estatistica para gestores 4

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Estatística 
para gestores
Raul Sena Ferreira 
Sumário
03
CAPÍTULO 4 – Probabilidade .........................................................................................05
Introdução ....................................................................................................................05
4.1 Distribuição discreta .................................................................................................05
4.1.1 Distribuição de probabilidade ...........................................................................05
4.1.2 Variável aleatória discreta ................................................................................06
4.1.3 Distribuição discreta e seus diferentes tipos ........................................................06
4.1.4 Distribuição uniforme .......................................................................................07
4.1.5 Distribuição binominal e distribuição de Bernoulli ...............................................09
4.1.6 Distribuição de Poisson ....................................................................................10
4.1.7 Função hipergeométrica ...................................................................................12
4.2 Distribuição contínua ................................................................................................12
4.2.1 O que é a distribuição contínua? ......................................................................12
4.2.2 Distribuição normal .........................................................................................13
4.2.3 Distribuição gama ...........................................................................................14
4.2.4 Distribuição exponencial ..................................................................................15
4.2.5 Distribuição de extremos ou Gumbel .................................................................16
4.2.6 Exemplos de distribuição contínua e discreta ......................................................17
Síntese ..........................................................................................................................21
Referências Bibliográficas ................................................................................................22
Capítulo 4 
05
Introdução
Você sabia que é possível mensurar os resultados antes mesmo de eles serem obtidos? Em esta-
tísticas, damos a isso o nome de probabilidade, o que é um verdadeiro trunfo no cotidiano do 
gestor de qualquer segmento. 
Este capítulo visa a abordar a probabilidade, analisando as chances de ocorrer um resultado, 
antes mesmo de o experimento ser realizado. Na probabilidade, encontramos as distribuições de 
probabilidades, as quais, por sua vez, descrevem a chance que uma variável pode assumir ao 
longo de um espaço de valores. 
Veremos como utilizar esses modelos matemáticos analisando a ocorrência de defeitos na fabri-
cação de produtos e, em seguida, identificaremos modelos matemáticos analisando estimativas 
de processos produtivos.
Tenha um bom estudo!
4.1 Distribuição discreta
A probabilidade distribui-se de modo discreto e contínuo. Neste tópico, analisaremos como 
ocorre a distribuição da probabilidade e veremos como utilizar esses modelos matemáticos ana-
lisando a ocorrência de defeitos na fabricação de produtos.
4.1.1 Distribuição de probabilidade
Você sabe qual a função da distribuição da probabilidade? O seu objetivo situa-se nos valores de 
uma variável e sua imagem; trata-se de as probabilidades dessa variável assumirem cada valor 
do domínio sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.
A distribuição de probabilidades é expressa por um histograma de probabilidades, ou seja, uma 
escala vertical que representa as probabilidades. Dessa forma, o uso de funções de distribuição 
de probabilidade é bastante comum nos experimentos estatísticos.
É importante lembrar que (IAG-USP, 2010):
1. a soma de todos os valores de uma distribuição de probabilidades deve ser igual a 
 Σ P(X) = 1
em que x toma todos os valores possíveis;
2. a probabilidade de ocorrência de um evento deve ser para todo x:
 0 ≤ P (x) ≤ 1
Probabilidade 
06 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
4.1.2 Variável aleatória discreta
O gestor, por exemplo, pode obter o valor esperado de uma variável aleatória discreta, que é 
conhecido como esperança. Trata-se do valor médio dos resultados. Assim, a média de uma 
variável aleatória discreta é igual ao seu valor esperado.
Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, ou seja, o seu valor depende de fatores ale-
atórios. E uma variável aleatória é uma função que associa elementos de um espaço amostral a 
valores numéricos. Trata-se de mensurar a partir de um parâmetro que gere um valor diferente 
para cada medida (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004).
