Estruturas uma abordagem arquitetônica

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ESTRUTURAS
UMA ABORDAGEM ARQUITETÔNICA
Daiçon Maciel da Silva
André Kraemer Souto
5a edição
ESTRUTURAS
UMA ABORDAGEM ARQUITETÔNICA
Daiçon Maciel da Silva
André Kraemer Souto
5a edição
Porto Alegre, 2015
Reitor
Telmo Rudi Frantz
Pró-Reitora de Graduação
Laura Coradini Frantz
Pró-Reitora de Pesquisa, Pós-Graduação e Extensão
Márcia Santana Fernandes
Coordenadora do Curso de Arquitetura
Maria Fátima Rosa Beltrão
Coordenador do Curso de Engenharia
José Luiz Finger
CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO
Rua Orfanotrófio, 555 - Bairro Alto Teresópolis
CEP 90840-440 – Porto Alegre – RS
Fone/Fax: (51)3230 3333
www.uniritter.edu.br
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ENTIDADE MANTENEDORA
Sociedade de Educação Ritter dos Reis Ltda
© Daiçon Maciel da Silva e André Kraemer Souto
Estruturas: uma abordagem arquitetônica 
5ª edição - 2015 - Uniritter
Conselho Científico da Editora UniRitter: Prof. Dr. Beatriz Daut Fischer (Unisinos), Prof. 
Dr. Bernardo Subercaseaux (Universidad de Chile), Prof. Dr. Diego Rafael Canabarro (UFR-
GS), Prof. Dr. Elias Torres Feijó (Universidade de Santiago de Compostela), Prof. Dr. Gilber-
to Ferreira da Silva (Unilasalle), Prof. Dr. Günther Richter Mros (Universidade Católica de 
Brasília), Prof. Dr. Jaqueline Moll (MEC), Prof. Dr. Júlio Van der Linden (UFRGS), Prof. Dr. 
Lucas Kerr de Oliveira (Universidade Federal da Integração Latino-Americana), Prof. Dr. 
Marizilda Menezes (UNESP Bauru), Prof. Dr. Taisy Weber (UFRGS)
Conselho Editorial: Anna Paula Canez, Ana Paula Ávila, Gladimir de Campos Grigoleti, 
Hericka Zogbi Jorge Dias, Isabel Cristina Siqueira da Silva, Jacqueline Schaurich dos Santos, 
Josué Emílio Möller, Júlio César Caetano, Laurise Pugues, Lia C. Hallwass, Luciano Reolon, 
Marc Antoni Deitos, Maria Luíza de Souza Moreira, Regina da Costa da Silveira, Roger Luiz 
da Cunha Bundt e Rejane Pivetta
Editor Chefe: Marcelo Spalding
Arte Capa e Planejamento Gráfico: Tâmisa Trommer
Revisão Linguística: William Moreno Boenavides
S586 Silva, Daiçon Maciel da 
Estruturas : uma abordagem arquitetônica / Daiçon Maciel da Silva, André 
Kraemer Souto. – Porto Alegre: UniRitter Ed., 2015.
148 p. : il.
ISBN 978.85.60100.09.5
1. Engenharia de estruturas. 2. Teoria das estruturas. 3. Estruturas – Arquitetura 
I. Souto, André Kraemer II. Título.
CDU 624.01
Ficha catalográfica elaborada por Angela Morel Nitschke - CRB 10/1587.
AGRADECIMENTOS
Ao Centro Universitário Ritter dos Reis, na pessoa de seu Reitor, Telmo Rudi Frantz, 
pelo apoio a esta edição.
Ao Engenheiro Ruy Cremonini, pelas sugestões.
À Tâmisa Trommer, por emprestar o seu talento na atualização e modernização dos 
desenhos que compõem esta edição, pelo projeto gráfico que tão bem expressa a bela 
feição arquitetônica da arte de representar.
À Professora Regina da Costa Silveira, pela primeira revisão dos textos.
SUMÁRIO
PREFÁCIO
INTRODUÇÃO
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS
ESTRUTURAS 21
DEFINIÇÃO 22
FATORES MORFOGÊNICOS 22
EVOLUÇÃO DAS FORMAS ESTRUTURAIS 24
SISTEMAS ESTRUTURAIS FUNDAMENTAIS 25
A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
ARQUITETO: MESTRE EM ESTRUTURAS 29
ESTRUTURA NA CONSTRUÇÃO: SITUAÇÃO NOVA 29
ESTRUTURA TÉCNICA: MEIOS DE HUMANIZAÇÃO 30
NECESSIDADE DA ESTRUTURA 30
CONHECIMENTO ESTRUTURAL 31
EVOLUÇÃO HISTÓRICA 32
A ARQUITETURA E A ESTRUTURA - O ARQUITETO E O ENGENHEIRO 35
ESTRUTURAS E INTUIÇÃO 37
CONCEITUAÇÃO DAS ESTRUTURAS
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA RACIONAL 41
ESTRUTURA E CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 43
APOIOS ESTRUTURAIS E CLASSES DE APOIO (VÍNCULOS) 44
GRAU DE ESTATICIDADE DAS ESTRUTURAS 45
ESTATICIDADE INTERIOR DOS RETICULADOS PLANOS (TRELIÇAS) 46
CRÍTICA AO MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO 
DA ESTATICIDADE INTERIOR 47
DETERMINAÇÃO DE ESTATICIDADE INTERIOR 
PELO SISTEMA DE TRIÂNGULOS 48
CARGAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS
FINALIDADE DAS ESTRUTURAS 53
CARGAS 53
CARGAS PERMANENTES 55
CARGAS ACIDENTAIS 56
CARGAS VARIÁVEIS 56
CARGAS DINÂMICAS 60
COMBINAÇÕES DE AÇÕES 60
MATERIAIS E EXIGÊNCIAS ESTRUTURAIS
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DOS MATERIAIS, 
 MELHORES MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO E O AVANÇO 
 DAS MODERNAS TÉCNICAS DE CONSTRUÇÃO 63
PROPRIEDADES ESSENCIAIS DOS MATERIAIS USADOS EM ESTRUTURAS 64
CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS 65
COEFICIENTE DE SEGURANÇA DOS MATERIAIS 67
MATERIAIS ARTIFICIAIS MODERNOS 68
EXIGÊNCIAS BÁSICAS 70
ESTRUTURAS ÓTIMAS 76
ESTADOS BÁSICOS DE TENSÃO E SOLICITAÇÕES
ESTADOS BÁSICOS DE TENSÃO 81
SOLICITAÇÕES SIMPLES 82
SOLICITAÇÕES COMBINADAS 88
ASPECTOS DELICADOS DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL 92
ESTRUTURAS SUBMETIDAS À TRAÇÃO E COMPRESSÃO
CABOS 97
TRELIÇAS PLANAS 98
ARCOS FUNICULARES 101
COBERTURAS COM CABOS 101
TRELIÇAS ESPACIAIS 103
VIGAS
ESTRUTURAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E CISALHAMENTO 109
OUTRAS CARACTERÍSTICAS DAS VIGAS EM BALANÇO 111
VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS 111
VIGAS ENGASTADAS E VIGAS CONTÍNUAS 113
TENSÕES SECUNDÁRIAS DE FLEXÃO 114
PÓRTICOS E ARCOS
PILAR-E-VIGA 119
PÓRTICO SIMPLES 119
PÓRTICOS MÚLTIPLOS 121
PÓRTICOS DE DUAS ÁGUAS 122
ARCOS 123
COBERTURAS EM ARCO 124
ENTRAMADOS, PLACAS E GRELHAS
TRANSFERÊNCIA DE UMA CARGA EM DUAS DIREÇÕES 127
ENTRAMADOS RETANGULARES 127
ENTRAMADOS OBLÍQUOS 129
PLACAS 129
LAJES NERVURADAS 131
PLACAS DOBRADAS 132
MEMBRANAS
CARACTERÍSTICAS GERAIS 137
MEMBRANAS PNEUMÁTICAS 138
TENSÕES NAS MEMBRANAS 139
CASCAS DELGADAS
ESTRUTURAS RESISTENTES PELA FORMA 143
CURVATURAS E CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 144
AÇÃO DE MEMBRANA EM CÚPULAS CIRCULARES 145
TENSÕES DE FLEXÃO EM CÚPULAS 146
AÇÃO DE MEMBRANA EM CILINDROS 148
TENSÕES DE FLEXÃO NOS CILINDROS 148
CASCAS DE OUTROS TIPOS 149
PROBLEMAS NA CONSTRUÇÃO DE CASCAS DELGADAS 150
BIBLIOGRAFIA
LISTA DE FIGURAS
Fig. 1 | Corpo submetido à ação de um sistema de “n” forças 41
Fig. 2 | Vínculos 42
Fig. 3 | Vínculo de primeira ordem 42
Fig. 4 | Vínculo de segunda ordem 42
Fig. 5 | Vínculo de terceira ordem 43
Fig. 6 | Estruturas hipostáticas 43
Fig. 7 | Viga simplesmente apoiada 44
Fig. 8 | Viga em balanço ou Cantilever 44
Fig. 9 | Pórtico 45
Fig. 10 | Estrutura com dois graus de hiperestabilidade 45
Fig. 11 | Estrutura com três graus de hiperestabilidade 46
Fig. 12 | Viga contínua com dois hiperestáticos 46
Fig. 13 | Determinação da estaticidade interna de um sistema reticulado 46
Fig. 14 | Estaticidade de um sistema 47
Fig. 15 | Justaposição de triângulos 47
Fig. 16 | Reticulado composto por triângulos 47
Fig. 17 | Estrutura exposta à variação de temperatura 56
Fig. 18 | Comportamento elástico 64
Fig. 19 | Comportamento elástico linear 64
Fig. 20 | Comportamento plástico 65
Fig. 21 | Estrutura em concreto sob tração 68
Fig. 22 | Estrutura em concreto protendido sob tração 68
Fig. 23 | Equilíbrio à translação 70
Fig. 24 | Equilíbrio de rotação (gangorra) 70
Fig. 25 | Efeito de tombamento 70
Fig. 26 | Tração simples 82
Fig. 27 | Tensão de tração 83
Fig. 28 | Compressão simples 83
Fig. 29 | Flambagem 84
Fig. 30 | Cisalhamento 85
Fig. 31 | Deformação de corte em uma viga engastada 86
Fig. 32 | Torção 88
Fig. 33 | Flexão pura 88
Fig. 34 | Flexão simples 89
Fig. 35 | Flexão composta 90
Fig. 36 | Flexo-compressão e flexo-tração 91
Fig. 37 | Flambagem 91
Fig. 38 | Estrutura de cabos 97
Fig. 39 | Carga aplicada num cabo 97
Fig. 40 | Ponte pensil 98
Fig. 41 | Treliça plana 98
Fig. 42 | Treliças simples 99
Fig. 43 | Treliças com banzo superior curvo 99
Fig. 44 | Treliças de contorno triangular: 100
Fig. 45 | Arco em forma parabólica 101
Fig. 46 | Roda de bicicleta 101
Fig. 47 | Teto de cabos protendidos de Viera 102
Fig. 48 | Teto tipo roda de bicicleta do Auditório de Utica, Nova Iorque 102
Fig. 49 | Ponte com cabos. Arquiteto Santiago Calatrava. Sevilha, Espanha 103
Fig. 50 | Reticulado espacial 104
Fig. 51 | Flexão de uma viga em balanço109
Fig. 52 | Influência da forma da seção na deformação da viga 109
Fig. 53 | Momento de inércia de vigas 110
Fig. 54 | Deformações devidas a cargas concentradas e distribuídas 110
Fig. 55 | Esforço cortante em vigas 111
Fig. 56 | Influência do vão sobre a deformação 111
Fig. 57 | Influência da altura e espessura na deformação 112
Fig. 58 | Influência do tipo de material na deformação 112
Fig. 59 | Influência da posição da carga na deformação 113
Fig. 60 | Influência do tipo de carregamento na deformação 113
Fig. 61 | Deformação e diagramas de momentos fletores 
 (estudo comparativo) 114
Fig. 62 | Deformação e diagramas de momentos fletores 115
Fig. 63 | Deformação e diagramas de momento fletor para 
 uma viga contínua (carga concentrada) 115
