59728277 Mecanica dos Fluidos Cap 7

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E S C O A M E N T O P E R M A N E N T E D E 
F L U I D O I N C O M P R E S S Í V E L E M 
C O N D U T O S F O R Ç A D O S 
I n t r o d u ç ã o 
N o C a p í t u l o 4 f o i v i s t o q u e a e q u a ç ã o d a e n e r g i a , d e n t r o d e h i p ó t e s e s c o n v e n i e n t e s , r e d u z - s e a : 
H , + H
M = H , + H
p u 	
( 7 . 1 ) 
e m q u e o s i g n i f i c a d o d a s p a r c e l a s f o i a m p l a m e n t e e x p l i c a d o n a q u e l e c a p í t u l o . 
M u i t o s d o s p r o b l e m a s r e f e r e n t e s a i n s t a l a ç õ e s h i d r á u l i c a s r e c a e m n a s h i p ó t e s e s d e v a l i d a d e d a 
E q u a ç ã o 7 . 1 e v i s a m à d e t e r m i n a ç ã o d e u m a d e s u a s p a r c e l a s , d e v e n d o , p o r t a n t o , s e r c o n h e c i d a s a s 
o u t r a s t r ê s . 
N ã o s e d e s e j a q u e o l e i t o r f a ç a d i s s o u m a r e g r a , p o i s o u t r o s c a s o s a c o n t e c e m , m a s m u i t a s v e z e s 
a i n c ó g n i t a n o s p r o b l e m a s é o t e r m o H
M 
 ( c a r g a m a n o m é t r i c a d a m á q u i n a ) q u e , c o m o a p r e s e n t a d o , é 
u t i l i z a d o n o c á l c u l o d e s u a p r ó p r i a p o t ê n c i a . N e s s e c a s o , n o r m a l m e n t e , H , e H , s ã o c o n h e c i d o s p e l o 
p r o j e t i s t a , p e l a p r ó p r i a c o n f i g u r a ç ã o d a i n s t a l a ç ã o e p e l a s c o n d i ç õ e s q u e l h e s ã o i m p o s t a s c o m o , p o r 
e x e m p l o , a v a z ã o d i s p o n í v e l o u n e c e s s á r i a p a r a u m a c e r t a a p l i c a ç ã o . 
R e s t a r i a , n e s s e c a s o , c o n h e c e r o t e r m o H
P 1 2 
( p e r d a d e c a r g a ) , p a r a q u e , p o r m e i o d a E q u a ç ã o 
7 . 1 , f o s s e p o s s í v e l d e t e r m i n a r H
M . 
O o b j e t i v o d e s t e c a p í t u l o é e x a t a m e n t e e s t a b e l e c e r m é t o d o s p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a p e r d a d e 
c a r g a e c o m i s s o r e s o l v e r a E q u a ç ã o 7 . 1 , q u a l q u e r q u e s e j a a i n c ó g n i t a p r e f i x a d a p e l o p r o j e t o . 
O e s t u d o d o C a p í t u l o 7 i m p l i c a , m a i s d o q u e q u a l q u e r o u t r o , a n e c e s s i d a d e d e c o n h e c i m e n t o 
d e t o d o s o s o u t r o s j á e s t u d a d o s , d e v e n d o o l e i t o r r e p o r t a r - s e a e l e s s e m p r e q u e n e c e s s á r i o . 
D e f i n i ç õ e s 
N e s t e i t e m s e r ã o i n t r o d u z i d o s d e f i n i ç õ e s e c o n c e i t o s u t i l i z a d o s a o l o n g o d o c a p í t u l o . P r e f e -
r e - s e a p r e s e n t á - l o s i n i c i a l m e n t e p a r a n ã o i n t e r r o m p e r a s e q ü ê n c i a n o s i t e n s p o s t e r i o r e s o n d e f o r e m 
n e c e s s á r i o s . 
7 . 2 . 1 	
C o n d u t o s — 
C l a s s i f i c a ç ã o 
C o n d u t o é q u a l q u e r e s t r u t u r a s ó l i d a , d e s t i n a d a a o t r a n s p o r t e d e f l u i d o s . 
O s c o n d u t o s s ã o c l a s s i f i c a d o s , q u a n t o a o c o m p o r t a m e n t o d o s f l u i d o s e m s e u i n t e r i o r , e m f o r -
ç a d o s e l i v r e s . 
O c o n d u t o é d i t o f o r ç a d o q u a n d o o f l u i d o , q u e n e l e e s c o a , o p r e e n c h e t o t a l m e n t e , e s t a n c i o e m 
c o n t a t o c o m t o d a a s u a p a r e d e i n t e r n a , n ã o a p r e s e n t a n d o n e n h u m a s u p e r f í c i e l i v r e ( F i g u r a 7 . 1 a ) . 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
6 . 2 7 N u m f e n ô m e n o , a f u n ç ã o r e p r e s e n t a t i v a é d a d a p o r f ( Q
0
, g , y , v , L , g ) = 0 ; ( Q
0 
 = v a z ã o e m p e s o ; L = 
c o m p r i m e n t o c a r a c t e r í s t i c o ) . A o d e t e r m i n a r o s a d i m e n s i o n a i s p e l o t e o r e m a d o s n , u s a n d o a b a s e y , v , L , 
s e n d o T c , = f ( Q ) , n , = f ( g ) e n ' , = 1 / n , = f ( g ) , o b t e v e - s e o g r á f i c o a s e g u i r . 
a ) 
D e t e r m i n a r a s e q u a ç õ e s d i m e n s i o n a i s d e t o d a s a s g r a n d e z a s . 
b ) 
D e t e r m i n a r o s n ú m e r o s a d i m e n s i o n a i s . 
c ) 
N u m a c e r t a e x p e r i ê n c i a , y = 1 0
4
N / t u ' , v = 1 0 m / s , L = 5 m , g = 1 0 m / s
2 , µ = 1 0
- 3 N . s / m 2
. Q u a l é a v a z ã o 
e m p e s o e m N / s ? 
d ) 
P o d e - s e a f i r m a r q u e o e f e i t o d a v i s c o s i d a d e é d e s p r e z í v e l ? E m q u e c o n d i ç õ e s ? 
e ) 
S e o s d a d o s d o i t e m ( c ) c o r r e s p o n d e m a u m m o d e l o , q u a l é a e s c a l a d a s v a z õ e s e m p e s o c o m u m p r o t ó -
t i p o q u e é e n s a i a d o c o m o m e s m o f l u i d o e q u e t e m e s c a l a g e o m é t r i c a 1 / 1 6 ? 
t
o - 3 
8 x 1 0
- 4 
 6 x 1 0- 4 
 4 x 1 0- 4 
 2 x 1 0- 4 
R e s p . : c ) 1 . 5 0 0 N / s ; e ) 1 / 1 . 0 2 4 
6 . 2 8 A p o t ê n c i a ( N ) , n e c e s s á r i a p a r a o a c i o n a m e n t o d e u m b a r c o , é f u n ç ã o d e p , v , g , L = c o m p r i m e n t o d a l i n h a 
d ' á g u a e A „ = á r e a f r o n t a l s u b m e r s a . O b a r c o d e v e s e d e s l o c a r c o m u m a v e l o c i d a d e d e 3 6 k m / h . 
a ) 
D e t e r m i n a r o s a d i m e n s i o n a i s n e c e s s á r i o s a o e s t u d o d a s e m e l h a n ç a c o m u m m o d e l o n a e s c a l a 1 / 1 0 0 . 
b ) 
Q u a l d e v e s e r a v e l o c i d a d e d e e n s a i o d o m o d e l o e m á g u a , p a r a c o n s e g u i r s e m e l h a n ç a c o m p l e t a ? 
c ) 
Q u a l é a p o t ê n c i a n e c e s s á r i a e m k W p a r a d e s l o c a r o b a r c o n a v e l o c i d a d e d a d a , s e n o l a b o r a t ó r i o m e -
d i u - s e u m a f o r ç a n o m o d e l o d e 0 , 7 5 N ? 
L = l i n h a d ' á g u a 
	
A f t . = 
á r e a f r o n t a l 
s u b m e r s a 
R e s p . : b ) 3 , 6 k m / h ; c ) 7 . 5 0 0 k W 
F i g u r a 7 . 2 
b o r d o d e a t a q u e 
7 . 2 . 2 	
R a i o e d i â m e t r o h i d r á u l i c o 
R a i o h i d r á u l i c o ( R
H
) é d e f i n i d o c o m o : 
( 3 ) 
v o 
s e ç ã o a o l o n g e 
F i g u r a 7 . 1 
( 2 ) 
B
D 	
 
( a ) 
( b ) 
v 
. n n 1 
b o r d o d e f u g a 
a 
a 
jj . 
 
a 
b 
 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
O c o n d u t o é d i t o l i v r e q u a n d o o f l u i d o e m m o v i m e n t o a p r e s e n t a u m a s u p e r f í c i e l i v r e ( F i g u r a 
7 . 1 b ) . 
C A P 1 T U L O 7 	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
b r e p l a c a s p l a n a s e e s s a n o ç ã o s e r á a p r o v e i t a d a n o p r ó x i m o i t e m p a r a o e s t u d o d o m e s m o f e n ô m e n o 
n o e s c o a m e n t o e m c o n d u t o s . 
R H 
A 
	
( 7 . 2 ) 
o n d e : A = á r e a t r a n s v e r s a l d o e s c o a m e n t o d o f l u i d o ; 
= p e r í m e t r o ' m o l h a d o ' o u t r e c h o d op e r í m e t r o , d a s e ç ã o d e á r e a 
A , e m q u e o f l u i d o e s t á e m c o n t a t o c o m a p a r e d e d o c o n d u t o . 
D i â m e t r o h i d r á u l i c o 
( D
H
) 
é d e f i n i d o p o r : 
D H = 4 R , 
	
( 7 . 3 ) 
A t a b e l a a s e g u i r a p r e s e n t a a l g u n s e x e m p l o s : 
A 
i c D 2 
o 
n D 
4 a 
2 ( a + b ) 
2 a + 1 3 
R H 
D 
4 
a 
4 
a b 
D H 
 D 
a 
2 a b 
4 
a 2 
a b 
a b 
2 ( a + b ) 
a b 
( a + b ) 
4 a b 
2 a + b 
2 a + b 
	
