SUPER2 MATEMATICA3

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A escolha de quem pensa! 1
Aula 1
Geometria Plana
01. A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três 
Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras 
hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas 
medidas de acordo com as normas oficiais.
a) Sabendo-se que o raio do círculo azul da bandeira da 
Praça dos Três Poderes mede 3,5 m, quanto mede 
a área da região amarela visível dessa bandeira? 
Sugestão: use p = 3,14 .
b) Deseja-se construir uma bandeira do Brasil com o 
lado maior do retângulo medindo 2 m e nas mesmas 
proporções da bandeira da Praça dos Três Poderes. 
Qual será a medida da região amarela visível dessa 
outra bandeira?
02. A figura ao lado mostra um quadrado ABCD no 
qual os segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, 
respectivamente.
a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E e C.
b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo a.
03. Num triângulo ABC com 18 cm de base e 12 cm de 
altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o 
lado AB, conforme a figura ao lado.
 Matemática 3
a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um 
terço da medida da base, qual é a sua área?
b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x, 
obtenha uma expressão da área do retângulo em 
função de x.
c) Calcule a maior área possível desses retângulos 
inscritos.
04. Um canteiro de flores possui 25 m2 de área e tem 
o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo 
foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta 
igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, 
conforme indica a figura ao lado. Qual é a área do 
trapézio hachurado indicado na figura?
05. Um terreno possui o formato de um triângulo cujos 
catetos medem 60 m e 30 m. O proprietário pretende 
construir nesse terreno uma casa de planta retangular, 
de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os 
catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa, 
como na figura abaixo. Nessas condições, obtenha: 
a) A área do retângulo cuja base x mede 30 m.
b) A expressão que fornece a área do retângulo em 
função da medida variável x.
c) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior 
área.
A escolha de quem pensa!2
06. Considere a figura na qual a curva que contém os 
pontos A, B, C é uma semicircunferência de raio r e 
a curva que contém os pontos A, D, C é um arco de 
circunferência de raio 2r. Obtenha a expressão da área 
limitada pelas duas curvas, em função de r. Explique os 
procedimentos usados.
07. Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero 
de lado e, sobre os lados desse triângulo, estão 
construídos os quadrados ABQP e EFPR:
 Considerando essas informações,
a) Determine o perímetro do hexágono ABCDEF.
b) Determine a área do hexágono ABCDEF.
c) Determine o raio da circunferência que passa pelos 
vértices do hexágono ABCDEF.
08. Para irrigar uma região retangular R de dimensões 
l ×3 l, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba 
hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A 
bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é 
colocado no ponto C, a uma distância 3 l / 2 do ponto B, 
ele irriga um círculo de centro C e raio 2 l (veja figura).
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o 
irrigador está no ponto C.
b) Admitindo que o raio da região irrigada seja 
inversamente proporcional à distância do irrigador 
até a bomba, calcule o raio da região irrigada 
quando o irrigador é colocado no centro da região 
retangular R. 
09. O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em 
B. O segmento BD é a altura relativa a AC.
 Os segmentos AD e DC medem 12 cm e 4 cm, respec-
tivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = 4EC.
 Determine o comprimento do segmento DE. 
10. Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre 
tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta 
completa do disco ao longo dos quatro lados divide o 
interior do quadrado em duas regiões: a região A dos 
pontos que foram encobertos pela passagem do disco e 
a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio 
do disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm.
 Determine a área da região B. 
11. Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central è 
é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no 
extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento 
do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura.
 Sabendo que o ângulo è satisfaz a igualdade tgè = 2è, 
calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do 
triângulo OPQ. 
A escolha de quem pensa!2 A escolha de quem pensa! 3
12. Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos, 
o ângulo OAB mede 120°, AO = 3 e AB = 2. Sabendo-se 
ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3,
a) calcule a área do triângulo OAB.
b) determine OC e CD. 
13. A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e 
CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está 
no interior do trapézio.
 Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2.
a) Determine a altura do trapézio.
b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está 
inscrito.
c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e 
delimitada pela circunferência. 
14. Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos 
um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90° e 
que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, 
dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos 
PB = 10 e PC = 3.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC. 
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, 
interna ao triângulo e externa ao círculo.
15. Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que 
AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, 
AB e BC também são lados de quadrados construídos 
externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da 
circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, 
E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e 
AB, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO 
e FO.
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de 
vértices D, E e F.
