsi Cola. Para se saber qual o preferido de uma certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade.
135 bebem Coca-Cola.
75 bebem os dois refrigerantes.
40 não bebem nenhum dos 2 refrigerantes.
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante preferido e quantos jovens bebem este refrigerante?
Exercícios de Extras – Conjuntos
1) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
2) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam produtos A ou B. P produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?
3) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados : A,48% ; B,45% ; C,50% ; 
A e B,18% ; B e C,25% ; A e C,15%, nenhuma das três 5%.
a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas?
b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?
4) Uma editora estuda a possibilidade de relançar as publicações: Helena, Iracema e A Moreninha. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas,
600 leram a Moreninha;
400 leram Helena;
300 leram Iracema;
200 leram A Moreninha e Helena;
150 leram A Moreninha e Iracema;
100 leram Iracema e Helena;
20 leram as três obras.
Calcule:
a) o número de pessoas que leu apenas uma das três obras.
b) o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) o número de pessoas que leu duas ou mais obras.
5) Numa comunidade são consumidos os tipos de leite A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados:
	Leite
	Nº de Consumidores
	A
	100
	B
	150
	C
	200
	A e B
	20B e C
	40
	A e C
	30
	A, B e C
	10
	Nenhum dos três
	160
Determine quantas pessoas:
foram consultadas?
Consomem apenas dois tipos de leite?
Não consomem o leite tipo B?
Não consomem o leite tipo A ou não consomem o leite tipo B?
2- REGRA DE TRÊS (ferramentas)
2.1 – Razão
Se a e b são dois números e b é diferente de zero, dizemos que a/b ou a:b é a razão entre a e b, nessa ordem.
A razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre os números que expressam as medidas dessas grandezas.
Exemplos: 
1) Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
 
 Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: 
            
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
2) Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: 
            
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). 
2.2 – Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões.
Uma proporção envolve quatro números: a, b, c e d, nesta ordem.
Logo:
a = c	 ou	a : b = c : d (b e d ≠ 0)
b d	 		 
 meios
			 
