12. Lista de Exercícios de Revisão 2

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Cálculo Diferencial e Integral 2 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO 2 
 
1. Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções: 
a. ���, �� = � − � 
b. 	��, �� = 
��
 
c. ℎ��, �� = −2�� + ����� + 6 
d. ���, �� = √7� − ��� − �� 
 
2. Calcule: 
a. 
�
�
 ��� + 5� 
b. ��� �−�� + 2�� 
c. 
�
�
 �−��� − 
� + �
 
!�� − 4��# 
3. Se ���, �� = $25 − �� − ��, interprete fx(4,2) e fy(4,2) como inclinações e faça 
um esboço dos gráficos com suas respectivas tangentes. 
 
4. Se ���, �� = 2�� + �, interprete fx(1,3) e fy(1,3) como inclinações e faça um 
esboço dos gráficos com suas respectivas tangentes. 
 
5. Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções: 
a. ���, �� = �� �% − 4� + 9 
b. 	��, �� = '
� 
c. ℎ��, �� = 5� + 7��� − 2 
 
6. Calcule: 
a. 
�!
��
�
 �3� − � + 5� b. �
)
��
�
 �� − 4�� + 5� 
 
7. Dada ���, �� = 1 − √2�� − 5�� + ��, calcule: 
a. fx 
b. fyy 
c. fxxy 
d. fyxx 
e. fyyxx 
 
8. Determine o plano tangente à superfície do gráfico ���, �� = � + �� no ponto 
onde x = 1 e y = 2. 
 
9. Determine a linearização e a aproximação linear de ���, �� = −7�� − ��� + �� 
no ponto (–1,0). 
 
10. Dada ���, �� = ��� − �� + 7�� determine dz e ∆z, se x variar de 1 para 1.01 e 
y variar de 2 para 1.8. 
 
11. Determine as derivadas parciais das funções: 
a. ���, �� = �2� − 3��� 
b. 	��, �� = +�
���
�� 
c. ℎ��� = ,-.��� + ��� 
d. ���� = 6
/'� 
e. 0 = ��'
���
� 
 
12. Dadas a função f de x e y, e as funções x e y de t, determine ∂z/∂t (derivada de z 
com respeito a t): 
a. ���, �� = � − �� + 1, ��1� = −1� e ��1� = 1 
b. ���, �� = ��� − 1, ��1� = �2
 e ��1� = ln 1 
 
13. Calcule �5�6 e 
�5
�2 nas seguintes situações: 
a. 0 = √�� + 7� − 2� , � = .� − 1 e � = . + 1 
b. 0 = ��� − 3�� , � = 78��� + 1 e � = .1� 
 
14. Utilizando diferenciação implícita, determine o valor de �5�
 e 
�5
��: 
a. 0 − � − � = 2�� + 1 
b. −2� + )��� − 0� = 0 
c. ��0 − 0�� = 4 
 
15. Determine a derivada direcional Du f (x, y) se f (x, y) = x3 – 2 x y + y2 e u é o 
vetor dado pelo ângulo θ = π/4. Calcule Du f (1, 1) . 
 
16. Determine a derivada direcional Du f (x, y) se f (x, y) = 4x2y – 3x y2 – 5 e 
u = <2,1>. Calcule Du f (0, 1). 
 
17. Determine o vetor gradiente de f
 
(x, y) = – 3x2y4 – 3xy no ponto (2, 2) e, em 
seguida, a derivada direcional na direção do vetor v = i + 3j. 
 
18. Se f
 
(x, y) = xy2 – 6x2+2, determine a taxa de variação de f no ponto P (1, 2) na 
direção de P a Q(2, 1). Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é 
a máxima taxa de variação?