Como dissemos antes, as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. A variável ale-
atória discreta é aquela que sugere valores que podem ser contados, isto é, aquela para a qual 
um conjunto X é um conjunto finito ou infinito enumerável (CRESPO, 2002). 
Um exemplo de variável aleatória discreta infinita seria a quantidade de pessoas que chegam 
a um shopping: sabemos que virão pessoas infinitamente, porém, nunca chegará a metade ou 
uma fração de uma pessoa. Apesar de o resultado a princípio não ser sempre completamente 
conhecido, ele é considerado em estatística como sendo discritível.
Você provavelmente já jogou dados. E mesmo que não tenha jogado, sabe que possui 
seis lados expressos em números. Qual seria a probabilidade de resultados conside-
rando um parâmetro que gere um novo resultado a cada jogada? Esse exemplo é bem 
simples e retrata bem a questão da variável aleatória: ao jogar o dado, você poderá 
obter qualquer número de 1 a 6. Trata-se de um conjunto finito, com números inteiros 
entre 1 e 6: X={1,2,3,4,5,6}. Considerando a fórmula apresentada anteriormente, 
temos, para esse exemplo:
NÓS QUEREMOS SABER!
 ΣP (x) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
As variáveis aleatórias contínuas são aquelas que apresentam qualquer valor numérico em um 
determinado intervalo ou sequência de intervalos (BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004). É a variável 
para a qual o conjunto X é um conjunto infinito não enumerável, em que a variável assume valo-
res dentro de intervalos de números reais, por exemplo, alturas de prédios ou a de uma refeição 
(BARBETTA; REIS; BORNIA, 2004).
Nos próximos itens, veremos com mais detalhes as distribuições discretas e contínuas, trazendo 
e analisando os vários tipos de distribuições, tanto discretas quanto contínuas, visualizando 
alguns gráficos.
4.1.3 Distribuição discreta e seus diferentes tipos
Como mostramos anteriormente, a distribuição discreta descreve quantidades aleatórias que po-
dem assumir valores particulares e esses valores são finitos. Existem várias distribuições discretas, 
porém as principais são:
•	 distribuição uniforme discreta;
•	 distribuição binomial;
07
•	 distribuição de Poisson;
•	 distribuição hipergeométrica.
A figura a seguir representa um histograma, por exemplo, baseado em uma distribuição discre-
ta – no experimento, preocupou-se em saber o número de ovos colocados por 250 insetos ao 
longo de suas vidas:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10 a 12 a 14 a 16 a 18 a 20 a 22 a 24 a 26 a 28 a 30 a 32 a 34 a 36 a 38 a 40 a 42 a 44 a
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
Número de Ovos
Fr
eq
uê
nc
ia
 R
el
at
iv
a 
(%
)
Figura 1 – Exemplo de distribuição discreta.
Fonte: Laboratório de Estatística e Geoinformação – UFPR, 2015.
Uma obra que recomendamos a todos os gestores de diferentes áreasde atuação é o 
livro Noções de probabilidade e estatística, de Magalhães e Lima (2009). Trata-se de 
uma obra de estatística básica, muito renomada, com ampla experiência no ensino de 
estatística. Vale a pena conferir!
NÃO DEIXE DE LER...
4.1.4 Distribuição uniforme
É a mais simples e não faz uso de parâmetros. Para entender rapidamente como se dá essa dis-
tribuição, vamos trazer novamente o exemplo do jogo de dado: os possíveis valores são 1, 2, 
3, 4, 5 e 6, e a cada vez que o dado é jogado, a probabilidade de cada valor é 1/6, ou seja, o 
conjunto de resultados é um conjunto com um número finito de resultados com chances idênticas 
de acontecer. 
É por meio deste modelo que calculamos a densidade de probabilidade de distribuição uniforme:
08 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
Sendo que valores entre a e b são igualmente prováveis.
