Aula 10 - Conjuntos Linearmente Independentes

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 10 
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 10 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   
Na aula anterior vimos que se um determinado subespaço 𝑊 é gerado por 
um subconjunto qualquer 𝔹 = {𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!} ⊂ 𝑉, 𝑊 = 𝐺𝑒𝑟{𝔹}, então: 𝑢 ∈𝑊 ⇔ ∃𝛼!,𝛼!,… ,𝛼! ∈ ℝ|  𝑢 = 𝛼!𝑣! + 𝛼!𝑣! +⋯+ 𝛼!𝑣! 
Porém, vimos que em alguns casos se 𝑢 ∈𝑊 tínhamos infinitas 
combinações possíveis dos elementos de 𝔹 que resultavam em 𝑢 e em 
outros casos tínhamos apenas uma solução possível. 
Vimos também que verificar se 𝑢 ∈𝑊 é o mesmo que verificar se há 
soluções para o sistema: ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑣! 𝑣! ⋯ 𝑣!⋮ ⋮ ⋮ ⋮!
𝛼!𝛼!⋮𝛼!!
= 𝑢!𝑢!⋮𝑢!!
 
Onde cada coluna de 𝐴 é formada pelas coordenadas de cada vetor de 𝔹. 
Assim, temos que se 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑏 = 𝑠 o sistema admite única solução e 
se 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑏 < 𝑠 o sistema admite infinitas soluções, ou seja, em 
ambos os casos significa que 𝑢 ∈𝑊. Porém, se 𝑃 𝐴 ≠ 𝑃 𝐴 𝑏 o sistema 
não admite solução, ou seja, 𝑢 ∉𝑊. 
Conjuntos Linearmente 
Independentes 
 
AULA 10 – CONJUNTOS LINEARMENTE INDEPENDENTES 	
  |	
  PROF. MAYK COELHO	
   2	
  
	
  
	
  
De todo modo, toda esta análise de soluções depende do 𝑃(𝐴), ou seja, dos elementos de 𝔹. Mas o que podemos 
dizer sobre os elementos de 𝔹 quando dado 𝑢 ∈𝑊 temos única solução? E o que podemos dizer quando há 
infinitas soluções? 
Das aulas anteriores segue que para 𝑃(𝐴) temos que escalonar 𝐴. Além disso, temos que se obtemos linhas nulas 
durante o processo de escalonamento, estas linhas que se anularam são combinações lineares das demais. 
Vimos também que 𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴!) para qualquer matriz 𝐴. Deste modo temos que 𝑃 𝐴! = 𝑠. 
Mas observe que cada linha de 𝐴! é formada pelas coordenadas de cada elemento de 𝔹, ou seja, 𝐴 tem 𝑠 linhas. 
Assim, temos que se 𝑃 𝐴! = 𝑠 isto implica que não há linhas nulas na matriz escalonada de 𝐴!, em outras 
palavras, que nenhuma linha de 𝐴! é combinação linear das demais, ou seja, que nenhum vetor de 𝔹 é combinação 
linear dos demais. 
De mesmo modo, se 𝑃 𝐴! < 𝑠 isto implica que há linhas nulas na matriz escalonada de 𝐴!, em outras palavras, 
cada linha que se anulou é combinação linear das demais não nulas, ou seja, os vetores de 𝔹 cujas coordenadas 
correspondentes as linhas que se anularam, são combinações lineares dos demais. 
Neste ponto é bom dar nomes aos conjuntos que não há combinação linear entre seus elementos e aos que há para 
podermos melhorar nossa comunicação. Assim segue as definição abaixo: 
Caso 𝑉 = ℝ! com as operações usuais de soma e produto por escalar, podemos reescrever a definição acima 
como: 
 
Ou seja, se a única forma de escrevermos o elemento nulo de 𝑉 como combinação linear dos elementos de 𝔹 for 
com os escalares todos nulos, então 𝔹 é um conjunto L.I, caso contrário, será L.D. Em outras palavras, se houver 
uma outra solução para a equação 𝛼!𝑣! + 𝛼!𝑣! +⋯+ 𝛼!𝑣! = 0ℝ! que não seja 𝛼! = 𝛼! = ⋯ = 𝛼! = 0 então 𝔹 
é um conjunto L.D. 
 
Sejam (𝑉,∆,∘) um espaço vetorial e 𝔹 = {𝑣!, 𝑣!,… ,𝑣!} um subconjunto de 𝑉. Se a única solução para (𝛼! ∘ 𝑣!)∆(𝛼! ∘ 𝑣!)∆…∆(𝛼! ∘ 𝑣!) = 0!⃗ ! 
for com 𝛼! = 𝛼! = ⋯ = 𝛼! = 0, dizemos que 𝔹 é um conjunto Linearmente Independente (LI) de 𝑉. 
Caso contrário, dizemos que 𝔹 é um conjunto Linearmente Dependente (LD) de ℝ!. 
Sejam (ℝ! ,+,∙) um espaço vetorial e 𝔹 = {𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣!} um subconjunto de ℝ!. Se a única solução para 𝛼!𝑣! + 𝛼!𝑣! +⋯+ 𝛼!𝑣! = 0!⃗ ℝ! 
for com 𝛼! = 𝛼! = ⋯ = 𝛼! = 0, dizemos que 𝔹 é um conjunto Linearmente Independente (LI) de ℝ!. 
Caso contrário, dizemos que 𝔹 é um conjunto Linearmente Dependente (LD) de ℝ!. 
AULA 10 – CONJUNTOS LINEARMENTE INDEPENDENTES 	
  |	
  PROF. MAYK COELHO	
   3	
  