 extremos
2.2.1 – Propriedade fundamental das proporções
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Numa proporção
a = c	 => a.d = b.c
b d	
2.2.2 - Propriedades das proporções
P1 => a = c	 =>	a+b = c+d 	ou	a+b = c+d
 b d		 a c		 b	 d
P2 => a = c => a-b = c-d 	ou	a-b = c-d
 b d a c		 b	d
P3 => a = c	 =>	a+c = a 	ou	a+c = c
 b d		b+d b b+d d
 ou
 		a-c = a 	ou	a-c = c
 		b-d b b-d d
P4 => a = c	= e => a+c+e
 b d f b+d+f 
Exercícios de aplicação (série B)
B1) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão possui 200g de peso líquido e 250g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto?
B2) Num teste de 20 questões, Marcelo acertou 16. Nessas condições:
Qual a razão do nº de acertos para o nº total de questões do teste?
Qual a razão do nº de erros para o nº total de questões do teste?
Qual a razão entre o no de acertos e nº de erros?
B3) Em 50 minutos de exercícios físicos perco 1600 calorias. Mantendo o ritmo, em 2 horas quanto perderei?
B4) Determine o valor de x, nas proporções:
 6 = 5
24 x
2/3 = 1/4
 5 x 
 2/5 = 6/5
 x-2 x+4 
2.3 – Grandezas diretamente proporcionais
Observe a situação:
Um carro, percorre a distância d e com velocidade média v em um determinado intervalo de tempo t.
Ao dobrar a velocidade média desse carro para 2v, a distância percorrida, no mesmo intervalo de tempo t, também será dobrada, ou seja, será 2d.
Nessas condições, dizemos que as grandezas velocidade média e distância percorrida são grandezas diretamente proporcionais.
Duas grandezas são diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra.
2.4 – Grandezas inversamente proporcionais
Observe a situação:
Um carro, percorre a distância d e com velocidade média v em um determinado intervalo de tempo t.
Se a velocidade v desse carro for dobrada, ele percorrerá a mesma distância d na metade do tempo, ou seja, no intervalo de tempo t/2. 
Nessas condições, dizemos que as grandezas velocidade média e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira.
Continuação dos Exercícios de aplicação (série B)
B5) Vários homens revestem uma parede e trabalham igualmente: um deles pode fazer todo serviço em 24 horas; dois podem revesti-la em menos tempo; três ou quatro em menos tempo ainda. Organizando uma tabela com as grandezas homens e horas, verifique se são direta ou inversamente proporcionais.
	Homens
	1
	2
	3
	4
	Horas
	24
	12
	8
	6
B6) As grandezas X e Y são direta e inversamente proporcionais, ou nenhuma das duas?
	X
	2
	4
	8
	Y
	1
	2
	3
B7) Dois homens pintam um muro em 18 horas. Se houvesse 3 ou 4 indivíduos, o que ocorreria? Essas grandezas seriam diretas ou inversamente proporcionais?
B8) Identifique nas grandezas a seguir, se as variação é direta ou inversamente proporcional:
nº de carros e n de rodas.
nº de teares iguais e metros de pano produzidos.
litros de leite e preço de compra.
operários e horas de trabalho.
velocidade e tempo.
nº de pessoas e quantidade de alimentos.
3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES
Problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos com o auxílio de uma regra prática: a regra de três simples. Vamos conhecê-la nos exemplos a seguir:
Exemplo 1 – Carla pagou R$ 4,50 por dois cadernos. Quanto pagaria por 5?
Organizam-se os dados do problema numa tabela ou esquema:
cadernos		preço (R$)
 2			 4,50
 5			 x
Verifica-se se as grandezas são direta e/ou inversamente proporcionais. No 1° caso, colocam-se setas num mesmo sentido, indicando esse fato; se inversamente proporcionais, setas em sentidos opostos.
cadernos		preço (R$)
 2			 4,50
 5			 x
Como as grandezas são diretamente proporcionais, escreve-se na forma direta:
2 = 4,50
5 x
Calcula-se o valor da incógnita: x = 5.4,50 => x = 11,25
 2
Logo, Carla pagaria R$ 11,25 pelos 5 cadernos.
Exemplo 2 – Em 3 horas, numa velocidade média de 500 Km por hora, um avião percorre a distância entre duas cidades. Voando a 800 Km por hora, quanto tempo gastaria para percorrer a mesma distância?
Organizam-se os dados:
velocidade (Km/h)		tempo (h)
 500			 	 3
 800			 	 x
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Por isso, as setas estarão em sentidos opostos.
velocidade (Km/h)		tempo (h)
 500			 	 3
 800			 	 x
Escreve-se a proporção, invertendo os termos de uma das razões: 500 = x
 800 3
Calcula-se x:
x = 3.500 => x = 15 => x = 1h52min30s
 800		8
Logo, o avião levaria 1h52min30s para percorrer a mesma distância.
Exercícios de aplicação (série C)
C1) Com 100 Kg de trigo podemos fabricar 65 Kg de farinha. Quantos quilos são necessários para fabricar 162,5 Kg de farinha?
C2) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Em quantos dias 10 pedreiros farão o serviço?
C3) Reinaldo trabalhou 30 dias e recebeu R$ 150,00. Em quantos dias de trabalho ele receberá R$ 200,00?
C4) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas as encheriam em 2 horas?
C5) Para remover as vítimas da enchente de uma cidade, 480 homens trabalharam durante 8 dias. Quantos fariam o mesmo trabalho em 6 dias?
C6) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos o farão em 6 dias?
C7) Num acampamento há alimento suficiente para 48 pessoas durante 1 mês. Retirando-se 16 pessoas, quantos dias durará o alimento?
C8) 120000 torcedores acabaram de assistir a um jogo de futebol. A capacidade das 6 saídas disponíveis do estádio é de 1000 por minuto (cada). Calcule o tempo mínimo necessário para que todos deixem o local.
C9) Com velocidade média de 18 Km por hora, um pedestre correu durante 1h20min. A 15Km por hora, em quanto tempo teria feito o mesmo percurso?
4 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Algumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e resolução de problemas desta natureza podem envolver uma regra de três composta.
Exemplo: Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2 metros de altura. Quanto tempo levariam 3 pedreiros para completá-lo até 4 metros?
Organizam-se os dados:
Pedreiros		metros		dias
 2			 2 m		 	 9
 3			 4 m 		 x
Marcam-se com setas no mesmo sentido as grandezas diretamente proporcionais e a incógnita e, com setas em sentido oposto, as inversamente proporcionais:Pedreiros		metros		dias
 2			 2			 9
 3			 4	 		 x
Escrevem-se os elementos do problema, de modo que a variação de cada um deles seja diretamente proporcional à variação da incógnita:
Pedreiros		metros		dias
 2			 2			 9
 3		 	 4	 		 x
Calcula-se x:
3 . 2 = 9 => 6 = 9 => 6x = 72 => x = 12
2 4 x 8 x
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Continuação dos Exercícios de aplicação (série C)
C10) O revestimento de um muro de 16 m de comprimento e 2,5 m de altura consome 84 Kg de reboco. Quantos quilogramas serão necessários para revestir um muro de 30 m de comprimento e 1,8 m de altura?
C11)1000 Kg de ração alimentam 20 vacas durante 30 dias. Quantos Kg alimentariam 30 vacas durante 60 dias?
C12) Um livro tem 150 páginas; cada página, 36 linhas e cada linha, 50 letras. Para transcrever o mesmo texto em 250 páginas, cada linha deverá ter quantas letras para que cada página tenha 30 linhas?
C13) Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos fariam a mesma obra em 14 dias trabalhando 10 horas por dia?
C14) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Em quantas horas 10 torneiras encheriam 2 piscinas?
C15) Duas máquinas empacotam 1000 litros de leite por dia. Em meio dia, quantas máquinas empacotariam 2000 litros?
C16) Trabalhando 6 horas por dia, 10 operários fazem um serviço de 20 dias. Em quantos dias 15 operários trabalhando 8 horas por dia, fariam o mesmo serviço?
C17) Um motoqueiro percorre 720 Km em 2 dias rodando 4 horas/dia. Quanto percorrerá rodando 6 horas por dia em 5 dias?
C18) Em 10 dias, 5 teares produzem 250 m de tecido. Em quantos dias, 12 teares fariam 1800 m ?
Exercícios de Extras – Regra de três 
Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá:
a) 3 voltas    b) 5 voltas    c) 6 voltas    d) 9 voltas    e) 12 voltas
Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?
a) R$ 12.300,00 b) R$ 10.400,00 c) R$ 11.300,00 d) R$ 13.100,00 e) R$ 13.200,00
No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura?
a) 290m b) 390m c) 490m d) 590m e) 690m
Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?
a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas
Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 175 voltas?
a) 10 voltas b) 110 voltas c) 210 voltas d) 310 voltas e) 410 voltas
Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel com 80 cm de largura cada. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura?
a) 15 peças b) 16 peças c) 17 peças d) 18 peças e) 19 peças
Um granjeiro tem ração para alimentar 32 galinhas durante 22 dias. Porém, resolveu comprar mais 4 galinhas. Quanto tempo durarão as provisões, se a ração de cada galinha não for diminuída?
Um navio foi abastecido com comida suficiente para alimentar 14 pessoas durante 45 dias. Se 20 pessoas embarcarem nesse navio, para quantos dias, no máximo, as reservas de alimento serão suficientes?
Um digitador consegue dar 15.000 toques de entrada de dados em 5 horas. Quantos toques o digitador dará em 3 horas e meia?
Para fazer o calçamento de uma avenida, 5 operários levam 60 dias trabalhando a mesma quantidade de horas por dia.
Quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 25 dias?
Em quantos dias esse serviço ficaria pronto se houvesse 20 operários trabalhando?
Em uma fábrica de automóveis, 8 robôs idênticos fazem certo serviço em 24 horas. Em quanto tempo 6 desses robôs fariam o mesmo serviço?
Considerando-se que o grama de ouro custa US$ 12,50, quantos gramas poderão ser comprados com R$ 51150,00, à taxa de conversão de US$ 1,00 = R$ 1,65?
Numa fazenda no interior de São Paulo, 27 trabalhadores levam 8 dias para colher determinada quantidade de café. Se o dono dessa fazenda contratasse mais 9 trabalhadores, em quantos dias seria colhida a mesma quantidade de café?
Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas. 
Quantos minutos atrasará em 72 horas? 
Quantos minutos atrasará em 18 dias?
Quantos dias levará o relógio para ficar atrasado 45 minutos?
Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1.200 km?
Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga?
Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons? 
Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Entretanto, 3 operários adoeceram e a obra deverá ser realizada pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deve ser, portanto, a jornada diária de trabalho dos operários restantes?
Uma equipe de 12 profissionais produziu 5400 doces em 4 dias de trabalho. Considerando-se que todos têm o mesmo rendimento, quanto tempo levariam 8 profissionais para fazer 7200 doces?
Em 30 dias, uma frota de 34 táxis consome 85.000 litros de combustível. Um pequeno incêndio no estacionamento da frota destruiu 4 dos táxis. Calcule para quantos dias serão suficientes os 100.000 litros de combustível que a frota possui agora, supondo que os táxis restantes continuem rodando normalmente.
Uma máquina copiadora reproduz 43 cópias em 1 minuto. Quantas máquinas iguais a essa seriam necessárias para reproduzir, em 2 minutos, 516 cópias?
Se 3 homens embrulham 72 ovos de Páscoa em 15 minutos, e 4 mulheres embrulham 120 ovos de Páscoa em 18 minutos, quantos ovos de Páscoa são embrulhados por 2 homens e 3 mulheres em 20 minutos?
Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias? 
Uma frota de caminhões percorreu 3.000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4.500 km com uma velocidade média de 50 km/h?
5- MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS (ferramentas)
5.1 - Revisão de ferramentas necessárias à teoria
5.1.1 - Gráficos
Freqüentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma determinada situação.
Esses gráficos e tabelas, em geral representam funções e por meios deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam.
5.1.2 – Plano Cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, uma horizontal, que recebe o nome de eixo das abscissas (eixo x) e uma reta vertical, que recebe o nome de eixo das ordenadas (eixo y). cada reta (o eixo das abscissas e o das ordenadas) é numerada, utilizando-se de uma unidade de medida.
O pontode interseção dessas retas é chamado origem.
Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes.
Observação:
y
 1º Q	x > 0			
5
4
3
2
1
y > 0				
2° Q
1° Q
 
 
2º Q	x < 0			
	y > 0					
x
 
 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
										
3º Q 	x < 0
-1
-2
-3
-4
-5
y < 04° Q
3° Q
4º Q	x > 0
	y < 0
5.1.3 – Coordenadas cartesianas
Para indicar um ponto cartesiano, utilizamos as coordenadas cartesianas, que são apresentadas na forma de um par ordenado de números. Considere o ponto P que tem coordenadas (3, -4):
					 Y
					
