AULA 3

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AULA 3 
 
Produtos notáveis 
 
 1- Quadrado da soma 
Sejam a, b 

 R então temos: 
  222 2 bababa 
. [O quadrado da soma de 
dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro 
pelo segundo, mais o quadrado do segundo]. 
 
 
 
 
De fato, basta observar que (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + a.b + b.a + b2. 
Como ab = ba temos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . 
 
Exemplos: 
1) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
a) (x + 3)2 = x2 + 2. x .3 + 32 = x2 + 6x + 9 
 
b) (2x + 1)2 = (2x)2 + 2 . 2x . 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1 
 
c) (x4 + 2)2 = (x4)2 + 2 . x4 . 2 + 22 = x8 + 4x4 + 4 Lembrete: (am)n =am.n 
2) Fatore: 
a) 9x2 + 12x + 4 
222
2)( bbaaba 
 
 
Temos que: 9x2 é o quadrado de 3x e 4 é o quadrado de 2. Como 2 . 3x . 2 = 12x temos 
que a forma fatorada de 9x2 + 12x + 4 é (3x + 2)2. 
 
b) x2 + 2xy + y2 
Temos que: x2 é o quadrado de x e y2 é o quadrado de y. Como 2 . x. y = 2xy temos 
que a forma fatorada de x2 + 2xy + y2 é (x + y)2 . 
 
3) Substitua na expressão 25 a2 + + 36b2 de modo que o trinômio obtido seja um 
quadrado perfeito. 
Temos que: 25a2 é o quadrado de 5a e 36b2 é o quadrado de 6b. Assim para obtermos 
um quadrado perfeito devemos ter = 2. 5a .6b = 60ab. 
O quadrado obtido é (5a + 6b)2 
 
2- Quadrado da Diferença 
Sejam a, b 

R: então temos: 
  222 2 bababa 
. [O quadrado da diferença de dois 
termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo 
segundo, mais o quadrado do segundo] 
 
 
 
De fato: 
(a – b )2 = ( a – b ) . ( a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 pois - ab = - ba. 
 
Exemplos: 
1) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
222
2)( bbaaba 
 
 
a) (x – 3)2 = x2 – 2 . x . 3 + 32 = x2 – 6x + 9 
 
b) (2x – 1)2 = (2x)2 – 2. 2x. 1 + 12 = 4x2 – 4x + 1 
 
2) Fatore: 
a) 16a2 – 8ab + b2 
Temos que: 16a2 é o quadrado de 4a e b2 é o quadrado de b. Como 2 . 4a . b = 8ab 
temos que a forma fatorada de 16a2 – 8ab + b2 é (4a - b)2. 
 
b) 2x2 – 4x + 2 = 2 ( x2 – 2x +1) 
Temos que: x2 é o quadrado de x e 1 é o quadrado de 1. Como 2 . x . 1 = 2x temos 
que a forma fatorada de x2 - 2x + 1 é (x - 1)2. Daí a forma fatorada de 2x2 – 4x + 2 é 
2.(x – 1)2. 
 
3) Sabendo que 
52
22
 ba
 e que ab = 24, calcule o valor de 
2
)( ba 
. 
Sabemos que (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 = 𝑎2 + 𝑏2⏟ − 2𝑎𝑏 = 52 – 2. 24 = 52 – 48 = 4 
 
3- Produto da soma pela diferença 
Sejam a, b 

R: então temos 
22
)()( bababa 
. [O produto da soma pela 
diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo 
termo] 
 
 
 
De fato, (a + b) (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 pois –ab + ba = 0. 
22
)()( bababa 
 
 
Exemplos: 
1) Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
a) (x + 2) (x – 2) = x2 – 22 = x2 – 4 
b) (2a + 4) (2a – 4) = (2a)2 – 42 = 4a2 - 16 
c) (x2y – z) (x2y + z) = (x2y)2 – z2 = x4y2 – z2 
 
2) Fatore: 
a) y2 – 25 = (y – 5) (y + 5) 
 
b) 4x2 – 9y2 = (2x – 3y) (2x + 3y) 
 
3) Sabendo que a + b = 8 e a – b = 4, encontre o valor de 
22
ba 
. 
Basta fatorar 
22
ba 
 e substituir os valores dados: 
22
ba 
 = (a + b) (a – b) = 8 . 4 = 32