Fig. 64 | Sistema de pilar - e - viga 119
Fig. 65 | Pórtico simples 119
Fig. 66 | Pórticos múltiplos 120
Fig. 67 | Edifício Sears Tower (Chicago, EUA) 121
Fig. 68 | Pórtico de duas águas 122
Fig. 69 | Arco atirantado 122
Fig. 70 | Ponte em arcos múltiplos 123
Fig. 71 | Estrutura em arcos radiais 123
Fig. 72 | Transferência de cargas em uma direção 127
Fig. 73 | Transferência de cargas em duas direções 127
Fig. 74 | Entramado retangular 128
Fig. 75 | Entramados retangular e oblíquo 128
Fig. 76 | Placa com transferência de carga em duas direções 130
Fig. 77 | Laje cogumelo ou laje plana 130
Fig. 78 | Laje nervurada 131
Fig. 79 | Placa dobrada de altura “a” e espessura “e” 133
Fig. 80 | Membranas 138
Fig. 81 | Balão, exemplo de membrana pneumática 138
Fig. 82 | Mecanismo de funcionamento estrutural de uma membrana 140
Fig. 83 | Estrutura resistente pela sua forma 143
Fig. 84 | Cobertura em cascas 143
Fig. 85 | Casca esférica 144
Fig. 86 | Casca cilíndrica 144
Fig. 87 | Casca cilíndrica contínua 145
Fig. 88 | Mecanismo do funcionamento estrutural das cascas 145
Fig. 89 | Deformação de flexão numa casca, próximo a apoio rígido 147
Fig. 90 | Cobertura cilíndrica de grande comprimento em relação à largura 149
Fig. 91 | Esforços predominantes em cilindros curtos e longos 149
Fig. 92 | Superfície cônica ondulada 151
15
PREFÁCIO
O ensino de estruturas nas Escolas de Arquitetura é, e sempre foi, uma dessas áreas onde 
a interface de duas profi ssões – a do arquiteto e a do engenheiro – tem revelado a sua mais 
perversa faceta. O entendimento equivocado desse assunto tem dividido profundamente a 
forma de ação desses dois atores de construção. A divergência metodológica e conceitual a 
respeito do papel da tecnologia estrutural e sua apropriação na concepção da obra arquitetô-
nica acentuou-se, extraordinariamente, entra as duas profi ssões após a Revolução Industrial, 
notadamente a partir de meados do século passado. O desenvolvimento do aço e da mecânica 
racional – ao lado dos engenheiros – e o obstinado apego à tradição artística e ao academi-
cismo – pelo lado dos arquitetos – tem cavado um poço enorme no arcabouço conceitual e 
profi ssional dessas duas áreas.
Ainda hoje há quem distinga a Engenharia da Arquitetura, pensando aquela como prática, 
e esta como tendo a missão divina para ser efetiva. Esses dois pensamentos são, na atualidade, 
duas doutrinas divergentes que, assim entendida, não estarão aptas a colaborar no avanço da 
tecnologia da construção do espaço arquitetônico. Apesar da lucidez de alguns que jamais se 
equivocaram e sempre entenderam a tecnologia como um processo criativo, as contingências 
históricas foram mais fortes. Os equívocos metodológicos entre as duas áreas aconteceram, 
ora por extraordinário cientifi cismo, ora por uma estéril e estereopatia dos métodos que se 
infi ltraram no ensino. 
Os professores Daiçon Maciel da Silva e André Kraemer Souto, por sua ação docente, aju-
daram a construir uma ponte por esse fosso e, agora, de forma ainda mais signifi cativa ao es-
creverem este Estruturas: Uma abordagem arquitetônica jogaram luz em seu interior. Com 
este livro dão um largo passo sobre esta ponte, na busca de um melhore entendimento da “gata 
borralheira” em que se transformou o ensino de estruturas em nossas escolas. 
Este livro, escrito por engenheiros, representa um importante gesto de integração concei-
tual e profi ssional entre o pensamento e a ação da Engenharia e da Arquitetura. Trata-se de 
uma obra de rara dedicação à causa do ensino de estruturas, ou seja, à formação tecnológica 
dos nossos jovens arquitetos, e por que não admiti-lo, dos engenheiros também. A obra é uma 
contribuição inequívoca para aqueles que pretendem estudar o assunto, sem preconceito, a a 
partir de uma visão abrangente, aplicada e direta.
16 PREFÁCIO
Há grande escassez de livros didáticos que tratem do assunto nos moldes do pensamento 
conceitual e do funcionamento da tipologia estrutural disponível para a construção de edifi -
cações. Esta obra perseguiu como determinação esse intento e logrou êxito. Estruturas: Uma 
abordagem arquitetônica constitui uma inegável contribuição ao ensino de tecnologia estru-
tural. É escrito em linguagem direta e simples, apresenta o essencial para a correta e expedita 
apropriação daqueles que se iniciam no aprendizado do repertório estrutural dentro do pro-
cesso de concepção arquitetônica. 
Escrever livros didáticos é uma tarefa difícil, ainda mais sobre assunto controverso e que 
tem abrangência científi ca, tecnológica e estética. Com certeza, a obra dos professores Daiçon 
e André satisfará plenamente aqueles que buscam compreensão do universo dos sistemas 
estruturais, na construção, sob o seu ponto de vista físico, intuitivo, bem como, cognitivo e 
interpretativo. 
Percebe-se, nitidamente, no contexto da obra, a saudável infl uência de notáveis mestres 
no assunto, como Mário Salvadori e Robert Heller que, pioneiramente, defrontaram-se com 
esse desafi o – qual seja, o de escrever de modo estimulante, objetivo e claro sobre tema tão 
intrincado, complexo e recorrente – sem se enredarem em extensas demonstrações. Desa-
fortunadamente, na maioria das obras, os autores se expressam sob impenetrável manto de 
criptografi as desesperantes, mesmo aos iniciados. Nesse aspecto Estruturas: Uma aborda-
gem arquitetônica é uma obra cristalina, como devem ser os livros que objetivam abrir o 
horizonte ainda limitado dos estudantes, sobre um assunto essencial no processo criativo. Os 
professores Daiçon Maciel da Silva e André Kraemer Souto, da Faculdade de Arquitetura e 
Urbanismo UniRitter, estão dando uma inestimável contribuição ao ensino da Arquitetura 
com esta obra oportuna e bem-vinda para aqueles que advogam a congruência dos objetivos 
técnicos e estéticos do pensar arquitetônico. 
Arq. Erico Weidle
Universidade de Brasília - UnB
17
INTRODUÇÃO
Segundo o dicionário de Aurélio Buarque de Holanda, o conceito de estrutura (na 
Arquitetura) é “o conjunto das partes de uma construção que se destinam a resistir 
cargas; armação, esqueleto, arcabouço”. Esta defi nição é incompleta por não incluir 
alguns fatores, tais como organização do espaço, custo, otimização, forma do espaço, fun-
ção de uso, tipo de material, durabilidade, segurança, geometria, estética, etc. Segundo o 
Professor Érico Weidle (Universidade de Brasília) em curso de especialização proferido na 
Faculdade de Arquitetura e Urbanismo de Porto Alegre - Ensino e Pesquisa na Arquitetu-
ra- “estrutura, em arquitetura, é o sistema material da edifi cação capaz de transmitir car-
gas e absorver os esforços de modo a garantir a estabilidade, a segurança e a integridade 
da construção, sob o compromisso da organização espacial e sua expressão no contexto 
cultural e social, mediante o adequado emprego dos materiais, suas técnicas e processos 
e de acordo com os recursos econômico-fi nanceiros.”
Os métodos científi cos não servem e em nada contribuem ao ensino de estruturas; 
o ato de conceber independe do conhecimentocientífi co (da ciência); o conhecimento 
apenas facilita a compreensão. Segundo o Professor Weidle, existem algumas orientações 
que devem nortear o ensino das estruturas para estudantes da graduação em Arquitetura: 
o tipo e o conteúdo das informações técnicas a serem ministradas aos estudantes de Ar-
quitetura durante seu curso devem ser apresentados na forma de necessidades específi cas 
dos arquitetos com vistas à concepção do espaço arquitetônico. O desenvolvimento da in-
tuição estrutural e da avaliação construtiva deve ter um objetivo concreto. As estruturas 
devem ser ensinadas no contexto do projeto arquitetônico.
Há três domínios do conhecimento tecnológico distintos, mas interdependentes: ini-
cialmente absorver conhecimento básico e geral sobre a tipologia estrutural para depois 
desenvolver o senso do que é apropriado e está ao alcance das possibilidades, depois, fi nal-
mente, compreender esses conceitos básicos num nível mais específi co (estática, mecâ-
nica elementar, características de resistência dos materiais, condições de carregamento, 
normas técnicas, procedimentos de projeto). O estudo das estruturas deve ser fundamen-
tado na teoria geral, tratando em conjunto a questão do espaço arquitetônico em seu con-
texto cultural, de construção e detalhamento como coisas indissociáveis. A abordagem 
18 INTRODUÇÃO
dos cursos deve ser de ordem prática e estes devem ter seu propósito principal dirigido 
sobre situações reais. O típico relacionamento entre a aula expositiva e o laboratório, no 
qual este é usado apenas para ilustrar e evidenciar a preleção, é de fato inadequado. O 
estudo das estruturas indeterminadas é crucial, visto que é nestas que câmbios sutis na 
estabilidade alteram a distribuição das forças e consequentemente das formas. 