a 2 Y j 
	
3 a 
	
a T 3 	
a 4 1 
	
4 
	
1 2 	
3 
a 
7 . 2 . 3 	
C a m a d a l i m i t e n u m a p l a c a p l a n a 
A n o ç ã o d e ' c a m a d a l i m i t e ' s e r á m u i t o ú t i l a o l o n g o d e s t e c a p í t u l o , c o m o s e r á v i s t o d u r a n t e o 
s e u d e s e n v o l v i m e n t o . 
E s s e c o n c e i t o é m a i s f a c i l m e n t e i n t r o d u z i d o n o e s c o a m e n t o d e f l u i d o s s o b r e p l a c a s p l a n a s d o 
q u e n o e s c o a m e n t o e m c o n d u t o s . P o r c a u s a d i s s o , n e s t e i t e m s e r á f e i t o o e s t u d o d a c a m a d a l i m i t e s o - 
S e j a u m a p l a c a p l a n a d e e s p e s s u r a m u i t o p e q u e n a , i n t r o d u z i d a p a r a l e l a m e n t e a u m e s c o a m e n -
t o u n i f o r m e e e m r e g i m e p e r m a n e n t e d e u m f l u i d o . 
S e j a a v e l o c i d a d e d o f l u i d o , a o l o n g e d a p l a c a , u n i f o r m e d e v a l o r v
0 . 
O s a c o n t e c i m e n t o s s e r ã o e x p l i c a d o s p a r a u m d o s l a d o s d a p l a c a , s e n d o q u e d o o u t r o o a s p e c t o 
s e r á s i m é t r i c o . 
S u p o n h a q u e , p o r m e i o d e u m m e d i d o r , s e j a m d e t e c t a d a s a s v e l o c i d a d e s n o s p o n t o s a o l o n g o 
d e u m a s e ç ã o v e r t i c a l ( 1 ) ( F i g u r a 7 . 2 ) . 
A o f a z e r i s s o , v e r i f i c a - s e q u e j u n t o à p l a c a , d e v i d o a o p r i n c í p i o d a a d e r ê n c i a , a v e l o c i d a d e é 
n u l a . Q u a n d o s e p e r c o r r e a v e r t i c a l ( 1 ) , a v e l o c i d a d e é c r e s c e n t e a t é q u e , n u m p o n t o A , a v e l o c i d a d e 
c o i n c i d a c o m v
o 
 e a s s i m s e m a n t e n h a p a r a t o d o s o s p o n t o s a c i m a d e l e . 
É ó b v i o q u e o f l u i d o a t é o p o n t o A s o f r e u a i n f l u ê n c i a d a p r e s e n ç a d a p l a c a , i n f l u ê n c i a e s t a q u e 
é d e n o t a d a p e l a e x i s t ê n c i a d e u m g r a d i e n t e d a v e l o c i d a d e a o l o n g o d a v e r t i c a l . A c i m a d o p o n t o A , o 
f l u i d o c o m p o r t a - s e c o m o s e a p l a c a n ã o e x i s t i s s e , i s t o é , e s c o a c o m a m e s m a v e l o c i d a d e v
o u n i f o r m e 
q u e e l e p o s s u í a a o l o n g e . S e a m e s m a e x p e r i ê n c i a f o r e f e t u a d a a o l o n g o d e v e r t i c a i s m a i s a f a s t a d a s 
d o b o r d o d e a t a q u e , c o m o a ( 2 ) e a ( 3 ) , v e r i f i c a - s e u m a r e p e t i ç ã o d a q u i l o q u e a c o n t e c e u n a ( 1 ) , c o m 
a ú n i c a d i f e r e n ç a q u e o s p o n t o s 
( B ) 
e ( C ) , q u e d e n o t a m o f i m d a v a r i a ç ã o d a v e l o c i d a d e , e s t a r ã o 
m a i s a f a s t a d o s d a p l a c a . 
S e i s s o f o r r e a l i z a d o e m d i v e r s a s v e r t i c a i s , v e r i f i c a - s e q u e o s p o n t o s d o t i p o A , 
B e C p e r t e n -
c e m a u m a l i n h a q u e s e r á o l u g a r g e o m é t r i c o d o s p o n t o s a p a r t i r d o s q u a i s a v e l o c i d a d e p a s s a a t e r 
v a l o r v
o 
 c o n s t a n t e a o l o n g o d e c a d a v e r t i c a l ( F i g u r a 7 . 3 ) . 
v o 
F i g u r a 7 3 
O f l u i d o f i c a d i v i d i d o , p o r e s s a l i n h a , e m d u a s r e g i õ e s d i s t i n t a s . U m a e m q u e a s v e l o c i d a d e s 
s ã o m e n o r e s q u e v o 
 d e v i d o à p r e s e n ç a d a p l a c a e o u t r a , e m q u e a v e l o c i d a d e é v
o
, n ã o s e n d o i n f l u e n -
c i a d o o e s c o a m e n t o n e s s a r e g i ã o , p e l a p r e s e n ç a d a s u p e r f í c i e s ó l i d a . 
A r e g i ã o e n t r e a p l a c a e a l i n h a c o n s t r u í d a c h a m a - s e ' c a m a d a l i m i t e ' , e n q u a n t o a r e g i ã o a c i m a 
d e l a c h a m a - s e ' f l u i d o l i v r e ' . 
v o 
F i g u r a 7 . 4 
t a n q u e 
d i a g r a m a 
v a r i á v e l 
F i g u r a 7 . 6 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S C A P E T U L O 7 
	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
N o t e - s e q u e a e s p e s s u r a . e d a c a m a d a l i m i t e é c r e s c e n t e a o l o n g o d a p l a c a e p o d e - s e v e r i f i c a r 
q u e é f u n ç ã o d o p a r â m e t r o a d i m e n s i o n a l : 
R e 
x 
= p v o x = v o x 
t a n q u e 
d i a g r a m a 
v a r i á v e l 
r e g i m e d i n a m i c a m e n t e 
e s t a b e l e c i d o 
q u e n a d a m a i s é q u e u m a f o r m a d o n ú m e r o d e R e y n o l d s , c o m o f o i v i s t o n o C a p í t u l o 6 . L o g o : . e = f ( R e , ) . 
V e r i f i c a - s e q u e p a r a R e 
x < 5 x 1 0 5
, a s f o r ç a s v i s c o s a s n a c a m a d a l i m i t e s ã o c o n s i d e r á v e i s , c o m -
p a r a t i v a m e n t e c o m a s d e i n é r c i a , s e n d o o e s c o a m e n t o , d e n t r o d a c a m a d a l i m i t e , d o t i p o l a m i n a r . 
Q u a n d o o R e x 
 u l t r a p a s s a e s s e v a l o r , o e s c o a m e n t o n a c a m a d a l i m i t e p a s s a p a r a t u r b u l e n t o . 
P a r a u m d a d o f l u i d o , c o m u m a c e r t a v e l o c i d a d e v
o
, a p a s s a g e m p a r a e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o a c o n t e -
c e r á n u m a a b s c i s s a c h a m a d a c r í t i c a , c o r r e s p o n d e n t e a o v a l o r d o n ú m e r o d e R e y n o l d s d e 5 x 1 0
5 , 
t a m b é m c h a m a d o c r í t i c o . 
p v o x c r 
R e c i . = 	 — 5 x 1 0 5 
1 - 1 
X c r = 
p v o 
I s s o a c o n t e c e r á s e m p r e q u e o c o m p r i m e n t o d a p l a c a f o r m a i o r q u e i t . . . 
A p a s s a g e m d e c a m a d a l i m i t e l a m i n a r p a r a c a m a d a l i m i t e t u r b u l e n t a é f a c i l m e n t e o b s e r v á v e l 
p e l o c r e s c i m e n t o r e p e n t i n o d e s u a e s p e s s u r a , c o m o s e o b s e r v a n a F i g u r a 7 . 4 . 
T a l c r e s c i m e n t o s e d e v e a o p r ó p r i o c o n c e i t o d e m o v i m e n t o t u r b u l e n t o , e m q u e , s e n d o p e q u e -
n o o e f e i t o d a s f o r ç a s v i s c o s a s , o e f e i t o d a p r e s e n ç a d a p l a c a t r a n s m i t e - s e a u m a m a i o r d i s t â n c i a d e n -
t r o d o e s c o a m e n t o d o f l u i d o . 
A p e s a r d eo m o v i m e n t o , p a r a u m a a b s c i s s a x > x
c r
, s e r t u r b u l e n t o n o i n t e r i o r d a c a m a d a l i m i t e , 
n u m a c a m a d a d e e s p e s s u r a S m u i t o p e q u e n a , j u n t o à p l a c a , d e v i d o à s b a i x a s v e l o c i d a d e s , s u b s i s t e 
u m m o v i m e n t o d o t i p o l a m i n a r . E s s a r e g i ã o d e n o m i n a - s e ` s u b c a m a d a l i m i t e l a m i n a r ' . 
l i v r e 
f l u i d o 	
"- 1 1 1 1 1 1b
, _ mi en 
	
N i o i ~ ~ 
 
_ . , i i í , , ~
n ~ M 1 1 1 ) " ~ M ~ E 
w e i e m ~ 
q u e , c o m o 
j á o b s e r v a d o , é c r e s c e n t e . O d i a g r a m a d e v e l o c i d a d e s v a i s e a j u s t a n d o a o l o n g o d o t u b o , 
a p r e s e n t a n d o u m g r a d i e n t e n a c a m a d a l i m i t e e u m v a l o r c o n s t a n t e n o f l u i d o l i v r e . A c a m a d a l i m i t e 
c r e s c e a t é p r e e n c h e r o c o n d u t o n a a b s c i s s a x = F t . A p a r t i r d e s s e p o n t o , o d i a g r a m a t e m u m a c o n f i g u -
r a ç ã o c o n s t a n t e e m q u a l q u e r s e ç ã o d o c o n d u t o e o r e g i m e d e e s c o a m e n t ó é d e n o m i n a d o ' d i n a m i c a -
m e n t e e s t a b e l e c i d o ' . . 
C o m o f o i v i s t o , a c a m a d a l i m i t e p o d e a p r e s e n t a r u m a p a r t e l a m i n a r e u m a t u r b u l e n t a . S e o p r e -
e n c h i m e n t o d o c o n d u t o p e l a c a m a d a l i m i t e a c o n t e c e r e n q u a n t o e s t a é l a m i n a r , e n t ã o , d a í p a r a a f r e n -
t e , o e s c o a m e n t o s e r á l a m i n a r , e o d i a g r a m a d e v e l o c i d a d e s , e m c o n d u t o s d e s e ç ã o c i r c u l a r , s e r á 
( 	
2 
d a d o p o r v = v o 1 — —
r 	
, c o n f o r m e a p r e s e n t a d o n o C a p í t u l o 3 . E s s e c a s o a c o n t e c e r á s e
J 
R 
R e = / : ) 1 1 3
- < 2 . 0 0 0 . 
1 - 1 , 
É m a i s f r e q ü e n t e e s s e p r e e n c h i m e n t o d a c a m a d a l i m i t e a c o n t e c e r q u a n d o e l a j á e s t á c o m m o v i -
m e n t o t u r b u l e n t o . N e s s e c a s o , o r e g i m e d i n a m i c a m e n t e e s t a b e l e c i d o a p r e s e n t a r á d i a g r a m a s i d ê n t i c o s 
1 1 7 
e m t o d a s a s s e ç õ e s , d a d o s p e l a e x p r e s s ã o v = v ,
o . ( 1 — R —
r 	
, c o n f o r m e f o i v i s t o n o C a p í t u l o 3 ( F i g u r a 7 . 6 ) . 
P e l a e x p r e s s ã o a c i m a , p o d e - s e d e t e r m i n a r a a b s c i s s a d a p l a c a , e m q u e a c o n t e c e a p a s s a g e m d o 
m o v i m e n t o l a m i n a r p a r a t u r b u l e n t o d e n t r o d a c a m a d a l i m i t e , p o i s : 
5 x 1 0 5 µ 
c a m a d a l i m i t e 
	