5
4
3
2
1
 								 X
 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 
-1
-2
-3
-4 P
A coordenada 3 indica a posição do ponto P em relação ao eixo das abscissas (eixo x).
A coordenada -4 indica a posição do ponto P em relação ao eixo das ordenadas (eixo y).
A localização do ponto P indicada é P(3,-4).
Exercícios de aplicação (série D)
D1) Escreva quais são as coordenadas cartesianas dos pontos representados no plano cartesiano abaixo:
					 Y					
 H 5 B
G 4 
3
2 A
1
 								 X
 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 
-1 C
-2
F -3
E -4
-5 D
D2) Construa um plano cartesiano e represente os pontos e escreva a que quadrante ele se encontra:
A (3,-4)		D (3,-2)		G (-4,-4)		J (1,1)
B (5,-4)		E (-3,0)		H (2,4)
C (5,-2)		F (0,-3)		I (5,0)
5.1.4 – Função Polinomial do 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
5.1.5 – Gráfico de uma função do 1º grau
   O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
    Exemplo:
  	Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
 Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
	
	x
	y
	0
	-1
	
	0
	
 
 Exercícios de aplicação (série E)
Representar Graficamente
E1) y = 3x + 1	
 
E2) y = 2x + 4
E3) y = x + 2
E4) y = -x + 3 
E5) y = 2x+ 3 
E6) y = -x + 4 
E7) y = -2x – 1 
E8) y = x + 2 
 2
E9) y = 3.x – 1 
E10) { ( x , y ) E R2 / y = 5 }
	
E11) { ( x, y ) E R2 / y = -2}
E12) { ( x , y ) E R2 / y = - x }
E13) { ( x , y ) E R2 / x + y = 10 }
5.1.6 - Intersecção de duas retas
A resolução gráfica de um sistema de equações do 1º grau com duas variáveis nem sempre é um processo prático, pois a falta de precisão nos conduz a soluções incorretas. Estudaremos então um dos métodos algébricos de resolução, chamado método da adição.
Resolução de um sistema pelo método da adição
Esse processo se baseia no seguinte fato:
Se a = b e c=d
Então: a+c = b+d
O processo prático segue os seguintes passos:
• Escolhemos a variável que deverá desaparecer após a adição
• Multiplicamos a equação escolhida pela constante que irá anular a variável
• Solucionamos a equação de 1º grau
Exemplo 2x – 3y = -6 
 x + 2y = 4 
Escolhemos a variável x para desaparecer; portanto multiplicamos a segunda equação por -2
 2x – 3y = -6 
 -2x - 4y = -8 e na adição obtemos -7y = -14 portanto y = 2
substituindo o valor de x em qualquer uma das equações iniciais temos: x + 2y = 4 e portanto x = 0, 
Resolução gráfica de um sistema
Considere o sistema de duas equações a duas incógnitas:
 2x + y = 4
 x – y = -1
Representando num mesmo plano cartesiano as retas dadas pelas duas equações, temos :
	 2x + y = 4
	
	
	 x
	 y
	(x,y)
	0
	4
	(0,4)
	2
	0
	(2,0)
	 x – y = -1
	
	
	 x
	 y
	(x,y)
	0
	1
	(0,4)
	-1
	0
	(2,0)
 
2x + y = 4 é uma reta no plano cartesiano (reta s)
x – y = -1 é uma reta no plano cartesiano (reta s)
Essas retas têm um ponto comum (1,2).
Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.
O par (1,2) satisfaz tanto a equação da reta r quanto a equação da reta s .
Dizemos então que o par ordenado (1,2) é solução do sistema.
 
Exercícios de aplicação (série F)
 F1) Resolva os sistemas abaixo pelo método gráfico:
A ) x + y = 5
 x – y =-1
B) x – y = 1
 x + y = 7 
C) 3x – y = 3 
 x + y = 5
	
D) x – y = 4
 2x – y = 9
F2) Resolva os sistemas abaixo pelo método da adição:
A) x + y = 10
 x - 2y = 1
B) 4x – 3y = 4 
 3x + 4y = 78 
C) 18x + 3y = -96
 5y + 6x = -40 
D) 3x + y = 2
 2y = 3x
5.1.7– Inequação de primeiro grau
Introdução
	 Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.
  	 As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
, , , , como  a e b reais . 
Exemplos:
	
	
	
 
5.1.8 – Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis
Método prático
Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
Traçamos a reta no plano cartesiano. 
Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
   	Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.
          Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos: 
Representa graficamente a inequação 
	Tabela
	x
	y
	(x, y)
	0
	4
	(0, 4)
	2
	0
	(2, 0)
	
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 
Verificamos: 
(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)
A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar
 (0, 0).
 5.1.9– Resolução gráfica de um sistema de inequações do 1º grau
Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente devemos:
traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; 
determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos: 
Dê a resolução gráfica do sistema: 
Solução:
Traçando as retas -x +  y = 4 e 3x + 2y = 6.
	Tabela
	x
	y
	(x, y)
	0
	4
	(0, 4)
	-4
	0
	(-4, 0)
  
Tabela
	x
	y
	(x, y)
	0
	-3
	(0, -1)
	2
	0
	(1, 0)
  
 
	Gráfico
 
Exercícios de aplicação (série G)
G1) Represente o gráfico do conjunto solução das inequações lineares abaixo:
a) x + y ≥ 2
b) x + 2y ≥ 4
c) –x + 6y ≤ 10
d)  2x – y ≤ 0
e) x – 5y ≤ 20
f) -2x – 8y  ≥ 10 
G2) Encontre o conjunto solução dos sistemas de inequações abaixo:
a)   x +  3y ≤ 12   b) x + y  ≥ 5		c)	x + y ≥ 7	d)	x + y ≤ 10
      2x + y ≥ 16        5x + y  ≥ 10			x – y ≥ 1		4x – y ≤ 0
6 - MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS
Muitos problemas de Administração tratam essencialmente da alocação de recursos limitados - dinheiro, pessoal, materiais, máquinas, tempo…- tendo emvista maximizar algum índice de performance ou minimizar alguma medida de custo. As técnicas matemáticas para planejar tais alocações constituem a programação matemática. O caso particular no qual o índice de performance ou de custo é uma função linear e as restrições sobre a disponibilidade ou utilização de recursos são expressáveis como equações ou desigualdades lineares, é denominado programação linear. Mais especificamente, o problema da programação linear envolve a maximização ou a minimização de uma função linear denominada de função objetivo. Aprenderemos a solucionar esses problemas por meio do processo gráfico (ou geométrico ), que são resolvidos, escrevendo-se as restrições de desigualdade como igualdades e determinando, então, um polígono de soluções viáveis.
Teorema: Se existir uma única solução que maximiza ou minimiza uma função objetivo, então essa solução deve corresponder a um vértice (ou ponto extremo) do polígono de soluções viáveis.
Portanto, o valor da função objetivo precisa ser calculado apenas para soluções que correspondam a vértices do polígono de soluções.
 
Passos para solução
1 – Localização da equação principal => máximos e mínimos => objetivos do problema.
2 – Localização das demais inequações.
3 – Representação das inequações secundárias no plano cartesiano.
4 – Localização dos vértices, do polígono solução.
5 – Substituição dos vértices na equação principal.
Exemplo:
Uma empresa fabrica 2 tipos de produtos A e B. Cada produto do tipo A necessita de 5 minutos para o corte e 10 minutos para a montagem; cada produto do tipo B precisa de 8 minutos para o corte e 8 minutos para a montagem. Dispõe-se de 3 horas e 20 minutos para o corte e 4 horas para a montagem. O lucro é de R$ 10,00 por cada produto do tipo A e R$ 12,00 por cada produto do tipo B. Quantos produtos de cada tipo deve a empresa fabricar para maximizar o lucro?
Solução:
Se a empresa fabricar x quantidades do produto A, seu lucro será de 10x reais. E se a empresa fabricar y quantidades do produto B, seu lucro será de 12y reais.
Por outro lado, se a empresa fabricar x quantidades do produto A, ela necessitará de 5x minutos 
para o corte, e 10 x minutos para a montagem.
De modo análogo, se a empresa fabricar y quantidades do produto B, ela necessitará de 8x 
minutos para o corte, e 8y minutos para a montagem.
Logo, o tempo gasto para fabricar x produtos, do tipo A e y produtos do tipo B será 5x + 8y para o corte e 10x + 8y para a montagem.
Essas quantidades devem ser no máximo iguais a 3h20min para o corte e 4h para a montagem.
Logo, o problema consiste em determinar o valor máximo da função dada por:
z = 10x + 12y
sabendo-se que:
				A		B
				(x)		(y)
Corte (min)		 	5x 	+ 	8y	≤ 3h20min = 200min
Montagem (min)	 	10x 	+ 	8y 	≤ 4h = 240min
			 	x  0
			 	y  0
L máx = 10x + 12y
1)	5x + 8y  200			 2) 10x + 8y  240
	5x + 8y = 200				 10x + 8y = 240
	x
	y
	
	x
	y
	0
	25
	
	0
	30
	40
	0
	
	24
	0
Para (0,0) em 5x + 8y  200		 Para (0,0) em 10x + 8y  240
		 0  200 (v)					 0  240 (v)
Passo 1. Representando o sistema de desigualdades, obtemos o conjunto poligonal da figura seguinte:
	 30 y		
		
