MÉTODOS ANALÍTICOS POR MEF

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MÉTODOS ANALÍTICOS POR ELEMENTOS FINITOS 
 
 1. Métodos Analíticos 
Os métodos analíticos são a melhor forma de solucionar os problemas, pois 
fornecem uma solução de forma fechada. Entretanto, poucos problemas de 
engenharia podem ser resolvidos dessa forma, devido as dificuldades impostas 
pelo conjunto de equações (normalmente EDPs de 2° ordem e não-lineares) que 
regem o fenômeno. Mesmo as soluções analíticas para alguns problemas, 
quando existem, normalmente contém séries infinitas, funções especiais, 
equações transcendentais para autovalores, etc. No entanto, as soluções 
analíticas, mesmo de alguns problemas simples e de pouco interesse prático, 
servem de base para a compreensão do comportamento do sistema de 
equações, para o desenvolvimento de métodos numéricos e validação de 
códigos computacionais. 
Os métodos numéricos praticamente não apresentam restrições e oferecem 
atrativas vantagens como: 
  Baixo custo: a maior vantagem sobre os outros métodos; 
 Velocidade: centenas de diferentes configurações podem ser testadas em 
poucas horas; 
 Informações Completas: fornece o valor das variáveis relevantes em qualquer 
ponto de interesse; 
 Facilidade de Simular Condições Realísticas: pode tratar qualquer condição de 
contorno, velocidades altas ou baixas, temperaturas altas ou baixas, domínios 
pequenos ou amplos. Qualquer geometria arbitrária pode, a princípio, ser 
tratada. 
 
2. Métodos dos Elementos Finitos 
2.1 Breve Histórico 
O método dos elementos finitos (MEF) surgiu por volta da quinta década do 
século XX, quando foram lançados os primeiros computadores. Os fundamentos 
matemáticos do MEF já eram conhecidos havia tempo, mas as ferramentas de 
cálculo então disponíveis inviabilizavam a sua implementação e utilização. 
 Inicialmente o MEF foi aplicado na análise de problemas da mecânica dos 
sólidos, mas logo a sua aplicação estendeu-se `a análise de outros fenômenos 
físicos. Esta abrangência mais o sucesso do método propiciaram o estudo mais 
profundo e extenso dele. Da análise matemática do método resultaram 
estimadores de erro e critérios de estabilidade, que garantem aos resultados 
mais confiabilidade. Da análise estática passou-se `a dinâmica; dos problemas 
inicialmente lineares passou-se aos não-lineares; da análise de um único 
fenômeno passou-se à vários fenômenos simultâneos e interagentes; de 
interfaces computador-usuário pouco práticas, passou-se ` as interfaces gráficas, 
mais amigáveis e intuitivas. Atualmente o MEF continua evoluindo nos seus 
diversos aspectos, conforme demonstra a quantidade de artigos científicos 
atualmente publicados em torno dele. 
A simulação computacional é amplamente utilizada nas empresas para realizar 
análises e melhorar a qualidade dos produtos e projetos. Grande parte dessas 
análises é realizada por meio de softwares que utilizam o Método dos Elementos 
Finitos, os quais possibilitam a obtenção de respostas para inúmeros problemas 
de engenharia. 
 
2.1.1 Como funciona 
 
A geometria submetida aos carregamentos e restrições é subdividida em 
pequenas partes, denominadas de elementos, os quais passam a representar o 
domínio contínuo do problema. A divisão da geometria em pequenos elementos 
permite resolver um problema complexo, subdividindo-o em problemas mais 
simples, o que possibilita ao computador realizar com eficiência estas tarefas. 
O método propõe que o número infinito de variáveis desconhecidas, sejam 
substituídas por um número limitado de elementos de comportamento bem 
definido. Essas divisões podem apresentar diferentes formas, tais como a 
triangular, quadrilateral, entre outras, em função do tipo e da dimensão do 
problema. Como são elementos de dimensões finitas, são chamados de 
“elementos finitos” – termo que nomeia o método. 
Os elementos finitos são conectados entre si por pontos, os quais são 
denominados de nós ou pontos nodais. Ao conjunto de todos esses itens – 
elementos e nós – dá-se o nome de malha. Em função dessas subdivisões da 
geometria, as equações matemáticas que regem os comportamento físico não 
serão resolvidas de maneira exata, mas de forma aproximada por este método 
numérico. A precisão do Método dos Elementos Finitos depende da quantidade 
de nós e elementos, do tamanho e dos tipos de elementos da malha. Ou seja, 
quanto menor for o tamanho e maior for o número deles em uma determinada 
malha, maior a precisão nos resultados da análise. Embora trata-se de um 
método aproximado, pode-se demonstrar que em uma malha consistente, à 
medida que o tamanho dos elementos finitos tende a zero, e consequentemente, 
a quantidade de nós tende a infinito, a solução obtida converge para a solução 
exata do problema. 
 