Todo trabalho deve ser feito sobre modelação, mediante o emprego dos modelos tridi-
mensionais ou computacionais.
Nota: 
Nesta 5ª edição foram inseridas novas fotos. Tal medida deve-se ao interesse em mostrar 
aplicações em obras e edifi cações contemporâneas com destaque arquitetônico dos 
diversos sistemas estruturais abordados neste livro.
01
Jockey Clube
Arquiteto: Román Fresnedo Siri
Porto Alegre - 1952
MORFOLOGIA
DAS ESTRUTURAS
01
Jockey Clube
Arquiteto: Román Fresnedo Siri
Porto Alegre - 1952
MORFOLOGIA
DAS ESTRUTURAS
20
MORFOLOGIA
 DAS ESTRUTURAS
ESTRUTURAS
A palavra estrutura tem signifi cado de considerável amplitude. De modo genérico, 
signifi ca a maneira especial por que estão dispostas, em relação umas às outras, as 
diferentes partes de um corpo. Assim, dizemos estrutura atômica para a distribuição 
dos átomos na molécula. De modo fi gurado, serve para designar a ordem, a disposição ou 
a distribuição das diversas partes que compõem uma obra literária, artística ou conceito 
fi losófi co. De maneira especial, entretanto, a palavra estrutura é usada para designar a 
composição, construção, organização e disposição arquitetônica de um edifício.
Nesse conceito, estrutura compreende todas as partes que compõem o edifício, desde 
os revestimentos, a pintura, até a sua medula, o seu âmago. De modo ainda mais particu-
larizado, quando falamos de estrutura, em Engenharia Civil, por defi nição, designamos 
as partes que suportam as cargas de uma construção e as transmitem às fundações. 
Neste caso, estamos diante da estrutura resistente, ou simplesmente estrutura.
Frequentemente, os alunos de Arquitetura recebem os primeiros conhecimentos re-
lativos às estruturas analisando uma peça estrutural isolada, um pilar ou uma viga, sem 
considerar o conjunto de elementos que compõem todo o sistema. Parece-nos importante 
a visão total, partindo da síntese: o conhecimento introdutório de todas as formas estru-
turais, quanto a suas concepções lógicas, diante do emprego econômico dos materiais; a 
origem e a evolução das formas em função das culturas e do progresso tecnológico; a sua 
fi nalidade e estética. É proveitoso, também, o estudo das formas estruturais desenvolvidas 
nos seres vivos: a natureza nos ensina processos de otimização em todas as suas manifes-
tações.
01 
Jockey Clube
Arquiteto: Román Fresnedo Siri
Porto Alegre - 1952
21
MORFOLOGIA
 DAS ESTRUTURAS
ESTRUTURAS
A palavra estrutura tem signifi cado de considerável amplitude. De modo genérico, 
signifi ca a maneira especial por que estão dispostas, em relação umas às outras, as 
diferentes partes de um corpo. Assim, dizemos estrutura atômica para a distribuição 
dos átomos na molécula. De modo fi gurado, serve para designar a ordem, a disposição ou 
a distribuição das diversas partes que compõem uma obra literária, artística ou conceito 
fi losófi co. De maneira especial, entretanto, a palavra estrutura é usada para designar a 
composição, construção, organização e disposição arquitetônica de um edifício.
Nesse conceito, estrutura compreende todas as partes que compõem o edifício, desde 
os revestimentos, a pintura, até a sua medula, o seu âmago. De modo ainda mais particu-
larizado, quando falamos de estrutura, em Engenharia Civil, por defi nição, designamos 
as partes que suportam as cargas de uma construção e as transmitem às fundações. 
Neste caso, estamos diante da estrutura resistente, ou simplesmente estrutura.
Frequentemente, os alunos de Arquitetura recebem os primeiros conhecimentos re-
lativos às estruturas analisando uma peça estrutural isolada, um pilar ou uma viga, sem 
considerar o conjunto de elementos que compõem todo o sistema. Parece-nos importante 
a visão total, partindo da síntese: o conhecimento introdutório de todas as formas estru-
turais, quanto a suas concepções lógicas, diante do emprego econômico dos materiais; a 
origem e a evolução das formas em função das culturas e do progresso tecnológico; a sua 
fi nalidade e estética. É proveitoso, também, o estudo das formas estruturais desenvolvidas 
nos seres vivos: a natureza nos ensina processos de otimização em todas as suas manifes-
tações.
01 
Jockey Clube
Arquiteto: Román Fresnedo Siri
Porto Alegre - 1952
22 MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
DEFINIÇÃO
Diante dos conceitos expostos, podemos defi nir morfologia das estruturas como o 
estudo das estruturas resistentes sob o ponto de vista da forma, considerando as suas 
origens (morfogênese) e evolução, tendo como objetivo dar aos alunos conhecimentos 
básicos para síntese, análise e concepção de estruturas que respondam aos anseios fun-
cionais, técnicos e culturais.
FATORES MORFOGÊNICOS
Os fatores morfogênicos são as razões determinantes de certas formas estruturais, 
tanto no conjunto do sistema como em cada uma de suas partes constitutivas. O corpo 
humano, por exemplo, é um tipo de estrutura que denominamos de arcabouço: possui 
um esqueleto que permite à estrutura manter-se em pé. Existe correlação perfeita entre 
todas as peças, não só do esqueleto, mas também entre este e o restante da estrutura, os 
músculos e todos os órgãos. Esta correlação permite aos arqueólogos, diante de um fêmur 
fóssil, avaliar a forma do ser original completo, pois o ser apresenta forma compatível com 
a sua especialização. Muitos fatores cooperam na geração e defi nição dessa forma; a estes, 
denominamos fatores morfogênicos.
A condição precípua de uma estrutura resistente é manter a construção em pé. A esta-
bilidade da construção deve manifestar-se não só através de cálculos estáticos, mas tam-
bém pela forma comunicada visualmente. E a forma só poderá ser considerada verdadeira 
quando é expressão franca e espontânea de todas as raízes morfogênicas que lhe deram 
origem.
É praticamente impossível tentar enumerar toda a morfogênese estrutural. Para efeito 
didático, entretanto, podemos classifi car os fatores morfogênicos em três grupos: funcio-
nais, técnicos e estéticos.
Fatores Funcionais
Os fatores funcionais são os preponderantes na defi nição da forma estrutural.Todos 
os outros elementos morfológicos estão subordinados a estes. A Arquitetura, dentro do 
seu amplo campo de atividade, necessita construir estruturas para as mais variadas fun-
ções, apresentando formas particulares diferenciadas correspondentes. Todas as estrutu-
ras estão subordinadas, direta ou indiretamente, às dimensões humanas: o ser humano é 
23ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
a escala, pois é ele a medida de todas as coisas. As obras estruturais da Arquitetura se des-
tinam às seguintes funções fundamentais: habitação, tráfego, condução e contenção.
a • Habitação - Considerada, neste caso, como toda a estrutura que se destina ao 
abrigo do homem e de seus pertences (residência, escritório, armazém, indústria, 
etc.), apresenta elementos estruturais comuns, paredes de vedação, paredes 
portantes e cobertura. É a estrutura mais ligada à Arquitetura e, indubitavelmente, 
de maior riqueza formal.
b • Tráfego - São consideradas as estruturas das construções destinadas a facilitar 
a circulação de pessoas, animais, veículos e materiais em modo geral. Elas 
apresentam formas particulares, entretanto variadas. Estão incluídas as estruturas 
destinadas a vias (caminhos, ruas, estradas, ferrovias, teleféricos, cremalheiras, 
hidrovias), revelando as estruturas de túneis e viadutos. Especialmente os viadutos, 
utilizando variados sistemas e materiais estruturais, possibilitam a realização das 
mais belas formas de Arquitetura.
c • Condução - A função de condução de líquidos e gases é fator morfogênico 
característico. Para os líquidos, canais e tubos; para os gases, dutos e chaminés.
d • Contenção - A função de contenção defi ne, de acordo com o conteúdo, as mais 
diversas formas estruturais: reservatórios, silos, barragens, escoras e arrimos.
Fatores Técnicos
Depois dos fatores morfogênicos funcionais, os fatores técnicos seguem a ordem de 
importância como determinantes formais. Os fatores técnicos de maior importância são 
os decorrentes dos materiais utilizados na construção das estruturas: a técnica de cons-
trução empregada, o estágio dos processos de cálculo estrutural e a economia diante dos 
recursos disponíveis. A evolução da sociedade humana, em todos os sentidos (cultural, 
tecnológico, etc.), determina, evidentemente, maiores exigências nas soluções construti-
vas, tanto no que concerne aos aspectos funcionais quanto técnicos. Como exemplo, po-
demos citar um dos fatores técnicos, o cálculo estrutural, como morfogênico. O adven-
to e posterior desenvolvimento da teoria matemática da elasticidade, nos fi ns do século 
XVIII, permitiu avaliar com maior precisão os esforços e tensões das peças e do conjunto 
estrutural submetidas a determinadas forças. Hoje tanto a Teoria da Plasticidade como o 
Método dos Elementos Finitos ocupam um papel preponderante nessa questão. Assim, a 
“materialização” dos valores obtidos através de análise estrutural matemática pode apre-
sentar formas esbeltas, ao mesmo tempo estáveis e econômicas, diante das características 
particulares de cada material empregado.
24 MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
Fatores Estéticos
A estrutura resistente é o elemento construtivo de maior força estética 
na composição arquitetônica. A condição precípua de qualquer constru-
ção é que seja estável, isto é, que suporte as cargas às quais será submetida. 
A estrutura resistente, resolvida com lógica e simplicidade (por qualquer 
meio disponível, com materiais de alta ou baixa resistência), comunica ao 
observador sensações de equilíbrio e estabilidade que confortam. A mate-
rialização de formas geométricas puras - como a catenária de uma ponte 
pênsil - desperta por si só sensação estética. Em todos os tempos, as obras 
notáveis de Arquitetura mostram, de modo fundamental e até ostensivo, a 
sua estrutura resistente. Os chamados elementos decorativos, como mol-
duras e ornatos, nada mais são do que apêndices aos elementos estruturais, 
que dão maior simplicidade às estruturas racionais ou clássicas e passam à 
maior complexidade nas arquiteturas fl orais ou barrocas.
