Aula 1 Matrizes

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Matrizes
Matrizes são tabelas de números
dispostos em linhas e colunas.
Exemplo: ao recolhermos os dados
referentes a altura, peso e idade de
um grupo de quatro pessoas,
podemos dispô-los na tabela:
Matrizes
Matrizes
Altura (𝒎) Peso (𝒌𝒈) Idade (𝒂𝒏𝒐𝒔)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 20
1,70 70 23
1,75 60 45
1,60
1,81
52
72
25
20
Denominamos matriz do tipo (𝑚𝑥𝑛)
à matriz que tem 𝑚 linhas e 𝑛
colunas.
Exemplo:
−1 2
3 4
0 3 3𝑥2
Matrizes
Representação de uma matriz
As matrizes podem ser representadas das
seguintes formas:
Através de parênteses ( ).
Através de colchetes [ ].
Através de barras duplas .
Para dar nome às matrizes por letras maiúsculas, e
os elementos por letras minúsculas,
acompanhadas por índices, 𝒊 e 𝒋, que indicam a
linha e a coluna, onde se encontra.
𝒂𝒊𝒋
Exemplo:
𝐴 =
−1 0 3
2 1 4 2𝑥3
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23 2𝑥3
Então: 𝑎11 = −1; 𝑎12 = 0; 𝑎13 = 3
𝑎21 = 2; 𝑎22 = 1; 𝑎23 = 4.
Matriz genérica
 Uma matriz pode ser representada
genericamente.
Lei de formação: 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
𝒎 número de linhas e 𝒏 números de colunas.
Exemplo:
Escreva uma matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 3𝑥2, tal que 𝑎𝑖𝑗 =
2𝑖 − 𝑗.
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B. de mesma ordem, são iguais
se seus elementos correspondentes forem iguais.
Exemplo: Sejam as matrizes
𝑨 =
𝟐 𝟑 −𝟒
𝟑 𝟏 𝟓
e 𝑩 =
𝟑𝒙 𝟑 −𝒚
𝟑 + 𝟑𝒛 𝟏 𝟓
Determine 𝒙, 𝒚 e 𝒛 para que 𝑨 = 𝑩.
Tipos Especiais de matrizes
Matriz linha:
𝑨 = 𝟐 𝟏𝟏 𝟖
Matriz coluna:
𝑩 =
𝟏
𝟕
𝟏𝟐
Matriz quadrada:
𝑪 =
𝟐𝟑 𝟓
𝟒𝟑 𝟐𝟏
𝑫 =
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑
𝟎 𝟗 𝟓
Denominação de matrizes
Matriz Identidade: é aquela em que 𝑎𝑖𝑖 = 1 e 𝑎𝑖𝑗 =
0, para 𝑖 ≠ 𝑗.
𝑰𝟑 =
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
Matriz nula:
𝑨 =
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
𝑩 =
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
Denominação de matrizes
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada onde 𝑎𝑖𝑗 =
0 para 𝑖 ≠ 𝑗 isto é, os elementos que não estão na
“diagonal” são nulos.
𝑩 =
𝟕 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 −𝟖
𝑪 =
𝟐 𝟎
𝟎 𝟖
Denominação de matrizes
Matriz simétrica: é aquela onde 𝑚 = 𝑛 e 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖.
𝑨 =
𝟒 𝟑 𝟐
𝟑 𝟐 𝟏
𝟐 𝟏 𝟓
𝑨′ =
𝟒 𝟑 𝟐
𝟑 𝟐 𝟏
𝟐 𝟏 𝟓
Matrizes transposta 𝑨𝒕
Dada uma matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 . Chama-se matriz
transposta de 𝐴 a matriz 𝐴𝑡 cujas linhas são
ordenadamente as colunas de 𝐴.
Exemplo:
𝐴 =
3 1
4 0
→ 𝐴𝑡 =
3 4
1 0
𝐵 =
4 7 5
0 1 2
→ 𝐵𝑡 =
4 0
7 1
5 2
Matrizes transposta 𝑨𝒕
• Propriedades:
i. Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual
à sua transposta;
ii. 𝐴𝑡 𝑡 = 𝐴. Isto é a transposta da transposta de
uma matriz é ela mesma.
iii. 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡;
iv. (𝑘𝐴)𝑡= 𝑘(𝐴𝑡), onde 𝑘 é qualquer escalar.