	
  
	
  
Mas como observamos acima, se ao escalonarmos a matriz 𝐴 não obtemos nenhuma linha nula, então não há 
combinação linear entre as linhas de 𝐴, ou seja, as linhas de 𝐴 formam um conjunto L.I. Da mesma forma, se as 
linhas de uma matriz formam um conjunto L.I, ao escalonarmos a matriz nenhuma linha irá se anular. Assim 
podemos substituir a definição acima pela seguinte: 
 
Ou seja, se ao escalonar 𝐴 nenhuma linha zerar, então 𝔹 é um conjunto L.I. Caso contrário é L.D. 
 
Exemplo 1: Seja 𝔹 = { 3, 1, 5 , 2, 3, 1 ,  1,−2, 4 , 6, 2, 10 } um subconjunto de ℝ!. Verifique se 𝔹 é LI ou LD. 
Vamos fazer das duas formas: 
1) Pela Definição: Verificar se a única solução para a combinação linear 𝑎 3, 1, 5 + 𝑏 2, 3, 1 + 𝑐 1,−2, 4 + 𝑑 6, 2, 10 = (0, 0, 0) 
é com 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0. Assim, temos o seguinte: 3𝑎,𝑎, 5𝑎 + 2𝑏, 3𝑏, 𝑏 + 𝑐,−2𝑐, 4𝑐 + 6𝑑, 2𝑑, 10𝑑 = 0,0,0⇒ 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 6𝑑,𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 2𝑑, 5𝑎 + 𝑏 + 4𝑐 + 10𝑑 = (0,0,0) 
Logo temos o seguinte sistema linear: 
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 6𝑑 = 0𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 2𝑑 = 05𝑎 + 𝑏 + 4𝑐 + 10𝑑 = 0 ⇒ 3 2 1 61 3 −2 25 1 4 10!
000 
Escalonando o sistema temos: 3 2 1 61 3 −2 25 1 4 10!
000 3𝐿! − 𝐿!3𝐿! − 5𝐿!   ⇒ 3 2 1 60 7 −7 00 −7 7 0 000 𝐿! + 𝐿! ⇒ 3 2 1 60 7 −7 00 0 0 0 000 
Logo 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑏 = 2 < 4 ⇒ 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠  𝑆𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 ⇒ 𝔹  𝑢𝑚  𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜  𝐿𝐷. 
Sejam 𝔹 = {𝑣!,𝑣!,… , 𝑣!} um subconjunto de 𝑉 e 𝐴 a matriz na qual cada linha é formada pelas coordenadas 
de cada elementos de 𝔹, ou seja: 
𝐴 = !⋯ [𝑣!] ⋯⋯ [𝑣!] ⋯⋯ ⋮ ⋯⋯ [𝑣!] ⋯! 
Se 𝑃(𝐴) = 𝑠 então 𝔹 é um conjunto L.I 
Caso contrário, dizemos que 𝔹 é um conjunto L.D. 
Os vetores de 𝔹 correspondentes as linhas que não se anularam no processo de escalonamento formam um 
subconjunto LI. 
	
  
AULA 10 – CONJUNTOS LINEARMENTE INDEPENDENTES 	
  |	
  PROF. MAYK COELHO	
   4	
  
	
  
	
  
2) Pelas coordenadas em linha: A matriz desejada é formada pelas coordenadas dos elementos de 𝔹 em cada 
linha, assim: 
𝐷 = 3 1 52 3 11 −2 46 2 10 
Escalonando 𝐷 temos: 3 1 52 3 11 −2 46 2 10 3𝐿! − 2𝐿!3𝐿! − 𝐿!𝐿! − 2𝐿! ⇒
3 1 50 7 −70 −7 70 0 0 𝐿! + 𝐿! ⇒
3 1 50 7 −70 0 00 0 0 
Logo temos que 𝑃 𝐷 = 2 ≠ 3 ⇒ 𝔹  é  𝑢𝑚  𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜  𝐿𝐷. 
Mas temos mais duas informações: 
• Este método nos dá ainda que os vetores (1,−2, 4) e (6, 2, 10) são combinações lineares dos 
vetores (3, 1, 5) e (2, 3, 1). 
• O conjunto { 3, 1, 5 , 2, 3, 1 } é LI. 
 