F i g u r a 7 . 5 
O 
c o n c e i t o d e c a m a d a l i m i t e l a m i n a r e t u r b u l e n t a e o d e s u b c a m a d a l i m i t e l a m i n a r s e r ã o d e 
g r a n d e u t i l i d a d e n a e x p l i c a ç ã o d e f e n ô m e n o s q u e s e r ã o a p r e s e n t a d o s n o s i t e n s s e g u i n t e s . 
7 . 2 . 4 	
D e s e n v o l v i m e n t o d a c a m a d a l i m i t e e m c o n d u t o s f o r ç a d o s 
S e j a o c o n d u t o d e d e s c a r g a d e u m t a n q u e ( F i g u r a 7 . 5 ) . 
A n t e s d e o f l u i d o p e n e t r a r n o c o n d u t o , s e n d o o t a n q u e d e g r a n d e s d i m e n s õ e s , t e r á u m a v e l o c i -
d a d e u n i f o r m e . A o p e n e t r a r n o t u b o , p e l o p r i n c í p i o d a a d e r ê n c i a , h a v e r á a f o r m a ç ã o d a c a m a d a l i m i t e 
O e s c o a m e n t o , n e s s a s i t u a ç ã o , 
s e r á t u r b u l e n t o n o c o n d u t o , a n ã o s e r j u n t o à s p a r e d e s , o n d e a p a r e -
c e r á o f i l m e l a m i n a r , c u j a e s p e s s u r a 8 s e r á f u n ç ã o d e R e = —
p v D
, q u e , n e s s e c a s o , s e r á m a i o r q u e 2 . 4 0 0 . 
A p r e s e n ç a d o f i l m e l a m i n a r , n o e s c o a m e n t o e m t u b o s , p e r m i t i r á e x p l i c a r o c o m p o r t a m e n t o d e 
u m a g r a n d e z a i m p o r t a n t e n u m i t e m p o s t e r i o r . 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
C A P í T U L O 
 7 
	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
E m r e s u m o , e m c o n d u t o s o e s c o a m e n t o p o d e - s e e s t a b e l e c e r l a m i n a r , s e R e < 2 . 0 0 0 , o u t u r b u -
l e n t o , s e R e > 2 . 4 0 0 , e , n e s s e c a s o , o e s c o a m e n t o a p r e s e n t a r á s u b c a m a d a l i m i t e l a m i n a r . 
7 . 2 . 5 	
R u g o s i d a d e 
O s c o n d u t o s a p r e s e n t a m a s p e r e z a s n a s p a r e d e s i n t e r n a s q u e i n f l u e m n a p e r d a d e c a r g a d o s 
f l u i d o s e m e s c o a m e n t o . E m g e r a l , t a i s a s p e r e z a s n ã o s ã o u n i f o r m e s , m a s a p r e s e n t a m u m a d i s t r i b u i -
ç ã o a l e a t ó r i a t a n t o e m a l t u r a c o m o e m d i s p o s i ç ã o . N o e n t a n t o , p a r a e f e i t o d e e s t u d o , s u p õ e - s e i n i -
c i a l m e n t e ( t a l h i p ó t e s e s e r á r e t i r a d a p o s t e r i o r m e n t e ) q u e a s a s p e r e z a s t e n h a m a l t u r a e d i s t r i b u i ç ã o 
u n i f o r m e s . A a l t u r a u n i f o r m e d a s a s p e r e z a s s e r á i n d i c a d a p o r s e d e n o m i n a d a ' r u g o s i d a d e u n i f o r -
m e ' ( F i g u r a 7 . 7 ) . 
F i g u r a 7 . 7 
P a r a e f e i t o d o e s t u d o d a s p e r d a s n o e s c o a m e n t o d e f l u i d o s , é f á c i l c o m p r e e n d e r q u e e l a s n ã o 
d e p e n d e m d i r e t a m e n t e d e s , m a s d o q u o c i e n t e 1 D
i /
i s , q u e s e r á c h a m a d o ' r u g o s i d a d e r e l a t i v a ' . 
7 . 2 . 6 	
C l a s s i f i c a ç ã o d a s p e r d a s d e c a r g a 
S e f o r e x a m i n a d o o c o m p o r t a m e n t o d o e s c o a m e n t o d e f l u i d o s e m c o n d u t o s , s e r á p o s s í v e l d i s -
t i n g u i r d o i s t i p o s d e p e r d a d e c a r g a ( n ã o e s q u e ç a o l e i t o r q u e p e r d a d e c a r g a é a e n e r g i a p e r d i d a p e l a 
u n i d a d e d e p e s o d o f l u i d o q u a n d o e s t e e s c o a ) . 
O p r i m e i r o t i p o é c h a m a d o ' p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a ' , q u e s e r á i n d i c a d a p o r h , 
T a l p e r d a , c o m o o p r ó p r i o n o m e d i z , é a q u e a c o n t e c e a o l o n g o d e t u b o s r e t o s , d e s e ç ã o c o n s -
t a n t e , d e v i d o a o a t r i t o d a s p r ó p r i a s p a r t í c u l a s d o f l u i d o e n t r e s i . N o t e - s e q u e n e s s a s i t u a ç ã o a p e r d a 
s ó s e r á c o n s i d e r á v e l s e h o u v e r t r e c h o s r e l a t i v a m e n t e l o n g o s d e c o n d u t o s , p o i s o a t r i t o a c o n t e c e r á d e 
f o r m a d i s t r i b u í d a a o l o n g o d e l e s . 
O s e g u n d o t i p o c o r r e s p o n d e à s c h a m a d a s ' p e r d a s de c a r g a l o c a i s o u s i n g u l a r e s ' , q u e s e r ã o i n -
d i c a d a s p o r 
h , . 
E l a s a c o n t e c e m e m l o c a i s d a s i n s t a l a ç õ e s e m q u e o f l u i d o s o f r e p e r t u r b a ç õ e s b r u s c a s 
n o s e u e s c o a m e n t o . 
E s s a s p e r d a s p o d e m , d i f e r e n t e m e n t e d a s a n t e r i o r e s , s e r g r a n d e s e m t r e c h o s r e l a t i v a m e n t e c u r -
t o s d a i n s t a l a ç ã o , c o m o , p o r e x e m p l o , e m v á l v u l a s , m u d a n ç a s d e d i r e ç ã o , a l a r g a m e n t o s b r u s c o s , 
o b s t r u ç õ e s p a r c i a i s e t c . 
E s s e s l o c a i s , n a s i n s t a l a ç õ e s , c o s t u m a m s e r c h a m a d o s d e ' s i n g u l a r i d a d e s ' , p r o v i n d o d a í o 
n o m e ' p e r d a s d e c a r g a s i n g u l a r e s ' . A F i g u r a 7 . 8 m o s t r a u m a i n s t a l a ç ã o e m q u e s ã o i n d i c a d o s o s t i -
p o s d e p e r d a s q u e i r ã o a c o n t e c e r . 
E m ( 1 ) e s t r e i t a m e n t o b r u s c o , ( 2 ) e ( 3 ) c o t o v e l o s , ( 4 ) e s t r e i t a m e n t o , ( 5 ) v á l v u l a , e x i s t e m p e r d a s 
s i n g u l a r e s . 
M a i s a d i a n t e s e r á o b s e r v a d o q u e o c á l c u l o d e u m a s e o u t r a s p e r d a s s e r á e f e t u a d o d e f o r m a s d i -
f e r e n t e s , c o m o e r a d e s e e s p e r a r , j á q u e a s p r i m e i r a s d e p e n d e m d o c o m p r i m e n t o d o c o n d u t o , e n -
q u a n t o a s o u t r a s n ã o d e p e n d e m . N u m a i n s t a l a ç ã o c o m p l e t a , o t e r m o H
P 1
, d a E q u a ç ã o 7 . 1 s e r á d a d o 
p o r : 
H
P I . 2 
= . h
f + 
	
( 7 . 4 ) 
E s t u d o d a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a ( h
f ) 
A s h i p ó t e s e s a s e g u i r e s t a b e l e c e m a s c o n d i ç õ e s d e v a l i d a d e d o e s t u d o . 
a ) 
R e g i m e p e r m a n e n t e , f l u i d o i n c o m p r e s s í v e l , p a r a a v a l i d a d e d a E q u a ç ã o 7 . 1 . N o t e - s e q u e 
g a s e s q u e e s c o a m c o m p e q u e n a s v a r i a ç õ e s d e p r e s s ã o p o d e m s e r c o n s i d e r a d o s i n c o m p r e s -
s í v e i s . 
b ) 
C o n d u t o s l o n g o s . P a r a q u e n o t r e c h o c o n s i d e r a d o p o s s a s e a l c a n ç a r o r e g i m e d i n a m i c a -
m e n t e e s t a b e l e c i d o . 
c ) 
C o n d u t o s c i l í n d r i c o s , i s t o é , d e s e ç ã o t r a n s v e r s a l c o n s t a n t e , m a s q u a l q u e r . S e n a i n s t a l a ç ã o 
a á r e a d a s e ç ã o v a r i a r d e l o c a l a l o c a l , s e r á n e c e s s á r i o c a l c u l a r a p e r d a d e c a r g a e m c a d a t r e -
c h o e p o s t e r i o r m e n t e s o m á - l a s p a r a o b t e r o t o t a l . 
d ) 
R e g i m e d i n a m i c a m e n t e e s t a b e l e c i d o p a r a q u e o d i a g r a m a d e v e l o c i d a d e s s e j a o m e s m o e m 
c a d a s e ç ã o . 
e ) 
R u g o s i d a d e u n i f o r m e ( e s s a h i p ó t e s e s e r á r e t i r a d a p o s t e r i o r m e n t e ) . 
f ) 
T r e c h o c o n s i d e r a d o s e m m á q u i n a s . 
D e n t r o d e s s a s h i p ó t e s e s , s e r ã o a p l i c a d a s e n t r e a s s e ç õ e s ( 1 ) e ( 2 ) d e u m c o n d u t o a s e q u a ç õ e s 
e s t u d a d a s n o s c a p í t u l o s 3 , 4 e 5 . 
F i g u r a 7 . 9 
1 ) E q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e 
D e n t r o d a h i p ó t e s e d e f l u i d o i n c o m p r e s s í v e l , a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e r e s u l t a e m : 
Q i =
Q 2 
O U 
	
v 1 A
1 
= v
2
A
2 
M a s o c o n d u t o é c i l í n d r i c o , e n t ã o : 
E n t r e ( 1 e 2 ) , ( 2 e 3 ) , ( 3 e 4 ) , ( 4 e 5 ) e ( 5 e 6 ) e x i s t e m p e r d a s d i s t r i b u í d a s . 
A / = A . , 
v I 
 = 
v 2 	
e t e 
	
( 7 . 5 ) 
L o g o , a v e l o c i d a d e d e v e s e r c o n s t a n t e e m c a d a t r e c h o e s c o l h i d o p a r a o c á l c u l o d a p e r d a d e 
c a r g a d i s t r i b u í d a . 
F i g u r a 7 . 8 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
2 ) E q u a ç ã o d a e n e r g i a 
F i g u r a 7 . 1 0 
A e q u a ç ã o d a e n e r g i a e n t r e a s s e ç õ e s ( 1 ) e ( 2 ) , e n t r e a s q u a i s n ã o h á m á q u i n a , r e s u l t a e m : 
H
1 
= H
2 
+ 
H
P 1 2 
M a s , c u m p r i d a s a s h i p ó t e s e s d e ( a ) a ( O , H
p u = h 
f u p o r d e f i n i ç ã o . L o g o , 
h 4 , 2 = H
1 
 - H
2 
=
A H 
	
( 7 . 6 ) 
P o d e - s e e n t ã o c o n c l u i r q u e 
a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a e n t r e d u a s s e ç õ e s d e u m c o n d u t o é 
i g u a l à d i f e r e n ç a e n t r e a s c a r g a s t o t a i s d a s d u a s s e ç õ e s , m a n t i d a s a s h i p ó t e s e s d e ( a ) a ( f ) . 
M a s 	
H = 	 + + z 
< X V 
2 
p 
2 g y 
h
f 1 , 2 	
2
2 
-
e t
g 
 2 v 2
2 
 
P i 
— P 2 
L o g o : 
	
+ — z 2 
 
P e l a E q u a ç ã o 7 . 5 e r e a r r a n j a n d o o s t e r m o s t e m - s e : 
h 
f t 
= 	
+ z - (
1 1 2 - + z 
2 
	
