Aula 12 - Mudança de Base

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 12 
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 12 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   
 
Em diversas ocasiões nos deparamos com a necessidade de mudar a 
orientação para simplificar as coordenas, ou seja, uma simples mudança de 
base pode fazer com que um problema complexo que não tem uma solução 
clara, ou mesmo analítica seja agora mais simples. 
Nesta aula iremos abordar o conceito de mudança de base de um espaço 
vetorial (𝑉,+,∙). Para o caso mais geral basta seguir o mesmo raciocínio. 
 
Sejam 𝐵 = {𝑢!,𝑢!,… ,𝑢!} e 𝐵′ = {𝑤!,𝑤!,… ,𝑤!} bases de um espaço 
vetorial 𝑉. Assim, temos que para ∀𝑣 ∈ 𝑉: 
(*) 𝑣 = 𝛼!𝑢! + 𝛼!𝑢! +⋯+ 𝛼!𝑢! ⇒ 𝑣 = (𝛼!,𝛼!,… ,𝛼!)! ∗∗  𝑣 = 𝛽!𝑤! + 𝛽!𝑤! +⋯+ 𝛽!𝑤! ⇒ 𝑣 = (𝛽!,𝛽!,… ,𝛽!)!! 
 
 
 
Mudança de Base 
 
(𝛽!, 𝛽!,…   ,𝛽!)!! 	
  são	
  as	
  
coordenada
s	
  de	
  𝑢	
  na	
  base	
  𝐵′	
  
(𝛼! , 𝛼! ,…   ,𝛼!)! 	
  são	
  as	
  coordenadas	
  de	
  𝑢	
  na	
  base	
  𝐵	
  
AULA 12 – MUDANÇA DE BASE 	
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Ou seja, podemos escrever 𝑣 tanto como combinação linear dos elementos da base 𝐵 quanto como combinação 
linear dos elementos da base 𝐵′. Os escalares envolvidos nestas combinações são chamados de coordenadas de 𝑣 
nas respectivas bases. 
Mas como podemos relacionar as coordenadas (𝛼!,𝛼!,… ,𝛼!)! com as coordenadas (𝛽!,𝛽!,… ,𝛽!)!!? Há como 
a partir de uma delas obter a outra? 
Para obtermos uma relação entre as coordenadas de 𝑣 em cada base dada, devemos primeiramente obter uma 
relação em as próprias bases 𝐵 e 𝐵′. 
Como 𝐵 é uma base de 𝑉, podemos escrever os elementos de 𝐵′ como combinação linear dos elementos de 𝐵 da 
seguinte forma: 𝑤! = 𝑎!!𝑢! + 𝑎!"𝑢! +⋯+ 𝑎!!𝑢!𝑤! = 𝑎!"𝑢! + 𝑎!!𝑢! +⋯+ 𝑎!!𝑢!⋮𝑤! = 𝑎!!𝑢! + 𝑎!!𝑢! +⋯+ 𝑎!!𝑢!⟹
𝑤! = (𝑎!!,𝑎!",… ,𝑎!!)!𝑤! = (𝑎!",𝑎!!,… ,𝑎!!)!⋮𝑤! = (𝑎!!,𝑎!!,… ,𝑎!!)!   
Agora tendo esta relação entre os elementos da base 𝐵′ e os da base 𝐵 podemos substituir os elementos 𝑤! na 
expressão de 𝑣 na base 𝐵′ em (**) como segue: 𝑣 = 𝛽!(𝑎!!𝑢! + 𝑎!"𝑢! +⋯+ 𝑎!!𝑢!)+ 𝛽!(𝑎!"𝑢! + 𝑎!!𝑢! +⋯+ 𝑎!!𝑢!)+⋯+ 𝛽!(𝑎!!𝑢! + 𝑎!!𝑢! +⋯+ 𝑎!!𝑢!) 
Podemos reagrupar a expressão acima em soma de termos que multiplicam cada 𝑢! da seguinte forma: ∗∗∗ 𝑣 = (𝛽!𝑎!! + 𝛽!𝑎!" +⋯𝛽!𝑎!!)𝑢! + (𝛽!𝑎!" + 𝛽!𝑎!! +⋯𝛽!𝑎!!)𝑢! +⋯+ (𝛽!𝑎!! + 𝛽!𝑎!!+⋯𝛽!𝑎!!)𝑢! 
A expressão acima nos revela outra combinação linear dos elementos da base 𝐵 gerando o vetor 𝑣, mas como 𝐵 é 
base, segue que as combinações (*) e (***) são iguais, ou seja: 𝛼! = 𝛽!𝑎!! + 𝛽!𝑎!" +⋯+ 𝛽!𝑎!!𝛼! = 𝛽!𝑎!" + 𝛽!𝑎!! +⋯+𝛽!𝑎!!⋮𝛼! = 𝛽!𝑎!! + 𝛽!𝑎!! +⋯+ 𝛽!𝑎!! 
Observe que as igualdades acima relacionam as coordenadas de 𝑣 na base 𝐵 com as coordenadas na base 𝐵′. Esta 
relação pode ainda ser melhor expressa com um produto matricial da seguinte forma: 𝛼!𝛼!⋮𝛼!! !
= 𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!… 𝑎!!⋮ ⋮𝑎!! 𝑎!! ⋮ ⋮… 𝑎!![!]!!!
𝛽!𝛽!⋮𝛽!! !!
 