Gabarito
1. a) 49,515 m2 b) 0,49515 m2
2. 2p = 2 (2 2 + 3) sen a = 2
10
 e cos a = 7 2
10
3. a) S = 48 cm2 b) S(x) = 
22x 12x
3
− + 
 c) Smáx = 54 cm
2
4. S = 12 m2
5 a) S = 450 m2 b) S(x) = 30x – 
2x
2
 c) x = 30 m
6. S = ( )2r 6 36 − pi
7 a) ED = 3a( 3 +1) b) S = a2( 3 +3)
 c) 
4 3a
3
+
8. a) ( )2 2 3 36 pi +� b) 6r 5= �
9. 2 3
10. 4(5 – p)cm2
11. 1/2
12. a) 3 3
2
 b) OC = 60 OD = 40
13. a) h = 3 b) 5 c) S = 5p – 9
14. a) r = 2 b) AB = 12 AC = 5 c) S = 30 – 4p
15. a) DO = 5 cm EO = 7 cm FO = 7 cm
 b) EF = 7 2 ED = 2 29 DF = 13
Aula 2
Geometria Espacial - 1
01. Uma calha será construída a partir de folhas metálicas 
em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 
cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao 
lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces 
de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.
a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco 
retangular em termos de x.
b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular 
será máximo?
A escolha de quem pensa!4
02. Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está 
sendo projetada de modo a ter altura e comprimento 
de mesma medida e largura 3 cm maior que seu 
comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para 
que seu volume seja 200 cm3?
03. Considere um cubo no qual a aresta tem medida a 
e cujos vértices são designados por letras, como 
está indicado na figura abaixo. M é o ponto médio da 
aresta AB e N é ponto médio da aresta BC. Calcule o 
volume do sólido MNDE, em função de a. Explique os 
procedimentos usados.
04. Na figura abaixo, está representada uma pirâmide de 
base quadrada que tem todas as arestas com o mesmo 
comprimento.
a) Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual 
a (6 + 32), qual é a altura da pirâmide?
b) Qualé o volume e a área total da pirâmide?
05. Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo 
de aresta 10 cm, conforme a figura abaixo.
a) Calcule a área do triângulo ABC. 
b) Calcule a área total da pirâmide ABCD.
c) Calcule o volume da pirâmide ABCD.
06. Num cubo de aresta a a inscreve-se um hexágono 
regular, cujos vértices são pontos médios das arestas 
do cubo. Ache a expressão da área do hexágono em 
função de a, explicando os procedimentos usados.
07. A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD 
são triângulos retângulos cujos catetos medem a. 
Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD 
tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra 
a figura a seguir.
 Determine a medida da aresta desse cubo em função 
de a.
08. Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares 
e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 
10m3 (conforme figura a seguir). O comprimento de um 
dos lados da base deve ser o dobro do comprimento 
do outro lado. O material para construir a base custa 
R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material 
para construir as laterais custa R$6,00 por metro 
quadrado.
a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n? 
b) Com os valores do item (a), calcule o custo de 
construção da caixa.
c) Encontre o custo de construção da caixa em função 
de p.
09. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um 
plano paralelo à sua base, distante 2 m dela. A área 
total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à 
metade da área total da pirâmide original.
a) Calcule a altura da pirâmide original.
b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela 
secção para o caso em que a aresta da base da 
pirâmide maior mede 3 m.
A escolha de quem pensa!4 A escolha de quem pensa! 5
10. Prevenindo-se contra o período anual de seca, um 
agricultor pretende construir uma cisterna fechada, 
que acumule toda a água proveniente da chuva que cai 
sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período 
de um ano.
 As figuras e o gráfico representam as dimensões do 
telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e 
a quantidade média mensal de chuva na região onde o 
agricultor possui sua casa.
 Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de 1 metro quadrado, determine a profun-
didade (h) da cisterna para que ela comporte todo o 
volume de água da chuva armazenada durante um ano, 
acrescido de 10% desse volume. 
11. No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na aresta AE 
satisfazendo AP 3PE= . Sabendo que PG mede 33 cm, 
calcule o volume do cubo.
12. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são 
assentados sobre uma base composta basicamente por 
brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, 
conforme representado na figura a seguir. A base menor 
do trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a base maior tem 
2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento.
 Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva ser 
construído, responda às seguintes questões.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse 
trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão 
basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de 
largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de 
caminhão serão necessárias para transportar toda 
a brita?
13. Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta 
a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma 
pirâmide regular de base triangular equilateral (os três 
lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 
0 < x ≤ a
2
, a aresta lateral das pirâmides cortadas.
a) Dê o número de faces do poliedro construído.
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ a
2
, para o qual o volume 
do poliedro construído fique igual a cinco sextos do 
volume do cubo original. A altura de cada pirâmide 
cortada, relativa a base equilateral, é x
3
. 
14. Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito 
triângulos equiláteros, conforme indicado na figura.
 Para um octaedro de aresta a:
a) Qual é a sua área total?
b) Qual é o seu volume?
c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
A escolha de quem pensa!6
15. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, 
cujo apótema da base mede 3cm. Secciona-se a 
pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um 
tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. 
Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 12, 
calcule a altura do tronco.
Gabarito
1. a) V = –2x2 + 0,4x b) x = 10 cm
2 a) 5 x 5 x 8cm
3 V = 
3a
8
4 a) h = 3 2
2
 b) V = 9 2
2
 e St = 9 ( 3 + 1)
5. a) S = 50 3cm2 b) ST = 50( 3 + 3)cm2
 c) V = 500
3
 cm3
6. 
23a 3
4
7. a
3
8. a) 1,25 m b) R$ 170,00 c) 20p2 + 180
p
9. a) (4 + 2 2)m b) V = (9 + 3 2)m3
10. 7,7 m
11. V = 64 m3
12. a) 7200 m3 b) 800
13. a) 14 b) x = 
a
2
14. a) 2a2 3 b) V= 
3a 2
3
 c) a 6
3
15. ( )3 3 2
21
−
cm
Aula 3
Geometria Espacial - 2
01. Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de 
altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até 
quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar 
totalmente cheia.
a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for 
colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que 
volume de água?
b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro serão 
necessárias para fazer com que a água se desloque 
até a borda superior da jarra?
02. Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere 
a figura abaixo. Sabe-se que o volume do cubo é 256 cm3.
a) Calcule o volume do cilindro. 
b) Calcule a área total do cilindro.
03. A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, 
com as dimensões indicadas na figura.
a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta 
quando está completamente cheia?
b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido 
nessa taça, em função da altura x indicada na figura.
04. Considere um trapézio ABCD no qual os ângulos com 
vértices A e B são retos, a medida do lado AB é x, que 
é igual a do lado BC e é o triplo da medida do lado AD. 
Determine, em função de x, a expressão do volume 
do sólido de revolução obtido quando a região plana 
limitada pelo trapézio gira em torno do lado BC.
05. Seja um cilindro circular reto de altura h e base de raio r. 
Considere as duas hipóteses seguintes:
1. O raio r é aumentado de 20 metros e a altura é 
mantida.
2. O raio r é mantido e a altura h é multiplicada por 4. 
 Em cada uma das hipóteses há um acréscimo no volume 
do cilindro. Sabendo que estes acréscimos são iguais, 
ache o raio r em metros.
06. Um cone circular reto cuja altura forma um ângulo de 
30° com a geratriz está inscrito numa esfera de raio R. 
Ache a expressão do volume do cone em função de R, 
detalhando os procedimentos usados.
07. Considerando que um cilindro circular reto de altura 
x seja inscrito em uma esfera oca de 20 cm de raio, 
obtenha a expressão do volume do cilindro em função de x.
08. O volume de um cone reto é 1024pcm3. Se a altura, o 
raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa 
ordem, uma progressão aritmética, então calcule a 
medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor 
obtido no cartão-resposta. 
09. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, 
adquirindo o formato de anel, como mostra a figura 
a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um 
cilindro de madeira com duas tampas em formato de 
calota esférica.
A escolha de quem pensa!6 A escolha de quem pensa! 7
 Sabe-se que uma calota esférica tem volume 
Vcal = 
2h
3
pi (3R – h), em que h é a altura da calota e R 
é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da 
calota esférica (excluindo a porção plana da base) é 
dada por Acal =2 p Rh.
Atenção: não use um valor aproximado para π.
a) Supondo que h = R/2, determineo volume do anel 
de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá 
uma camada de verniz, tanto na parte externa, 
como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, 
determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.
10. Um cilíndro circular reto é inscrito em um cone, de modo 
que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, 
conforme representado na ilustração a seguir.
 A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada 
um, 12 cm.
 Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do 
raio do cilíndro variem no intervalo ]0;12[ de modo que 
ele permaneça inscrito nesse cone.
 Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para 
que sua área lateral seja máxima.
11. Numa região muito pobre e com escassez de água, 
uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, 
cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro 
circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de 
raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases 
sao círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 
cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado 
na figura. 
 Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há 
uma torneira com um gotejamento que provoca um 
desperdício de 46,44 litros de água por dia. Conside-
rando a aproximação p = 3, determine quantos dias de 
gotejamento são necessários para que a quantidade de 
água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, 
ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro 
manual.
Dado: 1.000 cm3 = 1 litro.
12. Na construção de uma estrada retilínea foi necessário 
escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro. 
Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo 
de raio R seccionado pela corda AB e altura máxima h, 
relativa à corda, conforme figura.
 Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que 
AB 4 3m= e que 3R 6m
2
= , determine o volume apro-
ximado de terra, em m3, que foi retirado na construção 
do túnel.
Dados: 
3
pi ≈ 1,05 e 3 ≈ 1,7.
13. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com 
lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma 
esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. 
Determine a distância do centro da esfera aos vértices 
do triângulo.
14. Num cilíndro circular reto sabe-se que a altura h e o 
raio da base r são tais que os números p, h e r formam, 
nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6p. 
Calcule a área total do cilíndro.
15. Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um plano a 
3 cm do centro. Calcule:
a) a área da calota esférica obtida na esfera;
b) a área do fuso esférico de 30°, contido na esfera;
c) o volume da cunha esférica de 45°, contida na esfera.
A escolha de quem pensa!8
Gabarito
1. a) 4
3
pi cm3 b) 12
2. a) V = 64p cm3 b) St = 48p
3 2 cm2
3. a) 16pm3 b) 
3x
8
pi
4. V = 
35 x
9
pi
5. r = 20 cm
6. V = 
33 r
8
pi
7. V = 
( )2x 1600 x
4
pi −
8. 20
9. a) 
3R
6
pi b) S = (2 + 3)pR2
10. 6
11. 2 dias
12. 80800 m3
13. 5 cm
14. 30p3
15. a) Sc = 20p cm2 b) S = 25
3
pi cm2
 c) Vc = 125
6
pi cm3
Aula 4
Geometria Analítica - 1
01. Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices 
A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a diagonal 
AC.
b) Determine a equação da reta que contém a diagonal 
BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção 
das diagonais AC e BD. 
02. Seja M o ponto médio do segmento OB e N o ponto 
médio do segmento OC, sendo B = (0, 2) e C = (2, 0), 
conforme figura abaixo.
a) Encontre a equação da reta r determinada pelos 
pontos B e N e a equação da reta s determinada 
pelos pontos C e M.
b) Encontre as coordenadas do ponto P de interseção 
das retas r e s.
c) Demonstre que a distância de P até B é o dobro da 
distância de P até N.
03. A projeção esfereográfica é um método de projetar 
pontos de um círculo sobre uma reta que pode ser 
utilizado na confecção de mapas (situação em que os 
círculos são os meridianos do globo terrestre). Suponha 
que y é o círculo de raio 1 centrado na origem do 
plano xy, N = (0,1) é um ponto fixado e P = (a,b) é um 
ponto qualquer do círculo y distinto de N. A projeção 
esfereográfica do ponto P é a interseção da reta r 
determinada por N e P com o eixo x, representada pelo 
ponto Q na figura abaixo.
 Nessas condições:
a) Encontre a projeção Q do ponto P 
2 2;
2 2
 
  
b) Encontre as coordenadas do ponto P, pertencente 
ao círculo, cuja projeção é o ponto Q = (3,0).
04. Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir 
da rotação de uma figura plana em torno de um dos 
eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um 
retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, 
como na figura abaixo.
 Considere agora a região R do primeiro quadrante do 
plano xy delimitada pelas retas r1: y = x, r2 : x = 0 e r3: x = 1 
e pela circunferência Y: x2 + (y – 4)2 = 1.
a) Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um 
esboço da região R e do sólido de revolução obtido 
pela rotação dessa região em torno do eixo y.
A escolha de quem pensa!8 A escolha de quem pensa! 9
b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido 
no item acima.
05. No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a 
circunferência de centro C = (4, 3) e raio r = 5.
a) Encontre a equação cartesiana da circunferência .
b) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção 
da circunferência com o eixo Oy.
c) Seja P o ponto de interseção da circunferência 
com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a 
equação da reta que tangencia a circunferência 
nesse ponto P.
