apostila area 2 braun

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
ÁREA 2 e 3 
 
 2 
AULA 01 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1. INTRODUÇÃO 
A Resistência dos Materiais, também conhecida por Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por 
objetivo básico a determinação dos estados de tensão e deformação que se desenvolvem em corpos 
deformáveis quando submetidos à ação de cargas externas. Nas aplicações em Engenharia, 
podemos afirmar que são três os princípios básicos sobre os quais se fundamenta a análise de um 
corpo (estrutura) deformável: (a) estabilidade – o corpo (estrutura) deve satisfazer as equações de 
equilíbrio estático, ou seja, o número de vínculos e sua disposição deve ser tal que todos os 
movimentos de corpo rígido sejam impedidos; (b) resistência – o material que compõe o corpo 
(estrutura) deve resistir ao estado de tensões gerado pelas cargas atuantes; (c) rigidez – o corpo 
(estrutura) não deve apresentar deformações excessivas. 
Na primeira área da disciplina vimos que as equações de equilíbrio da Estática eram usadas durante 
a análise das estruturas de barras no intuito de obtermos as reações vinculares e a distribuição de 
esforços internos ao longo do eixo geométrico dos elementos de barra que compunham a estrutura. 
Estes esforços internos eram considerados como sendo aplicados no centróide das respectivas 
seções transversais, representando resultantes de forças atuando na seção com o objetivo único de 
estabelecer o equilíbrio no trecho de barra analisado. Agora, no estudo da resistência, devemos 
utilizar a intensidade das forças internas obtidas em determinadas seções de um corpo ou estrutura 
levando em conta também as propriedades físicas do material que o compõe. Vale frisar que para 
estruturas contínuas e corpos com geometria complexa emprega-se uma abordagem mais elaborada 
devido à complexidade observada nestes casos no que se refere à distribuição de tensões e 
deformações no corpo. Neste contexto, teorias avançadas são usadas para a descrição do 
comportamento cinemático, das relações constitutivas (tensão-deformação) e do próprio equilíbrio 
para um meio contínuo deformável, onde não linearidades de ordem física e/ou geométrica podem 
ser consideradas. 
Para podermos avaliar corretamente a resistência do material de um corpo frente à ação de forças 
externas precisamos de um parâmetro adequado que possa ser usado de forma independente em 
relação às características geométricas deste corpo. Considere, por exemplo, 
a figura mostrada ao lado, onde duas barras constituídas de um mesmo 
material, mesmo comprimento e seções transversais com áreas diferentes 
são submetidas a ensaios de tração. A experiência demonstra que a barra 
com maior área de seção transversal irá romper sob a ação de um esforço 
normal maior do que aquele apresentado pela barra de menor seção 
transversal. Deste resultado podemos concluir que as solicitações não são 
um parâmetro adequado para a avaliação da resistência de um material, pois 
apresentam dependência das características geométricas do corpo. Além 
disso, sempre consideramos as forças internas através de suas resultantes 
atuando no centroide das seções transversais quando, na verdade, elas 
estão distribuídas sobre toda a seção. Por esta razão, os resultados são 
afetados pela área da seção transversal. Para resolvermos este problema, 
basta tomarmos como parâmetro para a avaliação da resistência de um 
material a intensidade das forças internas, ou seja, uma força interna por unidade de área. A este 
parâmetro damos o nome de tensão. 
Outro aspecto importante que estudaremos na Resistência dos Materiais refere-se à quantificação 
das mudanças na forma e tamanho de um corpo ao ser submetido à ação de forças. Estas mudanças 
ocorrem devido às deformações, que podem ser infinitesimais ou finitas, em função de sua 
magnitude, e elásticas ou plásticas, dependendo da reversibilidade do processo de deformação. Na 
medida em que a determinação da distribuição exata de tensões em um corpo não é possível 
usando-se unicamente os princípios da Estática, torna-se necessário analisar a distribuição de 
deformações para então obtermos as tensões. No projeto de Engenharia deve-se ainda evitar que as 
deformações tornem-se exageradas a ponto de impedir que a estrutura venha a cumprir os fins aos 
quais ela está destinada. 
Portanto, nas seções que seguem, vamos conhecer os princípios básicos sobre os quais se 
fundamentam os conceitos de tensão e deformação. 
 
 3 
2. TENSÃO 
Considere a figura abaixo, onde um corpo submetido a um sistema de quatro forças é mantido em 
equilíbrio. Para avaliarmos as forças internas em uma região específica do corpo vamos cortá-lo em 
uma dada seção e tomar umas das partes para a montagem do diagrama de corpo livre. Neste 
diagrama constatamos que há uma distribuição de forças sobre a área secionada, cuja forma exata é 
desconhecida. Entretanto, podemos determinar as resultantes de força e momento referentes a estas 
forças internas na seção aplicando as equações de equilíbrio sobre a parte estudada do corpo. 
 
Vamos agora dividir a área secionada do corpo em pequenas áreas A, como mostrado na figura a 
seguir. Considerando a hipótese aproximativa de que a matéria é um contínuo, observa-se que ao 
reduzirmos gradativamente o tamanho das áreas A, as parcelas de força 
F
 associadas a cada 
uma destas áreas vão sendo também reduzidas, porém a relação entre força e área tende a um valor 
finito. Esta relação é definida como tensão e descreve a intensidade da força interna sobre uma área 
específica. Como cada parcela de força 
F
 tem uma determinada direção, é mais conveniente 
utilizarmos as componentes normal (
zF
) e tangencial (
xF
 e 
yF
) à seção. Como conseqüência, 
podemos também definir as componentes normal e tangencial de tensões. 
 
A intensidade das componentes de tensão é especificada no Sistema Internacional (SI) usando a 
unidade básica N/m
2
, que equivale a 1 Pascal (1 Pa). Como esta unidade é muito pequena para fins 
práticos, empregam-se prefixos tais como quilo (kPa = 10
3
 Pa), mega (MPa = 10
6
 Pa) e giga (GPa = 
10
9
 Pa). 
2.1 Tensão normal 
A intensidade da força ou a força por unidade de área atuando na direção normal a A é chamada de 
tensão normal , sendo definida por: 
z
z
A 0
F
lim
A 

 

 
 4 
onde, por convenção, considera-se que a tensão normal é positiva em estados de tração e negativa 
em estados de compressão. 
Da expressão acima podemos deduzir que: 
z zP dF dA   
 
Ou seja, para satisfazer as condições de equilíbrio, a intensidade da resultante de forças internas 
distribuídas sobre a seção deve ser igual ao valor da carga aplicada P. Entretanto, esta é a única 
informação que podemos obter acerca da distribuição de tensões usando os princípios da Estática. 
Logo, a distribuição real de tensões é um problema estaticamente indeterminado. 
Em peças constituídas de material homogêneo (mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o 
volume) e isotrópico (mesmas propriedades físicas em todas as direções), submetidas somente a 
carga axial (aplicada longitudinalmente sobre o eixo geométrico), podemos assumir uma distribuição 
uniforme de tensões normais em seções transversais suficientemente afastadas dos pontos de 
aplicação da carga. Neste caso, definimos a chamada tensão normal média como sendo: 
 
 
N P
A A
  
 
Em situações onde a peça esteja sujeita a várias cargas axiais ao longo de seu eixo ou haja mudança 
na área da seção transversal, mantendo-se a condição de carga axial, temos a ocorrência da tensão 
normal média máxima. 
2.2 Tensão tangencial 
A intensidade da força ou a força por unidade de área atuando na direção tangencial a A é chamada 
de tensão tangencial , também conhecida por tensãode cisalhamento ou de corte. Segundo a 
notação usada na penúltima figura acima, definem-se as seguintes componentes: 
x
zx
A 0
y
zy
A 0
F
lim
A
F
lim
A
 
 

 


 

 
onde o primeiro subíndice de  indica a direção normal a A e o segundo subíndice indica a direção 
da respectiva força atuando no plano de A. 
Para definirmos o conceito de tensão de cisalhamento média vamos considerar a figura abaixo, onde 
uma barra colocada sobre apoios rígidos é submetida a uma força vertical F. A experiência demonstra 
que ao aplicarmos F com um valor suficientemente grande, a barra irá deformar até romper ao longo 
dos planos identificados como AB e CD. Tomando o trecho de barra entre estes dois planos e 
desenhando o diagrama de corpo livre, constatamos que se desenvolvem forças internas ao longo de 
cada um destes planos a fim de estabelecer o equilíbrio do segmento, cujas resultantes valem V = 
F/2. Assim, podemos definir a tensão de cisalhamento média atuando em cada uma destas áreas 
secionadas da seguinte forma: 
 5 
 
med
V
A
 
 
sendo: 
med
: tensão de cisalhamento média na seção, suposta como sendo a mesma em qualquer ponto 
sobre a seção; 
V
: resultante das forças internas de cisalhamento na seção, a qual é obtida por equilíbrio entre 
forças externas e internas na parte do corpo considerada; 
A
: área da seção onde se desenvolvem as forças de cisalhamento. 
 
O cisalhamento é dito simples ou direto quando temos uma única superfície de cisalhamento. Quando 
duas superfícies são consideradas, temos a condição de cisalhamento duplo, como mostrado abaixo. 
 