Por outro lado, é necessário salientar que uma simples e imediata solu-
ção estrutural não defi ne, por si só, boa Arquitetura. Devem ser levadas em 
conta a escala e as proporções dos espaços, sempre vinculadas às dimen-
sões do ser humano, dimensões estas de ordem física e, especialmente, 
psicológica.
EVOLUÇÃO DAS FORMAS ESTRUTURAIS
Para efeito didático, convém que as formas estruturais sejam estudadas 
diante de cada sistema fundamental construtivo de modo evolutivo histó-
rico. Este procedimento faz com que os estudantes, de modo interessante, 
acompanhem o raciocínio evolutivo dos povos, diante das correspondentes 
necessidades funcionais e recursos técnicos. A evolução das abóbadas, por 
exemplo: sabemos que vários povos foram os “inventores” desde o período 
neolítico; seria conveniente mostrar que aqueles povos também estavam 
diante de problemas de ordem funcional e técnica e puderam vencer maio-
res vãos sem formas ou cimbramentos, com materiais que suportam espe-
cialmente forças normais de compressão.
Deveriam ser mostradas desde as estruturas dos nuragues; as abóba-
das sumérias e egípcias; as cúpulas com “trompas” persas; as cúpulas mi-
1 | Estrutura de Forma Ativa, Palácio Vergara, 
Viña Del Mar, Chile.
2 | Estrutura de Vetor Ativo, Centro George 
Pompidou, Paris, França. 
25ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
cênicas; as cúpulas romanas, bizantinas, renascentistas, até as modernas 
cascas.
SISTEMAS ESTRUTURAIS FUNDAMENTAIS
A seguir, procurou-se dar uma classifi cação aos sistemas estruturais 
dentro do estágio tecnológico atual. Os pilares, embora constituam, a ri-
gor, elemento e não sistema estrutural, foram assim introduzidos a fi m 
de estabelecer a ligação entre as vigas, para defi nir os chamados pórticos.
Com base nessa realização, a questão da extensão e do conteúdo dos 
conhecimentos exigidos pelo arquiteto no projeto estrutural pode ser res-
pondida precisamente. Desde que seja admitido que a essência do projeto 
estrutural é o desenvolvimento de um sistema de forma material que diri-
ge as forças para certas direções e as conduz às fundações com o máximo 
de estética e efi ciência material e com o mínimo de observação do espaço 
interior, o conhecimento do arquiteto nesse assunto deve prender-se então 
predominantemente a:
• Conhecimento do mecanismo que faz as forças mudarem sua direção;
• Conhecimento dos sistemas para cobrir espaços e resistir a 
deformações.
Esta meta não somente conduz a uma limitação saudável do vasto cam-
po da Engenharia Estrutural, como também ao estabelecimento estrutural 
de uma organização simples e convincente dos sistemas de estrutura ar-
quitetônica:
a • Estruturas que atuam principalmente através de sua forma 
material: sistemas de estruturas de forma ativa ou sistemas 
estruturais em estado de tração simples. Exemplos: cabos e tirantes.
b • Estruturas que atuam principalmente por meio de composição 
de elementos com compressão e tração: sistemas estruturais 
de vetor ativo ou sistemas estruturais com tração e compressão 
concorrentes. Exemplos: treliças e planas e espaciais.
c • Estruturas que atuam principalmente por massa e continuidade 
material: sistemas estruturais de massa ativa ou sistemas 
estruturais em estado de fl exão. Exemplos: vigas e placas.
d • Estruturas que atuam principalmente por continuidade de 
superfície: sistemas estruturais de superfície ativa ou sistemas 
3 | Estrutura de Massa Ativa, Estrutura de 
Vigas e Lajes de Uma Residência em Guaíba, 
RS, Projeto Estrutural do Engº André Kraemer 
Souto.
4 | Residência da foto 3 na fase fi nal da obra.
26 MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
estruturais de tensão de membrana. Exemplos: membranas e 
cascas delgadas.
e • Estruturas que atuam principalmente por transmissão verticalde carga: sistemas estruturais verticais. Exemplo: pilares e colunas 
de um edifício.
De fato, em cada sistema estrutural deve-se sempre encontrar, além da 
maior distinção, uma combinação de qualidades que sejam diferentes das 
de outros sistemas estruturais. Se for considerada, contudo, a maior ação 
resistente, cada estrutura pode ser facilmente classifi cada em apenas um 
dos cinco tipos de sistemas estruturais. Esta classifi cação tem, mais adian-
te, sua justifi cativa. Já que a forma e o espaço são menos infl uenciados por 
essas qualidades secundárias, mas adquirem caráter e distinção predomi-
nantemente pelo sistema que provoca a maior tensão, essas qualidades se-
cundárias podem ser desprezadas no conceito estrutural inicial de uma 
construção e na discussão teórica dos sistemas estruturais.
Isso possibilita também colocar as estruturas de arranha-céus na ca-
tegoria de sistemas estruturais verticais. Uma vez que a primeira função 
dessas estruturas é a transferência da carga vertical e sua maior distinção é 
dada pelos sistemas particulares de absorção e transmissão de carga, bem 
como de estabilização lateral, sem relacionamento com o fato de que esses 
sistemas têm que empregar, necessariamente, para a reorientação das for-
ças, um mecanismo que pertença à categoria de um dos quatro sistemas 
anteriormente enumerados.
De acordo com essa subdivisão, podem se tornar acessíveis ao arquite-
to inúmeras possibilidades estruturais. Já que esta estrutura é organizada 
exclusivamente na base de sistemas principais que podem mudar a direção 
das forças, é de se esperar que o arquiteto seja bastante astuto, principal-
mente nesta fase de realização estrutural, que, por sua alta signifi cância 
para o espaço arquitetônico, não é de muito interesse para o engenheiro 
estrutural, mas pertence à função primária do arquiteto. De fato, delegar 
essa função a outros equivalerá a desistir totalmente do projeto.
5 | Estrutura de superfície Ativa, Membranas 
– Construção da “Plaza de Abastos Y Pérgolas 
de las Flores” Próxima ao mercado Público, 
Secretaria de obras públicas do Governo do 
Chile, Santiago, Chile.
6 | Estrutura de Edifícios Altos, Edifício 
Costaneira Center com 101 pavimentos em 
construção. Santiago, Chile.
02
Indústrias Memphis
Arquitetos: Cláudio Luiz Araújo e Cláudia Obino Frota
Porto Alegre - 1976
A ESTRUTURA
E A ARQUITETURA
02
Indústrias Memphis
Arquitetos: Cláudio Luiz Araújo e Cláudia Obino Frota
Porto Alegre - 1976
A ESTRUTURA
E A ARQUITETURA
28
A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
ARQUITETO: MESTRE EM ESTRUTURAS
“Como um Arquiteto prático e como um Arquiteto educador, tenho 
me relacionado tanto com a teoria quanto a prática. Há muito 
percebi que os métodos normais de apresentar e ensinar estruturas 
arquitetônicas aos jovens Arquitetos têm sido insatisfatórios, muito 
complicados e geralmente confusos e mal orientados. Falham 
no estabelecimento de relações com a ação integral do Projeto 
Arquitetônico, e não do tipo que estimula a aplicação criativa das 
bases estruturais por parte do jovem projetista. Com a convicção de 
que a participação ativa nas construções atualmente representa fortes 
impulsos, especialmente no ensinamento de cada assunto específi co 
do treinamento arquitetônico, considero o Arquiteto prático, 
progressista na concepção e com talento e interesses especiais em 
dado assunto o mais qualifi cado para apresentar uma matéria de 
assunto especializado ao jovem Arquiteto.”
(Ralph Rapson)
ESTRUTURA NA CONSTRUÇÃO: SITUAÇÃO NOVA
De todos os elementos componentes que contribuem para a existência da forma ma-
terial rígida (casa, máquina, árvores ou seres animados), a estrutura é o principal. Sem 
estrutura, a forma material não pode ser preservada e, sem preservação da forma, o orga-
nismo interno não pode funcionar. Sem estrutura material não há, portanto, organismo 
animado ou inanimado.
Para a Arquitetura, há, naturalmente, muitos elementos que constituem uma constru-
ção, mas sua presença não é vital para a existência. Uma construção pode existir sem pin-
tura e sem aquecimento; porém, não pode existir sem estrutura. Ainda que uma simples 
02 
Indústrias Memphis
Arquitetos: Cláudio Luiz Araújo e 
Cláudia Obino Frota
Porto Alegre - 1976
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A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
ARQUITETO: MESTRE EM ESTRUTURAS
“Como um Arquiteto prático e como um Arquiteto educador, tenho 
me relacionado tanto com a teoria quanto a prática. Há muito 
percebi que os métodos normais de apresentar e ensinar estruturas 
arquitetônicas aos jovens Arquitetos têm sido insatisfatórios, muito 
complicados e geralmente confusos e mal orientados. Falham 
no estabelecimento de relações com a ação integral do Projeto 
Arquitetônico, e não do tipo que estimula a aplicação criativa das 
bases estruturais por parte do jovem projetista. Com a convicção de 
que a participação ativa nas construções atualmente representa fortes 
impulsos, especialmente no ensinamento de cada assunto específi co 
do treinamento arquitetônico, considero o Arquiteto prático, 
progressista na concepção e com talento e interesses especiais em 
dado assunto o mais qualifi cado para apresentar uma matéria de 
assunto especializado ao jovem Arquiteto.”
(Ralph Rapson)
ESTRUTURA NA CONSTRUÇÃO: SITUAÇÃO NOVA
De todos os elementos componentes que contribuem para a existência da forma ma-
terial rígida (casa, máquina, árvores ou seres animados), a estrutura é o principal. Sem 
estrutura, a forma material não pode ser preservada e, sem preservação da forma, o orga-
nismo interno não pode funcionar. Sem estrutura material não há, portanto, organismo 
animado ou inanimado.
Para a Arquitetura, há, naturalmente, muitos elementos que constituem uma constru-
ção, mas sua presença não é vital para a existência. Uma construção pode existir sem pin-
tura e sem aquecimento; porém, não pode existir sem estrutura. Ainda que uma simples 
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Indústrias Memphis
Arquitetos: Cláudio Luiz Araújo e 
Cláudia Obino Frota
Porto Alegre - 1976
30 A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
estrutura não constitua Arquitetura, esta pode tornar-se possível, tanto no 
que se refere ao primitivo abrigo, quanto ao moderno arranha-céu.
O signifi cado de estrutura para a construção e seu projeto sugere um 
novo caminho e justifi ca reconsiderar os pontos básicos subordinados aos 
conceitos de estrutura arquitetônica e projeto estrutural. A análise do 
que essencialmente é a estrutura técnica e de que papel desempenha na 
criação da Arquitetura dará uma base sólida para uma sugestão sobre o 
que o arquiteto deve saber sobre estruturas e sobre quanto ele deve conhe-
cê-la.