( 7 . 7 ) 
A s o m a 
1 -) + 
z s e r á c h a m a d a ' c a r g a p i e z o m é t r i c a ' ( C P ) . 
N o t e - s e q u e , p e l a F i g u r a 7 . 1 0 , a C P p o d e s e r m e d i d a e m c a d a s e ç ã o p e l a i n s t a l a ç ã o d e u m p i e -
z ô m e t r o . A d o t a d o u m P H R , a c a r g a p i e z o m é t r i c a s e r á , e n t ã o , a d i s t â n c i a , e m c a d a s e ç ã o , 
d o n í v e l s u p e r i o r d o l í q u i d o n o p i e z ô m e t r o a t é o P H R . O b s e r v e q u e , p e l a E q u a ç ã o 7 . 7 , a 
p e r d a d e c a r g a é d a d a p e l a d i f e r e n ç a e n t r e a s c a r g a s p i e z o m é t r i c a s d a s d u a s s e ç õ e s . I s s o 
p e r m i t e e s t a b e l e c e r u m m é t o d o e x p e r i m e n t a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a p e r d a d e c a r g a . 
S e e n t r e a s s e ç õ e s ( 1 ) e ( 2 ) f o r e m i n s t a l a d o s m u i t o s p i e z ô m e t r o s , o n í v e l s u p e r i o r d o l í q u i - 
d o e m c a d a u m d e l e s i n d i c a r á a c a r g a p i e z o m é t r i c a n a s e ç ã o , i s t o é , o v a l o r d e 
12 + 
z ( F i g u r a 
7 . 1 1 ) . 
C A P Í T U L O 7 	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
F i g u r a 7 . 1 1 
O l u g a r g e o m é t r i c o d o s p o n t o s P + z é d e n o m i n a d o l i n h a p i e z o m é t r i c a , q u e m o s t r a g e o m e -
t r i c a m e n t e o a n d a m e n t o d a p r e s s ã o d o f l u i d o , a o l o n g o d o c o n d u t o . 
S e r á m o s t r a d o a s e g u i r q u e a l i n h a p i e z o m é t r i c a , d e n t r o d a s h i p ó t e s e s d e ( a ) a ( t ) , é u m a l i -
n h a r e t a , d e f o r m a q u e , c o n h e c e n d o - s e o v a l o r d e 
P - + 
z e m d o i s p o n t o s , e l a p o s s as e r t r a ç a d a . 
D e f i n e - s e l i n h a d a e n e r g i a c o m o s e n d o o l u g a r g e o m é t r i c o d o s p o n t o s : 
c t v
2 
- 	 =
H 
2 g 
2 
E s s a l i n h a é o b t i d a a o s e s o m a r a q u a n t i d a d e —
c c v 
à c a r g a p i e z o m é t r i c a e f o r n e c e r á o a n d a - 
2 g 
m e n t o d a e n e r g i a a o l o n g o d a i n s t a l a ç ã o , s e n d o p o r t a n t o s e m p r e d e c r e s c e n t e n o s e n t i d o d o 
e s c o a m e n t o , m e n o s e n t r é a s s e ç õ e s d e e n t r a d a e s a í d a d e u m a b o m b a , j á q u e e s t a f o r n e c e 
e n e r g i a p a r a o f l u i d o . 
N o t e - s e q u e m a n t i d a s a s h i p ó t e s e s d e ( a ) a ( f ) , a l i n h a d a e n e r g i a s e r á u m a r e t a p a r a l e l a à l i n h a 
2 
p i e z o m é t r i c a , j á q u e 
„ 
	
é c o n s t a n t e n o t r e c h o c o n s i d e r a d o ( F i g u r a 7 . 1 2 ) . 
2 g 
a v e 
 2 g 
F i g u r a 7 . 1 2 
A d i f e r e n ç a d e c o t a s e n t r e d o i s p o n t o s q u a i s q u e r d a l i n h a d a e n e r g i a f o r n e c e r á o v a l o r d a p e r -
d a d e c a r g a m t r e c h o c o n s i d e r a d o , i s t o é , e n t r e a s s e ç õ e s c o r r e s p o n d e n t e s a o s d o i s p o n t o s . 
h f A , B 
L E 
L P 
h f 
1 , 2 	 „ y D H 
4 r L 
( 7 . 9 ) 
3 ) E q u a ç ã o d e q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o 
C A P E T U L O 7 	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
F i g u r a 7 . 1 3 
P e l a e q u a ç ã o d a q u a n t i d a d e d e m o v i m e n t o e n t r e ( 1 ) e ( 2 ) ( E q u a ç ã o 5 . 6 ) : 
F 5 = p 1 A I n 1 + p
2 A 2 i i 2 
 + Q . ( -ç r 2 
l e m b r a n d o q u e É
. 's 
 é a f o r ç a r e s u l t a n t e d a s p r e s s õ e s e t e n s õ e s d e c i s a l h a m e n t o d a p a r e d e 
s ó l i d a s o b r e o f l u i d o . T a l f o r ç a , n e s s e c a s o , é e x e r c i d a p e l a p a r e d e i n t e r n a d o c o n d u t o e n t r e 
a s s e ç õ e s ( 1 ) e ( 2 ) . 
P r o j e t e m - s e o s v e t o r e s d e s s a e q u a ç ã o s e g u n d o o e i x o x d o c o n d u t o , o r i e n t a d o c o n f o r m e 
m o s t r a d o n a F i g u r a 7 . 1 3 . L e m b r a n d o a i n d a q u e p e l a E q u a ç ã o 7 . 5 : 
v 1 = 
L o g o : 	
+ p 2 A 2 
 + G s e n a 
C o m o a s p r e s s õ e s a g e m p e r p e n d i c u l a r m e n t e à p a r e d e l a t e r a l , a f o r ç a d e , p r e s s ã o n ã o t e r á 
c o m p o n e n t e s e g u n d o o e i x o x , d e f o r m a q u e a f o r ç a F ; s e r á c o m p o s t a s o m e n t e d a r e s u l t a n -
t e d a s t e n s õ e s d e c i s a l h a m e n t o q u e a g e m n a p a r e d e l a t e r a l d o c o n d u t o . E s s a p a r e d e t e m 
u m a á r e a d a d a p o r c s A x . 
A s s i m , s u p o n d o a s t e n s õ e s c o m d i s t r i b u i ç ã o u n i f o r m e , j á q u e o r e g i m e é d i n a m i c a m e n t e 
e s t a b e l e c i d o e a r u g o s i d a d e é u n i f o r m e , t e m - s e : 
F s = - T a á x 
O s i n a l n e g a t i v o r e s u l t a d o f a t o d e q u e e s s a f o r ç a s e o p õ e a o m o v i m e n t o e , p o r t a n t o , t e m 
s e n t i d o c o n t r á r i o a o d o e i x o x . 
L o g o : 
	 - T C Y A X = ( p 2 
 p , ) A + G s e n a 
G = y V = y á x A 
o u 	
- T a á x = ( p 2 
 - p , ) A + y A A x s e n a 
N o t e - s e q u e : 
	 á x s e n a = z 
2
- 
L o g o : 
	
T a & 
= ( p , - p , ) A + y A ( z , - z 2 ) 
D i v i d i n d o p o r y A e l e m b r a n d o q u e —
A 
= R , , t e m - s e : 
a 
T A x = [ 
	
j 
P 2 	
j 
- 	 Z 2 
Y R 	 Y . 
P e l a E q u a ç ã o 7 . 7 n o t a - s e q u e : 
4 T A x 
h 
= 	 - - 
1 
f 1 . 2 = 
	
P 2
Z 
 D 
	
Y 	 Y 
D e s s a e q u a ç ã o c o n c l u i - s e q u e a l i n h a p i e z o m é t r i c a é u m a r e t a , p o i s s e n d o r , y , R H c o n s t a n -
t e s , p o d e - s e e s c r e v e r P 
+ z = k x , q u e é a e q u a ç ã o d e u m a r e t a . 
7 
P o d e - s e c o n c l u i r , a i n d a , q u e a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a é d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a o 
c o m p r i m e n t o A x = L d o c o n d u t o e i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a o d i â m e t r o h i d r á u l i c o . S e o 
c á l c u l o d a t e n s ã o d e c i s a l h a m e n t o n a p a r e d e d o c o n d u t o n ã o f o s s e d e d i f í c i l d e t e r m i n a ç ã o , 
a e x p r e s s ã o 
s e r v i r i a p a r a o c á l c u l o d a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a . D e v i d o à q u e l a d i f i c u l d a d e , s e r á d e t e r -
m i n a d a o u t r a e x p r e s s ã o d e m a i o r u t i l i d a d e p r á t i c a . 
E U F ó r m u l a d a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a 
A d e d u ç ã o s e r á r e a l i z a d a p o r a n á l i s e d i m e n s i o n a l . 
N o f e n ô m e n o d a p e r d a d e c a r g a a f u n ç ã o r e p r e s e n t a t i v a é : y h = f ( p , v , D H , g , L , E ) 
E x i s t e m s e t e g r a n d e z a s e , p o r t a n t o , q u a t r o a d i m e n s i o n a i s . E s c o l h e n d o a b a s e p , v , D
H , o b -
t é m - s e : 
r c , - g h, f 
 , q u e p o r c o n v e n i ê n c i a s e r á u t i l i z a d o n a f o r m a T c = 
 h 
f 
v 	 v / 2 g 
p v D „
L 	
D
H 
7 C 2 = 
	
= R e ; n 3 = 	 ; 1 t 4 = 	 
I . t , 
	
D H 	
c 
L o g o , a f u n ç ã o e q u i v a l e n t e s e r á : 
h 
2 	
L D H 
= ( I ) R e „ 
D
H 
E 
2 g 
o u 	
h = —
v 2
( 1 ) ( R e „ 
L D H 
 
2 g 	 D H E 
2 
P e l a E q u a ç ã o 7 . 9 , v e r i f i c o u - s e q u e : h f a —
L 
, l o g o : h 
f
= 	
L v 
- 4 1 R e , 
D H 
 
D H 	
D H 
 2 g 
S e j a o v a l o r d e ( 1 ) R e , D H 
 = f = c o e f i c i e n t e d a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a ; e n t ã o :
J 
E 
L v 2 
h = — 	
( 7 . 1 0 ) 
D H 2 g 
N o t e - s e q u e , c o m e s s a e q u a ç ã o , d a d o s L , D
H 
 e a v a z ã o ( o u v e l o c i d a d e ) , p o d e - s e d e t e r m i n a r h , 
c o n h e c e n d o o v a l o r d e f q u e é f u n ç ã o d o n ú m e r o d e R e y n o l d s e d a r u g o s i d a d e r e l a t i v a . A o b t e n ç ã o 
d o v a l o r d o c o e f i c i e n t e f e m f u n ç ã o d o s v a l o r e s d e R e e 
D H
s e r á r e a l i z a d a e x p e r i m e n t a l m e n t e , p e l a 
E 
( 7 . 8 ) 
c o n s t r u ç ã o d e u m d i a g r a m a u n i v e r s a l , j á q u e f , R e e 
D H s ã o a d i m e n s i o n a i s . 
E 
N C 
o 
 n 
r u g o s i d a d e 
u n i f o r m e 
 
L 	
v á l v u l a p a r a 
c o n t r o l e d a 
v a z ã o 
 
 
 
 
D H 
M E C Â N I C A D O S F L UI D O S 
1 9 W - f E x p e r i ê n c i a d e N i k u r a d s e 
N i k u r a d s e r e a l i z o u u m a e x p e r i ê n c i a e m q u e p r o c u r o u d e t e r m i n a r a f u n ç ã o f = f [ R e , D H p a r a 
E 
J J 
 
c o n d u t o s c o m r u g o s i d a d e u n i f o r m e . P a r a t a n t o , c o l o u n a p a r t e i n t e r n a d e d i v e r s o s c o n d u t o s a r e i a d e 
g r a n u l o s i d a d e u n i f o r m e . F i x o u e n t ã o o s v a l o r e s d e 
E , 
L , D
H
, p e 1 . 1 n o d i s p o s i t i v o d a F i g u r a 7 . 1 4 . 
P a r a d i v e r s a s a b e r t u r a s d a v á l v u l a e , p o r t a n t o , p a r a d i v e r s a s v e l o c i d a d e s d o f l u i d o , o b t e v e o s v a l o r e s 
d e p , e p , n o s m a n ô m e t r o s i n d i c a d o s . 
P e l a e q u a ç ã o d a e n e r g i a : h 
f = 	
- P 2 ) 
 
