Aula 8 - Subespaços Vetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 8 
 
 
 
 
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 8 
 
 
PROF. DR. MAYK COELHO 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA 
Em diversas situações não precisamos trabalhar com todos os elementos de 
um espaço vetorial , basta apenas um subconjunto deste. 
Porém seria de grande interesse que este subconjunto, com as operações de 
 , também formasse um espaço vetorial, ou seja, que pudéssemos operar 
elementos da mesma forma que em e, além disso, garantíssemos que o 
resultado desta operação permanecesse dentro deste subconjunto. 
Será que qualquer subconjunto de um espaço vetorial satisfaz estas 
necessidades? É claro que não, pois basta tomar com as operações 
usuais, o subconjuto ( ) ( ) não é um espaço vetorial, 
pois não contém o elemento nulo de , além disso temos que , 
 para . 
Nesta aula veremos o que é preciso para que um subconjunto de um espaço 
vetorial também seja um espaço vetorial com as mesmas operações. Além 
disso, iremos aprender como construir estes espaços vetoriais particulares a 
partir de alguns elementos do espaço vetorial. 
 
 
Subespaços Vetoriais 
das 
A ideia original associada a 
definição de espaços vetoriais foi 
publicada em 1844, por Hermann 
Grassmann (1808 – 1887), teólogo 
e filósofo polonês. 
 
Na época da publicação não houve 
muita repercussão de seu trabalho, 
somente 44 anos depois é que o 
matemático italiano Giuseppe 
Peano (1858 – 1932) publicou uma 
interpretação condensada dos 
conceitos estabelecidos por 
Grassman. 
 
No entanto, as definiçnoes 
correntes de espaços vetoriais, 
Subespaços vetoriais, bases e 
dimensão foram estabelecidas por 
um matemático alemão chamado 
Hermann Weyk (1895 - 1955), que 
reconheceu a magnitude e 
importância do trabalho original 
proposto por Grassmann. 
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Sejam ( ) um espaço vetorial e um subconjunto de ( ). Para que seja um espaço vetorial com as 
operações de , deve satisfazer todas as condições para ser um espaço vetorial, porém, algumas delas já são 
válidas pelo simples fato de , vejamos: 
Para todos e e 
1. ? Não é possível afirmar sem antes saber quais são as operações e os elementos de . 
2. ? Sim, pois como então e como é espaço vetorial a igualdade é válida. 
3. ( ) ( ) ? Sim, pelo mesmo argumento do item 2. 
4. Existe um único tal que tem-se . Chamamos de elemento nulo ( ⃗ )? Não, 
pelo mesmo argumento do item 1. 
5. tal que ⃗ . Chamamos de elemento oposto de ( )? Não, pelo mesmo 
argumento do item 1. 
6. ? Não, pelo mesmo argumento do item 1. 
7. ( ) ( ) ( ) Sim, pelo mesmo argumento do item 2. 
8. ( ) ( ) ( ) Sim, pelo mesmo argumento do item 2. 
9. ( ) ( ) ( )? Sim, pelo mesmo argumento do item 2. 
10. ? Sim, pelo mesmo argumento do item 2. 
 
Deste modo, para que um subconjunto seja um espaço vetorial com as operações de , as condições 
1, 4, 5 e 6 devem ser verificadas, pois como visto, as demais já são verdadeiras pelo simples fato de . 
 
Note que se for um espaço vetorial, teríamos que seu elemento nulo deve ser igual ao elemento nulo de , 
ou seja, ⃗ ⃗ , pois caso contrário teríamos em dois elementos distintos resultando . 
 
O mesmo vale para o elemento oposto de um elemento de , este deve ser o mesmo que em . 
 
Mas o resultado seguinte pode nos ajudar a reduzir ainda mais nossa preocupação: 
 
 
 
 
 
Vejamos a validade destas afirmações: 
Como ⃗ é único, se mostrarmos que ( ) teremos a validade da primeira afirmação, assim: 
 ( ) ⏞
 
( ) ( ) ⏞
 
( ) ⏞
 
 
Como – é único para cada , mostrando que ( ) ⃗ teremos a validade da segunda afirmação, assim: 
 ( ) ⏞
 
( ) ( ) ⏞
 
( ( )) ⃗ 
Seja ( ) um espaço vetorial, então, temos: 
 ⃗ ; 
 ; 
 
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Assim, com estas duas afirmações reduzimos ainda mais a verificação para que um subconjunto de seja um 
espaço vetorial com as mesmas operações, pois se verificarmos que teremos que em particular, 
para e será válida, ou seja, conterá o elemento nulo e o elemento oposto para cada . 
Deste modo, temos o seguinte: 
 