	 25 B		 									
										
	 20		 C							
 		
	 15	
S
			
	 10 			 
		 
5
 D 
		 A	5	10	15	20	25	30	35	40	x
							 2 1
Passo 2. Determinação dos vértices
A = (0,0)
B = (0,25)					 
C = 1  2 => 5x + 8y = 200
		 10x + 8y = 240 (x-1)	
								5x + 8y = 200	
 5x + 8y = 200			5.8 + 8y = 200	
		 -10x - 8y = -240			8y = 200 - 40
			 -5x = -40				8y = 160
 			 x = 8				y = 20
C (8,20)
D (24,0)
 zmax = 10x + 12y
Passo 3. Cálculo dos valores nos vértices
A = (0,0) 	=> 	z = 0
B = (0,25)	=>	z = 10.0 + 12.25 = 300
C = (8,20) 	=> 	z = 10.8 + 12.20 = 320
D = (24,0) 	=> 	z = 10.24+12.0 = 240
Portanto,
 z = 320
			 x = 8
			 y = 20
Exercícios de aplicação (série H)
1) Uma CIA fabrica dois tipos de engradados de madeira para o trabalho pesado. O lucro de cada engradado do tipo 1 é de R$ 18,00 e o lucro de cada engradado do tipo 2 é de R$ 24,00. Cada engradado deve passar por 2 linhas de produção; dispõe-se de um total de 10 h p/ linha de prod. A e um total de 12 h p/ linha de prod. B.Cada engradado do tipo 1 exige 2 horas na linha A e 4 horas na linha B. Cada engradado do tipo 2 exige 5 horas na linha A e 3 horas na linha B. Determine o número de engradados de cada tipo que deve ser produzido para maximizar o lucro.
2) Uma empresa pode fabricar dois produtos 1 e 2. Na fabricação do produto 1 a empresa gasta nove horas-homem e três horas-máquina. Na fabricação do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina. Sabendo-se que a empresa dispõe de 18 horas-homem e12 horas-máquina e ainda que os lucros dos produtos são $4 e $1 respectivamente, quanto deve a empresa fabricar de cada produto para obter o maior lucro possível (ou o lucro máximo ou ainda maximizar o lucro
3) Um rapaz namora 2 garotas, Maria e Nanci. Por sua experiência com elas, ele sabe que Maria, a sofisticada, gosta de ir a locais mais exclusivos onde em média, se gastam R$ 72,00 por 3 horas. Nanci, por outro lado, prefere lugares mais populares, onde 3 horas custam R$ 48,00. O seu orçamento lhe permite gastar R$ 288,00 por mês em diversões. O seu trabalho escolar só deixa no máximo, 18 horas e 4000 calorias de sua energia para atividades sociais. Cada encontro seu c/ Maria consome 500 calorias de energia, mas sendo mais viva, Nanci consome o dobro desse valor. Se ele espera 6 unidades de prazer de um encontro c/ Maria e 5 unidades c/ Nanci Como ele deve planejar sua vida social p/ maximizar o prazer? 
4) Para manter a sua saúde, uma pessoa necessita preencher certos requisitos mínimos de consumo diário de diversos tipos de nutrientes. Suponhamos por simplicidade, que apenas 3 tipos de nutrientes sejam necessários; cálcio, proteína e calorias. Além disso, suponhamos também que a dieta da pessoa em questão consista em apenas 2 alimento, 1 e 2, cujos preços e conteúdos nutritivos são mostrados na tabela, onde também testamos o requisito mínimo diário de cada nutriente. Qual a combinação dos 2 alimentos que satisfaz o requisito diário e gera o custo mínimo?
Alimento 1(Kg)	Alimento 2(Kg)
Preço $	 0,60		 1,00		req. min. diário
Cálcio 10				4		 20
Proteína	 5				5		 20
Calorias	 2				6		 12
5) Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e de proteínas é de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteína. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R$ 3 e cada unidade de ovo custa R$ 2,5.
6) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B” com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado aoar para obter o número máximo de telespectadores ? 
7) Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O fazendeiro quer saber as áreas de arroz e milho que devem ser plantadas para que o seu lucro nas plantações sejam o máximo. O seu lucro por unidade de área plantada de arroz é 5 u.m., e por unidade de área plantada de milho é 2 u.m.
As áreas plantadas de arroz e milho não devem ser maiores que 3 e 4 respectivamente. Cada unidade de área plantada de arroz consome 1 homem-hora. Cada unidade de área plantada de milho consome 2 homens-hora. O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser maior que 9.
8) Um agricultor dispõe de 10 alqueires de terra no interior do estado e pretende cultiva-los plantando 2 tipos de vegetais, A e B. Para uma boa produção de vegetal do tipo A é necessário empregar 200 Kg de fertilizante p/ alqueire, enquanto que o tipo B, requer 300 Kg p/ alqueire. O lucro líquido por alqueire do vegetal A é de $ 10.000,00, enquanto que o do tipo B é de $ 15.000,00. Além disso o agricultor não pretende empregar mais que 2400 Kg de fertilizante nem plantar mais que 6 alqueires do vegetal B, em virtude dos problemas de mercado, embora deseje também plantar pelo menos 3 alqueires p/ o vegetal A. Quantos alqueires de cada tipo de vegetal deverão ser plantados de modo que o lucro seja máximo?
9) Uma micro-empresa tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 m² de algodão, 11 m² de seda e 15 m² de lã. Para confeccionar um terno padrão, são necessários 2 m² de algodão, 1 m² de seda e 1 m² de lã. Para um vestido padrão, são necessários 1 m² de algodão, 2 m² de seda e 3 m² de lã. Se o lucro líquido de um terno é de 300 u.m. e de um vestido de 500 u.m., quantas peças de cada tipo a micro-empresa deve fabricar para ter o maior lucro possível?
10) Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: o tipo A tem 2 m³ de espaço refrigerado e 3 m³ de espaço não refrigerado; o tipo B tem 2 m³ de espaço refrigerado e 1 m³ de não refrigerado. O cliente quer transportar produtos que necessitarão de 16 m³ de espaço refrigerado e 12 m³ de espaço não refrigerado. A companhia calcula que são necessários 1100 litros de combustível para uma viagem com o caminhão A e 750 litros para o caminhão B. Quantas viagens deverão ser feitas por cada tipo de caminhão para que se tenha o menor custo de combustível?
7 - ENIGMAS
Exercícios para o desenvolvimento do raciocínio lógico, crítico e analítico
A história registra inúmeros exemplos de quebra cabeças que geraram importantes pesquisas de Matemática. Entre os vários cientistas que se preocuparam com problemas curiosos, sem se descartarem das preocupações com intrincados problemas científicos, estava o físico alemão Albert Einsten. Sua estante era repleta de obras de Matemática recreativa. Não é à toa que muitos definem ciência como o esforço sistemático em obter respostas cada vez melhores para os quebra cabeças que a natureza nos impõe.
Se esse modo de enxergar a ciência é pelo menos aceitável e se um dos objetivos da escola é fornecer à sociedade os cientistas com os quais ela vai contar para resolver seus problemas futuros, não seria desejável que se estimulassem os alunos?.
Se você está entre aquelas pessoas que não dormem até encontrar a solução das curiosidades com que se deparam, tente resolver estes problemas.
As borboletas do campo
Era uma bela tarde de primavera e na calma de um jardim florido de um parque duas crianças brincavam distraídas sob as sombras das árvores. Bem próximo delas várias borboletas se divertiam, recolhendo pólen das flores. As crianças perceberam as borboletas e puseram-se a fitá-las atentamente. Acharam graça e tentaram contá-las sem sucesso. Uma das crianças resolveu então perguntar a um 
senhor de barbas brancas que se encontrava sentado num banco do jardim, quantas borboletas havia lá? Após observa-las por alguns instantes ele disse: “Vou responder a pergunta, mas você terão de decifrar minha resposta e disse:
“A terça parte das borboletas está flutuando sobre as margaridas. A quinta parte voa e brinca entre os jardins perfumados. O triplo da diferença entre esses dois números paira sobre as prímolas e uma borboleta solitária esta pousada sobre um cravo vermelho. Quantas borboletas tinham no parque? 
O problema dos anjos
Ao morrer, os homens são levados a uma grande sala com duas portas idênticas. Uma é a entrada do céu e a outra a do inferno. Dois anjos estão postados no balcão da eternidade e sabe-se que um deles responde invariavelmente com a verdade, e o outro com a mentira. Como determinar a porta correta - a porta do céu, claro - se só se pode fazer uma única pergunta a um só dos anjos?
(dica: filme Labirinto)
Nem só de XIS vive a Matemática
Uma senhora, mãe de três filhos, vai visitá-los e resolve presenteá-los com ovos frescos que leva numa cesta. Ao mais velho, ela dá a metade do que tem na cesta, mais meio ovo. O do meio recebe metade do que restou na cesta, mais meio ovo. O filho mais novo ganha a metade do que sobrou, mais meio ovo. E a mãe fica sem nada. Quantos ovos havia na cesta e quantos a mãe deu a cada filho ?
Além do Teorema
Polícrates, tirano de Samos, pergunta a Pitágoras qual o número de seus discipulos:
Ditoso Pitágoras, filho das Musas, diz-me:
quantos atletas preparas na tua escola para os gloriosos exercícios da filosofia?
Eu te digo, Polícrates: metade estuda as ciências matemáticas; a eterna natureza é o objeto dos trabalhos de um quarto; um sétimo exercita-se no silêncio e na meditação.
Há, além disso, três mulheres, das quais Teano é a mais notável. Eis o número de meus alunos.
Quantos alunos tinha Pitágoras nessa época?
Astro- diplomacia
O ano é 3432. Os terráqueos estão preocupadíssimos com rumores de um iminente ataque do planeta Elgar a uma das colônias da Federação Galática e exigem uma entrevista com o líder dos elgarianos, Duluth. O embaixador é avisado de que Duluth segue um estranho código de ética: quando mente, ele o faz uma só vez durante uma audiência. Seu conselheiro, Gore, por outro lado, jamais profere uma inverdade. Sua única travessura é adorar enigmas e quebra-cabeças. A missão do embaixador é descobrir qual das três colônias – Antares, Beltegeuse ou Cygnus – os elgarianos pretendem invadir. Assim que se vê a sós com os dois eminentes personagens, o embaixador vai direto ao ponto:
- É Antares que você pretende sacar?
- Sim, respondeu Duluth.
Imediatamente, o conselheiro intervém com um sorriso irônico:
- Você só pode fazer mais uma pergunta a nosso líder. E uma para mim também, se quiser. E nós só responderemos com sim ou não.
Que perguntas o embaixador deverá fazer, e a quem, dos notáveis elgarianos, para obter a informação de que necessita
Dilema 
Você dispõe de cinco pilhas de apostilas contendo, cada uma, cinco exemplares. Em quatro dessas pilhas, cada apostila tem massa de 100g. Em uma das pilhas, no entanto, cada apostila tem massa um pouco maior: 101g. A diferença entre as pilhas é tão pequena (5g) que só é registrada por uma balança.
Como determinar a pilha mais pesada efetuando-se uma única pesagem?
O escravo do saber
O filósofo Sócrates, interessado em avaliar a capacidade de raciocínio de seu escravo, pediu-lhe que organizasse o depósito de mantimentos da casa. O problema, explicou, é que havia três ânforas, uma contendo somente azeitonas pretas, outras só azeitonas verdes e a terceira azeitonas do tipo misturada. As inscrições: PRETAS, VERDES e PRETAS E VERDES., penduradas nas vasilhas, estavam todas trocadas. Para minimizar o risco de que as azeitonas se deteriorassem em contato com o ar, o escravo deveria ser capaz de recolocar as inscrições de maneira correta, abrindo uma fresta mínima numa das ânforas e retirando apenas uma azeitona para verificar sua cor à luz do dia.
De qual recipiente o escravo teve que retirar a azeitona?
Como ele recolocou as inscrições?
Mistura homogênea
Num balde há 20 copos de água e noutro há20 copos de álcool. Retira-se um copo de água do primeiro balde e coloca-se no segundo; depois retira-se um copo da mistura do segundo balde e coloca-se no primeiro.
No final da operação fica-se com mais água no álcool ou com mais álcool na água
Chove chuva
Um estudante em férias passou 29 dias com a namorada numa praia do litoral norte de São Paulo. Durante esse período, em meio a outras atividades mais interessantes, observou que:
1º - sempre que choveu de manhã, também choveu à tarde;
2º - houve sete manhãs e 4 tardes sem chuva.
Ao voltar, em conversas com amigos, tentou calcular:
em quantos dias não havia chovido;
quantos haviam sido os dias inteiros de chuva.
A que conclusão chegou ?
Por um !
Uma sala de aulas de desenho está montada com bancos de dois lugares cada um. Se cada banco for ocupado por dois alunos, vai sobrar um banco; mas se cada aluno ocupar um banco, sobrará um aluno.
	Quantos são os bancos e quantos são os alunos ?
8. PORCENTAGEM
A porcentagem é a parte da aritmética que trabalha com o grupo das frações de denominador 100.
	