F i g u r a 7 . 1 4 
L o g o , f i x a d o o —
1
" , o b t e v e u m a t a b e l a d e f e m f u n ç ã o d e R e = p v D H 
	
, j á q u e c a l c u l o u a v e l o c i - 
E 
d a d e e m c a d a c a s o e p , D
H 
 e l e r a m c o n h e c i d o s . 
E f e t u a n d o e s s a e x p e r i ê n c i a p a r a d i v e r s o s 
	
c o n s t r u i u u m g r á f i c o d e f = f R e , - ± -
1 J 
( F i g u r a 
E E 
7 . 1 5 ) . 
A s e g u i r s e r ã o d e s c r i t a s a s d i v e r s a s r e g i õ e s d e s s e g r á f i c o . 
F i g u r a 7 . 1 5 
( I ) C o r r e s p o n d e a R e < 2 . 0 0 0 . N e s s e t r e c h o , o d i a g r a m a é u m a r e t a e n o t a - s e q u e f s ó é f u n ç ã o 
D 
d o R e , h a v e n d o u m a ú n i c a r e t a p a r a t o d o s o s ( D H t e s t a d o s . S a b e - s e q u e , n e s s e c a s o , a s f o r ç a s v i s - 
& 
c o s a s s ã o g r a n d e s , d e s l o c a n d o a s p a r t í c u l a s s e g u n d o t r a j e t ó r i a s r e t a s p a r a l e l a s , n ã o a f e t a d a s p e l a s 
a s p e r e z a s d a p a r e d e d o c o n d u t o . P o d e - s e v e r i f i c a r q u e : 
C A P 1 T U L O 7 
	 E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
l o g f = l o g 6 4 - l o g R e 
, 
o u 
	
1 = 
6 4 
R e 
d e m o d o q u e , p a r a R e < 2 . 0 0 0 , n ã o h a v e r i a n e c e s s i d a d e d o d i a g r a m a , j á q u e , d a d o o R e , o f f i c a d e -
t e r m i n a d o . 
( H ) C o r r e s p o n d e a 2 . 0 0 0 < R e < 2 . 4 0 0 , s e n d o , p o r t a n t o , r e l a t i v o à t r a n s i ç ã o e n t r e l a m i n a r e t u r -
b u l e n t o . A c i m a d e R e = 2 . 4 0 0 o r e g i m e s e r á t u r b u l e n t o n o c o n d u t o , m a s j u n t o à p a r e d e s u b s i s t e a 
s u b c a m a d a l i m i t e , e m q u e o m o v i m e n t o é d o t i p o l a m i n a r . S a b e - s e q u e a e s p e s s u r a 8 d a s u b c a m a d a 
é f u n ç ã o d o n ú m e r o d e R e y n o l d s . D a d a a r u g o s i d a d e 
E 
d o c o n d u t o , p o d e m a c o n t e c e r d u a s c o i s a s : s e 
8 > 
E , 
a s u b c a m a d a c o b r e a s a s p e r e z a s e , s e n d o o m o v i m e n t o l a m i n a r n o s e u i n t e r i o r , a s a s p e r e z a s 
n ã o p a r t i c i p a m d a s p e r d a s ; s e 8 < e , a s a s p e r e z a s e m e r g e m d a s u b c a m a d a e p e n e t r a m n o n ú c l e o d o 
e s c o a m e n t o , q u e é t u r b u l e n t o , t e n d o e n t ã o i n f l u ê n c i a n a s p e r d a s . 
f D 	
n 
( I I I ) 
N o t e - s e q u e t o d a s a s c u r v a s p a r a a s q u a i s 	
 é g r a n d e 	 é c r e s c e n t e p a r a b a i x o 
E 
t ê m 
o t r e c h o i n i c i a l c o i n c i d e n t e c o m a c u r v a ( I I I ) i n f e r i o r . I s s o s e d e v e a o f a t o d e q u e , q u a n t o m e n o r 
o n ú m e r o d e R e y n o l d s , m a i s e s p e s s a é a s u b c a m a d a q u e p o d e c o b r i r a s a s p e r e z a s . Q u a n d o i s s o 
a c o n t e c e , a s p e r d a s e , p o r t a n t o , o c o e f i c i e n t e f s ó d e p e n d e m d o n ú m e r o d e R e y n o l d s , n ã o d e p e n d e n d o 
d o 
D H 
 . P o r c a u s a d i s s o , a s c u r v a s d e 
D H 
 m a n t ê m - s e c o i n c i d e n t e s c o m a c u r v a ( I I I ) a t é u m c e r t o n ú - 
E 
m e r o d e R e y n o l d s , a p a r t i r d o q u a l a s a s p e r e z a s f i c a m d e s c o b e r t a s . V e j a m - s e , p o r e x e m p l o , a s c u r -
v a s ( 1 ) e ( 2 ) n a F i g u r a 7 . 1 5 . 
D e A a t é B , a s c u r v a s c o i n c i d e m , p o i s -
a t é o v a l o r d e R e d o p o n t o B o 8 é m a i o r q u e a r u g o s i d a d e 
d e a m b a s a s c u r v a s . 
A p a r t i r d o p o n t o B , a c u r v a ( 1 ) s e s e p a r a , m a s a ( 2 ) n ã o , p o i s a r u g o s i d a d e d a c u r v a ( 1 ) é m a i o r 
q u e a d a ( 2 ) e , p o r t a n t o , j á e m e r g e d a s u b c a m a d a . A u m e n t a n d o o R e a t é C , a c u r v a ( 2 ) t a m b é m s e s e -
p a r a , p o i s , a p a r t i r d e s s e p o n t o , 8 é m e n o r q u e a r u g o s i d a d e c o r r e s p o n d e n t e a e s s a c u r v a . 
A c u r v a ( I I I ) c o r r e s p o n d e a o c h a m a d o ' r e g i m e h i d r a u l i c a m e n t e l i s o ' , p o r q u e o f i l m e l a m i n a r , 
c o b r i n d o a s a s p e r e z a s , f a z c o m q u e o n ú c l e o d o e s c o a m e n t o , q u e é t u r b u l e n t o , d e s l i z e s o b r e u m a p a -
r e d e l i s a , f o r m a d a p e l a s u b c a m a d a l i m i t e l a m i n a r . 
( I V ) 
E s s a r e g i ã o é a c o m p r e e n d i d a e n t r e a c u r v a ( I I I ) e a r e t a x y . N e s s a r e g i ã o , t o d a s a s c u r v a s 
d e 
D H 
 e m e r g e m d a s u b c a m a d a e o c o e f i c i e n t e f d e p e n d e d e R e e r -
i 
 E s s a r e g i ã o é d e t r a n s i ç ã o e n - 
E 
t r e a c u r v a ( I I I ) d o h i d r a u l i c a m e n t e l i s o e a r e g i ã o ( V ) d o h i d r a u l i c a m e n t e r u g o s o . 
( V ) 
N a r e g i ã o ( V ) , a s c u r v a s d e 
D H 
 f i c a m p a r a l e l a s a o e i x o d o s n ú m e r o s d e R e y n o l d s . I s s o 
m o s t r a q u e , d a d a u m a c u r v a —
1 -4 
 , a p a r t i r d o p o n t o d e i n t e r s e c ç ã o c o m a r e t a x y , f i n d e p e n d e d e R e y - 
n o l d s , i s t o é , v a r i a ç õ e s n o R e n ã o a f e t a m a s p e r d a s . I s s o e r a d e s e e s p e r a r , p o i s n o C a p í t u l o 6 f o i v e - 
r i f i c a d o q u e n ú m e r o s d e R e y n o l d s e l e v a d o s i m p l i c a m o f a t o d e q u e a s f o r ç a s v i s c o s a s n ã o m a i s 
i n f l u e m n o f e n ô m e n o . N e s s a r e g i ã o , a s v a r i a ç õ e s d o c o e f i c i e n t e f s ã o d e v i d a s s o m e n t e a o 
D H
e , 
p o r t a n t o , à r u g o s i d a d e . D i z - s e , e n t ã o , q u e o r e g i m e é ' h i d r a u l i c a m e n t e r u g o s o ' . 
C o n d u t o s i n d u s t r i a i s 
A e xp e r i ê n c i a d e N i k u r a d s e , c o m o f o i v i s t o , b a s e o u - s e n o f a t o d e q u e a r u g o s i d a d e d o s c o n d u -
t o s e r a u n i f o r m e . E l e c o n s e g u i u i s s o a r t i f i c i a l m e n t e , c o l a n d o a r e i a d e g r a n u l a ç ã o c a l i b r a d a n o i n t e - 
 
l o g f x
\ 
	
( D H / e
)
l 
 
 
 
( 7 . 1 1 ) 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
r i o r d o s c o n d u t o s u t i l i z a d o s n a p e s q u i s a . N a p r á t i c a , e s s a c o n d i ç ã o n ã o s e v e r i f i c a , p o i s o s c o n d u t o s 
i n d u s t r i a i s a p r e s e n t a m u m a d i s t r i b u i ç ã o a l e a t ó r i a d e r u g o s i d a d e s . 
C o l e b r o o k , a o r e p e t i r a s m e s m a s e x p e r i ê n c i a s d e N i k u r a d s e p a r a c o n d u t o s i n d u s t r i a i s , v e r i f i -
c o u q u e o c o m p o r t a m e n t o e x p e r i m e n t a l é a n á l o g o . 
S u p e r p o n d o o s s e u s r e s u l t a d o s a o s d e N i k u r a d s e , C o l e b r o o k c r i o u o c o n c e i t o d e ' r u g o s i d a d e 
e q u i v a l e n t e k ' , i s t o é , o v a l o r c o r r e s p o n d e n t e a E d o t u b o a r t i f i c i a l p a r a o q u a l a s e x p e r i ê n c i a s d e C o -
l e b r o o k , c o m t u b o s i n d u s t r i a i s , s u p e r p õ e m - s e à q u e l a s d e N i k u r a d s e n a r e g i ã o h i d r a u l i c a m e n t e r u -
g o s a . E m t e r m o s m a i s s i m p l e s , a r u g o s i d a d e e q u i v a l e n t e k é u m a r u g o s i d a d e f i c t í c i a , u n i f o r m e , q u e 
s u b s t i t u í d a n o l u g a r d a r u g o s i d a d e r e a l d e u m t u b o i n d u s t r i a l c a u s a o m e s m o e f e i t o . 
M o o d y e , p o s t e r i o r m e n t e , R o u s e c o n s t r u í r a m , p a r a t u b o s r e a i s , o d i a g r a m a c o n h e c i d o c o m o 
d i a g r a m a d e M o o d y - R o u s e ( F i g u r a 7 . 1 6 ) . D o l a d o e s q u e r d o d o d i a g r a m a , o b s e r v a - s e o v a l o r d a s r u -
g o s i d a d e s e q u i v a l e n t e s p a r a d i v e r s o s m a t e r i a i s . 
N o t e - s e q u e a o u t i l i z a r o d i â m e t r o h i d r á u l i c o n a s e x p r e s s õ e s 
R e = 
p v D , v D , 
D H 
e 
L v 2 
h , = 
D H 2 g 
e l a s v a l e m p a r a c o n d u t o s d e q u a l q u e r s e ç ã o , c i r c u l a r o u n ã o . 
" ï 
	