Assim, temos que o primeiro método nos dá apenas a informação se o conjunto é LI ou LD. Já o segundo método, 
além disto, também nos diz que vetores são combinações lineares de outros e ainda qual subconjunto LI está 
contido em 𝔹. 
Para este exemplo foi feito escalonamento, mas se quiséssemos apenas fazer uma análise sobre ser LI ou LD 
poderíamos ter chego nas mesmas conclusões se analisássemos as matrizes e seus possíveis postos, ou seja, como 𝐴!×! e 𝐷!×! temos que: 
• 𝑃(𝐴) seria no máximo 3, logo 𝑃 𝐴 < 4 ⇒ 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠  𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 ⇒ 𝔹  é  𝐿𝐷. 
• 𝑃(𝐷) seria no máximo 3, logo 𝑃 𝐷 < 4   ⇒ 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚𝑎  𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎  𝑠𝑒  𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎   ⇒ 𝔹  é  𝐿𝐷. 
 
Observe que esta análise de Posto Máximo só facilitam se as matrizes envolvidas não forem quadradas, ou 
melhor, se o número de linhas de 𝐴 for menor que o número de colunas de 𝐴. Vejamos outros exemplos: 
 
Exemplo 2) Seja 𝔹 = 1 20 1 , 2 31 1 , 0 12 1 um subconjunto de 𝑀!×!. 
Para verificar se 𝔹 é LI temos que verificar se: 𝑎 1 20 1 + 𝑏 2 31 1 + 𝑐   0 12 1 = 0 00 0 ⟺ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 
Assim temos que: 𝑎 2𝑎0 𝑎 + 2𝑏 3𝑏𝑏 𝑏 +   0 𝑐2𝑐 𝑐 = 0 00 0 ⇒ 𝑎 + 2𝑏 2𝑎 + 3𝑏 + 𝑐𝑏 + 2𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 00 0 
Logo temos o seguinte sistema: 𝑎 + 2𝑏 = 02𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0𝑏 + 2𝑐 = 0𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒
1 2 02 3 10 1 21 1 1!
0000 
Lem
bre-
se q
ue 
𝑃(𝐴) ≤ 𝑛, ond
e 𝑛 é o 
núm
ero 
de 
colu
nas
 da 
mat
riz 𝐴	
  
Observe que 𝐷 = 𝐴! e 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴!) 
	
  
AULA 10 – CONJUNTOS LINEARMENTE INDEPENDENTES
|	
  PROF. MAYK COELHO	
   5	
  
	
  
	
   1 2 02 3 10 1 21 1 1
0000 𝐿! − 2𝐿!𝐿! − 𝐿! ⇒
1 2 00 −1 10 1 20 −1 1
0000 𝐿! + 𝐿!𝐿! − 𝐿! ⇒
1 2 00 −1 10 0 30 0 0
0000 
Logo temos que 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑏 = 3   ⇒ 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎  𝑡𝑒𝑚  ú𝑛𝑖𝑐𝑎  𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 ⇒ 𝔹  𝑢𝑚  𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜  𝐿𝐼. 
Observe que no exemplo 2 ao escalonarmos a matriz 𝐴 obtemos uma linha nula, mas isso não implica que 𝔹 seja 
um conjunto LD, pois estamos verificando se o sistema tem única solução e para isso fazemos análise de Posto. 
 
Exemplo 3) Seja 𝔹 = 𝑥! + 3𝑥 − 1, 𝑥 + 2, 4𝑥! + 1 um subconjunto de 𝑃!. 
Procedemos de mesma forma, 𝔹 temos que verificar se: 𝑎 𝑥! + 3𝑥 − 1 + 𝑏 𝑥 + 2 + 𝑐 4𝑥! + 1 = 0𝑥! + 0𝑥 + 0⇔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 
Ou seja: 𝑎 + 4𝑐 𝑥! + 3𝑎 + 𝑏 𝑥 + −𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0𝑥! + 0𝑥 + 0 
Por igualdade de polinômios temos o seguinte sistema: 𝑎 + 4𝑐 = 03𝑎 + 𝑏 = 0−𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 1 0 43 1 0−1 2 1!
000 1 0 43 1 0−1 2 1 000 𝐿! − 3𝐿!𝐿! + 𝐿! ⇒ 1 0 40 1 −120 2 5 000 𝐿! + 2𝐿! ⇒ 1 0 40 1 −120 0 −19 000 
Logo temos que 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑏 = 3   ⇒ 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎  𝑡𝑒𝑚  ú𝑛𝑖𝑐𝑎  𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 ⇒ 𝔹  𝑢𝑚  𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜  𝐿𝐼. 
Observe que pela definição de conjunto LI podemos fazer a verificação para qualquer conjunto, 
independentemente se este for composto por matrizes, polinômios ou etc., desde que sejam “vetores”. 
Mas para os exemplos 2) e 3) seria possível fazer esta verificação utilizando o método de colocar as coordenadas 
dos vetores em linha? Para isso precisamos dar a definição geral de coordenadas em um espaço vetorial qualquer, e 
esta definição dependerá, e muito, do conceito de conjuntos LI. Mas isso fica para a próxima aula.