Chamamos a matriz [𝑎!"] acima de matriz mudança de base 𝐵′ para base 𝐵 ( Notação: [𝐼]!!!). 
 
 
 
 
(𝑣)! = [𝐼]!! !(𝑣)! !	
  
Observe que as colunas de [𝐼]!!!são formadas pelas coordenadas dos elementos da base 𝐵′ na base 𝐵. 
	
  
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Agora, com a expressão obtida acima, podemos enunciar o seguinte resultado: 
 
Vejamos um exemplo para melhor entendimento: 
Exemplo 1: Seja 𝑉 = ℝ! com 𝐵 = { 1,2 , 3,1 } e 𝐵! = { 1,0 , 0,1 } bases de 𝑉. 
Obtenha a matriz [𝐼]!!!e se 𝑣 = (4,3)!! encontre (𝑣)!. Para obtermos a matriz [I]!!!devemos primeiramente obter 
as coordenadas da base 𝐵′ com relação a base 𝐵, pois estas formarão as colunas desta matriz, assim: 
1)  (1,0) = 𝑎 1,2 + 𝑏(3,1)2)  (0,1) = 𝑐 1,2 + 𝑑(3,1) 
Para o sistema 1) temos: 
𝑎 + 3𝑏 = 12𝑎 + 𝑏 = 0⟹𝑎 = − 15  𝑒  𝑏 = 25 
Para o sistema 2) temos: 
𝑐 + 3𝑑 = 02𝑐 + 𝑑 = 1⟹ 𝑐 = 35  𝑒  𝑑 = − 15 
Logo, como [𝐼]!!! = 𝑎 𝑐𝑏 𝑑 , segue que [𝐼]!!! = − !! !!!! − !! . 
Assim, se 𝑣 = (4,3)!! então como 𝑣 ! = [𝐼]!!! 𝑣 !! segue que: 
𝑣 ! = − 15 3525 − 15 43 !! = 11 ! 
 
O exemplo acima deixa mais evidente a facilidade de como se obter a matriz  [𝐼]!!!. Além disso, mostra que 
sabendo as coordenadas na base 𝐵′ é muito fácil obter as coordenadas na base 𝐵, basta multiplicar pela matriz 
mudança de base de 𝐵′ para 𝐵. 
Dadas as coordenadas (𝑣)!! de 𝑣 na base 𝐵′ é possível obter as coordenadas (𝑣)! na base 𝐵 através do seguinte 
produto matricial: (𝑣)! = [𝐼]!!!(𝑣)!! 
onde [𝐼]!!!é a matriz mudança de base da base 𝐵′ para base 𝐵. 
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Observe ainda que esta mudança de coordenadas nada mais é do que um produto matricial, ou seja, nada mais é do 
que uma transformação linear na qual os espaços 𝑉 e 𝑊 são iguais, porém 𝑉 está utilizando uma base diferente da 
base em 𝑊, ou seja, temos uma transformação Identidade, que apenas identifica as coordenadas do vetor em outra 
base, ou seja, 𝑇(𝑣)!! = (𝑣)!, onde 𝑇 é a transformação identidade. 
Mas se queremos o contrário? Supomos que queremos mudar da base 𝐵 para a base 𝐵′, se a matriz [𝐼]!!!for 
inversível bastaria multiplicar por sua inversa? 
Tomemos as mesmas bases do exemplo 1 e vejamos o que acontece: 
Exemplo 2: Seja 𝑉 = ℝ! com 𝐵 = { 1,2 , 3,1 } e 𝐵! = { 1,0 , 0,1 } bases de 𝑉. 
Obtenha a matriz [𝐼]!!! e se 𝑣 = (4,3)! encontre (𝑣)!!. 
Para obtermos a matriz [𝐼]!!! devemos primeiramente obter as coordenadas da base 𝐵 com relação a base 𝐵′, mas 
como a base 𝐵′ é a base canônica, temos que: 
1)  (1,2) = 1 1,0 + 2(0,1)2)  (3,1) = 3 1,0 + 1(0,1) 
Logo, [𝐼]!!! = 1 32 1 . 
Assim, se 𝑣 = (4,3)! e temos que (𝑣)!! = 𝐼 !!! (𝑣)! segue que: 
(𝑣)!! = 1 32 1 43 ! = 1311 !! 
 
Pelos exemplos 1 e 2, podemos ver que [𝐼]!!!  [𝐼]!!! = 𝐼 ,ou seja, a matriz [𝐼]!!! é a inversa da matriz [𝐼]!!! . Este fato 
acontece em todos os casos (demonstre isso). Assim podemos enunciar o seguinte resultado: 
 
 
 
	
  
Seja 𝑉 um espaço vetorial com 𝐵 e 𝐵′ bases de 𝑉 então a matriz mudança de base 𝐵′ para 𝐵 é inversível e sua 
inversa é a matriz mudança de base 𝐵 para 𝐵′, ou seja: [𝐼]!!! = ![𝐼]!!!!!!