ESTRUTURA TÉCNICA: MEIOS DE HUMANIZAÇÃO
Toda humanização é, essencialmente, uma extensão da estrutura inte-
lectual. O homem, antes de sua tentativa de coordenar o meio ambiente 
com seu próprio ser, estuda as ações necessárias para isso e as ordena em 
um sistema de interdependência: ele forma uma estrutura intelectual para 
suas ações, isto é, planeja. Tal estrutura intelectual, quando imposta por 
outra, natural, torna-se estrutura técnica.
Técnica, portanto, é qualquer estrutura do meio ambiente humanizado 
que produz e preserva uma forma; técnica é também a estrutura que con-
duz à existência do homem civilizado, distinguindo-o do selvagem.
O papel que a estrutura técnica desempenha na formação da Arquitetu-
ra está intimamente associado à função da Arquitetura: criação do espaço 
humanizado. Somente através da estrutura o espaço pode ser medido, de 
modo que a vida do indivíduo, família ou sociedade possa se desenvolver; 
através da estrutura, o espaço pode ser controlado, de modo que o homem 
possa viver seguramente, mover-se e trabalhar; através da estrutura, esse 
espaço pode ser enriquecido, avaliado e receber qualidade estética. A es-
trutura é, então, instrumentale integral para o espaço arquitetônico.
NECESSIDADE DA ESTRUTURA
A estrutura é uma necessidade da Arquitetura. Sem estrutura, não 
existe Arquitetura. Através do projeto estrutural, as cargas gravitacionais, 
as forças externas e as tensões internas são mantidas sob controle e cana-
lizadas ao longo de trajetos previstos; a intenção é mantê-los num sistema 
7 | Estação de hospedagem “Mirador Del Plomo 
Restaurant”, Parque Nevada, Chile
31ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
de ação e reação interdependente que dê o equilíbrio a cada componente individual, assim 
como ao sistema estrutural como um todo. Através do projeto estrutural, essas forças 
são impedidas de atingir uma concentração destrutiva e são mantidas sob controle. O 
projeto estrutural é estratégia, é o planejamento intelectual de um sistema dinâmico que 
luta com uma multiplicidade de forças. De fato, o projetista, quando está desenvolvendo 
um sistema estrutural, encontra-se no papel de um comandante de campo, que precisa 
enfrentar as diversas forças inimigas e maquinar um plano estratégico para controlá-las. 
O modo como ele luta com as forças adversárias - quão racional é o entrosamento mate-
rial, quão engenhoso é o esquema e quão longe vão as consequências fi nais - distingue o 
planejador medíocre do genial, seja ele uma corporação militar ou do tipo técnico.
A estratégia do projeto estrutural é multiforme, como o é o caráter específi co que cada 
estratégia pode exprimir: a suavidade das superfícies que uniformemente distribuem as 
forças, de modo que sua intensidade decresce a um valor não prejudicial (cascas), a arti-
culabilidade multicomponente que distribui as forças em diversas direções nas quais elas 
podem ser medidas (treliças), a leveza evasiva que orienta o caminho natural das forças a 
pontos em que elas não possam ser prejudiciais (tetos suspensos), etc. Basicamente, todas 
são simples dispositivos mecânicos de controle de forças, mas, na variedade, intensidade e 
universalidade dessas expressões, todos os requisitos devem também ser encarados como 
arte. Finalmente, estas forças serão absorvidas e dirigidas ao solo, onde não há confl ito de 
direções (necessidade de espaços para movimentação do homem), uma vez que aí não há 
espaço para movimento.
CONHECIMENTO ESTRUTURAL
Delineação da forma estrutural básica, dimensionamento global de seus componentes, 
introdução de rigidez lateral, comprovação dos possíveis efeitos de variações térmicas, 
assentamentos de fundações, condições de carga e envelhecimento e, fi nalmente, escolha 
do material da estrutura e do método construtivo: nenhuma dessas fases diferenciadas 
de desenvolver um sistema estrutural requer o uso de fórmulas matemáticas. Isso quer 
dizer que nenhuma fase na formação de uma ideia estrutural é dependente do uso da 
matemática. Somente depois que todas as fases tiverem sido examinadas separadamente 
e o sistema estrutural assim concebido em seus elementos essenciais, pode-se e deve-se 
aplicar fórmulas matemáticas para testar o sistema, dimensionando cuidadosamente seus 
componentes e garantindo, desse modo, a segurança e a economia.
É certo que alguns rudimentos de conceitos estruturais, como resistência, braço de 
alavanca, centro de gravidade, momento de inércia ou equilíbrio podem ser melhor com-
32 A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
preendidos ao se usar uma simples álgebra. Mas é contestável que o conhecimento da 
análise estrutural matemática seja exigido para que se possa compreender o funciona-
mento das estruturas, ou que este conhecimento estimule a aplicação criativa de concei-
tos estruturais.
Para entender o mecanismo de um sistema estrutural, não é necessário confi ar em 
escalas absolutas. O mesmo se aplica à construção material. O funcionamento básico 
(embora não a grandeza dos esforços e a ordem dos vãos econômicos) de um sistema es-
trutural é independente de suas dimensões e do material que o constitui. Os mecanismos 
numa casca cilíndrica de concreto de 7,50m de vão são essencialmente os mesmos que 
em uma casca de plástico com 15,00m de vão. Qualquer vinculação entre vão e material 
necessita de dados defi nidos de projeto. Isso pode tornar individual ao invés de universal 
o modelo ou desenho e não vai acrescentar nada à compreensão básica.
As estruturas são exemplos e, por conseguinte, acessórios de projeto. Os sistemas 
estruturais são ordenações e, portanto, princípios de projeto.
EVOLUÇÃO HISTÓRICA
Antigamente, o vocabulário do projeto estrutural era limitado a relativamente poucos 
sistemas, padrões e técnicas artesanais; ambos limitavam as possibilidades da forma e 
do vão e exerciam um controle saudável. Atualmente, a ciência da Engenharia e as técni-
cas construtivas já removeram as barreiras naturais da impossibilidade estrutural. Qua-
se toda forma pode ser executada, e qualquer contradição estrutural pode ser feita para 
existir, apoiar e durar.
Antigamente, o conhecimento da forma estrutural correta era empírico e vago. Além 
disso, a técnica artesanal sempre convidava à modifi cação pessoal da forma convencional. 
Atualmente, a teoria matemática e as técnicas construtivas determinam precisamente 
a forma e a expressão estruturais e permitem a variação individual apenas às custas da 
economia. As formas estruturais tornaram-se padrões absolutos e incontestáveis da Ar-
quitetura.
Antigamente, a falta de variedade de sistemas estruturais conhecidos ia além da livre 
execução das ideias do Arquiteto. Era inevitável um lapso entre a estrutura possível e a 
forma, e era escassa a economia. Atualmente, inúmeras formas estruturais bem ensaia-
das permitem que qualquer espaço arquitetônico seja precisamente sincronizado com 
uma forma estrutural positiva que realce a ideia arquitetônica. A forma estrutural e o 
envolvimento espacial têm apenas pequena tolerância e podem mesmo alcançar a indivi-
dualidade.
33ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
Antigamente, o sistema estrutural de um edifício desempenhava apenas um papel me-
nor ou indireto na experiência estática da Arquitetura. Estruturas simples eram raramen-
te empregadas como forma estética, ou mesmo experimentadas como tal. Atualmente, o 
homem deriva cada vez mais a sensação estética da pura compreensão intelectual de um 
sistema lógico e, consequentemente, experimenta a lógica da forma estrutural como fonte 
de sensação estética.
Antigamente, havia poucas grandes construções e, em razão de sua importância so-
cial, o projeto estava rigorosamente ligado às considerações de ordem econômica, e a 
escolha de seu esquema estrutural não era limitada. Atualmente, a grande civilização 
necessita de uma proporção cada vez maior de edifícios com muitas unidades e em grande 
escala, havendo de sujeitar sua construção a um pressuposto afi nado e, necessitando de 
uma enorme resistência estrutural, o conceito estrutural é de proeminente importância 
para o espaço e em função do edifício e, consequentemente, um assunto de projeto arqui-
tetônico primário.
“A estrutura é, e tem sido sempre, um componente essencial da 
Arquitetura. Ao construir residências, igrejas, edifícios comerciais e 
públicos, o homem tem necessidade de dar forma a certos materiais e 
usá-los em determinadas quantidades, a fi m de que sua Arquitetura 
se mantenha de pé, resistindo à atração da terra e a outras cargas 
perigosas. É imprescindível resistir ao vento, descargas atmosféricas, 
terremotos e incêndios, e é possível resisti-los com um razoável 
custo de mão-de-obra e materiais, tendo em conta a disponibilidade 
de ambos. E, como desde os primeiros tempos de sua existência 
o homem teve um sentido inato de beleza, toda a construção se 
concebeu conforme certos postulados estéticos que, muitas vezes, 
impuseram à estrutura exigências muito mais estritas que as de 
resistência e economia. Poder-se-ia então pensar que sempre se temdado importância à estrutura e que, em certo sentido, ela tem ditado 
o tipo de Arquitetura. Não é assim, em regra geral. Na Antiguidade, 
criaram-se edifícios magnífi cos com uma notável despreocupação 
com a estrutura correta. Muitas formas estruturais em mármore, 
sob o ponto de vista estrutural, deveriam ter sido construídas em 
madeira. Na realidade, a madeira é um material resistente a esforços 
de tração, e é correto construir com ela elementos horizontais, que 
necessitam resistência tanto à tração quanto à compressão. A pedra 
resiste somente a esforços de compressão, e é possível construir 
34 A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
elementos horizontais com ela somente diminuindo o seu vão 
e apoiando-a em elementos verticais (pilares ou colunas). Logo, 
concluímos que os elementos horizontais de pedra são inadequados. 
Por outro lado, as catedrais góticas podiam vencer grandes vãos 
usando o arco, elemento estrutural curvo no qual não se geram 
esforços de tração. Assim, a pedra é o material correto para a 
estrutura tipo arco (abóbada). Alguns historiadores da Arquitetura 
(e também alguns engenheiros especializados em estruturas) têm 
argumentado que a grande preocupação da resistência estrutural 
conduzirá inevitavelmente à beleza. É inegável que uma estrutura 
correta satisfaz o olho do espectador e, ao contrário, uma estrutura 
incorreta ofende o ponto de vista estético. No entanto, é difícil 
demonstrar que a estética depende da estrutura. Por outro lado, é 
fácil demonstrar que algumas estruturas incorretas são encantadoras, 
enquanto algumas estruturas corretas não satisfazem esteticamente. 