06. Em uma folha de fórmica retangular ABCD com 15 
cm de comprimento AB por 10 dm de largura AD um 
marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No 
ponto F onde o marceneiro pretende fixar um prego, 
ocorre a interseção desses segmentos.
 A figura a seguir representa a folha de fórmica no pri-
meiro quadrante de um sistema de eixos coordenados.
 Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm 
determine as coordenadas do ponto F.
07. Sejam P = (a, b), Q = (1, 3) e R = (–1, –1) pontos do 
plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e 
R sejam colineares.
08. Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, determine 
a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de 
r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto 
quadrante do plano cartesiano.
09. Considerando que os pontos A (1; 1), B (3; 5) e C (2; 8) 
são vértices de um triângulo ABC. Com relação a esse 
triângulo, determine:
a) A equação da reta suporte da mediana relativa ao 
lado AB.
b) A equação da mediatriz do lado AB.
10. As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas 
na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual 
à média aritmética dos coeficientes a e c,
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em 
termos dos coeficientes a e b;
b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo 
OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o 
triângulo OPQ tem área 1.
11. Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas 
retas do plano passam por P e formam um ângulo 
de 45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine 
as equações das retas mencionadas no item (a).
12. Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado 
pelas retas 2x = y, x = 2y e x = – 2y + 10. A área desse 
triângulo mede:
13. Seja o ponto A (–2; 3) um dos vértices de um triângulo. 
Sabendo que o lado oposto a este vértice está situado 
sobre a reta que contém o ponto P (–3; –4) e é paralelo 
à reta determinada pelos pontos M (2; –2) e N (6; 1), 
calcular a medida da altura do triângulo baixada a partir 
de A.
14. Calcule e o ângulo agudo formado pelas retas (r)x = 3t 
e y = 4t e (s)x y 1
5 11
+ = .
15. A secção meridiana de um cone circular reto está 
representada em um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais no plano; nessa representação, 
o vértice do cone é o ponto P (3, –1), a reta suporte do 
diâmetro da base tem equação x + 1 = 0 e a reta suporte 
de uma das geratrizes tem equação 3x + 4y – 5 = 0. 
 Calcule o valor do quociente 
3V
pi
, sendo V o volume do 
cone.
Gabarito
1. a) y = 3 x
4
 b) 
3 9y x
2 2
= − + c) P (2; 3
2
)
2. a) (r): 2x + y – 2 = 0 (s): x + 2y – 2 = 0
 b) P 2 2;
3 3
   
3. a) Q ( 2 + 1; 0) b) P 
3 4;
5 5
   
4. a) -- b) V = 8
3
pi
5. a) (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 b) (0; 0) e (0; 6)
 c) (t): 4x – 3y + 18 = 0
A escolha de quem pensa!10
6. F (6; 6)
7. P (2;5)
8. s: y = 2x + 5
9. a) x + 6y – 20 = 0 b) x + 2y – 8 = 0
10. a) P b ;0
a
 
−   , Q (0; b) e R 
b b(2b a);
2b – 2a 2b 2a
−   
−
 b) a = –8, b = 4 e c = 16
11. a) duas retas b) 2x – y + 1 = 0 e x + 2y – 12 = 0 
12. S = 15
2
 ua
13. 5
14. q = arctg 
53
29
15. 36
Aula 5
Geometria Analítica - 2
01. A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao 
eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 
unidades.
a) Sabendo que A = (8,4) e que r : 3y + x = 20 é a reta 
que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado 
na figura acima, no qual a reta r intercepta a 
circunferência.
02. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8) no plano 
cartesiano Oxy.
a) Escreva a equação reduzida da circunferência a 
que tem centro no ponto médio do segmento AB e 
contém os pontos A e B.
b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, 
no qual a circunferência a intercepta o eixo y.
03. Ache a equação da circunferência que passa pelos 
pontos A (3, 1), B (1, 5) e tem centro sobre a reta de 
equação x + y + 1 = 0
04. No plano cartesiano, ache a equação da circunferência 
que tem centro no ponto médio do segmento de 
extremidades A (6; –4) e B (–2; 2) e é tangente à reta 
que contém os pontos C (2; –6) e D (–1; –2).
05. Uma circunferência de perímetro P1 e centro na 
origem do sistema de coordenadas, é tangente a 
uma circunferência de perímetro P2 e de equação 
x2 + y2 – 16x – 12y + 36 = 0.
