equações diferenciais

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GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
AV2 - 2015.2A - 17/10/2015 
CURSO 
DISCIPLINA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
PROFESSOR(A) ALEXSÁNDROS DE SOUZA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
C D D A A A A B A D 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. PREENCHA, OBRIGATORIAMENTE, TODOS OS ITENS DO CABEÇALHO. 
2. ESTA AVALIAÇÃO POSSUI 10 QUESTÕES. 
3. TODAS AS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA, APRESENTANDO UMA SÓ 
ALTERNATIVA CORRETA. 
4. QUALQUER TIPO DE RASURA NO GABARITO ANULA A RESPOSTA. 
5. SÓ VALERÃO AS QUESTÕES QUE ESTIVEREM MARCADAS NO GABARITO 
PRESENTE NA PRIMEIRA PÁGINA. 
6. O ALUNO CUJO NOME NÃO ESTIVER NA ATA DE PROVA DEVE DIRIGIR-SE À 
SECRETARIA PARA SOLICITAR AUTORIZAÇÃO, QUE DEVE SER ENTREGUE AO 
DOCENTE. 
7. NÃO É PERMITIDO O EMPRÉSTIMO DE MATERIAL DE NENHUMA ESPÉCIE. 
8. ANOTE O GABARITO TAMBÉM NA FOLHA DE “GABARITOS DO 
ALUNO” E LEVE-A PARA CONFERÊNCIA POSTERIOR À 
REALIZAÇÃO DA AVALIAÇÃO. 
9. O ALUNO SÓ PODERÁ DEVOLVER A PROVA 1 HORA APÓS O INÍCIO DA 
AVALIAÇÃO. 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Professor(a) Aleksándros de Souza 
 
1. Em matemática, o teorema de Green relaciona a 
integral de linha ao longo de uma curva fechada no 
plano com a integral dupla sobre a região limitada 
por essa curva. Este teorema foi demonstrado pelo 
matemático britânico George Green em 1828 e é um 
caso particular do teorema de Stokes. Seja uma 
curva ao longo do triângulo com vértices (0,0), 
(4,0), (4,3). Calcule, usando o Teorema de Green, a 
área determinada pela integral de linha a seguir: 
 
   2 2 3 2 4 1
C
x y dx y x dy    
. 
 
a) 12. 
b) 24. 
c) 36. 
d) 48. 
e) 60 
 
2. No estudo do cálculo de várias variáveis, um 
campo vetorial conservativo é um campo vetorial 
definido como o gradiente de um campo escalar. 
Este ramo da matemática (ou do cálculo, melhor 
definindo) se presta ao estudo dos mais variados 
fenômenos físicos, como por exemplo: o gradiente 
do potencial elétrico determina o campo elétrico; o 
gradiente do potencial gravitacional determina o 
campo gravitacional. Admita o campo de forças a 
seguir representado. Avalie se ele é conservativo, 
e, se for, determine sua função potencial: 
 
     2 3 2 2, 2 2 3 2x y xy y x y xy   F i + j 
 
a) Sim, é conservativo, e 
  2 3,x y x y C   
. 
b) Sim, é conservativo, e 
  2 2, 2x y x y yx y C    
. 
c) Sim, é conservativo, e 
  3, 2x y y x y C   
. 
d) Sim, é conservativo, e 
  2 2 3, 2x y x y y x y C    
. 
e) Não, não é conservativo. 
 
3. Uma série de potências pode convergir para 
alguns valores da variável a que se refere e divergir 
para outros. A soma da série é uma função cujo 
domínio é o conjunto de todos os valores da 
variável para os quais a série converge. Esta 
função assemelha a um polinômio. A única 
diferença é que tem infinitos termos. Sabendo 
disso, e aplicando as propriedades para estudo de 
convergência de séries, marque a alternativa 
correta com relação à série: 
 
  
1
1
1n n n

 

 
 
a) Converge para -1. 
b) Converge para 0. 
c) Converge para 2. 
d) Converge para 1. 
e) Diverge. 
 