É importante ressaltar que os valores obtidos para a tensão de cisalhamento média são geralmente 
aproximados, já que as forças que atuam sobre a superfície de cisalhamento têm uma distribuição 
mais complexa. 
2.3 Estado geral de tensão 
Considere novamente um corpo no espaço submetido a um sistema de forças que leva à condição de 
equilíbrio estático. Como vimos anteriormente, ao cortarmos este corpo em uma dada seção, forças 
internas representando a ação mútua entre as partes separadas devem ser consideradas, mantendo 
a condição inicial de equilíbrio em cada uma delas. Vimos também que ao tomarmos um elemento de 
área infinitesimal dA sobre a seção e a 
parcela infinitesimal correspondente de 
força interna dF, definimos as 
componentes de tensão nas direções 
normal e tangencial ao plano da seção. 
Agora, vamos realizar um novo corte, 
desta vez em uma direção 
perpendicular à primeira, de tal forma 
que possamos considerar um elemento 
de área infinitesimal adjacente ao 
primeiramente utilizado. Logo 
constatamos que há novamente três 
componentes de tensão associadas ao 
plano da seção, uma na direção normal 
e duas tangenciais ao longo dos eixos 
que definem o plano. Repetindo este procedimento sucessivamente, conseguimos obter um cubo de 
dimensões infinitesimais representando o estado de tensões em torno de um ponto qualquer do 
corpo, onde em cada face temos três componentes de tensão. Como o corpo estava originalmente 
em equilíbrio, este cubo elementar também estará em equilíbrio, já que representa uma parte que foi 
 6 
isolada do corpo. Conseqüentemente, as tensões aplicadas em faces opostas devem apresentar 
mesmo módulo e direção, porém com sentidos contrários. Na verdade, na presença de forças de 
volume, as tensões em faces opostas irão apresentar pequenas diferenças em seu módulo a fim de 
estabelecer o equilíbrio. Podemos concluir também que só há tensões na superfície de um corpo se 
ali estiverem aplicadas cargas. 
Para identificar corretamente as tensões em cada face do cubo elementar, adota-se uma convenção 
onde subíndices são utilizados indicando a direção e plano de 
atuação de cada componente segundo um sistema de eixos 
coordenado. Nesta convenção, o primeiro subíndice indica a face na 
qual a tensão ocorre, através do eixo orientado na direção normal à 
face, e o segundo subíndice indica a direção da componente de 
tensão sobre esta face. Assim, 
x
 (ou 
xx
) indica a tensão normal 
na face cujo eixo normal está orientado segundo a direção do eixo x e 
xy
 indica a tensão tangencial que ocorre na direção y da face cujo 
eixo normal está orientado segundo a direção x. As tensões 
tangenciais são positivas quando apontam no sentido positivo dos 
eixos coordenados, considerando-se as faces do cubo elementar voltadas para os sentidos positivos 
dos eixos. 
Como foi visto anteriormente, o cubo elementar está em equilíbrio de 
forças, mas nada foi dito quanto ao equilíbrio de momentos. Neste sentido, 
vamos considerar as tensões que atuam no plano xy do cubo, obtendo-se 
a configuração mostrada na figura ao lado. Fazendo o somatório de 
momentos em relação ao ponto central P e tomando as componentes de 
tensão constantes em cada face, o que é uma hipótese válida, já que o 
cubo tem dimensões infinitesimais, obtém-se: 
P
z xy xy yx yx
xy yx
da da da da
0 .dA. .dA. .dA. .dA. 0
2 2 2 2
          
   
 
Se repetirmos o cálculo para os planos xz e yz do cubo elementar, constatamos que resultados 
idênticos são obtidos. Assim, concluímos que para garantir o equilíbrio de momentos, as 
componentes tangenciais de tensão atuando em faces com aresta comum devem ter mesmo módulo, 
com ambas as componentes convergindo ou divergindo da aresta (Princípio da Reciprocidade). Por 
esta razão devemos sempre tomar os valores calculados com base na tensão tangencial média como 
aproximados, onde se assume uma distribuição uniforme de tensões. Para demonstrar estas 
diferenças, vamos analisar um pino submetido a cisalhamento ao longo da seção s, como mostrado 
na figura abaixo. Pelas conclusões obtidas acima quanto ao equilíbrio de momentos, só poderíamos 
ter tensões tangenciais na aresta da seção se o pino estivesse submetido a cargas aplicadas na 
direção tangente à sua superfície. Como estas tensões não existem neste caso, as tensões 
tangenciais devem ser nulas nas arestas da seção, eliminando a hipótese de uma distribuição 
uniforme de tensões tangenciais. 
 
3. DEFORMAÇÃO 
Quando um corpo é submetido a uma força ou a um sistema de forças, os pontos materiais que o 
constituem sofrem deslocamentos ou mudanças de posição em relação a um dado sistema de 
coordenadas de referência. Se estes deslocamentos são tais que a distância relativa entre dois 
pontos quaisquer deste corpo permaneça inalterada, dizemos que o corpo apresenta movimento de 
corpo rígido. Por outro lado, quando esta condição não é verificada, dizemos então que o corpo sofre 
deformações. 
 7 
A deformação em um corpo geralmente não se dá de maneira uniforme em todo o seu volume. 
Assim, se tomarmos um segmento de reta suficientemente grande no interior de um corpo e 
avaliarmos a sua forma final após a deformação, veremos que, dependendo das forças aplicadas, a 
geometria deste segmento irá variar ao longo do seu comprimento. No entanto, à medida que vamos 
tomando segmentos de reta cada vez menores, constatamos que os segmentos tendem a apresentar 
a mesma forma retilínea após a deformação. Esta constatação indica que podemos então estudar o 
campo de deformações em um corpo analisando segmentos de reta muito pequenos localizados na 
vizinhança de determinados pontos do corpo. 
Assim como ocorre para as tensões, temos também componentes de deformação, de tal forma que 
para cada componente de tensão temos uma componente de deformação correspondente. 
3.1 Deformação normal 
O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é definido como 
deformação normal. Considerando a reta AB no interior de um corpo sem qualquer deformação, como 
mostrado na figura abaixo, observe que esta reta tem sua orientação dada peloeixo n e comprimento 
inicial s. Após a deformação, constatamos que os pontos A e B foram deslocados para os pontos A’ 
e B’ e a reta tornou-se curva com comprimento s’. Assim, podemos definir a deformação normal 
média méd como sendo: 
med
s s
s
 
 

 
Tomando o ponto B cada vez mais próximo do ponto 
A, o comprimento da reta torna-se cada vez menor, 
ou seja, s  0. Conseqüentemente, vemos que B’ 
também se aproxima de A’, de tal modo que s’  0. 
Assim, a deformação normal no ponto A é definida 
por: 
s 0
s s
lim
s 
 
 

 
Por convenção,  é positivo quando temos alongamento e negativo na contração. Quanto a unidades, 
vemos que a deformação é uma grandeza adimensional, sendo muitas vezes expressa em termos de 
porcentagem. 
3.2 Deformação por cisalhamento 
Denomina-se deformação por cisalhamento a mudança de ângulo observada entre dois segmentos 
de reta dispostos inicialmente em direções perpendiculares entre si, sendo este ângulo indicado por  
e medido em radianos (rad). A tangente de  é chamada de distorção específica, a qual coincide com 
o próprio valor  para ângulos pequenos. 
Considere um corpo deformável onde escolhemos dois segmentos de reta, AB e AC, com origem em 
um mesmo ponto e orientados segundo eixos perpendiculares n e t. Após a deformação, verifica-se 
que os pontos C e B estão deslocados e as retas 
tornaram-se curvas, de forma que o ângulo entre 
elas no ponto A é agora ’. Assim, definimos a 
deformação por cisalhamento em relação aos eixos 
n e t no ponto A como: 
AB
AC
nt
s 0
s 0
lim θ
2  
 

  
 
Observe que se 
θ
 for menor que /2, a deformação por cisalhamento é positiva. Por outro lado, se 
θ
 for maior que /2, a deformação por cisalhamento é negativa. 
 
 8 
 
 9 
3.3 Estado geral de deformação 
A representação do estado de deformação em um ponto do corpo requer a especificação de 3 
deformações normais (x, y e z) e 3 deformações por cisalhamento (xy, yz e xz). Estas deformações 
descrevem, na verdade, a deformação de um elemento de volume infinitesimal de dimensões x, y e 
z, localizado no entorno de um ponto do corpo e com as faces orientadas segundo as direções do 
sistema de referência xyz. Como este cubo elementar tem dimensões muito pequenas, a sua forma 
deformada manterá suas arestas retas, assumindo o formato de um paralelepípedo. Definindo assim 
as componentes de deformações em todos os pontos do corpo podemos obter sua forma deformada. 
 
Observe que as deformações normais provocam mudança de volume do cubo elementar enquanto 
que as deformações por cisalhamento provocam mudanças em sua forma. No caso geral, ambos os 
efeitos podem ocorrer simultaneamente durante o processo de deformação. 
Nas aplicações em Engenharia busca-se, geralmente, manter um estado de pequenas deformações. 
Neste caso, supõe-se que as deformações normais que ocorrem no material sejam muito pequenas 
em comparação com a unidade ( << 1) e que as rotações da matéria sejam muito pequenas, 
possibilitando o uso de aproximações como 
senθ θ
, 
cosθ 1
 e 
tgθ θ
. 
EXEMPLOS: 
Exemplo 1: A figura abaixo mostra uma barra com largura constante de 35 mm e espessura de 
10 mm. Determine a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao 
carregamento mostrado. 
 
Fazendo-se a análise do equilíbrio interno de cada um dos trechos da barra com configurações de 
carga distintas (trechos AB, BC e CD), obtemos o diagrama de Esforço Normal. 
 
Examinando o diagrama, constatamos que a região da barra com o maior valor de Esforço Normal 
corresponde ao trecho BC, onde N = 30 kN. Como a área da seção transversal da barra é constante 
ao longo de todo o seu comprimento, a maior tensão normal média ocorre na mesma região onde o 
Esforço Normal é máximo. Assim: 
3
BC
BC
N 30x10
85,7MPa
A 0,035.0,01
   
 
Na figura ao lado, observa-se que o ‘volume’ que representa a 
distribuição de tensão média na seção equivale a 30kN, isto é: 
(85,7MPa) x (35mm) x (10mm) = 30kN. 
 10 
Exemplo 2: A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC, como mostrado na 
figura abaixo. Sabendo que a haste AB tem 10 mm de diâmetro e a haste BC tem 8 mm de 
diâmetro, determine a tensão normal média em cada haste. 
 
