CAP. 1.2 E 1.3

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PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
CONDIÇÕES 
INICIAIS
PVI
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦0, 𝑦1, … , 𝑦𝑛−1 𝑠ã𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜𝑠.
PVI DE 1ª. ORDEM
PVI DE 2ª. ORDEM
EXEMPLO 1
EXERCÍCIO – PÁGINA 17
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 11 − 14, 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐1𝑒
−𝑥 é 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎 𝑎 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎
𝐸𝐷 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑦′′ − 𝑦 = 0. 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒 𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠.
12. 𝑦 1 = 0, y′ 1 = e
EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES
𝐄𝐗𝐈𝐒𝐓Ê𝐍𝐂𝐈𝐀: 𝐴 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠?𝑄𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑎𝑠
𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥0 , 𝑦0 ?
𝐔𝐍𝐈𝐂𝐈𝐃𝐀𝐃𝐄:𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎
𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥0 , 𝑦0 ?
EXEMPLO 2
O PVI ACIMA ADMITE PELO MENOS DUAS SOLUÇÕES, QUE 
SÃO:
TEOREMA
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑅 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜
𝑥0 , 𝑦0 . 𝑆𝑒 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑅, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝐼0: 𝑥0 − ℎ < 𝑥 < 𝑥0 + ℎ,
ℎ > 0, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑒 𝑢𝑚𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑦 𝑥 , 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝐼0, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑜
𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (2).
EXERCÍCIO – PÁGINA 18
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 17 − 24, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑢𝑚𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑢𝑗𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (𝑥0 , 𝑦0)
𝑛𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜.
18.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦
E.D. COMO MODELOS MATEMÁTICOS
• Frequentemente o comportamneto de sistemas ou fenômenos da vida real, sejam eles 
físicos, econômicos, biológicos, entre outros, são descritos em termos matemáticos. 
tal descrição matemática é chamado de MODELO MATEMÁTICO.
• Por exemplo: estudar o crescimento de uma população ou analisar o decaimento 
radioativo de uma substância.
ETAPAS DA MODELAGEM
DINÂMICA POPULACIONAL
Basicamente, de acordo com o economista inglês Thomas Maltus (1976), o modelo 
malthusiano afirma que a taxa na qual a população de um país cresce em certo tempo é 
proporcional à população total do país naquele tempo.
Obs: É usual aplicar este modelo também para descrever o decaimento radioativo de 
substâncias, de modo que um mesmo modelo pode ser aplicado em diferentes sistemas.
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON
De acordo com a lei empírica de Newton, a taxa na qual a temperatura de um corpo muda 
é proporcional a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente 
circundante.
CIRCUITOS EM SÉRIE
Segunda Lei de Kirchhoff: A voltagem aplicada E(t) em uma malha 
fechada deve ser igual à soma das quedas de tensão na malha.
EXERCÍCIO – PÁGINA 29
16. 𝑈𝑚 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑎 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒
𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑞 𝑡 𝑠𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑟 𝑅, 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑟 𝐶
𝑒 𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟 𝐸(𝑡).