4. Equações diferenciais são equações que 
relacionam variáveis e suas derivadas. Há diversos 
tipos de equações diferenciais, conforme alguns 
critérios de classificação que se costuma usar. 
Alguns desses critérios são o tipo, a ordem e o 
grau de uma equação diferencial. Observe a 
equação diferencial a seguir. Podemos dizer que se 
trata de uma: 
3 " 2 ' 4 0y y  
 
 
a) Equação diferencial ordinária de segunda 
ordem e primeiro grau. 
b) Equação diferencial ordinária de segunda ordem 
e segundo grau. 
c) Equação diferencial parcial de primeira ordem e 
segundo grau. 
d) Equação diferencial parcial de segunda ordem e 
primeiro grau. 
e) Equação diferencial parcial de segunda ordem e 
segundo grau. 
 
5. Determine se a equações diferencia a seguir é 
exata, e, se for, determine sua solução: 
 
3 2 ' 2 3x y y x y 
 
 
a) É exata, cuja solução é 
3 3x y C
. 
b) É exata, cuja solução é 
xy C
. 
c) É exata, cuja solução é 
2 0x y C 
. 
d) É exata, cuja solução é 
3 0xy C 
. 
e) Não é exata. 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Professor(a) Aleksándros de Souza 
 
6. A solução geral de uma equação diferencial 
ordinária possui em seu corpo constantes de 
integração. Para cada valor particular das 
constantes de integração de uma equação 
diferencial de n-ésima ordem, pode ser obtida uma 
solução particular da equação diferencial ordinária. 
Determine a solução particular para a seguinte 
equação diferencial, conforme a condição inicial ou 
de contorno sugerida: 
 
3' 2y x x 
, no ponto (1, 2). 
 
a) 
4 22 4y x x  
 
b) 
4 2 2y x x  
 
c) 
4 2y x 
 
d) 
4 22y x x 
 
e) 
2 4 2 2y x x  
 
 
7. Chama-se solução geral ou integral geral de uma 
equação diferencial ordinária toda a solução que 
envolva uma ou mais constantes arbitrárias. Qual a 
sua solução geral da seguinte equação diferencial? 
 
" 7 ' 0y y 
 
a) 
7
1 2
x xy C e C e 
 
b) 
7
1 2
x xy C e C e 
 
c) 
1 2cos 7 sen 7
x xy C e x C e x  
 
d) 
7 7
1 2
x xy C e C e 
 
e) 
7
1 2
xy C C e 
 
 
8. Um problema de valor inicial (PVI), no caso de 
equações diferenciais ordinárias, pede a resolução 
através da obtenção de uma solução particular, 
uma vez definida a sua solução geral da EDO 
estudada. Resolva o seguinte problema de valor 
inicial: 
" 0y y 
, com y(0) = 0 e y’(0) = 1. 
 
a) 
cos seny x x 
 
b) 
1 1
2 2
x xy e e 
 
c) 
2 29x xy e e 
 
d) 
cos 3seny x x 
 
e) 
2 2sen cosx xy e e 
 
 
9. Como uma transformada, a transformada de 
Laplace também possui a propriedade da 
linearidade, ou seja, as transformações de uma 
combinação linear de funções é uma combinação 
linear das transformadas. Considerando esta 
propriedade, Calcule 
  4 10t L
. 
 
a) 
2
4 10
s s

 
b) 
4
16 10
s s

 
c) 
3
48 12
s s

 
d) 
6
24 12
s s

 
e) 
4 2
4 10
s s

 
 
10. Uma formula da integral da transformada 
inversa de Laplace, chamada de integral de 
Bromwich, a integral de Fourier-Mellin, e fórmula da 
inversa de Mellin, é dada pela integral de linha: 
 
 
 
Apesar dessa definição parecer complexa, algumas 
inversas de Laplace são tabeladas, em virtude de a 
transformada ser de fácil resolução. 
Determine a inversa de Laplace da seguinte 
função: 
  3
1
F s
s

. 
a) 
31
3
t
 
b) 
21
3
t
 
c) 
31
2
t
 
d) 
21
2
t
 
e) 
3 1
2
t 