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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 1 INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa da multiplicação. EXEMPLOS 1. Se 4 )( 4x xf = , então sua derivada é: 4 4)( 3x xf =′ ou 3)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti-derivadas de 3x é 4 4x . 2. Se 3)( xxf = , então sua derivada é: 23)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti- derivadas ou integrais indefinidas de 23x é 3x . 3. Se 7)( 3 += xxf , então sua derivada 23)( xxf =′ . Nesse caso, uma das anti- derivadas ou integrais indefinidas de 23x é 73 +x . Note que nos exemplos, falamos “uma das anti-derivadas ou integrais indefinidas”. Podemos entender melhor, quando observamos os exemplos 2 e 3, já que tanto 3x quan- to 73 +x são integrais indefinidas para a mesma função 23x . Assim, vemos que a diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, veja: 1. no exemplo 2, a constante era o 0 ( )033 += xx 2. no exemplo 3, a constante era o 7 )7( 3 +x Representando essa constante por C, temos que a integral indefinida de 23x é Cx +3 , onde C é uma constante real. Indicamos a integral indefinida ou anti-derivada de )(xf ′ por ∫ +=′ Cxfdxxf )()( . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 2 PROPRIEDADES Utilizaremos as seguintes propriedades para realizar a integração das funções polinomiais elementares: 1. ∫ += Cxdx 2. ∫ ∫⋅=⋅ dxxfkdxxfk )()( 3. [ ]∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 4. ∫ −≠++ = + )1( 1 1 nC n xdxx n n 5. [ ] )()( xfdxxf dx d =∫ , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria fun- ção. 6. ∫ += Cxfdxdx xfd )()( , ou seja, a integral da derivada de uma função, é a própria função mais uma constante arbitrária. Através de uma simples derivação das funções que estão nos segundos membros destas igualdades, poderemos conduzir à expressão que está sob o sinal de integração, isto é, poderemos conduzir à função integranda, o que verifica cada uma das proprieda- des. CASOS PARTICULARES Estes casos particulares das propriedades estudadas são úteis no desenvolvimen- to dos processos de integração. 1. ∫ ∫= dxxfkdxk xf )(1)( 2. ∫ ∫−=− dxxfdxxf )()( CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 3 INTEGRAIS IMEDIATAS Integrais imediatas são as integrais que decorrem de forma direta das fórmulas de derivação. Através deste processo, temos as seguintes fórmulas de integração: TABELA DE DERIVADAS E INTEGRAIS Derivadas Integrais 01) 1)( =x dx d ∫ ∫ ∫ +=== Cxdxdxdx 11 02) aax dx d =)( ∫ ∫ +== Caxdxaadx 03) 1, 1 1 −≠= + + nx n x dx d nn ∫ −≠++ = + 1, 1 1 nC n xdxx n n 04) x x dx d 1)(ln = ∫ += Cxdxx ln 1 05) x x a a a dx d = ln C a adxa x x +=∫ ln 06) xx ee dx d =)( Cedxe xx +=∫ 07) xxsen dx d cos)( = ∫ += Cxsendxxcos 08) xsenx dx d −=)(cos ∫ +−= Cxdxxsen cos 09) xxtg dx d 2sec)( = ∫ += Cxtgdxx 2sec 10) xxg dx d 2seccos)(cot −= ∫ +−= Cxgdxx cotseccos 2 11) xtgxx dx d ⋅= sec)(sec ∫ +=⋅ Cxdxxtgx secsec 12) xgxx dx d cotseccos)sec(cos ⋅−= ∫ +−=⋅ Cxdxxgx seccoscotseccos 13) 21 1)( x xtgarc dx d + = ∫ +=+ Cxtgarcdx x 21 1 14) 21 1)( x xsenarc dx d − = ∫ += − Cxsenarcdx x21 1 15) 21 1)cos( x xarc dx d − −= ∫ += − − Cxarcdx x cos 1 1 2 16) 2 2 1 11ln x xx dx d + = ++ Cxxdx x +++= + ∫ 1ln1 1 2 2 17) 21 1 1 1ln 2 1 xx x dx d − = − + ⋅ ∫ + − + ⋅= − C x xdx x 1 1ln 2 1 1 1 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 