CAP. 2.4

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
DE PRIMEIRA ORDEM
2.4 – EQUAÇÕES EXATAS
INTRODUÇÃO
𝑆𝑒 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 é 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠, 𝑠𝑢𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 é
𝑑𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 (1)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑒:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 0 (2)
DEFINIÇÃO EQUAÇÃO EXATA
𝐴 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 é 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎,
𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚:
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
é 𝑑𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 é 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎.
EXEMPLO 1
𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦 = 0 é 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎, 𝑝𝑜𝑖𝑠
𝑑
1
3
𝑥3𝑦3 = 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦
CRITÉRIO PARA A DIFERENCIAL EXATA
𝑻𝑬𝑶𝑹𝑬𝑴𝑨: 𝑆𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑅 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 𝑦 < 𝑑. 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝑢𝑚𝑎
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎 𝑒 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑚𝑎
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 é:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
(3)
DEMONSTRAÇÃO
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑚 𝑅,
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑜,
𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
MÉTODO DE RESOLUÇÃO
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑖𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
.
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑓 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒𝑚
𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑥 𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑓 𝑥, 𝑦 = න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 (4)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔′ 𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦)
MÉTODO DE RESOLUÇÃO
𝑔′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦
න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑦 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 4 . 𝐴 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 í𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎
𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐. Note que:
𝜕
𝜕𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦
න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 0
FATORES INTEGRANTES
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑦′ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝑇𝑎𝑙 𝑖𝑑𝑒𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎. 𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜇 𝑥, 𝑦 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒:
𝜇 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜇 𝑥, 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (5)
𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 8 𝑠𝑒𝑟á 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝜇𝑀 𝑦 = 𝜇𝑁 𝑥 , ou seja,
𝜇𝑀𝑦 + 𝜇𝑦𝑀 = 𝜇𝑁𝑥 + 𝜇𝑥𝑁
𝜇𝑥𝑁 − 𝜇𝑦𝑀 = 𝑀𝑦 −𝑁𝑥 𝜇 (6)
FATORES INTEGRANTES
𝑑𝜇
𝑑𝑥
=
𝑀𝑦 −𝑁𝑥
𝑁
𝜇 (7)
𝜇 𝑥 = 𝑒׬
𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑁 𝑑𝑥 (8)
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑒
𝑀𝑦 −𝑁𝑥
𝑁
𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜇 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝜇𝑦 = 0, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚:
FATORES INTEGRANTES
𝑑𝜇
𝑑𝑦
=
𝑁𝑥 −𝑀𝑦
𝑀
𝜇 (9)
𝜇 𝑦 = 𝑒׬
𝑁𝑥−𝑀𝑦
𝑀 𝑑𝑥 (10)
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑒
𝑁𝑥 −𝑀𝑦
𝑀
𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜇 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝜇𝑥 = 0, 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
EXERCÍCIOS 2.4
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 1 − 20 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑒 𝑎 𝐸𝐷 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎. 𝑆𝑒 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎, 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎:
18. (2𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 − 𝑦 + 2𝑦2𝑒𝑥𝑦
2
)𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 4𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦
2
𝑑𝑦
EXERCÍCIOS 2.4
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 31 − 36 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑎 𝐸𝐷 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜:
36. 𝑦2 + 𝑥𝑦3 𝑑𝑥 + 5𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑦3𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0