Interpolação e Ajustamento de Curvas

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1 
 
Modelagem Numérica 
 
 
Capítulo 2 
 
 
Interpolação e Ajustamento de Curvas 
 
 
2.1 - Introdução 
 
Seja um conjunto de pares numéricos representativos de pontos discretos 
sobre dada curva, figura 1. A partir desses pares numéricos podem-se achar 
pontos intermediários de tal curva situados entre os referidos pontos discretos. 
Se o conjunto de pares numéricos representa pontos obtidos de forma exata a 
partir de uma dada função, o procedimento mais apropriado a ser utilizado para 
a determinação dos pontos intermediários pode ser a interpolação. 
 
Figura 1 
2 
 
Por outro lado, se os pares numéricos resultarem de aproximações 
provenientes de medições experimentais efetuadas, passíveis de imprecisões, 
figura 2, o procedimento mais adequado para a determinação dos pontos 
intermediários seria o ajustamento de curva. Neste último caso, a tônica do 
problema é a minimização do erro cometido nos procedimentos que culminam 
em tal tarefa. 
 
Figura 2 
 
Exemplo 1: encontrar o valor de b = sen(6,5) a partir de valores da função 
seno provenientes de tabela graduada em intervalos de 1o. 
Presumidamente, a tabela é elaborada a partir de valores mais precisos obtidos 
diretamente da função f(x) = sen(x). O fato de a função ser estritamente 
crescente no intervalo entre x = 6 e x = 7, deixa-nos com a convicção de que 
teremos a precisão beneficiada por tal particularidade. A partir do emprego da 
tabela obtém-se sen(6) = 0,10453 e sen(7) = 0,12187. 
Devemos supor, com certa dose de recurso intuitivo, que a ligação dos pontos 
da curva em tal intervalo mediante segmento de reta, figura 3, representa 
procedimento que resulta em boa aproximação, e, que tal afirmativa seria tanto 
mais verdadeira, quanto mais próximos entre si estiverem os pontos do 
extremo do intervalo. Nestes termos, o ponto intermediário deverá recair em 
posição bem próxima de ponto sobre tal segmento, considerando-se, 
sobretudo, que esses pontos discretos são, suficientemente, próximos. Assim 
3 
 
sendo, uma vez que o ponto a considerar é eqüidistante dos pontos do extremo 
do intervalo, pode-se recorrer à média aritmética para se obter: 
1132,0
2
)7(sen)6(sen
)5,6(sen 


 
Tal valor pode ser confrontado com aquele obtido a partir da utilização de uma 
calculadora eletrônica comum. 
 
Figura 3 
 
Exemplo 2: As leituras dos valores de deformações e tensões em um ensaio 
experimental quase-estático de carga não destrutivo em corpo de prova de 
concreto, são efetuadas em intervalos de deformações de 0,025% e lançadas 
em gráfico resultando em conjunto de pontos discretos, figura 4, a partir do qual 
deseja-se obter a tensão referente a uma deformação de 0,08%. 
Em se tratando de fenômeno ligado a propriedades naturais de um material, a 
expectativa é que a curva referente à sua evolução seja suave. Se tal realidade 
é violada, certamente, dever-se-á a limitações na qualidade da leitura ou 
mesmo de caráter técnico do equipamento utilizado. 
A obtenção da tensão referente a uma deformação de 0,08%, a partir da 
interpolação entre as leituras referentes às deformações de 0,075% e 1,0%, 
que foram fixados com certa margem de erro, pode resultar em valores com 
margem de erro menor, mas, também com erro ainda maior, e, em problemas 
de Engenharia, faz-se necessário primar pela qualidade dos resultados. 
4 
 
Assim, com vistas à observância da qualidade de resultados, a melhor solução 
seria ajustar aos pontos discretos uma curva provável, fundamentando-se no 
propósito de se cometer a menor margem de erro possível, figura 4. 
Considerando-se que as várias medições sejam imprecisas, tal curva não 
passaria, necessariamente, pelos pontos correspondentes às medições, mas, 
haja vista os pequenos erros, ela desenvolver-se-ia segundo a linha tracejada, 
figura 4, margeando os pontos, um pouco abaixo ou um pouco acima deles. A 
curva provável pode então ser usada, de forma mais racional, que a pura e 
simples interpolação, para obtenção da tensão desejada. 
 