Para estabelecer a variância, tem-se:
Vejamos um caso baseado no exemplo de Fiocruz (s. d.): em uma empresa moveleira, o gerente 
de produção precisa calcular a probabilidade de um arranhão em um móvel ser no máximo igual 
a “7” de comprimento e a probabilidade desse arranhão estar entre “4 e 8”. Ele deve calcular 
também o valor esperado e a variância da distribuição. Considere que todos os arranhões entre 
1” e 11” são igualmente prováveis. Representando o problema em gráficos, temos:
Área=0.60
f(x)
1’’ 7’’ 11’’
1/(b-a)
a b x
Figura 2 – Exemplo de distribuição uniforme I.
Fonte: Fiocruz, s. d.
09
Temos também:
Figura 3 – Probabilidade de arranhões na empresa moveleira.
P(X ≤ 7)
0.60
F(x)
a=1’’ 7’’ b=11’’ x
Figura 3 – Probabilidade de arranhões na empresa moveleira.
Fonte: Fiocruz, s. d.
A solução encontrada pelo gestor foi a seguinte, conforme Fiocruz (s/. d.):
P(X ≤ 7) = F(7) = = 0,6011 - 1
7 - 1
Var(X) = = 8,33 polegadas212
(11 - 1)2
E(X) = = 61+11
2
P(4 ≤ x ≤ 8) = F(8) - F(7) = 11 - 1
(8 - 1) - (4 - 1) = 0,40
SD(X) = 8,33 = 2,89”
Figura 4 – Solução encontrada pelo gestor.
Fonte: Fiocruz, s. d.
4.1.5 Distribuição binominal e distribuição de Bernoulli
Se lançarmos uma moeda em vez de um dado, teremos dois resultados possíveis. O aspecto 
desse experimento aleatório é que ele terá somente dois resultados (DOANE; SEWARD, 2008). Se 
você tirar uma carta de um baralho, por exemplo, em que o interesse está apenas na cor (preta 
ou vermelha) da carta sorteada, o experimento pode ser considerado o mesmo.
Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis, 
sucesso ou fracasso, sendo assim, a distribuição de Bernoulli é a distribuição de uma variável 
aleatória X associada a um experimento de Bernoulli, em que se define X = 1 se ocorre sucesso 
e X = 0 se ocorre fracasso (DOANE; SEWARD, 2008).
10 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
Jakob Bernoulli (1654-1705) foi um matemático suíço que se destacou e ainda é re-
ferência em áreas como a geometria analítica, a teoria das probabilidades (que nos 
interessa neste material) e o cálculo de variações. A distribuição de Bernoulli recebeu 
esse nome em sua homenagem e refere-se à distribuição discreta de espaço amostral 
{0, 1}, cujo valor é 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0, com a probabilidade 
de falha q=1- p.
VOCÊ O CONHECE?
Vejamos um exemplo de distribuição binomial (HERNANDEZ, s. d.): se usarmos o mesmo exem-
plo do baralho citado anteriormente e retirarmos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual 
a probabilidade de a carta retirada ser ou um ás ou uma carta de copas? Vejamos a fórmula e 
sua solução:
P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS n Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52.
Há ainda um tipo de distribuição chamada de condicional, quando A e B são dois eventos e a 
probabilidade de B ocorrer e de A ter ocorrido é definida por: P (B/A). Podemos ilustrar esses 
eventos interdependentes com a seguinte fórmula:
P	(A	e	B	)	=	P	(A)	x	P(B/A)
Assim, seguindo o exemplo das cartas de baralho, conforme Hernandez (s. d.), se duas cartas são 
retiradas de um baralho sem haver reposição, qual a probabilidade de ambas serem do naipe 
de copas?
P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 %
P(Copas1) = 13/52
P(Copas2/Copas1) = 12/51
Mas se a primeira carta retirada fosse inserida novamente no baralho, o experimento seria do 
tipo com reposição e seria um evento independente. O seu resultaria seria o seguinte (HERNAN-
DEZ, s. d.):
P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 %.