4 QUESTÕES RESOLVIDAS Questão 01 Calcule: a) ∫ dxx Resolução ∫ += C xdxx 2 2 b) ∫ dxx23 Resolução ∫∫ +=+⋅=⋅= CxC xdxxdxx 3 3 22 3 333 c) ∫ + dxx )2( Resolução ∫ ∫∫ =+=+ dxdxxdxx 2)2( Cx x ++ 2 2 2 d) ∫ + dxx 2)2( Resolução ∫∫ =++=+ dxxxdxx )44()2( 22 ∫ ∫ ∫ =++ dxdxdxx 442 CxxxCxxx +++=++⋅+= 42 3 4 2 4 3 2 323 e) ∫ +++ dxxxx )143( 24 Resolução ∫ ∫ ∫ ∫ =+++= dxdxxdxxdxx 143 24 ∫ ∫ ∫ ∫ =+⋅+⋅+ dxdxxdxxdxx 43 24 =++⋅+⋅+= Cxxxx 2 4 3 3 5 235 Cxxxx ++++ 23 5 2 5 f) ∫ −+ dxxxx )2( 32 Resolução ∫ ∫ ∫ =−+= dxxdxxdxx 2 32 CxxxCxxx +−+=+⋅−+ 2 43243 432 2 43 g) ∫ dxx5 Resolução Cdx x x +=∫ 5ln 55 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 5 h) ∫ − dxx5 Resolução ∫∫ −− = dxdx xx )5(5 1 Fazendo a=−15 , temos: =+=+=∫ − − CC a adxa xx x )5(ln )5( ln 1 1 CC xx +−=+ − −− 5ln 5 5ln 5 i) ∫ − dxe x )3( Resolução Cedxedxe xxx +−=−=− ∫∫ 33)3( j) ∫ − dxe x Resolução ∫∫ −− = dxedxe xx )( 1 Fazendo ae =−1 , temos: ∫ =+=+= − − C e eC a adxa xx x 1 1 ln )( ln CeCe x x +−=+ − − − 1 k) ∫ dxe x2 Resolução ∫∫ = dxedxe xx )( 22 Fazendo ae =2 , temos: ∫ =+=+= Ce eC a adxa xx x 2 2 ln )( ln CeCe +=+ 2 2 2 1 2 l) ∫ + dxe xx )22( Resolução ∫ ∫∫ =+=+ dxdxedxe xxxx 22)22( Ce x x ++ 2ln 22 m) ∫ + dx x x 1 Resolução ∫ + dx x x 1 ∫ ∫ ++=+= Cx xdx x dxx ln 2 1 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 6 n) ∫ + dxx x 3 2 1 Resolução ∫ ∫∫ =+= + dxxdx x dxx x 3 2 3 2 11 ∫ ∫ =+ + + +− =+= + +− − Cxxdxxdxx 1 2 312 1 2 3 12 2 3 2 Cx x Cxx +⋅+−=++ − − 5 2 5 1 5 21 2 51 o) ∫ − dx x xx Resolução ∫∫ = −= − dx x x x xdx x xx ∫ ∫ ∫ ∫ =−=− − dxdxxdxdx x x 2 11 2 1 1 ∫ ∫ =+− + =−= + Cxxdxdxx 1 2 1 1 2 1 2 1 CxxCxx +−⋅=+− 3 2 3 3 2 2 3 p) ∫ dxxcos5 Resolução ∫∫ +== Cxsendxxdxx 5cos5cos5 q) ∫ − dxxsen )( Resolução ∫∫ =−=− dxxsendxxsen )( CxCx +=+−− cos)cos( r) ∫ −⋅+ dx x xsenx 1 2 1 cos Resolução =−⋅+= ∫ ∫ ∫ dxx dxxsendxx 1 2 1 cos Cxxxsen +−⋅− lncos 2 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 7 s) ∫ − ++ + dx x x x 2 2 2 1 3 sec 1 1 Resolução ∫ ∫ ∫ = − ++ + = dx x dxxdx x 2 2 2 1 13sec 1 1 Cxsenarcxtgxtgarc +⋅++ 3 t) ∫ − 299 x dx Resolução ∫ ∫∫ = − = − = − 222 13)1(999 x dx x dx x dx ∫ += − Cxsenarc x dx 3 1 13 1 2 u) ∫ + 222 x dx Resolução ∫ ∫∫ =+ =+ = + 222 12 1 )1(222 x dx x dx x dx Cxtgarc + 2 1 EXERCÍCIOS Questão 01 Calcule a integral de: a) 5)( =xf b) 3)( −=xf Questão 02 Calcule a integral de: a) 7)( xxf = b) 21)( xxf = c) 0)( xxf = Questão 03 Calcule a integral de: a) 2)( xxxf += b) 41)( xxf += c) 3)( 6 += xxf Questão 04 Calcule a integral de: a) 23)( xxf = b) xxf 5)( = c) 50)( xxf = Questão 05 Calcule a integral de: a) 64)( xxf = b) 232)( xxxf +− c) xxxf 3)( 3 −= CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 8 Questão 06 Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ∫ dxx32 b) ∫ − dxx )1( 2 c) ∫ −+ dxxx )532( 2 d) ∫ ++ dxxxx )( 32 e) ∫ −++− dxxxxx )342( 234 f) ∫ +−+ dxxxx )1242( 35 g) ∫ + dx xx 32 32 h) ∫ dxx i) ∫ dxxx 3 j) ∫ dx x xx 3 2 k) ∫ + dx x x 1 l) ∫ + dx xx 2 11 m) ∫ −+ dx x xx 2 2 1 n) ( )( )∫ +−+ dxxxx 11 o) ∫ + dxxsenx )( p) ∫ ⋅⋅ dxxtgxsec2 q) dxxsenxe x ∫ ⋅−⋅+ 2 3cos2 r) dx xx x∫ − + + − 22 2 1 4 1 3 sec s) ∫ +⋅ dxxgxx )cotsec(cosseccos t) ∫ ⋅+ dxe xx )432( u) ∫ ⋅ dxxx 23 Questão 07 Sendo k um número real não nulo, mostre que ∫ +⋅= Cek dxe xkxk 1 . Questão 08 Calcule: a) ∫ dxxdx d 3 b) ∫ dxxdx d 6
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