				a% = a 
					 100
EXEMPLOS
A) 15% = 15 = 15 : 100 = 0,15
	 100
		TAXA PERCENTUAL			 TAXA UNITÁRIA
		(o denominador desta			 (o denominador desta
		fração é igual a 100)			 fração é igual a 1)
B) 4% = 4 = 4 : 100 = 0,04
 100
C) 100% = 100 = 100 : 100 = 1
	 100
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
8.1	TRANSFORMAR OS NÚMEROS ABAIXO EM TAXA UNITÁRIA:
1) 37% =
2) 5,3% =
3) =
4) 8% =
5) 200% =
6) 0,25% =
7) 3% =
8.2	TRANSFORMAR OS NÚMEROS ABAIXO EM TAXA PERCENTUAL:
8) 0,45 =
9) 0,032 =
10) 12,35 =
11) 3 =
 4
12) 0,03 =
13) 0,004 =
14) 7 =
8.3	CÁLCULOS COM PORCENTAGEM
8.3.1	Cálculo da porcentagem de um número
					de = multiplicação
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
15) Calcule os de 600 =
 
16) Calcule 37% de 1200 =
17) Calcule 5,3% de 1400 =
18) Um investidor fez uma aplicação por certo período à taxa líquida de 20% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 1200,00 de juros. Qual o valor do principal aplicado?
19) O valor do ICMS de uma nota fiscal é de R$ 450,00. Calcule o valor da nota fiscal sabendo que o ICMS é igual a 18% do valor da mesma.
20) Numa operação de desconto bancário, o valor do desconto foi R$ 190,00. A taxa de desconto foi de 5% do valor nominal do título. Calcule o valor nominal do mesmo.
21) Um investidor fez uma aplicação por certo período à taxa líquida de 15% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 3000,00 de juros. Qual o valor do principal aplicado?
22) O valor do ICMS de uma nota fiscal é de R$ 1800,00. Calcule o valor da nota fiscal sabendo que o ICMS é igual a 18% do valor da mesma.
23) Numa operação de desconto bancário, o valor do desconto foi R$ 150,00. A taxa de desconto foi de 7,5% do valor nominal do título. Calcule o valor nominal do mesmo.
8.3.2	Comparação de dois números – Determinação de quanto por cento um número é de outro
Para compararmos um número a com um número b fazemos o quociente a
 b
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
24) Comparar 6 com 3.
25) Comparar 2 com 4.
26) O número 30 representa que porcentagem do número 40?
27) Complete a tabela:
	MÊS
	VENDAS EM UNIDADES
	VENDAS EM % DO TOTAL DO TRIMESTRE
	JAN
	1300
	
	FEV
	1500
	
	MAR
	2300
	
	TOTAL
	5100
	
28) João aplicou R$ 1100,00 em CDB, R$ 1500,00 em POUPANÇA e R$ 1300,00 em AÇÕES. Calcule a distribuição percentual de suas aplicações.
8.3.3 	Determinação de Acréscimos e Diminuições – Taxa de variação – Taxa de Variação Percentual
Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável qualquer com seu valor antigo obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em porcentagem, temos a taxa de variação percentual. Sendo:
  = taxa de variação; Vant = valor antigo da variável; Vnovo = valor novo da variável
Teremos, de acordo com a definição dada, a fórmula:
					ou 
	