4.1.6 Distribuição de Poisson
Você viu que a distribuição binomial pode ser usada para descobrir a probabilidade de um nú-
mero indicado de sucessos em n tentativas. Já na distribuição de Poisson, é possível encontrar 
a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo (BALESTRASSI; 
PAIVA, 2007).
11
NÃO DEIXE DE VER...
No link a seguir, você poderá observar problemas de distribuição de Poisson com os 
seus respectivos resultados e com bastante variedade de experimentos. Disponível em: 
<http://www.portalaction.com.br/probabilidades/52-distribuicao-de-poisson>.
É importante ressaltar que as demais condições exigidas na aplicação da distribuição binomial 
são também exigidas na distribuição de Poisson, ou seja, é preciso que haja apenas dois resul-
tados mutuamente exclusivos e os eventos precisam ser independentes. Assim, o número médio 
de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante (BALESTRASSI; PAIVA, 2007).
Figura 5 – Os métodos de distribuição da probabilidade são eficientes na rotina do gestor.
Fonte: Shutterstock, 2015.
Considerando as premissas da distribuição de Poisson, em que contexto esse recurso 
estatístico poderia ser usado? Podemos citar alguns exemplos: em um servidor web, que 
recebe e envia as mensagens de sua conta de e-mail, é possível descobrir o número 
de mensagens que chegam em um intervalo de uma hora, por exemplo. Em uma em-
presa petroquímica, é possível determinar o número de componentes com defeito em 
determinado volume da substância que está sendo produzida. Outro exemplo ainda 
refere-se ao controle de qualidade de uma indústria têxtil – é possível saber o número 
de defeitos em um metro de fio ali produzido. Veja que é comum o gestor se deparar 
com a necessidade de uso da distribuição de Poisson na sua rotina administrativa. 
NÓS QUEREMOS SABER!
12 Laureate- International Universities
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4.1.7 Função hipergeométrica
A função hipergeométrica de probabilidade é muito utilizada no cálculo da probabilidade em 
que em uma amostra aleatória de n elementos, selecionados e sem substituição, obtêm-se k 
elementos, sendo estes tidos como sucesso e n - k elementos tidos como fracasso (ANDERSON; 
SWEENEY; WILLIAMS, 2007). 
Para entender melhor, considere que o conjunto N possui todos os elementos que se quer ana-
lisar e R é o conjunto de elementos que obtiveram sucesso naquela população. Sendo assim, 
precisamos obter k sucessos a partir dos r sucessos na população e n - k fracassos a partir dos 
N - r fracassos.
Lembrando que, na estatística, se sabemos a probabilidade p de sucesso de algo ocorrer naquela 
população, poderemos saber a possibilidade de algo não ocorrer (fracasso) apenas calculando 
1 - p. O valor 1 é usado aqui, pois a soma da probabilidade deve ser igual a 1. A função hiper-
geométrica de probabilidade aponta f (x), em que f (x) é uma função, a probabilidade de se obter 
x sucessos em uma amostra de tamanho n, e em que os ensaios não são independentes e a pro-
babilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio (ANDERSON; SWEENEY; WILLIAMS, 2007).
Uma obra interessante para a consulta do futuro gestor é o livro Estatística aplicada 
à Administração, de Stevenson (2001). Trata-se de um manual bastante completoque 
traz exemplos de aplicação de cada recurso estatístico e os seus benefícios na rotina 
das empresas.
NÃO DEIXE DE LER...
4.2 Distribuição contínua
Veremos agora o que é e quais os benefícios da distribuição contínua para a rotina no gestor. 
Buscaremos compreender os modelos matemáticos, analisando estimativas de processos produ-
tivos, por meio de exemplos práticos.