Aplicando as equações de equilíbrio de partícula no ponto B, obtêm-se as forças atuantes nas hastes, 
ou seja: 
o
BC BA0 F F cos60xF

      


 
o
BC BA0 F F sen60yF

       


 
BC
BA
F
F
  
  
 
No diagrama de corpo livre acima temos as forças FBA e FBC representando a ação das hastes sobre 
o ponto B. Logo, pela 3ª Lei de Newton, constatamos que as hastes apresentam Esforço Normal de 
tração no valor calculado acima. Assim, calcula-se a tensão normal média em cada haste como: 
BC
BC 2
BC
BA
BA 2
BA
N 395,2
7,86MPa
A .0,04
N 632,4
8,05MPa
A .0,005
   

   

 
A distribuição da tensão normal média na seção transversal da barra AB é mostrada na figura a 
seguir, onde é indicado também o estado de tensões em um ponto da seção. 
 
 
 
 
 
 11 
Exemplo 3: A barra AC mostrada abaixo está submetida a uma força vertical de 3 kN. 
Determine a posição x de aplicação da força de forma a produzir uma tensão de compressão 
média no apoio em C no mesmo valor da tensão de tração média atuante no tirante AB. O 
tirante tem uma seção transversal de 400 mm
2
 e a área de contato no apoio em C é de 650 
mm
2
. 
 
A partir do diagrama de corpo livre da barra AB podemos observar que há 3 incógnitas neste 
problema: as forças FAB e FC e a coordenada x. Das equações de equilíbrio para a barra, obtemos: 
AB C0 F FyF      
 
A
C0 FzM x      
 
A terceira equação necessária para a obtenção da solução refere-se à imposição da igualdade de 
tensões no tirante AB e no apoio em C, ou seja: 
CAB
C AB
NN
N 1,625.N
400 650
    
 
Observe que na equação acima estamos considerando os esforços normais no tirante AB e no apoio 
em C obtidos pela aplicação da 3ª Lei de Newton. Logo, tomando as equações de equilíbrio 
juntamente com a relação obtida acima, levando em conta que FAB = NAB e FC = NC, obtém-se: 
 
AB
C
F
F
N
N
x mm
 
 
 
 
Observe também que como 0 < x < 200 mm, a condição é possível de ser obtida para as condições 
geométricas e de carga indicadas no problema. 
Exemplo 4: A barra mostrada abaixo tem uma seção transversal quadrada 40 mm x 40 mm. 
Supondo que seja aplicada uma força axial de 800 N ao longo do eixo geométrico da barra, 
determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o 
material nos planos das seções a-a e b-b. 
 
A partir do diagrama de corpo livre do trecho da barra à esquerda da seção a-a, constatamos a 
presença de uma força interna axial de 800 N, a qual corresponde ao Esforço Normal na seção. 
Portanto, a tensão normal média vale: 
 12 
N 800
500
A 0,04.0,04
kPa     
 
 
A tensão de cisalhamento é nula na seção a-a, visto que não temos Esforço Cortante atuante nesta 
seção. 
As tensões médias na seção b-b são obtidas considerando-se as forças internas atuantes na seção. 
Tomando o trecho de barra à esquerda da seção b-b, determina-se o diagrama de corpo livre 
mostrado abaixo, a partir do qual se escreve: 
o
o
0 N 800.cos30 N
0 V 800.sen30 V
x
y
F N
F N


       
       


 
 
Observe que foi utilizado acima um sistema de eixos de referência x’y’ nas direções normal e 
tangencial à seção b-b. Assim, obtém-se que: 
medmed
N 692,8
375
A 0,04.0,04619
V 400
217
A 0,04.0,04619
kPa
kPa
     
     
 
Nas duas expressões acima, a altura da seção foi calculada considerando que 40mm/sen60
o
 = 46,19 
mm. A distribuição de tensões médias em um ponto sobre a seção b-b é representada na figura 
abaixo. 
 
Exemplo 5: A chapa de madeira mostrada na figura ao lado é 
suportada por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro presa na 
parede. Se a chapa é submetida a uma carga vertical de 5 kN, 
calcule a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao 
longo das duas áreas sombreadas da chapa, uma das quais 
identificada pelos pontos abcd. 
Desenhando o diagrama de corpo livre da haste, podemos ver que o 
equilíbrio é mantido ao considerarmos a ação da força externa 
transmitida pela chapa de madeira sobre a superfície de contato com a 
haste e a força interna na seção da haste, representada pelo Esforço 
Cortante V. Já o diagrama de corpo livre do segmento secionado da 
chapa de madeira indica que a força exercida pela haste na superfície 
de contato é equilibrada por forças de corte atuando sobre os planos 
laterais associados às áreas sombreadas da chapa. Assim, temos: 
 13 
Na chapa: 
med med
V 2500
3,12
A 0,04.0,02
MPa     
 
Na haste: 
med med2
V 5000
63,7
A 0,005
MPa     

 
 
Nas figuras abaixo, podemos ver a distribuição de tensões de cisalhamento médias em pontos da 
seção da haste e no segmento da chapa de madeira. Observe a forma como são indicadas as 
tensões tangenciais nos cubos elementares utilizados, seguindo o princípio da reciprocidade junto a 
arestas comuns. 
 
Exemplo 6: Uma chapa com forma inicial retangular apresenta forma final deformada dada 
pelas linhas tracejadas indicadas na figura abaixo. Na configuração deformada, as linhas 
horizontais permanecem desta forma e não mudam seu comprimento. Nestas condições, 
determine a deformação normal média ao longo do lado AB e a deformação por cisalhamento 
da chapa em relação aos eixos xy. 
 
A reta AB coincide inicialmente com o eixo y, apresentando configuração deformada descrita pela reta 
AB’, cujo comprimento vale: 
 14 
2 2(250 2) 3 248,02AB mm    
 
Assim, a deformação média é dada por: 
med 248,02 250 0,00793
250
AB
AB AB
AB
  
    
 
Observe que o sinal negativo indica uma contração de AB, ou seja, uma diminuição de seu 
comprimento. 
Na figura a seguir, podemos constatar que o ângulo BAC de 90º formado entre lados da chapa e os 
eixos xy, muda para ’ devido ao deslocamento de B para B’. Como a deformação por cisalhamento é 
dada por xy = /2 - ’, então xy é o ângulo indicado na figura. Assim: 
xy
3
arctg 0,0121
250 2
rad
 
   
 
 
 
Exemplo 7: A chapa mostrada abaixo está presa por guias horizontais rígidas nos lados AD e 
BC. Considerando que a placa apresenta na configuração deformada um deslocamento 
horizontal uniforme de 2 mm no lado CD, determine: (a) a deformação normal média ao longo 
da diagonal AC; (b) a deformação por cisalhamento em E relativa aos eixos xy. 
 
Na configuração deformada indicada ao lado, vemos que a diagonal AC torna-se a reta AC’. O 
comprimento destes segmentos pode ser obtido por: 
2 2
2 2
0,15 0,15 0,21213
0,15 0,152 0,21355
AC m
AC m
  
   
 
Assim, a deformação normal média ao longo da diagonal é: 
med 0,21355 0,21213 0,00669
0,21213
AC
AC AC
AC
  
   
 
Para calcularmos a deformação por cisalhamento relativa aos eixos xy é preciso primeiramente 
determinar o ângulo ’ entre esses eixos após a deformação, ou seja: 
 15 
 
76
tg arctg 1,013 1,584
2 75
rad
   
      
 
 
Logo, a deformação por cisalhamento em E é dada por: 
xy 1,584 0,013
2
rad

    
 
O sinal negativo indica que o ângulo ’ é maior do que 90°. Observe que se a deformação por 
cisalhamento fosse calculada em relação a eixos xy orientados nas direções horizontal e vertical do 
plano da chapa, teríamos xy = 0 em E. 
 
 16 
AULA 02 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
1. ENSAIOS DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
A resistência de um material depende de sua habilidade para suportar cargas sem apresentar 
deformação excessiva ou ruptura. Esta habilidade pode ser avaliada empregando-se técnicas 
experimentais em laboratório, sendo os ensaios de tração e compressão os mais usuais. Embora 
muitas propriedades mecânicas importantes de um material possam ser determinadas através destes 
ensaios, eles são usados principalmente para determinar a relação entre tensão normal média e 
deformação normal média. 
Os ensaios de tração e compressão são realizados a partir da utilização dos chamados corpos-de-
prova, que são peças feitas com geometria padronizada e constituídos do material que se deseja 
estudar, não contendo imperfeições para evitar o surgimento de concentração de tensões. Antes do 
ensaio são produzidas duas pequenas marcas por punção ao longo do comprimento da peça, ambas 
afastadas das extremidades para evitar a influência dos efeitos produzidos pelo dispositivo de 
aplicação de carga. Junto às extremidades a seção transversal tem área maior e superfície com 
curvas suaves para uma melhor fixação à máquina de ensaio. Os dados iniciais a serem tomados 
sobre o corpo-de-prova são o comprimento de referência L0, medido entre os pontos marcados, e a 
área de seção transversal A0 referente à zona central da peça, que é constante. 
 