Uma outra maneira de calcular a taxa de variação está deduzida abaixo:
		De => 
		 				 
=>			 ou 		
	 	 			 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 29) Qual a variação percentual do preço do ouro no período de 10/01 a 15/01?
	DATA
	PREÇO DO OURO ($/onça)
	10/01
	450
	15/01
	480
30) 	PREÇO DE UM LOTE DE AÇÕES DA CIA AZAMBUJA S/A
	05/12/98:	R$ 12000,00
	08/01/99:	R$ 11000,00
Qual a variação percentual do preço dessas ações no período 05/12/98 a 08/01/99?
31) Em 15/12 o valor da quota de um fundo de renda fixa era 5,7348. Em 22/02, esse valor passou para 5,8782. Qual a valorização da quota no período?
32) O preço das ações da Cia Tibério caiu de R$ 350,00 para R$ 300,00. Qual o decréscimo percentual verificado?
33) O preço das ações da Cia XYZ aumentou de R$ 150,00 para R$ 270,00. Qual foi o acréscimo percentual?
34) Um capital de R$ 50000,00 foi aplicado durante três meses, produzindo um montante de R$ 54700,00. Qual a taxa trimestral dessa aplicação?
35) O preço de um artigo aumentou de R$ 50,00 para R$ 52,50. Qual a porcentagem de aumento no preço?
36) Na segunda-feira às 9:00 horas, o preço da onça de ouro era US$ 450. Às 16:00 horas do mesmo dia o preço era US$ 441 a onça. Qual o decréscimo percentual do ouro nesse dia?
37) O preço das ações da Cia XYZ caiu de R$ 420,00 para R$ 3,15. Qual foi a variação percentual?
38) A população de uma cidade em 1970 era de 20000 habitantes. Em 1980, a população passou para 16000 habitantes. Qual foi a variação percentual de 1970 para 1980?
39) Calcular 20% de R$ 750,00.
40) Calcule R$ 500,00 + 30% de R$ 500,00.
41) Calcule R$ 800,00 – 20% de R$ 800,00.
42) Uma aplicação de R$ 1200,00 rendeu durante 3 meses consecutivos as taxas de 5%, 6% e 8%. Calcular o valor do resgate?
43) O preço de um conjunto de produtos e serviços em 02/12/1995 era R$ 1376,00. Em 02/01/1996 o preço desse mesmo conjunto de produtos e serviços era R$ 1445,00. Qual foi o aumento percentual no período?
44) O preço das ações da Cia ABC caiu de R$ 84,00 para R$ 73,00. Qual foi a variação percentual?
45) Determine a distribuição percentual das aplicações de um investidor sabendo que o valor investido em Ações é de R$ 2000,00, em fundo de Renda Fixa é de R$ 3000,00 e na Caderneta de Poupança é de R$ 4000,00.
46) Uma aplicação em fundo de ações pagou 20% num mês e 30% no outro. Qual o rendimento total nos dois meses?
47) Qual o desconto equivalente a dois descontos sucessivos de 10% e 20%?
48) Durante 3 meses consecutivos um produto registrou os seguintes aumentos: 2%, 3% e 4%. Qual o aumento no período?
49) Durante 6 meses consecutivos a variação do valor das cotas de um fundo de ações foi de 12%, 12%, 7%, 5%, -20% e 1% respectivamente. Qual a variação nesse período de 6 meses.
50) Um fundo de ações teve nos últimos 3 meses rendimentos de 10%, 15% e 13% ao mês respectivamente. Qual o rendimento no trimestre?
51) Qual o aumento equivalente a dois aumentos consecutivos de 10% e 20%?
52) Qual o desconto equivalente a dois descontos sucessivos de 5,34% e 6,78%?
53) O custo de vida subiu em 100% entre 1940 e 1950 e em 100% entre 1950 e 1955. Em quanto subiu entre 1940 e 1955?
54) As variações do valor das cotas de um fundo de ações durante quatro meses consecutivos foram 7%, 5%, -12% e 20% respectivamente. Qual a variação nesse período de 4 meses?
Exercícios Complementares
C1) Sandra e Andre entraram no curso de Administração da UniÍtalo neste semestre.
Um mês após, André perde o emprego e começa a enfrentar dificuldades. Sandra, sabendo do programa de oficinas da UniÍtalo e do grande conhecimento de seu colega na área de contabilidade, propõe que ele lance uma oficina na sua área de excelência. Eles fazem o calculo e concluem que com a oficina,onde, da arrecadação somente são descontados os impostos, o restante ficando com o aluno, acrescido de seu trabalho durante a semana na indicação para a campanha do amigo, ele pagaria os estudos e sobraria o suficiente para o dia a dia até que arrumasse outra colocação no mercado. Aliás, ficaram tão entusiasmados que aventaram com a possibilidade de abrir uma micro empresa somente para trabalhar com a campanha do amigo.
Andre calcula que precisaria de 5 horas por semana aos sábados para oferecer a oficina e gastaria R$4,00 em alimentação. Na indicação de alunos para a campanha do amigo ele calcula que para visitar empresas conhecidas onde seus amigos trabalham, ele gastaria por semana 4 horas para os contatos e mais R$4,00 em cafezinhos. Andre ainda precisa estudar, procurar emprego, namorar e acompanhar seu pai em um tratamento médico. Isso o deixa com uma disponibilidade mensal de 120 horas para aulas na oficina e captação para a campanha do amigo (trabalho intelectual) e R$100,00 para alimentação (cafés e lanches).
O seu lucro é de $ 50,00 por aluno na oficina e $ 200,00 por aluno na campanha do amigo. Quantos alunos em oficina e quantos indicados ele deve atingir para maximizar seu faturamento?
A ( ) 20 em oficinas e 5 indicações na campanha do amigo ( lucro de $2.000,00 )
B ( ) 15 em oficinas e 10 indicações na campanha do amigo ( lucro de $2.750,00 )
C ( ) 10 em oficinas e 5 indicações na campanha do amigo ( lucro de $1.500,00 )
D ( ) 25 em oficinas ( lucro de $1.250,00)
E ( ) 25 indicações na campanha do amigo ( lucro de $5.000,00 )
C2) Os originais de um livro tem 288 paginas com 25 linhas cada uma. Depois de impresso o livro ficou com 252 páginas de 30 linhas cada uma.
Com quantas paginas ficaria um livro cujos originais tem 192 paginas com 30 linhas cada uma?
A ( ) 202 paginas
B ( ) 201 paginas
C ( ) 220 paginas
D ( ) 212 paginas
E ( ) 207 paginas
C3) Resolvi visitar duas redes de supermercado, uma delas popular e a outra que é conhecida como de primeira linha. Fiquei curioso para saber, em uma compra básica mensal o quanto era cobrado a mais pelo atendimento diferenciado ( uniformes, empacotadores, ambiente requintado, sem fila no caixa ). No supermercado popular a minha compra para o mês custaria $ 1376,00. Os mesmos produtos com as mesmas marcas na outra rede me custariam $ 1445,00. Quanto por cento a mais eu pago pelo local e atendimento diferenciado?
A ( ) 5,01%
B ( ) 9,5%
C ( ) 0.95%
D ( ) 0,0501%
E ( ) 6,09%