t í p i c o s e n v o l v e n d o a p e n a s p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a 
E m m u i t a s i n s t a l a ç õ e s , a p e r d a d e c a r g a s i n g u l a r é d e s p r e z í v e l , f a c e à d i s t r i b u í d a . É o c a s o , p o r 
e x e m p l o , d e i n s t a l a ç õ e s l o n g a s c o m p o u c a s s i n g u l a r i d a d e s . O c a s o c o n t r á r i o t a m b é m a c o n t e c e . N a s 
i n s t a l a ç õ e s r e s i d e n c i a i s , p o r e x e m p l o , d e v i d o a o g r a n d e n ú m e r o d e s i n g u l a r i d a d e s , a s p e r d a s d i s t r i -
b u í d a s s ã o d e s p r e z í v e i s c o m p a r a t i v a m e n t e à s s i n g u l a r e s . 
S e r ã o a q u i e s t u d a d a s a s s o l u ç õ e s d e t r ê s p r o b l e m a s t í p i c o s l i g a d o s a o p r i m e i r o c a s o , i s t o é , a s 
p e r d a s s i n g u l a r e s , s e e x i s t i r e m , s e r ã o d e s p r e z í v e i s . 
S e j a m o s p r o b l e m a s e m q u e s ã o e n v o l v i d a s a s v a r i á v e i s L , D H , Q , v , k e h
f . P o d e m - s e o b s e r v a r 
t r ê s c a s o s i m p o r t a n t e s : 
1 ° 
 c a s o : d a d o s : L , D
H , Q , v , k , p r o c u r a - s e h , ; 
2 " . 
 c a s o : d a d o s : L , D H , 
h f , 
v , k , p r o c u r a - s e Q ; 
3 " c a s o : d a d o s : L , Q , h
f , v , k , p r o c u r a - s e D
H . 
V o l t a - s e a r e s s a l t a r o f a t o d e q u e o e s t u d o f e i t o a s e g u i r p a r a e s s e s t r ê s c a s o s s ó s e r á v á l i d o s e 
H P 1 2 
= h f u , i s t o é , h
s O . 
O e s t u d o d o s t r ê s c a s o s s e r á f e i t o p o r e x e m p l o s n u m é r i c o s , q u e p o d e r ã o s e r v i r c o m o m o d e l o 
s e m p r e q u e u m p r o b l e m a s e e n q u a d r a r n u m d e l e s . 
1 2 
 c a s o 
d
x e m p l o 
D e t e r m i n a r a p e r d a d e c a r g a p o r k m d e c o m p r i m e n t o d e u m a t u b u l a ç ã o d e a ç o d e s e ç ã o c i r c u l a r d e d i â m e t r o 4 5 
c m . O f l u i d o é ó l e o ( v = 1 , 0 6 x 1 0
- 5 m 2
/ s ) e a v a z ã o é 1 9 0 L / s . 
S o l u ç ã o 
P e l o f a t o d e a t u b u l a ç ã o s e r d e a ç o , n o c a n t o e s q u e r d o d a F i g u r a 7 . 1 6 e n c o n t r a - s e k = 0 , 0 0 0 0 4 6 m o u k = 4 , 6 x 1 0
- 5 m . 
S e n d o d e s e ç ã o c i r c u l a r , D = D . = 0 , 4 5 m . 
C A P Í T U L O 7 	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
	
„ - P  
F i g u r a 7 . 1 6 
, 
A I r D
2 - 	
x 0 , 4 5 - = 1 , 1 9 m / s 
 
v = 2
= 
 4 Q _ 4 x 1 9 0 x 1 0
- 3 
 	 
( 2 ) 
( 1 ) 
1 0 m 
( 7 . 1 5 ) 
R e ^ = 
	
D E , l 2 g h
f D , . , 
v 	
i 
v 2 L 	
v 	
L 
e n o t a - s e q u e i n d e p e n d e d a v e l o c i d a d e ; l o g o , p o d e s e r c a l c u l a d o . O p e r a - s e , e n t ã o , d a s e g u i n t e f o r m a : 
f = f R e . N r f
- ; - - 1 -4 1 ) 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
h f -
f L v 2 
D E
, 2 g 
S e j a g = 1 0 i n / s
2
; s ã o c o n h e c i d o s L e 
D H ; 
n ã o s e t ê m n e m v n e m f . O f é f u n ç ã o d a v e l o c i d a d e , p o i s d e p e n d e d o R e . 
D e v e - s e , e n t ã o , c a l c u l a r v . 
D e t e r m i n a ç ã o d e f 
f = f ( R e 
k 
k 	
4 , 6 x 1 0 '
5 
A f u n ç ã o f d e v e r á e n t ã o s e r c a l c u l a d a n o p o n t o 
f = f ( 5 x 1 0
4
; 1 0 . 0 0 0 ) 
N o d i a g r a m a d e M o o d y - R o u s e ( F i g u r a 7 . 1 6 ) d e v e - s e f a z e r a d e t e r m i n a ç ã o d o f , c o n f o r m e i l u s t r a ç ã o a s e g u i r . 
( N o t e - s e q u e a s l i n h a s d e c h a m a d a , p a r a o s 
R e , 
s ã o c u r v a s . ) 
L o g o , p e l o e s q u e m a , f = 0 , 0 2 1 . 
	
L v 
	
. 
	
2 
	
1 . 0 0 0 
	
1 1 9
2 
	
h f 
 = f — — 
	
= 0 , 0 2 1 
	
x ' = 3 , 3 m 
	
D
H 2 g 	
0 , 4 5 2 x 1 0 
A p e r d a d e c a r g a , a c a d a 1 . 0 0 0 m = 1 k m d e t u b u l a ç ã o , s e r á d e 3 , 3 m . 
C A P 1 T U L O 7 
	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
2 '2 
 c a s o 
f i
x 
e m p l o 
C a l c u l a r a v a z ã o d e á g u a n u m c o n d u t o d e f e r r o f u n d i d o , s e n d o d a d o s D = 1 0 c m , v = 0 , 7 x 1 0
- 6 m
2 / s e s a b e n -
d o - s e q u e d o i s m a n ô m e t r o s i n s t a l a d o s a u m ad i s t â n c i a d e 1 0 m i n d i c a m , r e s p e c t i v a m e n t e , 0 , 1 5 M P a e 0 , 1 4 5 M p a 
( y
/ 1 2 0 = 1 0
4 
 N / m
3 ) . 
2 
S o l u ç ã o 
E q u a ç ã o d a e n e r g i a 
H , + 	
= H , + H p 
N o t r e c h o ( 1 ) - ( 2 ) s ó e x i s t e p e r d a d i s t r i b u í d a ; l o g o : 
1 , 2 
h = 
H , - H , = 
	
- ` ) L 2 v 
 + 
P I - P 2 
 + z , - z , 
2 g 
M a s : 	
v , = v
2 ; a , = a
2 
 e z , = z 2 
1 ) 1 - p
2 
 = ( 0 , 1 5 - 0 , 1 4 5 ) x 1 0
6 
 = 0 , 5 m 
 L o g o : 
	
h , - 
	 
 1 . 2 
1 0 4 
T e m - s e : D = 0 , 1 m ; v = 0 , 7 x 1 0
- 6 m
2
/ s ; L = 1 0 m ; h f = 0 , 5 m e , d a t a b e l a à e s q u e r d a d a F i g u r a 7 . 1 6 , o b t é m - s e : 
k ( f e r r o f u n d i d o ) = 0 , 0 0 0 2 5 9 m = 2 , 5 9 x 1 0
- 4 
 m 
P r o c u r a - s e a v a z ã o . N o t a - s e , e n t ã o , q u e é t i p i c a m e n t e o 2
2 
 c a s o c i t a d o a n t e r i o r m e n t e . 
Q = v A 
L V 2 
h , = 
D H 
2 g 
v 
 - . \ 1
2 g h , D H 
f L 
N o t e - s e q u e p a r a d e t e r m i n a r a v e l o c i d a d e é n e c e s s á r i o d e t e r m i n a r o v a l o r d e f , q u e , n o e n t a n t o , é f u n ç ã o d a v e l o -
c i d a d e a t r a v é s d o n ú m e r o d e R e y n o l d s . 
E n t r e t a n t o , o p r o d u t o R e - k e x i s t e n t e e m a b s c i s s a s , n a p a r t e i n f e r i o r d o d i a g r a m a d e M o o d y - R o u s e ( F i g u r a 
7 . 1 6 ) , r e s u l t a r á e m : 
D 
i l 2 g h , D „ 
	
0 , 1 	
1 2 x 1 0 x 0 , 5 x 0
,
1 
4 , 5 x 1 0
4 
v 	
L 	
0 , 7 x 1 0 - 6 V 	
1 0 
N o t e - s e q u e : 
v D 1 1 9 x 0 , 4 5 
	
 
R e = 	
= 
	
5 x 1 0
4 
v 	
1 , 0 6 x 1 0
- 
	
D u 	
0 . 4 5 = 1 0
4 
 = 1 0 . 0 0 0 
S a b e - s e q u e : 
e 
O U 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
C A P Í T U L O 7 
	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
D , 
	 0 , 1 
k 	
2 , 5 9 x 1 0 - 4 
N o d i a g r a m a , p r o c u r a - s e f = f ( 4 , 5 x 1 0 4
; 3 8 5 ) . 
R e 
	
l o s 
	
2 , 8 ' 1 0 4 
L o g o , 	
f = 0 , 0 2 7 e v = 
i i 2 g h , D H — 1 2 , X 1 0 X 
0 , 0 2 7 
0
x 1 0 
, 5 x 0 , 1 
	 = 1 , 9 2 m / s 
f L 	 1 , 1 
N o t e - s e q u e , e m v e z d e o b t e r f n o d i a g r a m a , p o d e r i a t e r - s e o p t a d o p e l a o b t e n ç ã o d e R e , e t e r í a m o s R e = 2 , 8 x 1 0
5 . 
M a s : 	 R e = v D H 
v 
e 	
v = 	 = 	 
v R e 0 , 7 x 1 0 - 6 x 2 , 8 x 1 0 5 
= 1 , 9 6 m / s 
D H 	 0 , 1 
O 
p r i m e i r o r e s u l t a d o ( v = 1 , 9 2 m / s ) é d e m a i o r c o n f i a b i l i d a d e , p o i s a l e i t u r a d e f , p e l a s e s c a l a s u t i l i z a d a s n o d i a -
g r a m a , é m a i s p r e c i s a . 
O l e i t o r d e v e r á , p o r t a n t o , o p t a r s e m p r e p e l o p r i m e i r o m é t o d o , i s t o é , p e l a l e i t u r a d o v a l o r d e f n o d i a g r a m a . 
2 Q = v A = v n D = 1 9 2 x 
n 
 x 	
0 , 1 2 
L o g o : 	
- 1 5 , 1 x 1 0 - 3 m 3 / s 
4 
O U 
	
Q = 1 5 , 1 L / s 
	 1 
3 2 c a s o 
x e m p l o 
C a l c u l a r o d i â m e t r o d e u m t u b o d e a ç o q u e d e v e r á t r a n s p o r t a r u m a v a z ã o d e 1 9 L / s d e q u e r o s e n e 
( v = 3 x 1 0 - 6 
 m 2 / s ) a u m a d i s t â n c i a d e 6 0 0 m , c o m u m a p e r d a d e c a r g a d e 3 r n . 
S o l u ç ã o 
E s s e c a s o s ó p o d e s e r r e s o l v i d o p o r t e n t a t i v a s . O m é t o d o s e r á o s e g u i n t e : 
	
V 2 	 1 , O 2 
	 Q 2 
a ) C o m o 	
h , 
	
' 	 D 2 
= f
g 	 D A
2 2 g 
= f 
D ( 7 , 1 ) 2 j 2 
I l 	
4 	
2 g 
8 Q 2 
h 	
7 C 2 D 5 g 
8 f L Q 2 
 hr
n 2 g 
b ) N a e x p r e s s ã o ( 1 ) n ã o s e t e m o v a l o r d e f n e m é p o s s í v e l c a l c u l á - l o , p o i s n ã o s e c o n h e c e m v e D . 
S e r á f e i t a u m a p r i m e i r a t e n t a t i v a c o m f = f 1 . 
c ) C a l c u l a d o o d i â m e t r o , p e l a e x p r e s s ã o ( 1 ) , p o d e - s e c a l c u l a r a v e l o c i d a d e e , c o  e l a , o R e . C o m R e e — } ± d o d i a -
g r a m a d e M o o d y - R o u s e , o b t é m - s e f
2 . 
S e f 2 f o r i g u a l a o f , a d o t a d o , e n t ã o o d i â m e t r o o b t i d o p e l a e x p r e s s ã o ( 1 ) s e r á a s o l u ç ã o ; s e n ã o , a d o t a - s e f = f 2 e 
f a z - s e u m a s e g u n d a t e n t a t i v a , r e p e t i n d o t o d o o p r o c e s s o a n t e r i o r . 
N o c a s o d o e x e m p l o , t e m - s e : t u b o d e a ç o c o m k = 4 , 6 x 1 0 - 5 
 m . 
l á t e n t a t i v a 
A d o t a - s e f 1 = 0 , 0 2 . 
D 	 . 5\ i ' 	
i l 
	