A máquina de ensaio é utilizada para aplicar de forma lenta e incremental uma determinada força 
sobre o corpo-de-prova a fim de produzir esforços axiais, sendo que a magnitude da força final 
aplicada geralmente corresponde ao ponto de ruptura do material. Durante o ensaio, os dados de 
carga vão sendo registrados ao mesmo tempo em que se mede a variação da seção transversal e o 
alongamento da peça, seja por medição por instrumento óptico entre as marcas feitas por punção, 
seja através de extensômetros elétricos colados à peça na direção da deformação. Assim, valores de 
tensão e deformação podem ser calculados com base nestes dados. 
 
 
2. DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
Como vimos na seção anterior, a partir dos dados obtidos de um ensaio de tração ou compressão 
podemos calcular valores de tensão e deformação correspondentes aos vários estágios de carga aos 
quais o corpo-de-prova foi submetido. Tomando estes valores em pares deformação-tensão 
conseguimos construir um gráfico denominado diagrama tensão-deformação, onde o eixo das 
abscissas está associado aos valores de deformação e o eixo das ordenadas está associado aos 
valores de tensão. Este diagrama pode ser obtido de duas formas, descritas a seguir. 
 
 17 
2.1 Diagrama tensão-deformação convencional 
Neste tipo de diagrama a tensão empregada é a chamada tensão nominal ou de Engenharia, a qual é 
obtida pela divisão da carga aplicada P pela área da seção transversal inicial A0 do corpo de prova: 
0
P
A
 
 
Da mesma forma, a chamada deformação nominal ou de Engenharia é definida pela divisão da 
variação do comprimento de referência  pelo comprimento inicial do corpo-de-prova: 
0
0 0
L L
L L

  
 
Assim, montando um gráfico em um plano cartesiano com os valores de  e  colocados segundo os 
eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente, obtém-se o chamado diagrama tensão-
deformação convencional. 
2.2 Diagrama tensão-deformação real 
Neste caso, em vez de usarmos a área da seção transversal inicial e o comprimento inicial do corpo-
de-prova para a obtenção de valores referentes a deformação e tensão, são usados o comprimento L 
e a seção transversal A correspondentes ao instante em que a carga é medida: 
P
A
 0L L
L L

  
 
Os valores de tensão e deformação assim calculados são chamados de tensão real e deformação 
real, sendo que o gráfico montado a partir destes valores é conhecido como diagrama tensão-
deformação real. 
3. MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS 
Os materiais são classificados em dúcteis ou frágeis de acordo com as características apresentadas 
na relação tensão-deformação. 
3.1 Materiais dúcteis 
Um material é classificado como dúctil quando é capaz de sofrer grandes deformações antes da 
ruptura. Na Engenharia, os materiais dúcteis são bastante utilizados em elementos estruturais, já que 
permitem a identificação de um processo de falha em curso pela presença de deformações 
excessivas, evitando assim a ruptura repentina da estrutura. Exemplos de materiais dúcteis são 
encontrados no aço, no latão, no zinco e no alumínio. 
A ductilidade de um material pode ser quantificada através da porcentagem de alongamento ou da 
porcentagem de redução de área no instante de ruptura. A porcentagem de alongamento é a 
deformação apresentada pelo corpo-de-prova na ruptura, sendo definida como: 
rup 0rup
L
0
L L
.(100%)
L

 
 
onde L0 é o comprimento de referência inicial do corpo-de-prova e Lrup o seu comprimento na ruptura. 
A porcentagem de redução de área é definida pela seguinte expressão: 
0 ruprup
A
0
A A
.(100%)
A

 
 
 18 
onde A0 é a área inicial da seção transversal do corpo-de-prova e Arup a área de ruptura na região de 
estricção. 
Na figura abaixo são mostradas as características gerais observadas em diagramas tensão-
deformação (convencional e real) obtidos a partir de ensaios de tração para corpos-de-prova feitos 
em aço. Como podemos constatar, os materiais dúcteis apresentam diagramas tensão-deformação 
caracterizados por zonas de comportamento distinto, dependendo do nível de tensão/deformação. Os 
tipos de comportamento observados são: comportamento elástico, escoamento, endurecimento ou 
encruamento, estricção e ruptura. 
 
3.1.1 Comportamento elástico 
O comportamento elástico é caracterizado basicamente pela reversibilidade do processo de 
deformação. Assim, quando retiramos a carga aplicada sobre o corpo, ele retorna à sua configuração 
geométrica inicial, sem apresentar deformações residuais. Este comportamento corresponde à 
primeira região do diagrama, onde a relação entre tensão e deformação é linear. Nestes casos, diz-se 
que o material é elástico linear. O limite superior da região de comportamento elástico é dado pelo 
chamado limite de proporcionalidade (lp). Quando a tensão excede levemente este limite, o material 
ainda apresenta uma resposta elástica, porém perde-se a proporcionalidade entre valores de tensão 
e deformação. O limite de elasticidade define o limite a partir do qual a característica de 
reversibilidade das deformações não é mais observada. Para a maioria dos materiais dúcteis o limite 
de elasticidade e o limite de proporcionalidade são coincidentes. 
3.1.2 Escoamento 
Com um pequeno aumento de tensão acima do limite de elasticidade observa-se que o material entra 
em colapso, gerando deformações permanentes, isto é, deformações que não desaparecem após a 
descarga. Este comportamento é denominado escoamento. A tensão que provoca o escoamento é 
chamada de tensão de escoamento, limite de escoamento ou ponto de escoamento (E) e a 
deformação a partir deste ponto é chamada de deformação plástica. Uma vez atingido o limite de 
escoamento, o corpo-de-prova continuará a apresentar deformação sem qualquer aumento de carga. 
Para materiais que não apresentam um patamar de escoamento bem definido, considera-se como 
tensão de escoamento aquela que provoca uma deformação permanente de 0,2%. Em materiais 
dúcteis, estas deformações são da ordem de 10 a 40 vezes maiores do que as deformações 
produzidas até o limite elástico. Após atingir a tensão de escoamento vemos que a curva tensão-
deformação em descarga é uma reta com mesma inclinação do trecho elástico. A deformação 
residual correspondente é obtida sobre esta reta para  = 0. 
A resistência ao escoamento não é uma propriedade física do material, já que se trata de um valor de 
tensão que corresponde a um valor determinado de deformação permanente. É comum considerar 
que a tensão escoamento, o limite de elasticidade e o limite de proporcionalidade coincidem, a menos 
que seja declarado o contrário. Um caso particular é observado em materiais como a borracha, onde 
não há um limite de proporcionalidade definido e a relação entre tensões e deformações se dá de 
forma não linear. Tais materiais são classificados como elásticos não lineares. 
3.1.3 Encruamento 
 19 
Após o patamar de escoamento, volta a ser necessário um acréscimo de tensão para provocar um 
acréscimo de deformação. Nesta região do diagrama, a tensão cresce continuamente até que um 
valor máximo é atingido, ao qual se dá o nome de limite de resistência (r). Este fenômeno de 
aumento de tensões após o escoamento é conhecido por encruamento ou endurecimento. 
3.1.4 Estricção 
Até o limite de resistência observa-se que o corpo-de-prova vai deformando-se de maneira uniforme, 
apresentando comprimento crescente e diâmetro decrescente em ensaio de tração. No entanto, após 
este limite, constata-se que a área de seção transversal começa a diminuir de maneira mais 
acentuada em uma região localizada da peça, formando um estreitamento ou estricção. Como a área 
da seção está decrescendo continuamente nesta região, esta seção só pode suportar carga 
decrescente. 
3.1.5 Ruptura 
Define-se a tensão de ruptura (rup) como a maior tensão que um material pode suportar durante um 
ensaio de tração ou compressão. Porém, devido ao fenômeno de estricção, a tensão de ruptura pode 
ser inferior à tensão máxima quando as tensões são descritas em termos nominais. 
Comparando as curvas tensão-deformação referentes aos diagramas convencional e real mostrados 
na figura acima, observamos que os resultados obtidos são praticamente coincidentes quando a 
deformação é pequena. As diferenças começam a surgir a partir da região do diagrama referente ao 
encruamento, sendo mais significativa durante o processo de estricção. Pode-se notar que no 
diagrama convencional o corpo-de-prova suporta realmente uma carga decrescente ao calcular a 
tensão nominal, onde A0 é constante. Por outro lado, no diagrama real a área A da seção na região 
de estricção é sempre decrescente até a ruptura, de tal forma que o material é submetido realmente a 
uma tensão crescente. Embora os diagramas convencional e real sejam diferentes, em projetos de 
Engenharia utiliza-se geralmente a faixa elástica do material, onde o erro ao empregar-se tensões e 
deformações nominais é muito pequena em relação a seus valores reais, ficando na ordem de 0,1%. 
3.2 Materiais frágeis 
Os materiais frágeis apresentam níveis de deformação bem inferiores àqueles obtidos por materiais 
dúcteis. Além disso, os diagramas tensão-deformação referentes a este tipo de material são 
caracterizados por um grande trecho elástico linear e pequenos trechos elástico não linear e plástico. 
Portanto, apresentam pouco ou nenhum nível de escoamento. Em geral, os materiais frágeis 
possuem tensão de ruptura à tração bastante inferior à resistência à compressão devido à 
aleatoriedade do mecanismo de falha apresentado pelo corpo-de-prova. Assim, toma-se geralmente 
um valor que corresponde à tensão de ruptura média obtida sobre um conjunto de ensaios de tração 
realizados. Como exemplos de materiais frágeis podemos citar o ferro fundido e o concreto. 
Na verdade, pode-se afirmar que a maioria dos materiais exibe comportamento tanto dúctil como 
frágil. O aço, por exemplo, tem comportamento frágil quando contém alto teor de carbono e dúctil 
quando o teor de carbono é baixo. Além disso, torna-se mais moleà medida que a temperatura 
aumenta. Por esta razão, membros estruturais em aço devem possuir isolamento térmico a fim de 
preservar as características de resistência na condição não aquecida. 
4. LEI DE POISSON 
Quando um corpo deformável é submetido a uma força axial de tração, observa-se que ele não só se 
alonga na direção longitudinal como também se contrai lateralmente. Da mesma forma, uma força 
axial de compressão faz com que o corpo se contraia na direção longitudinal ao mesmo tempo em 
que apresenta expansão lateral. 
 
