Introdução ao Cálculo 1

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Disciplina: Cálculo 1
Tema: Pré-Cálculo
Professor: Bruno de Oliveira Chagas
27 de março de 2017
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 1 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 2 / 33
Funções
Objetivos da subseção:
Avaliar uma função definida por fórmulas;
Determinar quando duas funções são iguais;
Determinar o domínio e o contradomínio de uma função;
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 3 / 33
Funções
Função e Domínio. Uma função associa cada número em um conjunto de
números reais, chamado de domínio de uma função, a somente um valor
real.
Geralmente denotamos funções por letras f , g e h. Se f é uma função e
x é um número no domínio de f , então o número que f associa com x é
denotado por f (x) e é chamado de valor da função f em x .
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 4 / 33
Funções
Exemplo 1) Suponha uma função f definida pela fórmula
f (x) = x2
para todo valor real x . Avalie a função em
(a) f (3)
(b) f
(−12)
(c) f (1+ t)
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 5 / 33
Funções
Igualdade de Funções. Duas funções são iguais se, e somente se, elas pos-
suem o mesmo domínio e assumem os mesmos valores neste domínio.
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 6 / 33
Funções
Exemplo 2) Suponha f uma função cujo domínio é o conjunto dos números
reais dada pela fórmula f (x) = x2. Suponha g uma função cujo domínio é
o conjunto dos inteiros positivos dada pela fórmula f (x) = x2. As funções
f e g são iguais?
Exemplo 3) Suponha f (x) = x2 e g(x) = 3x−2 cujo domínio destas funções
é o conjunto {1, 2}. Estas funções são iguais?
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 7 / 33
Domínio Não Especificado. Se uma função é definida por uma fórmula, cujo
domínio não é especificado, então o domínio é assumido como o conjunto
de valores reais onde a fórmula faz sentido e produz números reais.
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 8 / 33
Exemplo 4) Encontre o domínio das funções
(a) f (x) = (3x − 1)2
(b) g(x) = x
2+3x+7
x−4
(c) h(x) =
√
x − 5
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Imagem. A Imagem de uma função f é o conjunto de números y tais que
f (x) = y para pelo menos um x no domínio de f .
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Exemplo 5) Suponha f (x) = 3x + 1 cujo domínio é o intervalo [2, 5]. Veri-
fique se
(a) 10 está na imagem da função
(b) 19 está na imagem da função
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 11 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 12 / 33
Plano Coordenado e Gráficos
Objetivos da subseção:
Localizar pontos no plano coordenado
Esboçar o gráfico de uma função
Determinar o domínio e a imagem de uma função através de seu
gráfico
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 13 / 33
Plano Coordenado. O Plano Coordenado (ou Plano Cartesiano) é construído
com uma linha horizontal e uma vertical chamadas de, respectivamente, eixo
das ordenadas (eixo x) e eixo das abscissas (eixo y). A intersecção entre essas
duas retas é chamada de origem. Representamos os pontos neste plano por
coordenadas denotadas (x , y).
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 14 / 33
Exemplo 6) Localize no plano os pontos
(a) (2,1)
(b) (1/2,-1)
(c) (-3,-3)
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 15 / 33
Gŕafico. O Gráfico de uma função é o conjunto de pontos da forma (x , f (x))
enquanto x varia no domínio de f .
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Exemplo 7) Esboce o gráfico das funções
(a) f (x) = 3x − 1
(b) g(x) = x
2−1
x−1
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Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 18 / 33
Composta de funções. Se f e g são funções, então a composição de f e g ,
denotada por f ◦ g , é a função definida por
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) (1)
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 19 / 33
Exemplo 8) Seja f (x) = 3x − 2 e g(x) = x2, determine
(a) f (g(x))
(b) g(f (x))
(c) f (f (x))
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 20 / 33
Função Bijetora. Uma função f é chamada bijetora se para cada y na
Imagem de f existe um único valor x no domínio tal que f (x) = y .
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 21 / 33
Função Inversa. Suponha f uma função bijetora. Se f (x) = y , então
f −1(y) = x é sua função inversa.
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 22 / 33
Exemplo 9) Encontre a função inversa de f (x) = 4x+52x+3 .
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Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 24 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
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Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 26 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 27 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções QuadráticasExpoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 28 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 29 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 30 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 31 / 33
Sumário
1 Funções e Gráficos
Funções
Plano Coordenado e Gráficos
Funções Composta e Inversa
2 Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
Funções Lineares
Funções Quadráticas
Expoentes
Polinômios
3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Funções Exponenciais
Funções Logarítimicas
Número Neperiano e Logaritmo Natural
4 Trigonometria
Seno, Cosseno, Tangente e Outras
Identidades Trigonométricas
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 32 / 33
Bruno de Oliveira Chagas 27 de março de 2017 33 / 33
	Funções e Gráficos
	Funções
	Plano Coordenado e Gráficos
	Funções Composta e Inversa
	Funções Lineares, Quadráticas e Polinomiais
	Funções Lineares
	Funções Quadráticas
	Expoentes
	Polinômios
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	Funções Exponenciais
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	Trigonometria
	Seno, Cosseno, Tangente e Outras
	Identidades Trigonométricas