C4) O Brasil vive hoje uma epidemia de Dengue. O controle é feito basicamente através do combate ao mosquito vetor, principalmente na fase larvar do inseto. Deve-se evitar o acúmulo de água em possíveis locais de desova dos mosquitos. Quanto à prevenção individual da doença, aconselha-se o uso de janelas teladas, além do uso de repelentes. Ainda não há vacinas comercialmente disponíveis para a dengue, mas a comunidade científica internacional e brasileira está trabalhando firme neste propósito. São conhecidos 3 tipos de vírus no Brasil. A UniÍtalo através de seu curso de Enfermagem fez um levantamento em uma favela próxima ao campi Interlagos e constatou que de 41 moradores entrevistados,que contraíram a doença , 23 moradores já haviam contraído a doença no tipo 1, 25 moradores o tipo 2 e 22 o tipo 3 da dengue; 11 tiveram o tipo 1 e o tipo 2; e 12 contraíram a doença no tipo 2 e no tipo 3 e 9 moradores os tipos 1 e 3. Sabendo que os 41 moradores entrevistados tiveram a doença em pelo menos um dos tipos, quantos contraíram os 3 tipos da doença?
A ( ) 6
B ( ) 3
C ( ) 5
D ( ) 11
E ( ) 4
C5) Um professor que irá lecionar no primeiro período do Uniítalo, quer manter a motivação alta dos alunos e para isso deseja saber até que ponto a sala é heterogênea. Sabe que a grande maioria dos alunos trabalha mas não tem noção em que área ou se fizeram algum curso técnico. Para ter subsídios para sua aula pede para que os alunos levantem a mão se resposta for sim em 3 perguntas básicas.
Quem já estudou ou trabalhou com Contabilidade?
Quem já estudou ou trabalhou com Administração?
Quem já estudou ou trabalhou com Matemática Financeira?
O professor observou que 17 alunos responderam sim a pergunta 1, 19 alunos responderam sim a pergunta 2; 21 responderam sim a pergunta 3; 11 sim a 1 e a 2; 13 sim a 2 e a 3; 12 sim a 1 e a 3 e 10 responderam sim as 3 perguntas.
Pergunta-se: Quantos não estudaram nenhuma das disciplinas?
A ( ) 1
B ( ) 3
C ( ) 11
D ( ) 9
E ( ) 2
C6) Aproxima-se a época das eleições presidenciais. O governador de uma grande capital necessita inaugurar obras e para isso convoca sua equipe para verificar a possibilidade de inaugurar uma ponte em 40 dias. Esta obra estava prevista para ser inaugurada em 75 dias com 100 operários trabalhando 8 horas diárias. A proposta é de que a jornada de trabalho passe para 10 horas diárias. Quantos operários seriam necessários para concretizar a intenção do Governador?
A ( ) 150
B ( ) 200
C ( ) 180
D ( ) 158
E ( ) 100
C7) O Reitor e o Pró Reitor do Uniíalo são torcedores de dois times de futebol de grande rivalidade. O Reitor é torcedor do Palmeiras e o Pró Reitor torce pelo Corinthians.
Discutem sempre sobre a preferência dos alunos por esses dois times. Para resolver a questão fazem uma pesquisa entre 245 jovens que ingressaram neste semestre letivo. Os alunos são escolhidos aleatoriamente entre homens e mulheres.
135 declaram sua preferência pelo Palmeiras.
75 torcem pelos dois times ( são anti são paulinos ) !!!!!!
40 não gostam de futebol
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, qual o time preferido e quantos torcem por esse time?
A ( ) Palmeiras – 111
B ( ) Corinthians – 145
C ( ) Corinthians – 112
D ( ) Palmeiras – 135
E ( ) Palmeiras – 125
C8) Feita uma pesquisa envolvendo alunos ingressantes da UniItalo, sobre a oferta de algumas oficinas, tais como Nivelamento em Matemática, Nivelamento em Língua Portuguesa e Violão Popular que seriam oferecidas aos Sábados e em horários alternativos, foram colhidos os seguintes resultados:
Oficinas				Nº de alunos interessados
Matemática					100
L. Portuguesa				150
Violão						200
Matem. e L. Port				20
L.Port. e Violão				40
Matem. E Violão				30
As 3 oficinas					10
Nenhuma das 3				160
Quantas pessoas foram consultadas? Quantas fariam somente duas oficinas?
A ( ) 530 e 60
B ( ) 350 e 60
C ( ) 350 e 78
D ( ) 350 e 80
E ( ) 530 e 70
C9) Um navio fazendo um cruzeiro de Santos a Búzios mantém o motor a 1500 rotações por minuto consumindo 200 litros de óleo em 5 horas. O comandante tomando conhecimento do boletim meteorológico, para evitar mal estar dos passageiros aumenta as rotações do motor para 1800, para chegar ao destino em 3 horas. Quantos litros de óleo ele consumiria nesse percurso de 3 horas?
A ( ) 164 litros
B ( ) 144 litros
C ( ) 277, 7 litros
D ( ) 164,5 litros
E ( ) 270 litros
C10) Uma fabrica de chocolate, no seu setor de bombons possui 2 departamentos com suas respectivas equipes. Nem todas as maquinas foram atualizadas, portanto a produção não é igual. O departamento 1 pode produzir diariamente 1000 bombons crocantes, 2000 com recheio de frutas e 1500 trufas. O departamento 2 pode produzir diariamente 5000 bombons crocantes, 800 com recheio de fruta e 1500 trufas. Como o custo operacional diário do departamento 1 é de R$ 200,00 e o do departamento 2 é de R$ 250,00, quantos dias cada departamento deverá trabalhar de modo a atender com o menor custo possível um pedido de 40.000 bombons crocantes, 24.000 recheados de fruta e 30.000 trufas? 
A ( ) 10 e 15
B ( ) 10 e 12
C ( ) 15 e 5 
D ( ) 10 e 5
E ( ) 15 e 12
C11) Era uma bela tarde de primavera, e na calma de um jardim florido de um parque, duas crianças brincavam distraídas sob as sombras das árvores. Bem próximo delas variasborboletas se divertiam, recolhendo pólen das flores. As crianças perceberam as borboletas e puseram-se a fitá-las atentamente. Acharam graça e tentaram contá-las sem sucesso. Uma das crianças resolveu então perguntar a um senhor de barbas brancas que se encontrava senado num banco do jardim, quantas borboletas havia lá ? Após observá-las por alguns instantes ele disse: Vou responder a pergunta, mas vocês terão de decifrar minha resposta, e disse:
A terça parte das borboletas esta flutuando sobre as margaridas. A quinta parte voa e brinca entre os jardins perfumados. O triplo da diferença entre esses dois números paira sobre as prímolas e uma borboleta solitária esta pousada sobre o cravo vermelho. Quantas borboletas tinham no parque?
A ( ) 12
B ( ) 13
C ( ) 15
D ( ) 17
E ( ) 11
C12) É chegado o momento. Os alunos aguardam ansiosamente o comentário sobre a prova de Administração Financeira e Orçamentária, a disciplina que mais reprova na área de negócios. O Prof. Sardelli se aproxima calmamente do prédio B, vestido com seu inconfundível avental branco. Os alunos perguntam como foram na prova e ele passivamente responde: Dos dois problemas da prova , 300 alunos acertaram somente o primeiro, 260 acertaram o segundo, 100 acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. 