 20 
Considerando uma barra de seção circular com comprimento L e raio r submetida a uma carga axial, 
as deformações nas direções longitudinal e radial, respectivamente, podem ser avaliadas por: 
 
L
L
L

 
 
r
r
r

 
 
onde L e r são os alongamentos (variação de comprimento) da barra nas direções longitudinal e 
radial, respectivamente. De acordo com as observações feitas pelo cientista francês Siméon Denis 
Poisson no início do século XIX, no intervalo elástico constata-se que a razão entre as deformações 
L e r é uma constante. Esta constante é denominada coeficiente de Poisson , apresentando valor 
único para materiais homogêneos e isotrópicos. A constante de Poisson é expressa por: 
r
L

  

 
onde o sinal negativo indica os sentidos opostos em que se dão as deformações nas duas direções. 
Observe que a deformação radial é provocada apenas pela força axial, ou seja, nenhuma força ou 
tensão atua nesta direção para deformar o material. 
O coeficiente de Poisson é adimensional, apresentando valores típicos entre 0,25 e 0,33 para a 
maioria dos sólidos não porosos. Os valores admissíveis encontram-se no intervalo 
0    
, 
sendo  = 0 para um material ideal sem deformação lateral quando esticado ou comprimido e  = 0,5 
para um material incompressível (sem mudança de volume). 
5. LEI DE HOOKE 
Para a maioria dos materiais empregados na Engenharia observa-se que os diagramas tensão-
deformação apresentam relação linear dentro do intervalo de comportamento elástico. Esta 
constatação foi feita primeiramente por Robert Hooke em 1676 durante estudos com molas, sendo 
conhecida como Lei de Hooke. Matematicamente, podemos expressar esta lei como: 
E  
 
sendo E a constante de proporcionalidade da equação, denominada módulo de elasticidade ou 
módulo de Young, em homenagem a Thomas Young, que em 1807 apresentou uma descrição teórica 
da Lei de Hooke. Como a deformação é adimensional, E deve utilizar as mesmas unidades 
empregadas para tensão (N/m
2
). Para o aço, por exemplo, temos que Eaço = 200 GPa. 
A Lei de Hooke descreve o trecho reto inicial do diagrama tensão-deformação até o limite de 
proporcionalidade, onde E é a declividade desta reta. O módulo de elasticidade também indica a 
rigidez do material, sendo alto para materiais rígidos e baixo para materiais flexíveis. Quando a 
tensão no material é superior ao limite de proporcionalidade, a curva no diagrama tensão-deformação 
apresenta uma nova forma e a Lei de Hooke passa a não ser mais válida. 
Para materiais dúcteis constata-se que o material ao sofrer carregamento na região plástica seguido 
de descarregamento, reverte a deformação elástica à medida que o material retorna à condição sem 
carga. Entretanto, observa-se que a deformação plástica permanece, levando ao que se conhece por 
deformação permanente, onde a configuração geométrica inicial não é mais obtida. 
Na figura abaixo é demonstrado este fenômeno através de um diagrama tensão-deformação obtido 
para um corpo-de-prova submetido a carga partindo de uma condição inicial sem deformações. A 
fase de carregamento inicial é caracterizada pelo ponto O no diagrama, passando pela tensão de 
escoamento em A e chegando finalmente ao ponto A’, na região de comportamento plástico. Observe 
que o trecho linear tem declividade dada pelo módulo de elasticidade do material E. O corpo-de-prova 
é agora submetido a uma fase de descarregamento, partindo do ponto A’ e descrevendo uma linha 
reta com a mesma declividade do trecho linear inicial E, até chegar ao ponto O’ onde a carga foi 
totalmente retirada. Neste instante, constata-se que o corpo-de-prova apresenta uma deformação 
residual, alterando a configuração geométrica apresentada ao inicio do ensaio. Se uma nova fase de 
carga for realizada, vemos que a curva tensão-deformação segue a mesma trajetória descrita durante 
a descarga até atingir o ponto A’, onde ocorre a plastificação. Nesta nova fase de carga podemos ver 
que a tensão de escoamento tem um valor maior em relação à primeira fase de carga e, 
 21 
consequentemente, o intervalo de comportamento elástico está também maior. Portanto, o material 
tem agora menos ductilidade do que aquela apresentada em seu estado original. Aumentando a 
carga a partir do ponto A’, a curva tensão-deformação segue a mesma curva descrita anteriormente 
para a região plástica até o ponto final B. 
 
Em ciclos de carga e descarga como o descrito acima entre os pontos O’ e A’, constata-se através de 
ensaios cuidadosamente conduzidos que as trajetórias diferenciam-se levemente devido a perdas de 
energia por dissipação de calor. Tal fenômeno é conhecido por histerese mecânica. 
No caso de cisalhamento, o comportamento elástico linear de um material também é descrito pela Lei 
de Hooke, sendo expresso como: 
G  
 
onde  é a tensão de cisalhamento,  a deformação por cisalhamento e G é uma constante de 
proporcionalidade similar ao Módulo de Elasticidade E, denominada Módulo de Elasticidade 
Transversal, Módulo de Cisalhamento ou Módulo de Corte. As unidades de medida utilizadas em G 
são as mesmas de , uma vez que a deformação  é adimensional. As constantes E,  e G, que 
descrevem propriedades físicas de um material qualquer, estão relacionadas pela equação a seguir: 
E
G
2(1 )


 
Assim como o Módulo de Elasticidade pode ser obtido a partir de ensaios de tração, o Módulo de 
Elasticidade Transversal G pode ser determinado através de ensaios de torção realizados sobre 
corpos-de-prova na forma de tubos circulares finos. Com isso, obtém-se no material um estado de 
cisalhamento puro, onde os esforços de cisalhamento são iguais nas quatro faces de um cubo 
elementar do material submetido ao cisalhamento. Além disso, se o material for homogêneo e 
isotrópico, a distorção do elemento se dará de maneira uniforme. Portanto, com os resultados do 
ensaio é possível construir um diagrama tensão-deformação em termos de tensão de cisalhamento  
e deformação por cisalhamento , como mostrado na figura abaixo (FIGURA 3.24), referente a um 
material dúctil. Como nos testes de tração, o material ao ser submetido a cisalhamento apresenta 
uma fase inicial com comportamento elástico linear e limite de proporcionalidade lp, seguido de uma 
fase de endurecimento que prolonga-se até o ponto referente ao limite de resistência por 
cisalhamento r. Finalmente, chega-se à ruína, quando a tensão de ruptura ru é obtida. 
 
 22 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1. O diagrama tensão-deformação de uma liga de alumínio usada para fabricar peças de 
aeronaves é mostrado na figura abaixo. Supondo que um corpo-de-prova desse material seja 
tracionado a 600 MPa, determine a deformação permanente que ficará no corpo-de-prova 
quando a carga for removida. 
 
Quando o corpo-de-prova é submetido à carga indicada acima, vemos que o material atinge o ponto 
B no diagrama, situando-se na fase de endurecimento. A deformação neste ponto é 
aproximadamente  = 0,023. Quando a carga é retirada, o material descreve uma trajetória de 
descarga segundo a reta BC, paralela à reta OA. A partir da inclinação do trecho de comportamento 
linear AO podemos obter o módulo de elasticidade através de: 
E
E
450
E E 75GPa
0,006

  

 
A deformação elástica recuperada após a descarga é determinada observando-se o triângulo CBD, 
de onde se obtém: 
6
BD
CD 9
CD
600x10
E 0,008
75x10

    

 
A deformação permanente 
OC
 vale, portanto: 
OC OD CD OC 0,023 0,008 0,015        
 
Assim, se as marcas de referência sobre o corpo-de-prova estivessem a 50 mm de distância antes da 
aplicação da carga, após a remoção as marcas estariam a 50 + 0,015x50 = 50,75 mm de distância 
entre si. 
 
 
 
 
 
 23 
 
2. A haste de alumínio de seção circular mostrada abaixo está submetida a uma carga de 10 
kN. A partir do diagrama tensão-deformação do material, determine o alongamento 
aproximado da haste quando a carga é aplicada. Se a carga for removida, qual será o 
alongamento permanente da haste? Considere que Eal = 70 GPa. 
 
 
Devemos observar que as deformações localizadas junto aos pontos de aplicação de carga e onde a 
seção transversal muda subitamente são desprezadas. Assim, ao longo de cada um dos segmentos 
da haste a tensão normal e a deformação são considerados uniformes. 
A tensão normal em cada segmento da haste é obtida por: 
3
AB AB 2
N 10x10
31,83MPa
A .0,01
     

 
3
BC BC 2
N 10x10
56,59MPa
A .0,0075
     

 
Analisando o diagrama tensão-deformação, constatamos que o material no segmento AB da haste 
está no regime elástico, visto que E (= 40 MPa) > AB (= 31,83 MPa). Assim, pela Lei de Hooke: 
6
AB AB 9
al
x10
0,0004547
E 70x10
      
 
Por outro lado, o segmento BC está deformado plasticamente, já que E (= 40 MPa) < BC (= 56,59 
MPa). Logo, para BC = 56,59 MPa obtemos pelo diagrama: 
BC 0,045 
 
O alongamento aproximado da haste é: 
L 0,0004547.600 0,045.400 18,3mm     
 
Quando a carga de 10 kN é retirada, o segmento AB volta ao seu comprimento original, já que não 
apresenta deformação residual por estar em regime elástico de tensões. O material no segmento BC 
recupera-se elasticamente ao longo da reta FG, onde a deformação elástica recuperada é: 
6
BC
rec rec 9
al
x10
0,000808
E 70x10
 
     
 
Assim, a deformação plástica do segmento BC é dado por: 
 24 
OG BC rec OG 0,045 0,000808 0,0442        
 
Portanto, quando a carga é removida, a haste permanece alongada em: 
OG BCL 0,0442.400 17,7mm     
 
3. Uma barra feita de aço A-36 tem as dimensões mostradas na figura a seguir. Supondo que 
uma força axial P = 80 kN seja aplicada a ela, determinar as mudanças em seu comprimento e 
nas dimensões de sua seção transversal depois de aplicada a carga. Considere que o material 
comporta-se elasticamente. 
 