4.2.1 O que é a distribuição contínua?
A distribuição contínua é aquela em que há quantidades aleatórias contínuas que podem indicar 
um número infinito de valores, por exemplo, a temperatura, a pressão de um equipamento ou da 
atmosfera, precipitação de chuva ou qualquer elemento medido em uma escala contínua. Trata-se 
de uma variável aleatória contínua (REBOITA, 2005). Vejamos as principais distribuições contínuas:
•	 normal; 
•	 gama; 
•	 exponencial;
•	 valores extremos.
Na figura a seguir, podemos ver um exemplo de distribuição contínua – que ilustra uma curva 
normal, como veremos na sequência:
13
0e
+0
0
1e
+0
4
2e
+0
4
3e
+0
4
f(
x)
4e
+0
4
5e
+0
4
6e
+0
4
2000 3000 4000 5000
Figura 6 – Exemplo de distribuição contínua em gráfico.
Fonte: Laboratório de Estatística e Geoinformação – UFPR, 2015.
4.2.2 Distribuição normal
Uma variável aleatória contínua tem uma distribuição normal se a sua distribuição é simétrica e 
apresenta forma de um sino – como você pôde observar na Figura 6. Quando uma distribuição é 
contínua, o gráfico de distribuição é uma linha contínua (PORTNOI, 2007). Note que não vemos, 
nesse caso, as barras de um histograma, mas apenas as frequências de eventos e ocorrências de 
cada valor de x em intervalos infinitesimais, formando uma curva de densidade de probabilidade, 
como na figura a seguir:
µ X
Figura 7 – Exemplo de distribuição normal em gráfico.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Nota-se que:
•	 as suas médias, medianas e modas são iguais;
•	 possui a forma de sino e é simétrica;
•	 a área total sobre a curva é de 100%.
14 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
Outra obra que indicamos àquelas pessoas que atuam diretamente com Administração, 
Economia e Ciências Contábeis é o livro de Martins (2011), Estatística geral e aplicada. 
A obra traz diversos assuntos de estatística, tanto básica quanto avançada.
NÃO DEIXE DE LER...
4.2.3 Distribuição gama
Refere-se a um tipo de distribuição exponencial, sendo que a distribuição gama, assim como a 
distribuição normal, tem muita relevância para as teorias estatísticas e metodologias aplicadas 
dessa área. 
A densidade da probabilidade da distribuição gama pode ser representada da seguinte maneira:
f (x) = λ
r
Γ(r)
x y-1e -λx
f (x) = 0
para x≥0
para x<0 
Figura 8 – A estatística auxilia o gestor no planejamento da produção e de outras etapas do processo administrativo.
Fonte: Shutterstock, 2015.
A soma de variáveis exponenciais independentes tem distribuição gama e torna-se adequada em 
particular à aqueles relativos às precipitações meteorológicas, expectativas de lucro e contenções 
de despesas e aos estudos envolvendo tempos de vida de elementos, por exemplo.
4.2.4 Distribuição exponencial
Este tipo é aplicado nos casos em que queremos analisar o espaço ou intervalo de acontecimen-
tos de um evento, por exemplo, na produção metalúrgica, um fio de cobre apresenta uma taxa 
de 2 falhas por metro. Qual a probabilidade de apresentar, em um metro, 4 falhas?
15
A distribuição exponencial está atrelada à distribuição de Poisson, já que se propõe a observar 
inversamente o experimento, ou seja, um intervalo ou espaço para ocorrência de um evento 
(PORTNOI, 2007). No exemplo do fio de cobre, poderíamos utilizar a distribuição exponencial 
para saber qual a probabilidade de ocorrer uma falha em 0,5 metros, se ele possui uma taxa de 
2 falhas por metro? 
A figura a seguir mostra um gráfico de distribuição exponencial e ilustra em duas partes o que foi 
descrito anteriormente, em que uma distribuição é inversa da outra:
0 1 2 3 4 5
x
0.5
1.0
F(x)
(a)
0 1 2 3 4 5
x
0.5
1.0
1.5
F(x)
(b)
Figura 9 – Exemplo gráfico de distribuição exponencial.
Fonte: Adaptado de MSPC, 2015.