Matrizes Oposta
Denomina-se matriz oposta de 𝐴 (indica-se por −𝐴) a
matriz que, somada com 𝐴, dê como resultado a matriz
nula.
Exemplo:
𝐴 =
3 1
4 0
→ −𝐴 =
−3 −1
−4 0
𝐵 =
−4 7 5
0 −1 2
→ −𝐵 =
4 −7 −5
0 1 −2
Operações com matrizes
Soma
−𝟐 𝟒
𝟑 𝟐
+
𝟑 −𝟏
𝟓 −𝟑
=
−𝟐 + 𝟑 𝟒 + (−𝟏)
𝟑 + 𝟓 𝟐 + (−𝟑)
=
𝟏 𝟑
𝟖 −𝟏
Subtração:
−𝟐 𝟒
𝟑 𝟐
−
𝟑 −𝟏
𝟓 −𝟑
=
−𝟐 − 𝟑 𝟒 − (−𝟏)
𝟑 − 𝟓 𝟐 − (−𝟑)
=
−𝟓 𝟓
−𝟐 𝟓
Multiplicação de Matrizes
Multiplicação por Escalar: Seja 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 e 𝑘 um 
número, então definimos uma nova matriz:
𝑘 ∙ 𝐴 = 𝑘 ∙ 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
Exemplo:
Seja a matriz 𝐴 =
2 10
1 −3
, determine −2𝐴.
Propriedades
Dados matrizes 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem 𝑚 × 𝑛 e 
números 𝑘, 𝑘1 e 𝑘2, temos:
i. 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵;
ii. 𝑘1 + 𝑘2 𝐴 = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴;
iii. 0 ∙ 𝐴 = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero 
por qualquer matriz 𝐴, teremos a matriz nula;
iv. 𝑘1 𝑘2𝐴 = 𝑘1𝑘2 𝐴
Multiplicação de Matrizes
A operação de multiplicação é efetuada multiplicando-
se linha por coluna, isto é, cada elemento de uma linha 
é multiplicado pelo elemento correspondente de uma 
coluna e, em seguido, os produtos são somados
Na multiplicação de duas matrizes 𝐴 e 𝐵, o número de 
colunas de 𝐴 deve ser igual ao número de linhas de 𝐵; 
o produto 𝐴 ∙ 𝐵 terá o mesmo número de linhas de 𝐴 e 
o mesmo número de colunas de B
𝐴𝑚𝑥𝑛 ∙ 𝐵𝑛𝑥𝑝 = (𝐴 ∙ 𝐵)𝑚𝑥𝑝
Operações com matrizes
multiplicação
−𝟐 𝟒
𝟑 𝟐
∙
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟎 𝟓
=
−𝟐 ∙ 𝟏 + 𝟒 ∙ 𝟒 −𝟐 ∙ 𝟐 + 𝟒 ∙ 𝟎 −𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝟓
𝟑 ∙ 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝟒 𝟑 ∙ 𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟎 𝟑 ∙ 𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟓
=
=
𝟏𝟒 −𝟒 𝟏𝟒
𝟏𝟏 𝟔 𝟏𝟗
Operações com matrizes
• Multiplicação
Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades
das vitaminas 𝐴, 𝐵 e 𝐶 obtidas em cada unidade dos
alimentos 𝐼 e 𝐼𝐼.
Se ingerirmos 5 unidades do alimento 𝐼 e 2 unidades do
alimento 𝐼𝐼, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?
𝐴 𝐵 𝐶
Alimento 𝐼 4 3 0
Alimento 𝐼𝐼 5 0 1
Operações com matrizes
• Propriedades:
i. Em geral 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (podendo mesmo um dos membros
estar definido e o outro não)
ii. 𝐴 ∙ 𝐼 = 𝐼 ∙ 𝐴 = 𝐴 Justificativa da matriz identidade;
iii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 Distributiva;
iv. 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 Associativa;
v. (𝐴 ∙ 𝐵)𝑇= 𝐵𝑇 ∙ 𝐴𝑇 Observe a ordem;
vi. 0 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 0 = 0.
Matrizes Inversa
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. Se existir
uma matriz 𝐵 tal que 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐼, dizemos que a
matriz 𝐵 é a matriz inversa de 𝐴, e indicamos 𝐴−1.
Exemplo:
Determine a inversa da matriz 𝐴 =
3 4
1 0
.
ExercíciosMatriz