A tensão normal na barra é dada por: 
3
6
z z
P 80x10
16x10 Pa
A 0,1.0,05
     
 
Como o aço A-36 apresenta um módulo de elasticidade E = 200 GPa, pela Lei de Hooke obtém-se: 
6
6z
z z 9
A-36
x10
80x10
E 200x10
      
 
Portanto, o alongamento axial da barra é igual a: 
6
z z zL 0x10 .1,5 120 m      
 
Considerando que o coeficiente de Poisson para o aço vale 0,32, as deformações de contração nas 
direções x e y são dadas por: 
6 6
x y z x y 0,32.80x10 25,6x10
             
 
Assim, as mudanças nas dimensões da seção transversal são: 
6
x x x
6
y y y
L x10 .0,1 2,56
L x10 .0,05 1,28
m
m




       
       
 
4. Um corpo-de-prova de liga de titânio é submetido a um ensaio de torção do qual se obtém o 
diagrama tensão-deformação de cisalhamento mostrado logo abaixo. Determine o Módulo de 
Cisalhamento G, o limite de proporcionalidade e o limite de resistência ao cisalhamento. 
Determine também a distância máxima d que o topo de um bloco feito desse material pode ser 
deslocado horizontalmente mantendo-se em regime elástico de deformações quando 
submetido à força de cisalhamento V. Qual é a intensidade de V necessária para provocar o 
deslocamento? 
 25 
 
Por inspeção, podemos constatar que a curva deixa de ser linear no ponto A. Assim, o limite de 
proporcionalidade vale 
lp 52ksi 
. Já o limite de resistência ao cisalhamento representa o valor 
máximo de tensão de cisalhamento no diagrama, sendo identificado pelo ponto B. Logo, 
r 73ksi 
. 
O Módulo de Cisalhamento é determinado pela declividade do trecho elástico linear do diagrama 
tensão-deformação. Portanto, sendo as coordenadas do ponto A (limite de proporcionalidade) do 
diagrama (0,008 rad; 52 ksi), temos que: 
52
G G 6500ksi
0,008
  
 
Logo, a Lei de Hooke para cisalhamento é expressa por 
6500.  
. 
Como a deformação de cisalhamento máxima dentro do regime elástico é 0,008 rad, o deslocamento 
horizontal máximo d do bloco será: 
d
tg(0,008) 0,008 d 0,016pol
2
   
 
A tensão de cisalhamento média correspondente ao deslocamento máximo d é 
lp 52ksi 
. Assim, a 
força de cisalhamento V é dada por: 
med
V V
52 V 624kip
A 3.4
     
 
5. O corpo-de-prova de alumínio mostrado ao lado tem diâmetro d0 = 25 mm e comprimento de 
referência L0 = 250 mm. Supondo que uma força de 165 kN alongue o comprimento de 
referência em 1,20 mm, determine o módulo de elasticidade. Determine também quanto o 
diâmetro do corpo-de-prova contrai-se. Considere Gal = 26 GPa e e = 440 MPa. 
A tensão normal média no corpo-de-prova é dada por: 
3
2
N 165x10
336,1MPa
A
.0,025
       


 
A deformação normal média no corpo-de-prova é obtida por: 
1,20
0,0048
L 250

       
 
Como  < E = 440 MPa, o material comporta-se elasticamente, sendo o módulo de 
elasticidade determinado pela Lei de Hooke: 
6
al al al
336,1x10
E E E 70GPa
0,0048

    

 
Para a avaliação da contração do diâmetro, vamos determinar primeiramente o 
coeficiente de Poisson através da seguinte relação: 
 26 
E 70
G 26 0,346     
 
 
Assim, obtém-se: 
lat
lat lat
long
0,346.0,0048 0,00166

          

 
Portanto, a contração do diâmetro é: 
lat 0d 0,00166.25 0,0415mm             
 
LINKS RECOMENDADOS 
Ensaio de tração, propriedades mecânicas: 
http://www.youtube.com/watch?v=D8U4G5kcpcM 
http://www.youtube.com/watch?v=6JENBM7u_i8 
http://www.youtube.com/watch?v=VTNwWTK98sw 
Ensaio de cisalhamento: 
http://www.youtube.com/watch?v=vLjP0WqV35s 
 
 27 
AULA 03 – TENSÕES NO ENTORNO DE UM PONTO 
1. ESTADOS DE TENSÃO 
Como vimos anteriormente, o estado geral de tensão em um ponto de um dado material é 
caracterizado por seis componentes independentes dispostas sobre as faces de um cubo elementar 
localizado em seu entorno, sendo três componentes de tensão normal e três componentes de tensão 
de cisalhamento. Entretanto, em muitos casos é possível obter-se uma abordagem simplificada em 
função das cargas atuantes sobre o corpo. Por exemplo, se não houver carga aplicada sobre a 
superfície lateral de um prisma de seção retangular, as componentes de tensão normal e de 
cisalhamento sobre a face de um cubo elementar situado nesta superfície serão nulas. O mesmo 
ocorre para as componentes localizadas na face oposta, de tal forma que o estado de tensões 
apresentado pelo material neste ponto pode ser caracterizado por um plano simples ao invés do cubo 
elementar. Nesse caso, diz-se que o material está sujeito a um estado plano de tensões. 
O estado plano de tensões é geralmente representado através de um elemento bidimensional 
disposto sobre um plano cartesiano de eixos x-y, aos quais são associadas as componentes de 
tensão normal x e y e a componentede tensão de cisalhamento xy. As tensões normais atuam em 
faces opostas do elemento de tensões segundo a direção dos eixos x-y, enquanto que a tensão 
tangencial atua sobre as suas quatro faces. A convenção de sinais aqui adotada indica que uma 
componente normal de tensão é positiva quando se caracteriza tração na direção da componente. 
Por outro lado, a tensão tangencial xy será positiva quando as tensões atuantes sobre as quatro 
faces convergirem para os vértices localizados nos cantos superior direito e inferior esquerdo do 
elemento de tensões, como mostrado na figura abaixo. Observe que o estado de tensões 
representado sobre as faces do elemento deve estar sempre equilibrado. 
 
2. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES EM ESTADO PLANO 
Supondo que um estado plano de tensões referente a um ponto de um dado material seja conhecido 
através de suas componentes x, y e xy, orientadas segundo o sistema de eixos x-y, é possível obter 
as componentes de tensão x’, y’ e x’y’ para um sistema de eixos qualquer x’-y’ de modo que 
representem o mesmo estado de tensões neste ponto. 
 
 
 
 28 
2.1 Equações de transformação 
Para obtermos componentes de tensão em um sistema de eixos x’-y’ com orientação qualquer a partir 
de um estado plano de tensões conhecido, descrito pelas componentes x, y e xy dadas segundo as 
direções de um sistema de eixos x-y, emprega-se uma formulação baseada em equações de 
transformação que relacionam as componentes de tensão de dois sistemas de eixos defasados entre 
si por um ângulo . A obtenção das equações de transformação é feita considerando o elemento 
mostrado abaixo, onde encontra-se representado um estado plano de tensões. Secionando o 
elemento ao longo do plano inclinado definido por  e isolando o trecho à esquerda da seção, 
podemos estabelecer a localização do sistema x’-y’ sobre o plano inclinado, onde identificamos a área 
secionada como sendo A. 
 
O diagrama de corpo livre para o trecho à esquerda da seção é mostrado ao lado, sobre o qual são 
aplicadas as equações de equilíbrio de força para a obtenção das componentes de tensão x’ e x’y’ 
da seguinte forma: 
 
   
   
2 2
0 . A . A.sen .cos . A.sen .sen
 . A.cos .sen . A.cos .cos
.cos .sen .sen .cos
x x xy y
xy x
x x y xy
F  

            
         
        

 
   
   
   2 2
0 . A . A.sen .sen . A.sen .cos
 . A.cos .cos . A.cos .sen
.sen .cos . cos sen
y x y xy y
xy x
x y y x xy
F   
 
            
         
         

 
Usando nas expressões acima as identidades trigonométricas 
sen2 2.sen cos   
, 
2sen (1 cos2 2   
 e 
2cos (1 cos2 2   
, obtém-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy
   
     
 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy 
 
     
 
 29 
Para a determinação da componente de tensão normal y’, substitui-se  por  =  + 90º na equação 
de x’ acima, obtendo-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
y xy
   
     
 
 
2.2 Tensões principais e cisalhamento máximo 
Nas aplicações em Engenharia é importante conhecermos qual a orientação de eixos x’-y’ que 
conduz a valores de máximo e mínimo para as componentes de tensão. Para a determinação da 
tensão normal máxima e da tensão normal mínima é preciso igualar a zero a primeira derivada de x’ 
ou y’ em relação a . Portanto: 
 
d
.sen2 .cos2
d
x
x y xy
         

 
tg2
xy
x y

  
 