A função densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial é expressa por:
 para t ≥ 0
 para t < 0
4.2.5 Distribuição de extremos ou Gumbel
Quando queremos encontrar valores máximos, ou seja, a máxima precipitação, o máximo vento, 
o máximo pico de vazão, o máximo de produção, etc., usamos a distribuição de Gumbel dos va-
16 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
lores extremos, que é bastante empregada por órgãos públicos para medir vazão de água em um 
rio, achar a máxima enchente em lugares onde os índices pluviométricos são constantemente ca-
talogados, mas não existe uma equação de chuva intensa, por exemplo. No contexto corporativo, 
podemos observar as máximas de gastos de um setor ou índices máximos de falhas, por exemplo. 
Na figura a seguir, é mostrado um exemplo do gráfico aplicado em uma situação de chuva má-
xima anual (medida em mm):
55
50
45
40
35
30
25
20
0 100 200 300 400
Período de retorno (anos)
GEV
Gumbel
Ch
uv
a 
m
áx
im
a 
an
ua
l (
m
m
)
500 600 700 800 900 1000
Valores de Chuvas Máximas para diferentes valores de
período e Retorno obtidos das distribuições GEV e Gumbel
com duração de 10 min.
Figura 10 – Exemplo gráfico de distribuição de extremos ou Gumbel.
Fonte: Adaptado de Quadros, 2011.
NÃO DEIXE DE VER...
Você conhece alguma ferramenta ou software para que uma pessoa possa fazer cálcu-
los estatísticos de forma mais simplificada e prática? A nossa sugestão refere-se ao Ex-
cel e se trata de um site produzido e mantido por Bertolo (2015), com vários materiais 
de como resolver cálculos usando as distribuições aqui explicadas, porém com o auxílio 
da calculadora HP-12C, que costuma ser bastante utilizada na área de matemática 
financeira. Disponível em: <http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/index.html>. 
4.2.6 Exemplos de distribuição contínua e discreta
Veremos agora alguns exemplos resolvidos de distribuição contínua e distribuição discreta.
•	 Exemplo	1	–	Distribuição	uniforme (PORTAL ACTION, s. d.)
17
Uma empresa de telefonia precisa verificar a ocorrência de panes em qualquer ponto de uma 
rede telefônica de 7 km. Essa ocorrência foi modelada por uma distribuição uniforme no inter-
valo [0, 7]. Dessa forma, qual é a probabilidade de que uma pane ocorra nos primeiros 800 
metros? E qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede?
A função densidade da distribuição uniforme é 
E zero, no caso contrário. Dessa forma, a probabilidade de ocorrência de pane nos primeiros 
800 metros é
 E a probabilidade de ocorrência de uma pane nos 3 km centrais da rede é
•	 Exemplo	2	–	Distribuição	exponencial (FIOCRUZ, s. d.)
Em uma empresa de engenharia industrial de alimentos, para decidir quando os reparos na 
maquinaria são necessários, foi preciso coletar amostras dos itens produzidos. Até então, foram 
coletadas 16 latas de cerveja a fim de determinar se o número de latas cheias de forma incom-
pleta é grande. Cada hora, uma amostra de 100 latas é tirada da linha de produção, sendo seus 
volumes precisamente medidos. Teremos que considerar X o número de latas incompletas e π a 
probabilidade de existir lata incompleta. A política da empresa é:
•	 parar a produção e ajustar a máquina, se X>6;
•	 continuar o processo se X≤6.
Veja que isso interfere bastante na produtividade e no orçamento da produção. Vamos verificar 
se as seguintes exigências foram atendidas:
•	 pode haver, no máximo, 5% de chance de parar o processo, se π =0.03;
•	 deve haver, no máximo, 15% dechance de continuar o processo, se π =0.10.