Se P2 > P1, calcular o valor de 
2
1
P
P
06. Determinar o maior valor inteiro de k a fim de que 
x2 + y2 – 6x + 10y + k = 0 seja equação de uma 
circunferência de raio não nulo.
07. Os vértices de um triângulo são: o centro da circunferência 
de equação x2 + y2 – 6x – 8y = 0 e os pontos de 
intersecção dessa circunferência com a reta que passa 
pela origem e tem coeficiente angular 1/7. Calcule:
a) a área do triângulo; 
b) o perímetro do triângulo; 
c) classifique o triângulo quanto aos lados.
08. No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela 
equação cartesiana x2 + y2 = 5 e a reta r descrita pela 
equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos 
pontos A e B.
 Considerando uma nova reta h, descrita pela equação 
cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos 
A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C.
09. Os pontos (–6, 2), ( 3, –1), e (–5, –5) pertencem a uma 
circunferência.
 Determine o raio dessa circunferência.
10. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro 
no ponto A = (–5, 1) e é tangente à reta t de equação 
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto 
de intersecção da reta t com o eixo Ox.
 Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triangulo APQ. 
11. No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro 
C = (3,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = –x + 6.
a) Determine todos os valores de x para os quais o 
ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior 
da circunferência λ.
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência 
λ1 oncêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 
12. Considerando, no s is tema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, a circunferência de equação 
x2 + y2 + 6x – 12y + 25 = 0 e a reta de equação 
2x + y + 8 = 0,
a) obtenha a equação da reta que contém o centro da 
circunferência e é paralela à reta dada;
b) calcule as coordenadas do ponto de intersecção da 
reta dada com a reta tangente à circunferência no 
ponto P (1, 4).
A escolha de quem pensa!10 A escolha de quem pensa! 11
13. Uma circunferência tem centro no ponto (6; 0) do 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e 
passa pelo ponto de intersecção das retas x + y – 7 = 0 
e 2x – y – 2 = 0. Obtenha a equação da circunferência, 
explicando os procedimentos usados.
14. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, 
a equação de uma circunferência é: x2 + y2 – 6x + 2y = 0. 
 Calcule a área do triângulo cujos vértices são o centro 
da circunferência e os pontos de intersecção da reta de 
equação 2x + y – 10 = 0 com a circunferência. Explique 
os procedimentos usados.
15. São dados os pontos A = (1, 3), B = (4, 1) e C = (6, 4) 
no plano cartesiano Oxy.
a) Usando coeficientes angulares, mostre que a reta r, 
que contém os pontos A e B, é perpendicular à reta 
s, que contém os pontos B e C.
b) Sabendo que A, B, C e D são vértices de um 
quadrado, encontre as coordenadas do ponto D. 
c) Escreva a equação da circunferência que contém 
os pontos A, B, C e D.
Gabarito
1. a) S = 30 b) A (8; 4) D (5; 5) 
2. a) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 b) P (0;8 )
3. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25
4. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9
5. 2
1
P 4
P
=
6. 33
7. a) S = 25
2
 ua b) 2p = (10 – 5 2 ) uc
 c) isosceles
8. a) A (1; 2) B (1; –2) C) (–2; –1)
 b) S = 3 ua
9. 5
10. a) P (–1; 2) b) (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
 c) S = 25
4
 ua
11. a) 2 - 7 < x <2 + 7 b) y = 4 x
3
12. a) 2x + y = 0 b) 5 ; 3
2
 
− −  
13. x2 + y2 – 12x + 11 = 0
14. S = 5 ua
15. a)-- b) D (3; 6) c) 
2 27 7 26x y
2 2 4
   
− + − =      
Aula 6 
Números Complexos
01. Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 – i e 
sendo i = 1− a unidade imaginária.
a) Escreva os números z3 e z–4 na forma x + iy.
b) Sabendo que z, z e 2 são raízes do polinômio 
P(x) = x3 + ax2 + bx + c, calcule os valores de a, b e c.
02. Considere os números complexos z = cos 
18
pi + isen 
18
pi 
a) Mostre que o produto z . w é igual a 3 + i
b) Mostre que z18 é igual a –1. 
03. Sejam os números complexos z = 2 cos isen
3 3
pi pi 
+   e 
w = i3 + i2 + i. Achar y = z6 + w6.