8 f , 	
- 5 
L Q 2 	 8 x 0 , 0 2 x 6 0 0 x ( 1 9 x 1 0 - 3 ) 2 = 
0 ; 1 6 4 m 
h f
n 2 g 
, = 
3 X 7 C 2 X 1 0 
4 Q _ 4 x 1 9 x 
1 0 -
3 , , 
= 
0 , 9 m / s 
= n D ¡ n x ( 0 , 1 6 4 Y 
v , D , _ 0 , 9 x 0 , 1 6 4 _ 
4 , 9 2 x 1 0 4 v 	
- 3 x 1 0
- 6 
R e , = 
D l 0 , 1 6 4 = 
3 . 5 6 0 
k = 4 , 6 x 1 0
- 5 
R e 
	
4 , 9 2 
t e n t a t i v a 
A d o t a - s e f 2 = 0 , 0 2 3 . 
L o g o : 
D 2 =
8 x 0 , 0 2 3 x 6 0 0 x ( 1 9 x 1 0
- 3 ) 2 
= 0 , 1 6 5 m 
3 x n 2 x 1 0 
É ó b v i o q u e c o m e s s a v a r i a ç ã o n o d i â m e t r o n ã o h a v e r á a l t e r a ç õ e s n o R e n e m n o D / k ; l o g o : 
f 3 = f 2 = 0 , 0 2 3 
C o n c l u i - s e , e n t ã o , q u e o d i â m e t r o d o c o n d u t o d e v e r á s e r D = 0 , 1 6 5 m . 
- 3 8 5 
	
O U 
p o r t a n t o 	
D - 5 ( 1 ) 
L o g o : 
	 E 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
	
C A P 1 T U L O 7 	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
x e m p I o s 
1 ) N a i n s t a l a ç ã o d a f i g u r a , a b o m b a B r e c a l c a á g u a d o r e s e r v a t ó r i o R , p a r a o r e s e r v a t ó r i o R 2 , a m b o s e m n í v e l 
c o n s t a n t e . D e s p r e z a n d o a s p e r d a s d e c a r g a s i n g u l a r e s , d e t e r m i n a r : 
a ) a v a z ã o n a t u b u l a ç ã o ; 
b ) a p o t ê n c i a d a b o m b a e m k W s e o r e n d i m e n t o é 7 3 % . 
D a d o s : D = 1 0 c m ; L = 5 0 m ( c o m p r i m e n t o t o t a l d a t u b u l a ç ã o ) ; t u b o s d e f e r r o f u n d i d o ( k = 2 , 5 x 1 0 4 m ) ; h f = 4 m ; 
g = 1 0 m / s 2 ; v = 1 0 - 6 
 m 2 / s ; y = 1 0
4 N / m 3 . 
( 2 ) 
R 2 
1 0 m 
( 1
) 
R I 
S o l u ç ã o 
a ) 
C o m o a s p e r d a s s i n g u l a r e s s ã o d e s p r e z í v e i s , c o n c l u i - s e q u e o p r o b l e m a s e r e f e re a o s e g u n d o c a s o . 
L v 2 
h f = f D 2 - ÷ v = 	 t L , g 
R e
. , . / i  = 
D
H 
i l 2 g D
H
h
f 
v 	
L 
R e . , . / 7 = 1 0 x 1 0 - 2 
\ I 2 x 1 0 
 x 1 0 x 1 0 - 2 x 4 
= 4 x 1 0 4 
1 0 - 6
5 0 
D , 1 0 x 1 0 - 2 
= = 4 0 0 
k 	 2 , 5 x 1 0 - 4 
P e l o d i a g r a m a d e M o o d y - R o u s e , o b t é m - s e f = 0 , 0 2 5 ; l o g o : 
v = 
i i 2 g 1 3 „ l i f 
 = 2 x 1 0 x 1 0 x 1 0
- 2 x 4 
	 = 2 , 5 5 m / s 
f L 	
0 , 0 2 5 x 5 0 
I r D 2 
= 2 , 5 5 x 
T C ( 1 0 X 1 0 - 2 ) 2 
A v a z ã o s e r á : 	
Q = v A = v 	 
4 	
4 
O U 
	 Q = 2 0 x 1 0 - 3 m 3
/ s = 2 0 L / s 
b ) E q u a ç ã o d a e n e r g i a e n t r e ( 1 ) e ( 2 ) 
H , + H , = H
2 + H p i 2 
o u 
	
H , = H
2 - H , + H p u 
m a s 	 H 2 H i 
 = 
e t 2 V 
2 g 	
+ P 2 - P i 
 + z , - z , 
C o m o o s t a n q u e s s ã o d e g r a n d e s d i m e n s õ e s e a b e r t o s à a t m o s f e r a , t e m - s e : 
H 2 - H , = z
2 - z , 
A i n d a : 	
H p , 2 
 = 1 1 ,
1 2 
 
L o g o : 	
H B = ( Z 2 - z , ) + h f i ,
, = 1 0 + 4 = 1 4 m 
y Q H 	 1 0 4 x 2 0 x 1 0 - 3 x 1 4 1 
e 	
N B = 	 B = 
0 , 7 3 	 1 . 0 0 0 
= 3 8 k W 
2 ) D a d a a t u b u l a ç ã o d a f i g u r a , c u j a s e ç ã o ( 2 ) e s t á a b e r t a à a t m o s f e r a , c a l c u l a r : 
a ) a p e r d a d e c a r g a e n t r e ( 1 ) e ( 2 ) ; 
b ) a v a z ã o e m v o l u m e . 
S a b e - s e q u e o e s c o a m e n t o é l a m i n a r . 
D a d o s : y = 9 . 0 0 0 N / m 3 ; v = 0 , 5 x 1 0
- 3 m 2 / s ; L i a = 3 0 m ; D = 1 5 c m ; P
I = 3 2 , 8 k P a . 
S o l u ç ã o 
a ) 
A p l i c a n d o a e q u a ç ã o d a e n e r g i a e n t r e ( 1 ) e ( 2 ) , t e m - s e : 
+ H , = H 2 = } I P i 2 
- " 
O U 	
H
p 1 2 = H , - H ,
= 	
C C 2 V
+ P I - P 2 
 _ I . 
P e l a e q u a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e , v , = v 2 . 
S e o r e g i m e é d i n a m i c a m e n t e e s t a b e l e c i d o , a , = a 2 . 
S e ( 2 ) e s t á a b e r t o à p r e s s ã o a t m o s f é r i c a , p 2 = 0 . 
T e m - s e a i n d a z , = z 2 . 
H = h = 
p 
= 
3 2 , 8 x 1 0 3 
= 3 , 6 4 m 
„ 
n 2 	  1 2 
y 	
9 . 0 0 0 
h f z 
= 3 , 6 4 m 
b ) 
h f = f L v2 2g 
 ( 1 ) 
D H 
N ã o s e c o n h e c e v ; l o g o , n ã o s e c o n h e c e f . C o m o , p o r é m , o e s c o a m e n t o é l a m i n a r , s a b e - s e q u e : 
f 
6 4 6 4 v 
= — = 	
( 2 ) 
R e v D H 
 
S u b s t i t u i n d o ( 2 ) e m ( 1 ) , t e m - s e : 
6 4 v L v 2 
h , = 
 V D H D H 2 g 
v = 2 g D . , h , = 
2 0 x 0 , 1 5 2 x 3 , 6 4 =
1 , 7 1 m / s 
6 4 v L 	
6 4 x 0 , 5 x 1 0 - 3 x 3 0 
T o 2 
Q = v A = v — = 1 , 7 1 x 
x 0
'
1 5 2 
= 3 0 , 1 x 1 0 - 3 
4 	
4 
Q = 3 0 , 1 x 1 0 - 3 
 m 3 / s = 3 0 , 1 L / s 
T e m - s e : 
O U 
P 
	
D l 
2 g 
L o g o : 
O U 
L o g o : 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
C A P Í T U L O 7 	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
7 . 8 
	
P e r d a s d e c a r g a s i n g u l a r e s 
J á f o i v i s t o q u e a p e r d a d e c a r g a é s i n g u l a r q u a n d o é p r o d u z i d a p o r u m a p e r t u r b a ç ã o b r u s c a n o 
e s c o a m e n t o d o f l u i d o . 
V i u - s e , t a m b é m , q u e t a i s p e r t u r b a ç õ e s s ã o p r o d u z i d a s n a s s i n g u l a r i d a d e s , c o m o v á l v u l a s , r e -
g i s t r o s , a l a r g a m e n t o s b r u s c o s e t c . 
A s p e r d a s d e c a r g a s i n g u l a r e s t a m b é m s ã o c a l c u l a d a s p o r u m a e x p r e s s ã o o b t i d a p e l a a n á l i s e 
d i m e n s i o n a l , c o m o s e g u e . 
N o f e n ô m e n o d a p e r d a d e c a r g a s i n g u l a r , a f u n ç ã o c a r a c t e r í s t i c a é : y h , = f ( v , v , p , g r a n d e z a s 
g e o m é t r i c a s d a s i n g u l a r i d a d e ) , o n d e v é u m a v e l o c i d a d e d e r e f e r ê n c i a e a s g r a n d e z a s g e o m é t r i c a s 
s ã o c a r a c t e r í s t i c a s p a r a c a d a s i n g u l a r i d a d e . 
P o r e x e m p l o , n u m a l a r g a m e n t o b r u s c o ( F i g u r a 7 . 1 7 ) , s ã o g r a n d e z a s g e o m é t r i c a s c a r a c t e r í s t i -
c a s a s á r e a s A , e A , . 
( 2 ) 
( 1 ) 
A , 	
F i g u r a 7 . 1 7 
C o n c l u i - s e e n t ã o q u e : 
—
h s 
= 4 ) ( R e , c o e f i c i e n t e s a d i m e n s i o n a i s d e f o r m a ) 
v
2 
2 g 
O v a l o r n u m é r i c o d a f u n ç ã o ( I ) , p a r a u m c e r t o v a l o r d o n ú m e r o d e R e y n o l d s e p a r a c e r t o s v a l o -
r e s d o s c o e f i c i e n t e s d e f o r m a , s e r á i n d i c a d o p o r k
s e s e r á c h a m a d o ' c o e f i c i e n t e d a p e r d a d e c a r g a 
s i n g u l a r ' . 
‘ , 2 
P o r t a n t o : 
	
h s = k 2 g 
	
( 7 . 1 6 ) 
o n d e : k s 
 = ( R e , c o e f i c i e n t e a d i m e n s i o n a l d e f o r m a ) 
N o c a s o d o a l a r g a m e n t o b r u s c o , 
k s = ( 1 ) R e , A l 
 ) 
A 2 
P a r a 
n ú m e r o s d e R e y n o l d s e l e v a d o s , c o m o s e s a b e , o f e n ô m e n o p a s s a a i n d e p e n d e r d a s f o r ç a s 
v i s c o s a s ; l o g o , n e s s e c a s o : 
k , = 4 ) ( c o e f i c i e n t e d e f o r m a ) 
E x e m p l o s d e v a l o r e s d e k , s ã o f o r n e c i d o s n a t a b e l a a s e g u i r . 
O s v a l o r e s n a t a b e l a s e r v e m a p e n a s c o m o e x e m p l o . P a r a m a i o r e s i n f o r m a ç õ e s , o l e i t o r d e v e r á 
r e c o r r e r a M a n u a i s d e H i d r á u l i c a o u a c a t á l o g o s d e f a b r i c a n t e s . 
S i n g u l a r i d a d e 
E s q u e m a 
k s 
A l a r g a m e n t o 
( 1 - A , / A
2
) 
( n o c a s o , v = v 1 ) 
I 
A 	
A , 
C a s o l i m i t e 
A . 2
> > A , 
1 
- - .Ç . 
. 
E s t r e i t a m e n t o 4 ) ( A , / A
2 ) 
: 	 1 
Á , 
C a s o l i m i t e 
A , > > 
A , 
. 
' 	
0 , 5 
- -Ç ' 
A 5 
C o t o v e l o a 9 0 ° 
1 1 1 
0 , 9 
V á l v u l a d e g a v e t a 
I I ! 
3 1 f 
h a s t e 
k i l l a m a 
g a v e t a 
T o t a l m e n t e a b e r t a 
0 , 2 
V á l v u l a t i p o g l o b o 
— I s - 
i i i 
a l U I 
T o t a l m e n t e a b e r t a 
1 0 
V á l v u l a d e r e t e n ç ã o 
0 , 5 
—
n 
 