Observação:
Usaremos a fórmula em que distribuição binomial cumulativa pode ser aproximada pela distri-
buição normal cumulativa, por meio da seguinte equação:
 
em que Φ (phi) = coeficiente de correlação entre duas variáveis qualitativas e dicotômicas.
π (pi) = probabilidade de haver uma lata incompleta.
18 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
Solução do problema:
Referente ao primeiro item a ser verificado, pode-se concluir que foi satisfeito.
Podemos observar também que o segundo item mencionado do problema também está adequado.
•	 Exemplo	3	(FIOCRUZ, s. d.)
Considerando os gastos com logística de uma empresa, vamos calcular a probabilidade de que 
o tempo entre chegadas sucessivas de carros na cabine de pedágio da ponte Rio-Niterói seja 
menor ou igual a 6 segundos (0.1 minuto), sabendo que a taxa média do processo é igual a 5 
carros por minuto (FIOCRUZ, s. d.). 
Solução:
 
Observe este resultado no gráfico:
Área=P(T≤0.1)=0.3935
0,1
t (tempo entre
as chegadas)
Figura 11 – Solução do problema sobre distribuição exponencial II.
Fonte: Adaptado de Fiocruz, s. d.
19
Ou ainda:
F(t)
F(t)=1-e-λt1.0
0.1
P(T≤0.1)=0.3935
t (tempo entre
as chegadas)
Figura 12 – Solução do problema sobre distribuição exponencial III.
Fonte: Adaptado de Fiocruz, s. d.
•	 Exemplo	4	–	Distribuição	gama (FIOCRUZ, s. d.) 
Vamos calcular a probabilidade de passado um minuto no máximo, quando dois carros tenham 
chegado a uma cabine de pedágio, considerando que λ=5 carros por minuto.
Solução:
No caso de r	=	2:
No caso de λ=5, tem-se:
 
NÃO DEIXE DE VER...
Um segmento que proporciona reflexões sobre estatística de modo básico e inicial são 
os esportes. O filme Moneyball: o homem que mudou o jogo (2012) retrata o uso da es-
tatística para melhorar o desempenho dos atletas de beisebol, o emprego dos recursos 
e orçamento e comenta como é utilizada a estatística da probabilidade para a previsão 
de vitórias na temporada.
20 Laureate- International Universities
Estatística para gestores
Neste capítulo, você pôde aprender:
•	 que a distribuição de probabilidades é expressa por um histograma de probabilidades;
•	 o que são e quais os principais tipos de distribuições existentes na estatística, como a 
distribuição contínua e a distribuição discreta e as suas variantes. Estas são constantemente 
utilizadas na rotina dos gestores de todos os segmentos;
•	 que a distribuição discreta descreve quantidades aleatórias, que podem assumir valores 
particulares, e esses valores são finitos;
•	 que a distribuição contínua é usada quando há quantidades aleatórias contínuas que 
podem indicar um número infinito de valores;
•	 que há vários tipos de variáveis aleatórias encontradas nessas distribuições. Vimos que 
as distribuições discretas e contínuas se subdividem em várias outras e aprendemos como 
calculá-las e onde usá-las, também vimos os gráficos gerados por essas distribuições;
•	 alguns exercícios para solidificar o conteúdo visto, identificando e praticando o uso dessas 
distribuições;
•	 há outros tipos de distribuições discretas e contínuas na busca da probabilidade que o 
aluno poderá observar nas referências e indicações apresentadas, sendo as que estudamos 
aqui as mais comuns.
21
Síntese
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística	aplicada	à	administração	e	
economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Leraning, 2007.
BALESTRASSI. P. P.; PAIVA, A. P. Estatística	aplicada. Notas compiladas. Itajubá: Universidade 
Federal de Itajubá, 2007. Disponível em: <http://www.pedro.unifei.edu.br/download/estatistica.
pdf>. Acesso em: 21 jul. 2015.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística	para	cursos	de	engenharia	e	in-
formática. São Paulo: Atlas, 2004.
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Síntese
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