Será mais prudente dizer que a correção de uma estrutura é, na 
maioria das vezes, uma condição necessária da beleza. Podemos 
concluir que o conhecimento das estruturas por parte dos arquitetos 
é ao menos altamente desejável e que uma estrutura correta só pode 
contribuir para a beleza da Arquitetura.”
(Mario Salvadori) 
“Nos últimos anos, surgiu uma importante evolução no projeto 
estrutural das edifi cações. Além do desenvolvimento de novos 
materiais, a aplicação de modernas técnicas de construção, o emprego 
dos computadores e a concepção de princípios avançados de projeto, 
o maior estímulo para uma nova era no projeto estrutural é o 
interesse e a vontade dos arquitetos em exprimir a forma lógica e a 
beleza de uma estrutura bem proporcionada.” 
(Hannskarl Bandel)
35ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
A ARQUITETURA E A ESTRUTURA - O ARQUITETO
E O ENGENHEIRO
Nos últimos anos, a especialização chegou ao campo da Arquitetura 
e diferentes pessoas exercem diversas funções outrora reunidas em uma 
única. Duas são essenciais para a construção de uma obra importante: o 
arquiteto e o engenheiro civil. Atualmente, nenhum arquiteto se atreveria 
a projetar um edifício, ainda que de tamanho modesto, sem consultar um 
Engenheiro especialista em estruturas. As raízes dessa relação de depen-
dência surgiram da crescente importância dos fatores econômicos, da ten-
dência de nossa cultura e, sobretudo, da necessidade de grandes estruturas 
que tem nossa civilização de massas.
Esse tema provoca um sério desafi o ao arquiteto, porque o público 
adquire consciência da importância da Arquitetura em sua própria vida 
através do número crescente de grandes obras, tais como estádios, igrejas, 
teatros, etc. Nesse saudável clima de interesse público, os especialistas se 
reúnem para resolver problemas novos, difíceis, que chegam ao povo em 
geral.
“Embora existam diferenças de formação, são duas 
profi ssões que se completam. Enquanto o arquiteto é 
essencialmente criativo, o engenheiro é tecnicamente 
inventivo. Portanto, para que algo seja criado é 
indispensável que seja inventado um processo racional 
e científi co para transformá-lo em realidade. O ideal, 
na verdade está plenamente comprovado, é o perfeito 
entrelaçamento entre as duas profi ssões. O trabalho 
realizado harmonicamente, formado por equipe 
dessas atividades liberais, trará sempre os melhores 
resultados conforme demonstram as grandes obras 
da arquitetura e da engenharia. Grande e profundo 
deve ser o conhecimento humanístico dos arquitetos 
e engenheiros para poderem, irmanados num mesmo 
ideal, projetar e construir em perfeita harmonia de 
técnica e beleza, sem alterar o ambiente natural. 
Entretanto, sendo o homem sociável por excelência 
não é possível considerar o indivíduo apenas em 
8 | Fotografi a dos prédios da Rua Rosário Norte, 
obtida do Parque Arauto – o prédio da esquerda 
(1º plano) é do Banco do Chile, Santiago.
36 A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
função de si mesmo, mas em relação à sua vivência comunitária, onde 
sonha, projeta e vive em íntima correlação com a natureza e com seus 
semelhantes. Não unicamente na edifi cação, mas também em todas 
as obras de construção civil, enfi m, em todo e qualquer lugar onde o 
homem em coletividade, labuta, viaja, diverte-se ou repousa, a função 
social dos arquitetos e engenheiros é notória, valiosa, imprescindível.” 
Conhecer a origem estrutural da Arquitetura é básico para a profi ssão de arquiteto. 
Contudo, enquanto o construtor primitivo podia facilmente resolver os poucos proble-
mas estruturais de sua construção com um conhecimento baseado na experiência e na 
tradição, o arquiteto em desenvolvimento, para resolver os problemas estruturais de sua 
construção, defronta-se com um campo tão extenso que um simples engenheiro não teria 
a pretensão de ser hábil em todos os seus diversos assuntos.
O mais difícil para o arquiteto será atingir o nível de conhecimentos no campo da 
Engenharia Estrutural de modo a qualifi cá-los, a formular ideias estruturais e propor sis-
temas estruturais. Há muitas construções projetadas por engenheiros que se qualifi cam 
como exemplos marcantes de boa Arquitetura. Mas a excelência dessas construções não 
se dá em virtude de seu sistema estrutural, e sim porque tiveram êxito ao gerar espaço 
arquitetônico. Esses engenheiros não se distinguem por suas qualidades de engenheiros, 
mas por sua visão arquitetônica, que os torna aptos a trazer suas ideias estruturais na 
correta dependência do objetivo arquitetônico.
Todo arquiteto ou estudante de Arquitetura está convencido da importância do co-
nhecimento estrutural, mas sua aquisição é mais difícil do que esperava. O rápido desen-
volvimento de técnicas construtivas baseadas no uso de materiais como alumínio, con-
creto armado e protendido, assim como as difi culdades matemáticas inerentes ao projeto 
de novas formas estruturais, torna quase impossível a uma pessoa de formação artística 
conhecer todos os métodos de projeto e construção. O arquiteto deve estar familiarizado 
com a estética, Engenharia, Sociologia, Economia e planejamento. Seu conhecimento de 
Matemática, Física e Química é limitado. Um diálogo entre eles resulta praticamente im-
possível, pois carece de um vocabulário comum a ambos. Como esse diálogo é necessário, 
deve-se saber quem será o líder da equipe construtiva, e essa tarefa cabe ao arquiteto, 
sendo o calculista somente um prestador de serviços.
Surge, então, uma questão: será possível o Arquiteto (ou qualquer pessoa inteligente) 
compreender os problemas estruturais que apresenta um problema técnico sem o co-
nhecimento profundo das ciências físicas e matemáticas? A resposta a esta pergunta é 
afi rmativa, se se estabelecer uma clara distinção entre a compreensão dos conhecimentos 
estruturais básicos e o conhecimento cabal da análise de estruturas.
37ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
ESTRUTURAS E INTUIÇÃO
“Ao criar o homem, Deus, o Supremo Construtor, 
projetou o mundo, e a par da beleza das fl ores, 
deu-lhe o calor do sol, e a visão do luar e de uma 
noite estrelada, proporcionou-lhe a tranquilizadora 
segurança do solo fi rme... Dosou os elementosde 
acordo com as necessidades e recursos do ser criado 
e, o homem, desde os tempos mais remotos, usou a 
intuição e a inteligência para extrair do seu ‘habitat’, a 
satisfação de seus instintos e aspirações. A construção 
deverá reunir sempre num mesmo amplexo criador, 
o corpo e a alma; o ideal e a prática; a beleza e a 
segurança; pois o homem, por sua própria condição 
de indivíduo racional, não se satisfaz somente com 
o prazer físico que lhe proporciona uma edifi cação 
confortável. A estética que cada um de nós possui 
como qualidade inerente, exige uma composição tão 
artística e harmoniosa, quanto sólida e durável. Pode-
se mesmo afi rmar que o encontro da arquitetura e 
engenharia é a ponte que liga o soma ao psíquico e a 
ligação deverá ser tão íntima que se refl ita no indivíduo 
em seu todo, proporcionando-lhe o bem-estar geral. 
(Nelson L.M.Bruck) 
Para inventar uma estrutura e dar-lhe proporções exatas, deve-se seguir 
tanto o caminho intuitivo como o matemático. As grandes obras do passa-
do, construídas em uma época em que não existiam as teorias científi cas, 
atestam a efi cácia e o poderio da intuição. Em nossa época, desenvolvem-se 
sem cessar teorias modernas, e seu acerto tem-se verifi cado na construção 
de estruturas maiores e mais ousadas. Se a invenção estrutural há de per-
mitir a solução efi ciente de novos problemas que aparecem diariamente, 
devido ao crescimento de atividades da construção, deve chegar a ser uma 
combinação harmônica de nossa intuição pessoal com uma ciência estru-
tural impessoal, objetiva, realista e rigorosa.
Em outras palavras, a teoria deve encontrar na intuição uma força ca-
paz de dar vida às fórmulas, de torná-las mais humanas e compreensíveis e 
9 | vv Gabriela Mistral, Localizado na Av. 
Libertador Bernardo O’higgins, Santiago do 
Chile. 
38 A ESTRUTURA E A ARQUITETURA
de minorar sua impessoal fragilidade técnica. Por outro lado, as fórmulas devem nos dar 
os resultados exatos necessários para obter o termo médio, pois esse é o objetivo fi nal de 
todas as atividades humanas. É particularmente útil estudar e refl etir sobre o problema 
estrutural, pois, mesmo quando se pode confi ar o cálculo de uma estrutura a um especia-
lista, primeiro deve-se ser capaz de inventá-la e dar-lhe proporções corretas. Só então terá 
nascido uma estrutura sã, vital e, se possível, esbelta.
A análise de uma estrutura completa, com o alto grau de perfeição exigido pela tec-
nologia moderna, só é acessível a um subgrupo de profi ssionais: o dos especialistas em 
estruturas. Muitas vezes, eles se especializam de acordo com o material utilizado, ou seja, 
concreto armado, protendido, aço, alumínio, madeira, pneumático, etc. Recorre-se a esses 
especialistas em busca de assessoramento sobre um determinado tipo de estrutura.
Na vida cotidiana, todos estamos, em certo grau, familiarizados com estruturas. Sa-
bemos em que ângulo devemos colocar uma escada de mão para que suporte nosso peso; 
sabemos que um pedaço de madeira colocado sobre uma vala se romperá quando cami-
nharmos sobre ele; sabemos se a corda é sufi cientemente forte para içar um balde de água 
do fundo de um poço, assim como se o vento fará voar a nossa barraca. Absorvendo tais 
experiências e sistematizando esse conhecimento, poderemos compreender o comporta-
mento de uma estrutura, imprescindível ao arquiteto. Uma vez captados os fundamentos, 
ele deve chegar a dominar os pontos úteis da teoria das estruturas. Isso lhe permitirá 
aplicar com inteligência uma grande quantidade de novas ideias e métodos.
Essa liberdade de idéias e métodos, entretanto, apresenta o perigo evidente da anar-
quia (limitações). Embora hoje seja possível construir praticamente qualquer estrutura, 
existem limitações provocadas por difi culdades técnicas e econômicas.