 
 
Figura 2: Nós e elementos presentes e uma malha 
 
 
2.1.2 Aplicações do Método dos Elementos Finitos 
 
O método pode ser aplicado na resolução e diagnóstico de problemas de 
análise estrutural por meio da obtenção de deslocamentos, deformações e 
tensões, também permite representar diversos cenários e avaliar o desempenho 
de produtos com a aplicação de critérios de resistência, rigidez ou fadiga. Além 
disso, variações do Método dos Elementos Finitos viabilizam a análise térmica, 
acústica, dinâmica, eletromagnética, transferência de calor, eletroestática, 
mecânica da fratura, hidráulica, hidrodinâmica, aerodinâmica, biomecânica 
lubrificação, problemas de interação fluído-estrutura, problemas de propagação 
de ondas e dispersão de contaminantes, para casos mais simples de 
comportamento linear ou outros não lineares, como quando há grandes 
deslocamentos ou contato entre partes de uma montagem. 
 
 
 
Figura 3: Simulação de produto com base de elementos finitos 
Com base nas condições de contorno e nas propriedades geométricas e 
mecânicas do material, compõe-se o modelo matemático da análise estrutural. 
Este modelo deve ser simplificado de forma a ser resolvido computacionalmente. 
A forma mais comum utilizada pelos softwares de análise estrutural é a 
discretização do modelo em elementos finitos. 
Um componente discretizado em elementos finitos é conhecido como malha. 
Esta malha é formada pelos nós dos elementos. Cada um destes nós tem o seu 
deslocamento descrito por uma função matemática. A discretização permite que 
a movimentação de cada um dos nós seja definida por uma função polinomial, 
simplificando os cálculos do sistema. Não apenas a geometria do componente 
foi discretizada, mas também as suas condições de contorno. Estas passam a 
ser impostas aos nós dos elementos, em vez de nas superfícies da peça. De um 
número infinito de configurações de deslocamentos dos nós, apenas um 
representa a situação de menor energia potencial. Esta configuração é 
conhecida como o estado de equilíbrio do sistema. A aplicação do conceito de 
mínima energia potencial leva a equação fundamental dos modelos de 
elementos finitos. 
/𝐹/= /𝐾 / 𝑋 /𝑑/ 
Onde, 
[F] – Vetor de carregamentos nodais conhecidos. 
[K] – Matriz de rigidez conhecida. 
[d] – Vetor de deslocamentos nodais desconhecidos. 
As forças e engastes das condições de contorno são expressas pelo vetor [F], 
enquanto a matriz de rigidez [K] é definida pela geometria e propriedades do 
material. Desta forma, resta como incógnita o vetor de deslocamentos nodais [d]. 
Ao diferenciar este vetor o software de elementos finitos obtém a deformação 
para cada um dos nós. 
Diversos tipos de elementos finitos já foram desenvolvidos. Estes apresentam 
formas geométricas diversas (por exemplo, triangular, quadrilateral, cúbico, etc.) 
em função do tipo e da dimensão do problema (se uni, bi, ou tridimensional). 
 
 
Figura 4: Diferentes tipos de elementos fintos2.1.3 COMO É REALIZADA ANÁLISE ESTRUTURAL 
 A análise estrutural depende de algumas etapas como: 
1) Elaboração do modelo CAD, ou seja o desenho computadorizado do 
produto. 
2) Definição das propriedades do material que será utilizado na estrutura 
em questão. 
3) Fabricação da malha do modelo de elementos finitos. 
4) Definição de cargas e condições de restrição requeridas do projeto. 
5) Resolução da análise estrutural utilizando softwares apropriados. 
6) Verificação dos resultados obtidos, tais como tensão, deformação, 
deslocamentos, dentre outros. Esses resultados são gerados através de 
gráficos. 
 
É possível, portanto, com as tecnologias atuais realizar integrações com os 
softwares utilizados no desenvolvimento de representação geométrica, 
conhecidos como CAD (Computer Aided Design), com os sistemas baseados no 
Método dos Elementos Finitos, denominados de CAE (Computer-Aided 
Engineerig). Essa integração permite alcançar melhores resultados com análises 
mais eficientes e ágeis. 
Após as pesquisas sobre elementos finitos, podemos aplicar os conhecimentos 
adquiridos do mesmo no nosso projeto interdisciplinar, que tem como objetivo o 
projeto e a construção de uma prensa hidráulica com comando RF, utilizando o 
software Solidworks. Inicialmente foi projetada a estrutura da prensa em 3D,logo 
após utilizando o comando de simulação foi definido o material utilizado na 
mesma, juntamente com outras variáveis, logo em seguida foi realizado um 
estudo de análise estática na estrutura. 
 
 
Figura 5: Imagem representativa da aplicação de análise estática exagerada 
 
 
Figura 6 Imagem representativa da aplicação de análise estática real 
 
 
 
 
Referências: 
.http://sites.poli.usp.br/d/pme2600/2011/Trabalhos%20finais/TCC_035_2011.pdfhttps://webser.
er2.tecgraf.puc-rio.br/~amiranda/MEF/Apostilas/Formulacao_do_MEF.pdf. 
.http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM266/Apostila/Introdu%C3%A7%C3%A3o%20ao%20MEF
pdf. 
. http://www.esss.com.br/blog/2016/01/metodo-dos-elementos-finitos-o-que-e/. 
 
 
.