X 
I 	 
O u t r o m é t o d o p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a s p e r d a s s i n g u l a r e s é o d o s ' c o m p r i m e n t o s e q u i v a l e n t e s ' . 
C o m p r i m e n t o e q u i v a l e n t e d e u m a s i n g u l a r i d a d e é o c o m p r i m e n t o f i c t í c i o d e u m a t u b u l a ç ã o 
d e s e ç ã o c o ns t a n t e d e m e s m o d i â m e t r o , q u e p r o d u z i r i a u m a p e r d a d i s t r i b u í d a i g u a l à p e r d a s i n g u -
l a r d a s i n g u l a r i d a d e . 
S u a d e t e r m i n a ç ã o p o d e s e r f e i t a d a s e g u i n t e f o r m a : 
S i n g u l a r i d a d e : 
	
h s = k s 
 2 g 
, r 2 
T u b o f i c t í c i o : 
L e v
2 
h 
 f = f 
D a 2 g 
	 ( 2 ) 
r e c a l q u e 
v á l v u l a d e 
r e t e n ç ã o 
( 1 ) 
F i g u r a 7 . 1 8 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
I g u a l a n d o a s d u a s e x p r e s s õ e s ( p e l a d e f i n i ç ã o d e c o m p r i m e n t o e q u i v a l e n t e ( L
e q ) , o b t é m - s e : 
	
L v 
2 	 2 
f 	 = k 
	
D H 2 g 	 s 2 g 
o u 	 L e q 
 = k D H 
 
N a p r á t i c a , o s c o m p r i m e n t o s e q u i v a l e n t e s s ã o t a b e l a d o s , d e f o r m a q u e n u m a i n s t a l a ç ã o t o d a s 
a s s i n g u l a r i d a d e s p o s s a m s e r r e d u z i d a s a c o m p r i m e n t o s i m a g i n á r i o s d e c o n d u t o s , e o c á l c u l o d a p e r -
d a t o t a l é d a d o p o r : 
H p 	 + D
- 1 , 
L v
2 
H 
=
f 
 r e a l 
	
+ f L
e q 
 v Z 
P 	 D , 2 g D H 
 2 g 
H = ( 1 - r e a l 
 + 
L 
e q 
 ) v 2 
" P 
	
D H 
	
2 g 
C o m o a m a i o r i a d o s e x e r c í c i o s q u e s e r ã o r e s o l v i d o s o u p r o p o s t o s n e s t e c a p í t u l o i r á s e r e f e r i r 
a o c á l c u l o d a s p e r d a s s i n g u l a r e s , p o r m e i o d o c o e f i c i e n t e k „ s e r á a q u i r e s o l v i d o u m e x e m p l o p a r a a 
u t i l i z a ç ã o d o c o m p r i m e n t o e q u i v a l e n t e . 
C A P Í T U L O 7 
	
E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e 
d e F l u i d o 
 I n c o m p r e s s í v e l e m 
C o n d u t o s F o r ç a d o s 
p a r a e f e i t o d e c á l c u l o d a p e r d a d e c a r g a . 
L = 3 0 + 0 , 3 3 5 + 1 7 , 6 1 + 3 , 0 1 5 1 m 
h ( = f
L v 2 
 — — 
D H 
 2 g 
A v e l o c i d a d e s e r á : 
Q 4 Q 	
4 x 2 x 1 0 -
3 
, = I m / s 
V = = 
	
= 
A n D
2 
 n x ( 5 x 1 0
— , ) `  
L o g o : 
	
R e = 
v D
" = 
1 x 5 x 1 0 - 2 
= 5 x 1 0 4 
	
v 	
1 0 - 6 
P a r a a ç o : 
	
k = 4 , 6 x 1 0
- 5 m 
	
D H 	
5 x 1 0 - 2 
L o g o : 	
= 	 = 1 . 0 9 0 
	
k 	
4 , 6 x 1 0
- 5 
 
C o m R e = 5 x 1 0
4 e -1 1 - 3 
 = 1 . 0 9 0 , d o d i a g r a m a d e M o o d y - R o u s e t e m - s e f = 0 , 0 2 5 . 
k 
5 1 	
1 2 
h f = 0 , 0 2 5 x 	 x 	
 = 1 , 2 8 m 
5 x 1 0 - 2 	 2 x 1 0 
( 7 . 1 7 ) 
( 7 . 1 8 ) 
L o g o : 
O u 
	
1 4 1 2 
 = 1 , 2 8 m 
l i x e m p l o 
N o t r e c h o ( 1 ) - ( 5 ) d e u m a i n s t a l a ç ã o e x i s t e m : u m a v á l v u l a d e g a v e t a ( 2 ) , u m a v á l v u l a t i p o g l o b o ( 3 ) e u m c o t o v e l o 
( 4 ) . S e n d o a t u b u l a ç ã o d e a ç o d e d i â m e t r o = 2 " ( 5 c m ) , d e t e r m i n a r a p e r d a d e c a r g a e n t r e ( 1 ) e ( 5 ) s a b e n d o q u e a 
v a z ã o é 2 L i s e q u e o c o m p r i m e n t o d a t u b u l a ç ã o e n t r e ( 1 ) e ( 5 ) é 3 0 c m . ( v = 1 0
- 6 m 2 / s ) 
S o l u ç ã o 
( 5 ) 
O c o m p r i m e n t o d a s s i n g u l a r i d a d e s é d e s p r e z a d o e s u p õ e - s e q u e a p e r d a d e c a r g a d i s t r i b u í d a s e j a d e v i d a a 3 0 m d e 
t u b u l a ç ã o . N o t e - s e q u e e s s e f a t o s e r á o b s e r v a d o e m t o d o s o s p r o b l e m a s d e s t e c a p í t u l o . 
H p i . 3 = h f . , 3 + h , 2 + 1 1 , 3 + h ,
4 
D a t a b e l a d e u m f a b r i c a n t e t e m - s e : 
V á l v u l a d e g a v e t a ( 2 " ) — > L e q 2 = 0 , 3 3 5 m 
V á l v u l a t i p o g l o b o ( 2 " ) 	 L e q 3 = 1 7 , 6 1 m 
C o t o v e l o ( 2 " ) — > L e, , i 4 = 3 , 0 1 m 
T u d o s e p a s s a , e n t ã o , c o m o s e a t u b u l a ç ã o t i v e s s e u m c o m p r i m e n t o d e 
L = L , + L „ „ , + L 	 + L 
i g a I n s t a l a ç õ e s d e r e c a l q u e 
É o c o n j u n t o d e e q u i p a m e n t o s q u e p e r m i t e o t r a n s p o r t e e c o n t r o l e d a v a z ã o d e u m f l u i d o . C o m -
p r e e n d e , e m g e r a l , u m r e s e r v a t ó r i o , t u b o s , s i n g u l a r i d a d e s , m á q u i n a e u m r e s e r v a t ó r i o d e d e s c a r g a . 
A t u b u l a ç ã o , q u e v a i d e s d e o r e s e r v a t ó r i o d e t o m a d a a t é a m á q u i n a , c h a m a - s e ' t u b u l a ç ã o d e 
s u c ç ã o ' e , g e r a l m e n t e , c o n t é m u m a v á l v u l a d e p é c o m c r i v o n a e n t r a d a , q u e n a d a m a i s é q u e u m a 
v á l v u l a d e r e t e n ç ã o c o m f i l t r o . E s t a t e m o o b j e t i v o d e n ã o p e r m i t i r a e n t r a d a d e d e t r i t o s n a m á q u i n a 
e a v á l v u l a d e r e t e n ç ã o n ã o p e r m i t e o r e t o r n o d o f l u i d o a o s e d e s l i g a r a b o m b a ( F i g u r a 7 . 1 8 ) . 
A t u b u l a ç ã o q u e l i g a a b o m b a c o m o r e s e r v a t ó r i o d e d e s c a r g a c h a m a - s e ' t u b u l a ç ã o d e r e c a l q u e ' 
e c o n t é m , e m g e r a l , u m a v á l v u l a d e r e t e n ç ã o e u m r e g i s t r o p a r a o c o n t r o l e d a v a z ã o ( F i g u r a 7 . 1 8 ) . 
( 1 ) — > v á l v u l a d e p é c o m c r i v o 
( 2 ) e ( 6 ) — > c o t o v e l o s 
( 3 ) 
e ( 5 ) — > r e g i s t r o s t i p o g l o b o 
( 4 ) — > v á l v u l a d e r e t e n ç ã o 
( 5 ) - - > a l a r g a m e n t o b r u s c o 
C A P Í T U L O 7 	 E s c o a m e n t o P e r m a n e n t e d e F l u i d o I n c o m p r e s s í v e l e m C o n d u t o s F o r ç a d o s 
M E C Â N I C A D O S F L U I D O S 
G e r a l m e n t e , o o b j e t i v o n a s i n s t a l a ç õ e s é a s e l e ç ã o e a d e t e r m i n a ç ã o d a p o t ê n c i a d a m á q u i n a h i -
d r á u l i c a i n s t a l a d a . P o s t e r i o r m e n t e , s e r ã o v i s t o s a l g u n s e x e m p l o s d e c á l c u l o , m a s a n t e s s e r á d i s c u t i -
d o o f e n ô m e n o d a c a v i t a ç ã o . 
A o a p l i c a r a e q u a ç ã o d a e n e r g i a e n t r e a s s e ç õ e s ( 1 ) e ( e ) d e e n t r a d a d a b o m b a : 
H
l 
= H
e 
+ H
k e 
A d o t a n d o o P H R p o r ( 1 ) e s e n d o o r e s e r v a t ó r i o d e g r a n d e s d i m e n s õ e s e a b e r t o à a t m o s f e r a , 
c o n c l u i - s e q u e H , = 0 . 
2 
H e —
a e v e 
+ 
p e 
 + z e 
	
2 g 	 y 
H = h + h 
1 4 , 	 f 	 s 
„ 2 n 
0 = ' " ' e v e 
	 + 1 . ' e + Z e + h , + h , 
2 g 	 y 
	
P e = [ C l e v e2 	 + z e + h f 
2 g 
N o t e - s e q u e t o d o s o s t e r m o s e n t r e p a r ê n t e s e s s ã o p o s i t i v o s ; l o g o : 
P
e
< 0 
7 
E m t e r m o s d e e s c a l a a b s o l u t a : 
P e a b s = P e P a t m 
P e a b s = P a t i n