O nosso livro tem a intenção de introduzir o estudante no campo das estruturas, sem 
recorrer ao conhecimento formal de Matemática e Física. Isso não quer dizer que trata-
remos as estruturas de maneira elementar, incompleta ou simplifi cada. Os conceitos es-
truturais apresentados deverão ser captados e reconhecidos em situações arquitetônicas, 
sobre uma base puramente intuitiva. O maior conhecimento do comportamento das es-
truturas conduzirá o estudante interessado a uma melhor compreensão dos pontos mais 
delicados do projeto estrutural. 
03
Clube do Professor Gaúcho
Arquitetos: Moacyr Moojen Marques e João José Vallandro
Porto Alegre - 1966
CONCEITUAÇÃO
DAS ESTRUTURAS
03
Clube do Professor Gaúcho
Arquitetos: Moacyr Moojen Marques e João José Vallandro
Porto Alegre - 1966
CONCEITUAÇÃO
DAS ESTRUTURAS
40
CONCEITUAÇÃO
 DAS ESTRUTURAS
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA RACIONAL
Consideremos um corpo submetido à ação de um sistema formado por 
“n” forças, conforme mostrado na Fig. 1.
A resultante do sistema é uma força “R” e a sua ação é sentida em um 
ponto O do corpo. Em um ponto O1 que não seja pertencente ao suporte 
da resultante, o sistema das “n” forças aplicadas torna-se equivalente a uma 
força equipolente da resultante, aplicada no ponto, e um momento “M”, 
atuante no plano defi nido pelo suporte da resultante e pelo ponto conside-
rado. Tanto a resultante “R”, deslocada para o ponto O1, como o momento 
“M” relativamente a esse, podem ser decompostos segundo o estado tridi-
mensional, sendo X, Y e Z as componentes de “R” e Mx, My e Mz os mo-
mentos componentes de “M”. Podemos considerar, também, que X é igual 
ao somatório das componentes, segundo a direção Ox, de todas as forças 
“F”, integrantes do sistema inicial. Procedendo analogamente para Y e Z 
e, ainda, para os momentos Mx, My e Mz, podemos escrever as seguintes 
expressões:
X = Σxi = x1 + x2 + x3 + ... + xn
Y = Σyi = y1 + y2+ y3 + ... + yn
Z = Σzi = z1 + z2 + z3 + ... + zn
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
Mx = Σmxi = mx1 + mx2 + mx3 + ... + mxn
My = Σmyi
 = my1 + my2 + my3 + ... + myn
Mz = Σmzi = mz1 + mz2 + mz3 + ... + mzn
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
A condição de equilíbrio do corpo é satisfeita quando, para qualquer 
ponto dele, são nulos tanto a resultante do sistema de forças aplicadas, 
como o momento resultante relativamente ao ponto. Assim, torna-se ne-
cessário que sejam satisfeitas as equações:
03 
Clube do Professor Gaúcho
Arquitetos: Moacyr Moojen Marques e 
João José Vallandro
Porto Alegre - 1966
M
R
R
F1
F2
F3
F4 Fn
O O1 O O1
Fig. 1 | Corpo submetido à ação de um sistema 
de “n” forças
41
CONCEITUAÇÃO
 DAS ESTRUTURAS
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA RACIONAL
Consideremos um corpo submetido à ação de um sistema formado por 
“n” forças, conforme mostrado na Fig. 1.
A resultante do sistema é uma força “R” e a sua ação é sentida em um 
ponto O do corpo. Em um ponto O1 que não seja pertencente ao suporte 
da resultante, o sistema das “n” forças aplicadas torna-se equivalente a uma 
força equipolente da resultante, aplicada no ponto, e um momento “M”, 
atuante no plano defi nido pelo suporte da resultante e pelo ponto conside-
rado. Tanto a resultante “R”, deslocada para o ponto O1, como o momento 
“M” relativamente a esse, podem ser decompostos segundo o estado tridi-
mensional, sendo X, Y e Z as componentes de “R” e Mx, My e Mz os mo-
mentos componentes de “M”. Podemos considerar, também, que X é igual 
ao somatório das componentes, segundo a direção Ox, de todas as forças 
“F”, integrantes do sistema inicial. Procedendo analogamente para Y e Z 
e, ainda, para os momentos Mx, My e Mz, podemos escrever as seguintes 
expressões:
X = Σxi = x1 + x2 + x3 + ... + xn
Y = Σyi = y1 + y2+ y3 + ... + yn
Z = Σzi = z1 + z2 + z3 + ... + zn
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
Mx = Σmxi = mx1 + mx2 + mx3 + ... + mxn
My = Σmyi
 = my1 + my2 + my3 + ... + myn
Mz = Σmzi = mz1 + mz2 + mz3 + ... +mzn
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
A condição de equilíbrio do corpo é satisfeita quando, para qualquer 
ponto dele, são nulos tanto a resultante do sistema de forças aplicadas, 
como o momento resultante relativamente ao ponto. Assim, torna-se ne-
cessário que sejam satisfeitas as equações:
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Clube do Professor Gaúcho
Arquitetos: Moacyr Moojen Marques e 
João José Vallandro
Porto Alegre - 1966
M
R
R
F1
F2
F3
F4 Fn
O O1 O O1
Fig. 1 | Corpo submetido à ação de um sistema 
de “n” forças
42 CONCEITUAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
Σxi = 0
Σyi = 0
Σzi = 0
R = 0 N = 0
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
Σmxi = 0
Σmyi
 = 0
Σmzi = 0
I
2
3
4
5
6
Então, no caso tridimensional (caso mais geral), as equações de equi-
líbrio da mecânica racional podem ser representadas por duas equações 
vetoriais ou por seis equações algébricas. O primeiro grupo exprime que 
a resultante geral do sistema é nula e, consequentemente, que a soma das 
projeções de todas as forças, sobre três eixos quaisquer, é nula (equações 
1, 2 e 3). O segundo grupo exprime que o momento do sistema é nulo e, 
portanto, nulas são as somas dos momentos de todas as forças em relação 
a três eixos coordenados (equações 4, 5 e 6).
Se todas as forças do sistema se situam num único plano (por exemplo, 
o plano xy), as equações 3, 4 e 5 perdem a razão de ser, pois cada força 
individualmente terá projeção nula sobre o eixo z e momentos nulos em 
relação aos eixos x e y, coplanares com a força. Os momentos em relação ao 
eixo z (únicos que subsistem) se confundem, portanto, com os momentos 
em relação à origem das coordenadas, que é um ponto arbitrário no plano 
das forças. Assim, as seis equações (três de forças e três de momentos) que 
constituem as equações de equilíbrio da mecânica racional reduzem-se a 
três: duas de projeção e uma de momento em relação a um ponto O1 qual-
quer do plano, isto é:
Σxi = 0
Σyi = 0
R = 0 N = 0
n
i = 1
n
i = 1
n
i = 1
Σmzi = 0I
2
3
Sempre que for possível, os problemas relacionados ou que envolvem 
o cálculo estrutural deverão ser convertidos para o estado plano, também 
denominado duplo, facilitando sobremaneira a agilização do processo de 
solução. Mais ainda: se todas as forças, além de se situarem num único 
plano, convergirem num único ponto - que é o caso dos sistemas reticu-
A
y
x
F
VB
MB
HA
VA
MA
B HB
Fig. 2 | Vínculos
VA
VA = 0
Fig. 3 | Vínculo de primeira ordem
A
VA
HA = 0
HA 
VA = 0
Fig. 4 | Vínculo de segunda ordem
43ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
lados (treliças de um modo geral, que podem ser planas ou espaciais) - as 
equações se reduzem a duas, pois, neste caso, o centro de redução O1 (ori-
gem das coordenadas) pode ser tomado no próprio ponto de convergência, 
perdendo a equação 3 sua razão de ser, uma vez que cada força, individual-
mente, terá momento nulo em relação ao ponto, ou seja, O1:
Σxi = 0
Σyi = 0
R = 0
n
i = 1
n
i = 1
I
2
Isso signifi ca que, se isolarmos cada nó de um sistema reticulado plano, 
de modo a transparecerem os esforços nas suas barras, teremos um siste-
ma de forças concorrentes num ponto único. Cada nó está, portanto, em 
equilíbrio sob a ação de um sistema de forças complanares e concorrentes.
ESTRUTURA E CLASSIFICAÇÃO DOS
ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Peças ou elementos estruturais são todos os sólidos dotados de proprie-
dades elásticas, capazes de receber e transmitir cargas. A associação de 
elementos estruturais convenientemente ligados constitui uma estrutura. 
Os elementos estruturais podem ser classifi cados em lineares, de super-
fície e de volume.
a • Elementos Lineares: São gerados por uma superfície plana na 
qual o baricentro percorre uma curva plana, ou reversa, cujo 
comprimento é consideravelmente maior que as dimensões da 
superfície. São exemplos a viga, o arco, a mola, o pilar, as árvores de 
transmissão (eixos), a escora, o tirante, o cabo, o pórtico, etc.
b • Elementos de Superfície: Caracterizam-se por duas dimensões 
consideravelmente maiores que a terceira (espessura). São exemplos 
a viga-parede, a placa, a casca, a membrana, etc.
c • Elementos de Volume: Nestes, as três dimensões são consideráveis 
e, em geral, as cargas são predominantemente compressivas. 
São exemplos os blocos de fundação, as sapatas, os blocos de 
coroamento (sobre estacas de fundação), etc.
A
VA
HA = 0
HA 
VA = 0
MA = 0
F
Fig. 5 | Vínculo de terceira ordem
Hipostática
internamente
pela falta de
barra hachurada
A
VA
HA 
A B
VA VB
P
P
P
A B
VA VB
Fig. 6 | Estruturas hipostáticas
44 CONCEITUAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
APOIOS ESTRUTURAIS E CLASSES DE APOIO (VÍNCULOS)
Uma estrutura constituída de peças componentes (colunas, vigas, lajes, 
etc.) é interligada por elementos de apoio, também denominados vínculos. 
Através deles, as cargas são transmitidas aos demais órgãos participan-
tes da estrutura, podendo os apoios reagirem diferentemente às ações das 
forças e dos momentos aplicados. O vínculo ou apoio fi ca, então, caracte-
rizado por reações as quais impedem ou restringem o deslocamento da 
seção de apoio da peça ou sua rotação, isto é, impedem ou restringem os 
deslocamentos lineares ou angulares.
Para melhor entendimento das defi nições da classifi cação das classes 
de apoio, consideremos a estrutura formada por uma viga apoiada nas ex-
tremidades (Fig. 2). A carga oblíqua F atuante na viga AB induz, nas seções 
de extremidade, forças e momentos que podem ou não ser transferidos aos 
apoios de sustentação da viga.