Baseado nesses dados, quantos alunos fizeram a prova?
A ( ) 560
B ( ) 610
C ( ) 450
D ( ) 460
E ( ) 550
C13) Embora os gregos e romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a Regra de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra dos Três números conhecidos.
É uma ferramenta matemática muito útil em todas a áreas profissionais.
Utilizando essa ferramenta vamos ajudar Reinaldo a resolver seu problema.
Trabalhando 30 dias ele recebe R$ 600,00. Em quantos dias de trabalho ele receberá R$ 800,00?
A ( ) 40 dias
B ( ) 38 dias
C ( ) 39 dias
D ( ) 45 dias
E ( ) 50 dias
C14) A inflação é o aumento persistente e generalizado no valor dos preços onde esse aumento é contínuo. Quando a inflação chega a zero dizemos que houve uma estabilidade nos preços. A inflação pode ser dividida em:Inflação de Demanda. É quando há excesso de demanda agregada em relação à produção disponível. As chances da inflação da demanda acontecer aumenta quando a economia produz próximo do emprego de recursos. 
Para a inflação de demanda ser combatida, é necessário que a política econômica se baseie em instrumentos que provoquem a redução da procura agregada. Inflação de Custos. É associada à inflação de oferta. O nível da demanda permanece e os custos aumentam. Com o aumento dos custos ocorre uma retração da produção fazendo com que os preços de mercado também sofram aumento. As causas mais comuns da inflação de custos são: os aumentos salariais faz com que o custo unitário de um bem ou serviço aumente, o aumento do custo de matéria-prima que provoca um super aumento nos custos da produção fazendo com que o custo final do bem ou serviço aumente e por fim, a estrutura de mercado que algumas empresas aumentam seus lucros acima da elevação dos custos de produção. Índices de Inflação. A inflação possui vários índices entre eles o IGP (Índice Geral de Preços), IPA (Índice de Preços no Atacado), INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor), IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), INCC (Índice Nacional do Custo da Construção), CUB (Custo Unitário Básico). As taxas de inflação em 6 meses consecutivos foram 1,3%, 1,5%, 1,2%, 1,5% e 1,0% respectivamente. Qual a inflação acumulada nesse período?
A ( ) 6,67%
B ( ) 6,5%
C ( ) 7,23%
D ( ) 7,35%
E ( ) 6,95%
C15) Num parque havia 28 crianças apenas 2 dos 12 meninos eram ruivos das meninas 12 não eram ruivas. Quantas crianças ruivas havia no total?
A ( ) 8
B ( ) 4
C ( ) 6
D ( ) 7
E ( ) 10
C16) O novo parceiro da UniItalo, Banco Santander ao abrir um posto avançado no Campus e Santo Amaro, inicia uma campanha para facilitar a vida dos alunos.
Oferece o cartão Santander que com dispositivos de ultima geração que alem de funcionar como cartão de crédito, funciona como cartão de identificação do aluno UniÍtalo, acumula bônus da campanha do amigo e abrigará também o cartão fidelidade, além de destravar as catracas de segurança de ingresso no campus.
Oferecerá também seguro de veículos, e a conta universitária.
No início do semestre colocou uma equipe para oferecer aos alunos os 3 planos; 
conta universitária, cartão e seguro de veículos. Dos 9.000 alunos UniItalo conseguiu interagir com 5350. Sabe-se que as adesões ficaram assim distribuídas:
870 aderiram ao cartão e ao seguro de veículos
580 aderiram ao seguro de veículos e a conta universitária
1230 aderiram ao cartão e a conta universitária
320 aderiram apenas ao seguro de veículos
2280 aderiram a conta universitária
350 aderiram às 3 modalidades
280 não aderiram a nenhum convênio
Com base nesses dados qual o numero de alunos que aderiram apenas ao cartão e a conta universitária?
A ( ) 850
B ( ) 975
C ( ) 2.000
D ( ) 900
E ( ) 1650
C17) O DEAC pretende organizar uma excursão ao pico da Neblina em um final de semana prolongado. Prepara um alojamento suficiente para 48 pessoas e armazena alimento para 5 dias. No ultimo momento aparecem mais 12 inscrições. Quantos dias durará o alimento?
A ( ) 3 dias
B ( ) 2 dias
C ( ) 1 dia
D ( ) 4 dias
E ( ) 2 dias e meio
C18) Com velocidade media de 18 Km por hora, um maratonista correu durante 1h e 20 minutos. Se ele reduzisse a velocidade para 15 km por hora, em quanto tempo faria o mesmo percurso?
A ( ) 1h e 36 minutos
B ( ) 1h e cinqüenta minutos
C ( ) 2 horas
D ( ) 1h e 56 minutos
E ( ) 2h e 2 minutos
C19) A Piscina aquecida da UniItalo é classificada como semi-olímpica e comporta aproximadamente 500.000 litros de água. Quinzenalmente é feita uma limpeza mais detalhada onde 3 homens concluem a serviço em 10 horas. Em quantas horas o serviço estaria concluído se 5 homens trabalhassem simultaneamente?
A ( ) 6 horas
B ( ) 5 horas e 35 minutos
C ( ) 7 horas
D ( ) 7 horas e 36 minutos
E ( ) 8 horas
C20) Um artesão que trabalha com brinquedos de madeira, lançará no mercado dois novos brinquedos, um para meninos e outro para meninas. Cada brinquedo de meninos necessita de 5 minutos para o corte e 10 minutos para montagem; cada brinquedo das meninas precisa 8 minutos para o corte e 8 para a montagem. Ele dispões de 3 horas e 20 minutos para o corte e 4 horas para a montagem. O lucro é de R$ 5,00 para cada brinquedo de meninos e R$ 6,00 para cada brinquedo de meninas. Quantos brinquedos de cada tipo ele deve fabricar para maximizar o lucro?
A ( ) 8 para meninos e 20 para meninas
B ( ) 30 para meninas e nenhum para meninos
C ( ) 40 para meninos e nenhum para meninas
D ( ) 10 para meninos e 12 para meninas
E ( ) 12 para meninos e 8 para meninas
C21) Sarah começou sua jornada universitária e por morar em uma cidade conveniada com a Universidade sabe que tem um desconto de 15%. Para pagamentos antecipados qualquer estudante goza de um desconto de 5%. Se ela pagar todos os meses com datas antecipadas qual o desconto mensal que terá obtido? 
A ( ) 20%
B ( ) 22%
C ( ) 21%
D ( ) 19,25%
E ( ) 20,15%
C22) A UniItalo disponibiliza 4 canais de comunicação direta para seus alunos. São eles: ouvidoria@italo.br, faleconosco (ligado ao site), reitor@italo.br e presidente@italo.br . Neste primeiro semestre de 2010 de Fevereiro a Abril foram recebidos 1492 e-mails, todos respondidos assim distribuídos
Ouvidoria: 800 mensagens recebidas - Faleconosco: 540 mensagens recebidas 
Presidente: 94 mensagens recebidas - Reitor: 58 mensagens recebidas
Quanto representa percentualmente cada canal de comunicação