 
 
 
 
Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial 
quando não existe possibilidade de dúvida. 
É fácil verificar que todo subespaço é também um espaço vetorial. 
Exemplos: 
1) Considerando com as operações usuais, qualquer reta que passe pela origem é um subespaço . 
Como vimos na aula anterior, uma reta que passa na origem, ou pelo vetor nulo ⃗ ( ) na direção de um 
vetor pode ser expressa como o conjunto de todos os vetores múltiplos de , ou seja: . 
Assim, é subespaço de 
 pois dados temos que e para algum , e: 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 
2) Considerando com as operações usuais e ( ) | é subespaço de pois, 
dados , temos que se ( ) e que se ( ) e: 
 ( ), temos que verificar se ( ) ( ) para que : 
( ) ( ) ( ⏟ 
 
) ( ⏟ 
 
) 
 ( ), temos que verificar se ( ) para que : 
 ( ) ( ⏟ 
 
) 
3) Considerando com as operações usuais e ( ) | NÃO é subespaço de 
pois, dados , temos que se ( ) e que se ( ) e: 
 ( ), temos que verificar se ( ) ( ) para que : 
( ) ( ) ( ⏟ 
 
) ( ⏟ 
 
) 
 ( ), temos que verificar se ( ) para que : 
Sejam ( ) um espaço vetorial e , se e temos: 
 
 
Dizemos que é subespaço vetorial de . 
 
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 ( ) ( ⏟ 
 
) para 
Observe que neste exemplo, o fato de exclui o elemento nulo ⃗ ( ). 
 
4) Considerando com as operações usuais e ( ) | é 
subespaço de . A verificação é similar a do exemplo 2. 
5) Considerando com as operações usuais e | 
 , o conjunto das matrizes de 
ordem simétricas. é subespaço de . 
6) Considerando ( ) com as operações {
 ( )
 ( 
 
 )
 
 Vimos na aula passada que é um espaço vetorial. Tomemos agora {( ) }, é 
um subespaço vetorial de . Vejamos: 
Sejam então ( ) e ( ) para algum . Será que ? 
 (( )( ) ( )( )) ( ) ( ) ( ) 
para e . Logo . 
E a operação com escalar? Será que ? 
 (( ) ( ) ) ( ) ( ) 
para e . Logo . 
Deste modo concluímos que é subespaço de . 
7) Considerando com as operações usuais de soma e produto, e os intervalos [ ] e [ ]. 
Temos que não é subespaço de pois , ou mesmo . Temos também que não é 
subespaço de pois , mas para temos que . Neste caso os únicos subespaços de 
 são e o próprio . 
8) Seja um espaço vetorial qualquer e ⃗ , então é subespaço de . 
9) Considerando o conjunto de todos os polinômios, com as operações usuais, um espaço vetorial, e o 
subconjuntodos polinômios de grau menor ou igual a 2. Vimos na aula passada que com as operações usuais 
é um espaço vetorial. Neste exemplo, é um subespaço de . 
 
 O exemplo 9) nos dá outra maneira de verificar se um determinado conjunto com determinadas operações 
forma um espaço vetorial, pois se sabendo que este conjunto está contido em um espaço vetorial com as mesmas 
operações, basta mostrar que este conjunto é um subespaço vetorial. 
 
10) Seja o sistema matricial . Seja ainda o conjunto de todas as soluções do sistema 
 . Temos que é um subespaço, pois sejam e então, e e temos que 
 ( ) 
Logo . 
 ( ) ( ) 
Logo, . 
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11) Sejam um espaço vetorial e e subespaços de . Temos que é subespaço de , ou seja, a 
intersecção de subespaços é ainda subespaço. É fácil verificar, pois temos o seguinte: 
Seja e . Logo e , pois e são subespaços, ou seja, 
 . Com o mesmo raciocínio conclui-se que . 
 
12) Sejam um espaço vetorial e e subespaços de . 
Verifique que não é subespaço de . 
Para este exemplo, basta tomar e e 
 duas retas de . 
Tomando-se e temos que e 
 logo . 
Às vezes temos apenas alguns elementos em mãos e seria muito 
interessante que pudéssemos saber em que espaço vetorial estes 
elementos pertencem, ou melhor, seria interessante saber qual o menor 
espaço vetorial que contém estes elementos. Se pudéssemos construir 
este espaço vetorial com base nestes elementos que possuímos ficaria 
mais interessante ainda, será possível?