04. Considerando o número complexo z = 1 + i: 
a) obtenha uma equação polinomial do 2° grau com 
coeficientes reais da qual z seja uma das raízes;
b) calcule o menor número inteiro positivo n para o qual 
zn é número real;
c) calcule o valor de x para que o número x 2i
z
+ seja 
imaginário puro.
05. Considere o número complexo z = 5 12i+ onde i = 
1− . Se x é a parte real de z e y a parte imaginária de 
z calcule x4 + y2, explicando os procedimentos usados.
06. Calcule as raízes quadradas do número complexo 1 
+ 3 . i
07. Calcule as raízes cúbicas de um número complexo z, 
cujo módulo é igual a 8 e seu argumento principal vale 
2
pi rad.
08. Em 1545, o italiano Girolamo Cardano (1501-1576) 
publicou o seu mais importante livro A grande arte, 
e tão orgulhoso ficou que, no final, escreveu a frase: 
“Escrito em cinco anos, pode durar muitos milhares”. No 
livro, um problema aparentemente simples começou a 
aprofundar a discussão sobre um novo tipo de número, 
ainda desconhecido na Matemática: 
 “Dividir 10 em duas parcelas tais que o seu produto seja 40”.
a) Determineas duas parcelas e expresse-as na forma 
a + bi, em que a,b são números reais e i2 = –1.
b) Expresse as duas parcelas do item A na forma de 
pares ordenados (a,b) e represente-os graficamente 
no plano cartesiano.
c) Calcule, na forma decimal aproximada, a área do 
triângulo cujos vértices são os dois pares ordenados 
do item B e a origem.
Se precisar, use as aproximações: 3 = 1,7; 
5 = 2,2.
d) Encontre uma equação polinomial de coeficientes 
inteiros com o menor grau possível, sendo dadas 
três de suas raízes: as duas parcelas do item A e o 
numero complexo −i. 
09. Os números complexos distintos z e w são tais que 
z + w = 1 e z . w = 1.
a) Calcule |z|
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está no 
primeiro quadrante do plano complexo.
A escolha de quem pensa!12
10. No jogo Batalha Complexa são dados números 
complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente.
 O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que 
tz = w.
 Considere a mira z e o alvo w indicados na figura ante-
rior. Determine o tiro certeiro de z em w.
11. Determine o módulo, o argumento e represente 
graficamente o número complexo z = 2 + 2( 3 ) i. 
12. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é 
chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo 
módulo (indicado por |z|) é a medida do segmento OA 
e cujo argumento (indicado por q) é o menor ângulo 
formado com OA no sentido anti-horário, a partir do eixo 
Re(z). O número complexo z = i é chamado “unidade 
imaginária”.
a) Determinar os números reais x tais que z = (x + 2i)4 
é um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número complexo 
z é o complexo z0 cujo afixo é o ponto (0, a), a > 0 
determine |z|.
13. a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices 
são os afixos dos números complexos: 3, 6i e –6i, 
respectivamente.
 b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango 
A’ B’ C’ D’ que se obtém girando 90° o losango ABCD 
em torno da origem do plano cartesiano, no sentido 
anti-horário?
 c) Por qual número devemos multiplicar o número 
complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número 
complexo cujo afixo é o ponto B’?
14. O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo 
equilátero, como mostra a figura.
 Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 , 
determine z2.
15. Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, 
onde a é um número real positivo e i indica a unidade 
imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo 
é | z | e a base é a parte real de z. w, determine a de 
modo que a área do triângulo seja 90 cm2.
Gabarito
1. a) z3 = –2 + 2i z 4= − b) a = –4; b = 6 e c = –4
2. a) -- b) --
3. y = 65
4. a) x2 – 2x + 2 = 0 b) n = –4 c) x = –2
5. 85
6. 1
6 2R i
2 2
= + e 2
6 2R i
2 2
= − −
7. R1 = 3 + i R2 = – 3 + i R3 = –2i
8. a) x = 5 15i+ e y = 5 – 15i ou x = 5 – 15i e y = 5 + 15i
 b) (5; 15i ) e (5; – 15i ) c) S = 18,7 d) 4
9. a) 1 b) –1
10. t = – 3 – i
11. |z| = 4; q = p/3 rad
12. x = 0, x= –2 e x = 2 b) a4
13. a) S = 36 ua b) A’ (0; 3), B’ (–6; 0), C’ (0; –3) e D’ (6; 0) 
c) i
14. z2 = –72 + 72 3 i
15. a = 3 cm