 
 
Devido às características da função tangente, a equação acima admite duas soluções, 21 e 22, 
defasadas em 180º. Assim, obtêm-se os ângulos 1 e 2, defasados em 90º. Substituindo os valores 
1 e 2 na equação de transformação para x’ determinam-se a tensão normal máxima e a tensão 
normal mínima. Alternativamente, pode-se empregar a seguinte expressão: 
2
1,2
x y x y
xy

    
     
  
 
Estas tensões são conhecidas como tensões principais e os planos sobre os quais elas atuam são 
denominados planos principais, dispostos segundo as direções principais. Sobre os planos principais 
constata-se que 
0x y  
, o que pode ser verificado ao substituir 1 e 2 na equação de 
transformação correspondente. Portanto, não há tensões de cisalhamento atuando sobre os planos 
 30 
principais. Por convenção a tensão máxima corresponde a 1 e a tensão mínima refere-se a 2, de 
maneira que temos sempre a condição 
1 2  
. 
Para determinarmos os planos de tensão de cisalhamento máximo, vamos igualar a zero a primeira 
derivada de x’y’ em relação a . Assim fazendo, obtém-se: 
 
tg2
x y
xy
  
  

 
Observa-se que os ângulos  e  estão separados por 45º, de onde se conclui que os planos de 
cisalhamento máximo podem ser também obtidos por uma rotação de 45º a partir da orientação dos 
eixos principais. O valor da tensão de cisalhamento máximo é determinado pela expressão a seguir: 
2
max
x y
xy

  
    
 
 
Substituindo os ângulos 1 e 2 na equação de transformação para x’, constata-se que nos planos de 
cisalhamento máximo atuam também tensões normais, denominadas tensões normais médias, sendo 
obtidas por: 
med
x y 
 

 
3. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES EM ESTADO GERAL 
No caso de estado geral de tensões, as tensões e direções principais associadas a um ponto 
qualquer de um material podem ser obtidas a partir do chamado tensor de tensões. Este tensor é uma 
forma de representação das seis componentes atuantes nas faces de um cubo elementar no entorno 
do ponto. A disposição das componentes no tensor de tensões é feita como mostrado abaixo: 
x xy xz
yx y yz
zx zy z
   
 
   
    
  
Para a determinação dos sinais de cada uma das componentes do 
tensor, seguimos uma convenção onde se tomam como positivas 
aquelas componentes que atuam no sentido positivo dos eixos 
coordenados de referência, avaliadas sobre as faces do cubo 
elementar voltadas para os sentidos positivos dos eixos. Devemos também recordar a convenção 
utilizada para a identificação das componentes de tensão através de seus subíndices, apresentada 
na seção 2.3 da primeira aula desta segunda área. Na figura ao lado é mostrada uma configuração 
de tensões onde todas as componentes são positivas. 
A determinação das tensões e direções principais é feita através da solução de um problema de 
autovalores e autovetores, onde os autovalores correspondem às tensões principais e os autovetores 
descrevem as direções principais. A equação de autovalores e autovetores para este caso é dada 
por: 
1
2
3
x
x 0
x
x xy xz
yx y yz
zx zy z
      
   
          
        
x x   
onde x1, x2 e x3 são as componentes do autovetor x ,  é a matriz identidade e  um autovalor. Para 
que a equação não tenha solução trivial (x = (0,0,0)) é preciso que o determinante da matriz seja nulo. 
Desta operação obtêm-se três autovalores diferentes, a partir dos quais se determinam os respectivos 
três autovetores ao substituir cada um dos autovalores na seguinte equação: 
2 2 2
1 2 3x x x 1  
 
 31 
ou seja, os autovetores são vetores unitários. 
Portanto, no caso geral temos três tensões principais que são representadas na seguinte ordem 
1 2 3    
. Para o caso particular de estado plano de tensões, a presente formulação também 
pode ser empregada, onde uma das tensões principais é necessariamente nula. Assim, temos uma 
das seguintes possibilidades:1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
     
     
     
 
Um estado especial de tensões tridimensional é obtido quando as direções e tensões principais são 
conhecidas, de forma que tenhamos apenas tensões normais atuando nas faces do cubo elementar. 
Esta condição é conhecida como estado de tensão triaxial. 
EXEMPLOS: 
1. Um estado plano de tensões é representado pelo elemento mostrado abaixo. Determine o 
estado de tensão referente a um sistema de eixos orientado a 30º no sentido horário em 
relação às direções de tensão indicadas. 
 
Pela convenção de sinais estabelecida para problemas de estado plano, conclui-se que: 
80MPa; 50MPa; 25MPax y xy       
 
Na figura ao lado é mostrada a configuração obtida para o elemento disposto segundo o sistema de 
eixos x’-y’, o qual é determinado pela rotação de 30º no sentido horário a partir do eixo horizontal x do 
sistema original x-y. Considerando as tensões acima definidas e que  = -30º, temos: 
.cos2 .sen2
2 2
80 50 80 50
.cos( 25).sen( 2
2 2
25,8MPa
x y x y
x xy
x
x



   
     
   
          
   
 
.cos2 .sen2
2 2
80 50 80 50
.cos( 2.30 ( 25).sen( 2.30
2 2
4,15MPa
x y x y
y xy
y
y



   
     
   
       
   
 
.sen2 .cos2
2
80 50
.sen( 2.30 ( 25).cos( 2.30
2
68,8MPa
x y
x y xy
x y
x y
 
 
 
 
     
 
       
   
 
 32 
Finalmente, com os valores calculados para x’, y’ e x’y’ e seus respectivos sinais, conforme a 
convenção adotada, obtém-se a configuração mostrada abaixo para o elemento de tensões segundo 
o sistema x’-y’. 
 
2. O estado plano de tensões em um determinado ponto de um corpo é representado no 
elemento abaixo. Determine o estado de tensões em termos das tensões principais. 
 
Pela convenção de sinais estabelecida para problemas de estado plano, conclui-se que: 
20MPa; 90MPa; 60MPax y xy      
 
As tensões principais são obtidas por: 
2
1,2
2
2
1 1
2
2
2 2
20 90 20 90
60 116MPa
20 90 20 90
60 46,4MPa
x y x y
xy

    
     
  
    
       
  
    
        
  
 
As direções dos planos principais são obtidas pela seguinte expressão: 
60
tg2
20 90)
2 47,49 23,7
90 66,3
xy
x y
 
  
 
  
   
      
      
 
Para identificarmos sobre qual plano principal atua cada uma das tensões principais, calcula-se x’ 
para  = 1, ou seja: 
 33 
.cos2 .sen2
2 2
20 90 20 0
.cos( 60.sen( 2
2 2
46,4MPa
x y x y
x xy
x
x



   
     
   
         
   
 
Portanto, conclui-se que: 
p 1
p 2
66,3 116MPa
23,7 46,4MPa




   
     
 
Os resultados acima obtidos são representados na figura abaixo, onde o elemento indica as tensões 
e direções principais de acordo com a convenção adotada. Observe que nenhuma tensão de 
cisalhamento atua sobre os planos principais. 
 
3. Para o estado plano de tensões representado abaixo, determine esse estado de tensões em 
termos da tensão de cisalhamento máxima e da tensão normal média a ele associada. 
 
Pela convenção de sinais para problemas de estado plano, tem-se que: 
20MPa; 90MPa; 60MPax y xy      
 
As direções dos planos de tensão de cisalhamento máximo são obtidas pela seguinte expressão: 
 20 90
tg2
60
2 42,5 21,3
90 111,3
 
  
  
 

    
      
 
A tensão de cisalhamento máximo é dada por: 
 34 
2
max
2
2
max
20 90
60 81,4MPa
x y
xy

  
    
 
  
    
 
 
Para identificarmos sobre qual plano atua a tensão tangencial máxima acima obtida, calcula-se x’y’ 
para  = 1, ou seja: 
.sen2 .cos2
2
20 90
.sen(2.21,3 ) 60.cos(2.21,3 )
2
81,4MPa
x y
x y xy
x y
x y
 
 
 
 
     
 
   
 
 
Assim, máx atua no sentido positivo de y’ sobre a face do elemento determinada por  = 21,3º e no 
sentido negativo de y’ sobre a face do elemento determinada por  = 111,3º, como mostrado na figura 
abaixo. 
 
Sobre as faces deste elemento devem ainda ser colocadas as tensões normais médias, obtidas por: 
med
20
35MPa
x y   
   
 
 
A configuração final de tensões sobre o elemento é mostrada na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
4. Dado o estado de tensões representado pelo cubo elementar abaixo, determine as tensões e 
direções principais pela solução do problema de autovalores e autovetores a partir do tensor 
de tensões correspondente. 
 
O tensor de tensões correspondente ao prisma acima é dado por: 
30 40 0
40 50 0
0 0 0
x xy xz
yx y yz
zx zy z
     
         
        
 
 
O problema de autovalores e autovetores fica definido como: 
30 40 0 x
40 50 0 y 0
0 0 0 z
    
     
     
 
Calculando o determinante da matriz acima e igualando a zero, obtém-se: 
0       
 
Resolvendo a equação acima, obtém-se: 
’ = 1 = 66,6 MPa 
’’ = 3 = – 46,6 MPa 
’’’ = 2 = 0 
Para encontrarmos as direções principais, devemos substituir cada um dos autovalores na equação 
  0 x  
. 
Para  = 66,6 MPa, tem-se que: 
30 40 0 x
40 50 0 y 0
0 0 0 z
    
     
     
 
Resolvendo as duas últimas linhas do sistema, obtém-se que z = 0 e y = 2,41.x. Sabendo que x
2
 + y
2
 
+ z
2
 = 1, tem-se que: 
 
22x 2,41.x 1 x 0,383
y 2,41.x y 0,924
   
   
 
Para  = – 46,6 MPa, tem-se que: 
30 4 40 0 x
40 50 4 0 y 0
0 0 0 4 z
     
      
      
 
 36 
Resolvendo as duas últimas linhas do sistema, obtém-se que z = 0 e y = – 0,414.x. Sabendo que x
2
 + 
y
2
 + z
2
 = 1, tem-se que: 
 
22x 0,414.x 1 x 0,924
y 0,414.x y 0,383
   
    
 
Finalmente, para  = 0, obtém-se: 
30 40 0 x
40 50 0 y 0
0 0 0 z
   
     
     
 
Resolvendo as duas primeiras linhas do sistema, obtém-se que x = 0 e y = 0. Sabendo que x
2
 + y
2
 + 
z
2
 = 1, tem-se que x = 0, y = 0 e z = 1. 
 
