Aulas EDO

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DEFINIÇÃO
• UMA EQUAÇÃO QUE CONTÉM AS DERIVADAS DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS 
DEPENDENTES EM RELAÇÃO A UMA OU MAIS VARIÁVEIS INDEPENDENTES É CHAMADA 
DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL (E.D.)
CLASSIFICAÇÃO – POR TIPO
CLASSIFICAÇÃO – POR TIPO
CLASSIFICAÇÃO – POR ORDEM
FORMA GERAL DE UMA E.D.O DE ORDEM N
FORMA NORMAL DE UMA E.D.O DE ORDEM N
CLASSIFICAÇÃO – POR LINEARIDADE
A E.D.O. acima (ou abaixo) é linear se F for linear em
REVISÃO
E.D. Linear de primeira ordem
E.D. Linear de segunda ordem
E.D. Linear de terceira ordem
REVISÃO
SOLUÇÃO DE UMA E.D.O.
Toda função Ф, num intervalo I que contém pelo menos n derivadas 
contínuas em I, as quais quando substituídas em uma E.D.O. de ordem n 
reduzem a equação em uma identidade, é chamada solução da E.D. no 
intervalo.
Simbolicamente:
Exemplo:
é solução da equação em 
 , 
20,1xy e
0,2
dy
xy
dx

CURVA INTEGRAL
É o gráfico de uma solução Ф de uma E.D.O.
Exemplo: a solução de é 
' 0xy y 
 
1
, 0,y
x
 
SOLUÇÃO IMPLÍCITA DE UMA EDO
𝐴 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0 é 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝐸. 𝐷. 𝑂.
𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝐼, quando existe pelo menos uma função Ф
𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎ç𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜, 𝑏𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐼.
SOLUÇÃO IMPLÍCITA DE UMA EDO
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝐴 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑥2 + 𝑦2 = 25 é 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝐸. 𝐷.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 − 5 < 𝑥 < 5 verifique!
FAMÍLIA DE SOLUÇÕES 
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0 → 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑎 𝑢𝑚 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 𝑛 = 0 → 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
EXERCÍCIOS 1.1
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 21 − 24, 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠 é 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝐸. 𝐷. 𝑑𝑎𝑑𝑎.
𝐴𝑑𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝐼 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜.
21)
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃 1 − 𝑃 ; 𝑃 =
𝑐1𝑒
𝑡
1 + 𝑐1𝑒𝑡
44) 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑢𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 é 𝑖𝑛𝑡𝑢𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝐸. 𝐷. 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑦′′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. 𝐸𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎, 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐴 𝑒 𝐵 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠
𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑦 = Asen t + Bcos t é uma solução particular da E. D.