Vínculo de Primeira Ordem
É assim denominado porque oferece reação às forças aplicadas numa 
única direção, comumente a direção y. Signifi ca que não impede desloca-
mentos lineares na direção x, nem angulares (ou rotações) decorrentes da 
aplicação de momentos no plano xy. É conhecido como apoio simples ou, 
ainda, charlot. Sua representação simbólica é dada na Fig.3.
Vínculo de Segunda Ordem
Oferece reações às forças N e Q, respectivamente, nas direções x e y; 
todavia, não reage aos momentos atuantes no plano xy. Impede desloca-
mentos lineares; porém, não impede rotações. É comumente denominado 
de rótula. Sua representação simbólica é dada na Fig.4.
Vínculo de Terceira Ordem
Apresenta reações tanto às forças como aos momentos atuantes no pla-
no xy. Consequentemente, impede deslocamentos lineares e rotações. Tem 
o nome de engaste, podendo, em tal caso, ser concebido por uma conexão 
A
VA
HA 
VB
F
Fig. 7 | Viga simplesmente apoiada
VA
HA 
F
Fig. 8 | Viga em balanço ou Cantilever
45ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
rígida, sendo denominado de vínculo perfeito. Restringe todos os movi-
mentos do apoio. Sua representação simbólica é dada na Fig.5.
GRAU DE ESTATICIDADE DAS ESTRUTURAS
Como vimos, no estado duplo ou plano, a mecânica racional institui 
duas equações de equilíbrio para forças e somente uma para os momentos. 
Quando os apoios envolvidos nas estruturas possuem reações em número 
inferior, igual ou superior ao número de equações, diz-se que as estruturas 
são hipostáticas, isostáticas ou hiperestáticas, respectivamente. Veja-
mos as respectivas defi nições e exemplos sobre cada caso.
Estruturas Hipostáticas
São aquelas em que o número de reações vinculares é inferior ao nú-
mero de equações de equilíbrio, caracterizando o excesso de equações em 
relação ao número de reações (o número de vínculos é incapaz de manter o 
equilíbrio). Diz-se, então, que o sistema apresenta “n” soluções e, portanto, 
não serve como proposta de solução estrutural. Sistemas estruturais dessa 
espécie não devem ser utilizados como proposta estrutural nos projetosde 
Engenharia Estrutural. Quatro exemplos justifi cam essa categoria na Fig. 
6.
Estruturas Isostáticas
São aquelas em que os apoios envolvidos possuem reações em número 
igual ao número de equações. Nesse caso, diz-se que as estruturas são isos-
táticas ou determinadas, posto que, sendo as reações incógnitas a serem 
levantadas, é possível a formação de um sistema perfeitamente determi-
nado, caracterizado por equações de forças e de momentos. Os elementos 
estruturais representados nas Fig. 7, 8 e 9 são casos típicos de estruturas 
isostáticas.
P
P
P
P
1 3
2
V1 V3
H3
Fig. 9 | Pórtico
A
VA
HA 
MA 
F
HB
B
VB
Fig. 10 | Estrutura com dois graus de 
hiperestabilidade
46 CONCEITUAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
Estruturas Hiperestáticas
Quando o número de reações é superior ao número de equações de 
equilíbrio, tais estruturas são chamadas de hiperestáticas. O excesso das 
reações em relação às equações caracteriza o grau de hiperestaticidade. O 
levantamento da hiperestaticidade é possível mediante a utilização de re-
lações especiais, condicionadas a deslocamentos ou deformações elásticas 
dos elementos estruturais, por princípios instituídos pela Resistência dos 
Materiais. As Fig. 10 e 11 são exemplos de estruturas hiperestáticas.
Por exemplo (Fig. 12), se o problema contém cinco incógnitas e a está-
tica fornece três equações, são necessárias duas equações complementares 
para suplementá-las (que podem ser duas equações de deslocamentos, uma 
de deslocamento e outra de deformação, ou as duas serem de deformações).
ESTATICIDADE INTERIOR DOS RETICULADOS PLANOS
 (TRELIÇAS)
O que foi abordado anteriormente está associado tão-somente à estati-
cidade externa. O que vimos foi se a estrutura era externamente hipostá-
tica, ou externamente isostática, ou externamente hiperestática. Nos reti-
culados planos, a análise da estaticidade interna recairá sobre as treliças, 
de grande interesse nas aplicações da Engenharia Estrutural. Não será feita 
a apreciação das treliças no espaço tridimensional, pois o desenvolvimen-
to prático do cálculo estrutural para as treliças desse tipo merece uma 
orientação teórica profunda e a utilização de processos computacionais 
apropriados, o que não é o objetivo, neste momento.
Há, evidentemente, um problema preliminar de estática exterior que 
deve ser resolvido inicialmente, isto é, deve ser o ponto de partida, e este é 
um problema elementar que não pode oferecer a menor difi culdade, pois 
toda a abordagem anterior foi sobre aquele assunto. Assim, as fi guras apre-
sentadas sequer fazem menção aos tipos de vínculos (apoios) externos das 
treliças apresentadas.
Chamemos de “n” o número de nós de um reticulado, e de “b” o nú-
mero de barras. O reticulado apresenta-se, portanto, interiormente, com 
“b” incógnitas, que são os esforços nas barras. Em cada nó, como vimos 
em item anterior, temos duas equações disponíveis. Nos “n” nós teremos, 
A
VA
HA 
MA MB 
F
HB
B
VB
Fig. 11 | Estrutura com três graus de 
hiperestabilidade
HA 
F
B
VB
A
VA
C
VC
D
VD
Fig. 12 | Viga contínua com dois hiperestáticos
b = 17 (números de barras)
2n - 3 = (2x10) - 3 = 17
n = 10 (números de nós)
1
2
4
3
6
5
8
7
10
9II VI XI XIV
IV IX XII XVI
I
III VII XV
VIIIV X XIII XVII
Fig. 13 | Determinação da estaticidade interna 
de um sistema reticulado
47ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
então, 2n equações disponíveis. Como três delas devem ser usadas para a 
determinação das reações de apoio, restam-nos 2n-3 equações suscetíveis 
de serem utilizadas exclusivamente na determinação dos esforços nas bar-
ras. Logo, a condução de estaticidade interior (isto é, a condição capaz de 
nos informar se um reticulado, com as reações de apoio já calculadas, pode 
ser resolvido unicamente com as equações da estática) é:
b = 2n - 3
Se essa relação for observada, teremos um sistema de 2n - 3 equações, 
a “b = 2n - 3” incógnitas, que é, em geral, passível de solução unívoca, 
qualquer que seja o carregamento plano exterior. O reticulado é, então, 
interiormente isostático. Se b > 2n - 3, teremos mais incógnitas do que 
equações, e não pode ser resolvido exclusivamente com os recursos da es-
tática. O reticulado é, então, interiormente hiperestático. Mede-se o grau 
de hiperestaticidade justamente pela diferença entre os dois membros:
g = b - (2n - 3) = b - 2n + 3
Se, fi nalmente, b < 2n - 3, o equilíbrio só é possível mediante certas 
condições, e, neste caso, o reticulado é interiormente hipostático.
CRÍTICA AO MÉTODO PARA A
 DETERMINAÇÃO DA ESTATICIDADE INTERIOR
Não se pode aplicar a expressão estabelecida no item anterior com rigor 
absoluto. Diz-se que as expressões b = 2n - 3, b > 2n - 3 e b < 2n - 3, sob o 
ponto de vista matemático, são necessárias, mas não sufi cientes. De fato, a 
discussão dos sistemas de equações lineares nos ensina que um sistema de 
“n” equações a “n” incógnitas nem sempre tem solução. O sistema só é bem 
determinado quando seu determinante é diferente de zero. A discussão 
que fi zemos estabeleceu apenas a condição básica para que o número de 
equações (2n - 3) seja igual ao número de incógnitas (b). Pode acontecer, 
evidentemente, que a condição básica se verifi que sem que o reticulado 
seja isostático internamente. Observemos, por exemplo, o caso represen-
tado pela Fig. 13.
Sistema
hiperestático
Sistema
deformável
Sistema
isostático
Fig. 14 | Estaticidade de um sistema
D
C
B
A
1
2
4
3 5
II
N
I
III
Fig. 15 | Justaposição de triângulos
Barra Supérflua
Fig. 16 | Reticulado composto por triângulos
48 CONCEITUAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
Se 2n - 3 = b; logo, estaríamos dizendo que o reticulado é isostático internamente, o 
que não é verdade. Um exame detido da questão nos mostra que ele é a combinação de um 
reticulado hiperestático com um isostático (Fig. 14).
Em certos casos, como no exemplifi cado, é fácil reconhecer a priori que o sistema é 
apenas aparentemente isostático. Em algumas treliças complexas, entretanto, só o estudo 
circunstanciado do problema permite uma conclusão defi nitiva, que também não é o ob-
jeto neste momento. No item seguinte, melhora-se o aspecto comprobatório da verifi ca-
ção da estaticidade interna dos reticulados planos; porém ainda não em defi nitivo, já que 
ainda há as excepcionalidades (Adhemar Fonseca, 1967).
DETERMINAÇÃO DE ESTATICIDADE
 INTERIOR PELO SISTEMA DE TRIÂNGULOS
Se, partindo de um triângulo (que é a fi gura mais simples), construirmos um reticu-
lado, de tal modo que cada novo ponto seja exclusivamente agregado ao conjunto por 
intermédio de duas barras somente, o sistema obtido será estaticamente determinado in-
teriormente, de vez que as novas incógnitas introduzidas (esforços nas barras) encontram 
sempre, para sua determinação, as duas equações de equilíbrio referentes ao novo ponto 
agregado.
A sequência de tal formação leva, em geral, a uma justaposição de triângulos (Fig. 15), 
sendo fácil estabelecer uma relação entre o número de vértices e de lados.
Se, partindo da barra AB, quisermos agregar o nó C, devemos introduzir as barras 
2 e 3. Formamos, assim, o triângulo I. Se agora quisermos agregar ao conjunto o nó D, 
devemos utilizar as barras 4 e 5, fi cando formado o triângulo II, e assim sucessivamente. 
Durante esta formação, observamos:
triângulos
I
II
III
IV
...
N
vértices
3
3+1
3+2
3+3
...
3+(N-1)
lados
3
3+2x1
3+2x2
3+2x3
...
3+2(N-1)
Número de
49ESTRUTURAS | uma abordagem arquitetônica
Chamando, então, de “n” o número de nós (ou vértices), e de “b” o número de barras 
(ou lados), teremos: n = 3 + (N - 1) e b = 3 + 2(N-1), onde N - 1 = n - 3 e b = 3 + 2(n - 3) = 
2n - 3; logo, b = 2n - 3, que é a relação