LISTA BASES ORTOGONAIS E MUDANÇA DE BASE

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1 
 
Estudante: ________________________________________________________________ 
Curso: ____________________________ Data: ___ / ___ / 2016 
EXERCÍCIOS SOBRE BASES ORTOGONAIS: 
1. Sejam ( )2,1,1 −=→x e ( )2,1,−=→ ay . Para quais valores de a, os vetores →x e →y são ortogonais? 
 
 
 
2. Sejam 





=
→
2
1
,0,
2
1
x e 





−=
→
bay ,
2
1
, . Para quais valores de a e b, os vetores 
→
x e 
→
y formam uma 
base ortonormal do subespaço gerado por eles? 
 
 
 
 
3. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortogonal para o subespaço 
de 4R que tem como base ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,1,1,0,2,0,0,1,1,1 −−=β . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
4. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortogonal para o espaço 3R 
que tem como base ( ) ( ) ( ){ }3,2,1,1,1,0,1,1,1=β . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Encontre uma base ortonormal para o subespaço de 3R que consiste de todos os vetores ( )cbav ,,=→ tais 
que 0=++ cba . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
6. Encontre uma base ortonormal para o subespaço de 4R que consiste de todos os vetores ( )dcbav ,,,=→ 
tais que 02 =+−− dcba . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
EXERCÍCIOS SOBRE COORDENADAS E MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE: 
1. Encontre as coordenadas do vetor 
→
v com relação a base β 
a) ( )3,1=→v na base 


















−=
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1β . 
 
 
 
 
 
 
b) ( )2,1,2 −=→v na base ( )


















−= 0,
2
1
,
2
1
,1,0,0,0,
2
1
,
2
1β . 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o vetor 
→
v sabendo que: 
a) 





=


→
1
2
β
v na base 


















−=
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1β . 
 
 
 
 
b) 









−
=


→
2
1
1
β
v na base ( )


















−=
2
1
,
2
1
,0,0,0,1,
2
1
,
2
1
,0β . 
 
 
 
 
5 
 
GABARITO DE BASES ORTOGONAIS: 
1. a = 5 
2. 
2
1
, ±== aba
 
3. 











 −−−





 −





 −
=
110
6
,
110
3
,
110
3
,
110
4
,
33
3
,
33
2
,
33
4
,
33
2
,0,
3
1
,
3
1
,
3
1β
 
4. 











 −





 −






=
2
1
,
2
1
,0,
6
1
,
6
1
,
6
2
,
3
1
,
3
1
,
3
1β
 
5. 











 −−





 −
=
6
1
,
6
2
,
6
1
,
2
1
,0,
2
1β
 
6. 











 −











 −
=
21
2
,
21
3
,
21
2
,
21
2
,
6
1
,0,
6
2
,
6
1
,
2
1
,0,0,
2
1β
 
 
GABARITO DE COORDENADAS E MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE: 
1.a. 





−
=


→
22
2
β
v 
1.b. 












=


→
2
2
2
2
23
β
v 
2.a. 




 −
=
→
2
3
,
2
1
v 
2.b. 





=
→
2
3
,
2
1
,1v