5. Encontrar as tensões e direções principais do prisma abaixo pela solução do problema de 
autovalores e autovetores a partir do tensor de tensões correspondente. 
 
O tensor de tensões para o prisma acima é dado por: 
70 0 50
0 100 40
50 40 80
x xy xz
yx y yz
zx zy z
      
         
         
  
O problema de autovalores e autovetores é definido por: 
70 0 50 x
0 100 40 y 0
50 40 80 z
     
     
       
 
Calculando o determinante da matriz acima e igualando a zero, obtém-se: 
0    
 
Resolvendo a equação acima, obtém-se: 
 37 
’ = 1 = 109,13 MPa 
’’ = 2 = – 29,93 MPa 
’’’ = 3 = – 129,21 MPa 
Para encontrarmos as direções principais, devemos substituir cada um dos autovalores na equação 
  0 x  
. 
Para  = 109,13 MPa, tem-se que: 
179,13 0 50 x
0 9 40 y 0
50 40 189 z
    
      
       
 
Resolvendo as primeiras duas linhas do sistema, obtém-se que x = – 0,279.z e y = 4,381.z.Sabendo 
que x
2
 + y
2
 + z
2
 = 1, tem-se que: 
 
22 2( 0,279.z) 4,381.z z 1 z 0,222
y 4,381.z y 0,973
x 0,279.z x 0,062
     
   
     
 
Para  = – 29,93 MPa, tem-se que: 
40 0 50 x
0 40 y 0
50 40 z
     
     
      
 
Resolvendo as primeiras duas linhas do sistema, obtém-se que x = – 1,248.z e y = – 0,308.z. 
Sabendo que x
2
 + y
2
 + z
2
 = 1, tem-se que: 
 
22 2( 1,248.z) 0,308.z z 1 z 0,614
y 0,308.z y 0,189
x 1,248.z x 0,766
      
     
     
 
Finalmente, para  = – 129,21 MPa, obtém-se: 
0 50 x
0 40 y 0
50 40 z
    
     
      
 
Resolvendo as primeiras duas linhas do sistema, obtém-se que x = 0,844.z e y = – 0,175.z. Sabendo 
que x
2
 + y
2
 + z
2
 = 1, tem-se que: 
 
22 2(0,844.z) 0,175.z z 1 z 0,757
y 0,175.z y 0,133
x 0,844.z x 0,639
     
     
   
 
O prisma orientado segundo as direções principais assume a 
orientação mostrada ao lado. 
 
 
 
 
 38 
AULA 04 – TENSÕES NO ENTORNO DE UM PONTO 
1. CÍRCULO DE MOHR 
A partir das características matemáticas apresentadas pelas equações de transformação, podemos 
constatar que é possível obter de forma gráfica componentes de tensão segundo diferentes sistemas 
de eixos, bem como tensões e direções principais para um dado estado de tensões em um ponto. A 
metodologia consiste em procedimentos geométricos simples, baseando-se no fato de que as 
equações de transformação são, na verdade, equações paramétricas de uma circunferência no plano 
coordenado -. Assim, círculos descrevendo as possíveis direções e componentes de um estado de 
tensões são obtidos, sendo denominados círculos de Mohr em homenagem ao engenheiro alemão 
que desenvolveu o método, Otto Mohr. 
Na seqüência é demonstrada a relação entre as equações de transformação de tensões e a equação 
da circunferência nos casos de estado plano e estado geral de tensões. Em cada caso, são também 
mostrados os passos para a obtenção gráfica dos círculos de Mohr. 
1.1 Estado plano de tensões 
As equações de transformação de tensões para x’ e x’y’ são dadas por: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy
   
     
 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy 
 
     
 
Subtraindo o primeiro termo de x’, obtém-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy
   
     
 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy 
 
     
 
Elevando ao quadrado as equações acima e somando os resultados, tem-se: 
2 2
2 2
2 2
x y x y
x x y xy  
      
        
   
 
onde x, y e xy são constantes conhecidas através do estado de tensões apresentado pelo material 
no ponto analisado. A equação acima pode ainda ser escrita como: 
 
2 2 2
med Rx x y      
 
sendo: 
med
2
x y 
 
 
2
2R
2
x y
xy
  
   
 
 
Portanto, constatamos que as equações de transformação de tensões são equações paramétricas de 
uma circunferência sobre o plano -, com centro em (méd,0) e raio R. Ou seja, todas as direções e 
componentes de tensão possíveis para a representação do estado de tensões em um dado ponto do 
material estão sobre uma circunferência, o círculo de Mohr. 
 39 
 
As tensões principais podem ser identificadas a partir dos pontos extremos do círculo de Mohr sobre 
o eixo das tensões normais  no plano -, sendo dadas pelo valor da tensão normal no centro méd 
mais ou menos o raio R, como indicado abaixo: 
2
2
min,max med R
2 2
x y x y
xy
    
        
 
 
As tensões tangenciais extremas são obtidas tomando-se mais ou menos o raio R do círculo de Mohr, 
isto é: 
2
2
min,max
2
x y
xy
  
     
 
 
Outra forma de identificar as tensões tangenciais extremas é considerá-las como a metade do 
diâmetro do círculo de Mohr. Em termos das tensões principais, tem-se: 
max min
min,max
2
 
  
 
Para ilustrar os procedimentos adotados na construção do círculo de Mohr, vamos considerar o 
estado plano de tensões no entorno de um ponto representado pelo prisma ao lado. Os sinais das 
componentes seguem uma convenção onde as tensões normais são consideradas como positivas 
quando em tração e a componente tangencial em uma face é 
positiva quando tende a rotar o prisma no sentido horário. 
Inicialmente, deve-se definir o centro do círculo a partir das 
componentes de tensão x, y e xy referentes ao estado de tensões 
fornecido. Para isso, vamos determinar um ponto identificado por H 
no plano -, o qual se refere às tensões atuantes na face 
horizontal do prisma. Da mesma forma, determinamos o ponto V no 
plano - correspondendo às tensões atuantes na sua face vertical. 
Através da reta que une estes dois pontos, localizamos o centro do círculo de Mohr como sendo a 
interseção desta reta com o eixo de tensões normais , ou seja, a tensão média (x + y)/2. Agora, a 
circunferência pode ser desenhada considerando que o raio equivale à distância entre o centro do 
círculo e o ponto H ou o ponto V. 
O pólo P é obtido pelo rebatimento do ponto V em relação ao eixo das tensões normais, ou seja, o 
ponto V com o sinal da tensão tangencial invertido. A partir da localização deste pólo, podemos 
determinar as tensões atuantes sobre um plano qualquer definido por  traçando uma reta passando 
por P e formando o mesmo ângulo  com a vertical. As tensões atuantes são definidas pela 
interseção da reta passando por P com o círculo de Mohr, com os sinais dados segundo a convenção 
indicada acima. Observe que os ângulos correspondentes às direções principais estão defasados de 
90º, como verificado pelas equações de transformação. Podemos ver também que as tensões 
tangenciais máxima e mínima ocorrem em direções defasadas de 45º em relação às direções 
principais. 
 40 
 
Uma segunda alternativa para o traçado do círculo de Mohr é mostrada a partir da figura abaixo, onde 
é apresentado um determinado estado plano de tensões. O centro do círculo é obtido como 
anteriormente, definindo os pontos H e V sobre o plano - referentes às tensões atuantes nas faces 
horizontal e vertical do elemento de tensões, onde se utiliza a mesma convenção de sinais indicada 
logo acima. Neste caso, as componentes de tensão para um elemento com um ângulo de rotação  
em relação à sua orientação inicial é obtida através do círculo de Mohr girando a reta VH em um 
ângulo 2 a partir da direção original, no mesmo sentido de giro indicado no elemento de tensões. 
 
Podemos constatar da figura abaixo que a partir do ângulo XCA obtém-se a equação que define a 
orientação dos planos principais, isto é: 
tg(XCA)
xy
x y


 
 
 
Assim, a orientação do plano principal, que corresponde ao ponto A do círculo, é obtida dividindo-se 
por 2 o ângulo XCA medido no gráfico. 
1.2 Estado tridimensional de tensões 
Considere um corpo qualquer em estado plano de tensões no plano xy, como mostrado na figura 
abaixo. Se um elemento é retirado do corpo no entorno do ponto P, podemos determinar as direções 
 41 
principais y’ e x’ e as tensões principais correspondentes 1 e 2, respectivamente. Neste caso, a 
tensão principal 3 na direção z seria nula. 
 
Se, no entanto, o elemento fosse retirado com as faces orientadas segundo as próprias direções 
principais, obteríamos uma representação do estado de tensões no qual as tensões normais nas 
faces seriam as próprias tensões principais, sendo as tensões tangenciais nulas. 
 
Se retirássemos agora um elemento não mais contido no plano