 
Figura 4 
 
 
2.2 -Interpolação 
Interpolação Linear 
É aplicável a funções continuas e diferenciáveis em certo intervalo de trabalho 
[xo,xn], figura 5. Assim, para n+1 pontos discretos desse intervalo, não 
5 
 
necessariamente uniformemente espaçados, pode-se obter, facilmente, os n+1 
valores de f(x), de modo que todos os pares [xi,f(xi)] são exatos ou mesmo que, 
embora inexatos, atendam a certa tolerância pré-fixada. 
Uma vez objetivando-se a obtenção do valor de 
)(xf
 a partir de interpolação 
linear, o ponto obtido seria 
)](J , [ xx
. Tudo se passa como se estivéssemos 
aproximando a curva referente à função f(x), no trecho situado entre xi e xi+1, 
mediante segmento retilíneo, a exemplo do que está sendo aplicado para o 
trecho AD, referente à interpolação entre os pontos de abscissas x3 e x4. 
Valendo-se do princípio da semelhança aplicada aos triângulos ABC e ADE, 
que apresentam dois lados paralelos entre si, a saber, o lado AB paralelo ao 
lado AD e o lado AC paralelo ao lado AE, teríamos: 
AE
DE
AC
BC

 2.1 
De onde se obtém 
)]()([ 34
34
3 xfxf
xx
xx
DE
AE
AC
AC
AE
DE
BC 



 2.2 
 
 
Figura 5 
O valor interpolado será: 
)]x(f)x(f[
xx
xx
)x(fBC)x(f)x(J 34
34
3
33 



 2.3 
6 
 
Para um ponto qualquer de abscissa "x", situado entre dois pontos arbitrários e 
consecutivos, que apresentam para abscissas "xi" e "xi+1", a equação 2.3 pode 
ser generalizada assumindo a forma: 
)]()([)()( ii
ii
i
i xfxf
xx
xx
xfxJ 


 

1
1
 2.4 
A equação assim definida é conhecida como equação de interpolação. Uma 
vez utilizando-a pode-se determinar o sen(6,5) de forma menos intuitiva e mais 
sistemática, de modo que se tem: 
)]()([
,
)(),(),( 67
67
656
65656 fffJsen 



 
]10453,012187,0[
67
65,6
10453,0 
)]6(sen)7(sen[
67
65,6
)6(sen)5,6(J)5,6(sen








 
1132056 ,),( sen
 
O valor interpolado é tanto mais preciso quanto mais próximos forem os pontos 
de abscissas "xi" e "xi+1", de modo que, se ao invés de utilizar-se tabela 
graduada em 1o, a utilizar-se graduada em 10o, o erro cometido seria maior. 
Se, por outro lado, ao invés de se obter o valor interpolado entre dois pontos 
conhecidos, proceder-se à extrapolação além desses pontos, ter-se-ia, figura 6: 
AC
AB
CE
BD

 2.5 
De onde se obtém: 
)]x(f)x(f[
xx
xx
BD
AB
AC
AC
AB
BD
CE 23
23
2 



 2.6 
O valor extrapolado será: 
)]()([)()()( 23
23
2
22 xfxf
xx
xx
xfCExfxJ 



 2.7 
7 
 
 
 
Figura 6 
Para um ponto qualquer de abscissa "x" situado além de dois pontos arbitrários 
e consecutivos de abscissas "xi" e "xi+1", a equação 2.7 se transforma em: 
)]()([)()( ii
ii
i
i xfxf
xx
xx
xfxJ 


 

1
1
 2.8 
Assim, se tivéssemos sen(6) = 0,10453 e sen(5) = 0,08711, então: 
)]5(f)6(f[
56
55,6
)5(f)5,6(J)5,6(sen 



 
11324,0]08711,010453,0[
1
5,1
08711,0]5sen6sen[
56
55,6
5sen5,6sen 



 
A equação 2.4, uma vez reordenada pode resultar em: 





















i
i1ii1i
i
i1i
i1i x
xx
)x(f)x(f
)x(fx
xx
)x(f)x(f
 )x(J
 2.9 
Se 
i1i
i1i
1
xx
)x(f)x(f
a





 2.10 
8 
 
i1ii
i1i
i1i
io xa)x(fx
xx
)x(f)x(f
)x(fa 





 2.11 
 
Então: 
o1 axa)x(J 
 2.12 
Que é denominado de polinômio interpolador. Neste caso trata-se de um 
polinômio interpolador linear ou do primeiro grau. 
 
Polinômio Interpolador 
Com referência à tarefa de interpolação, a escolha de uma curva de ordem 
mais alta referente a um polinômio de maior grau conduziria a uma 
aproximação melhor. Se dois pontos determinam uma reta, e, este principio 
fundamentou a abordagem na seção anterior, que culminou com o polinômio 
interpolador linear, então, considerando que três pontos determinariam uma 
curva quadrática, quatro pontos uma cúbica, e, assim por diante, por “m” 
pontos pode-se passar uma curva de ordem “m-1”, correspondente a um 
polinômio de grau igual a “m-1”, de modo que o polinômio interpolador seria da 
forma: 
o
m
m
m
mm axaxaxaxaxaxp 



 1
2
2
3
3
2
2
1
11 ...)(
 2.13 
Seus coeficientes podem ser obtidos mediante o método dos coeficientes a 
determinar em versão apropriada à situação em estudo. Assim, considerando-
se o fato de que uma curva de ordem “n” passa exatamente por “n+1” pontos 
seus conhecidos, e que em tais pontos o polinômio interpolador deve 
apresentar, pelo menos em tese, valor idêntico ao da função exata, então 
pode-se estabelecer um sistema de equações lineares na forma da equação 
2.14, apresentada adiante. 
9 
 
)(...)(
.
.
.
)(...)(
)(...)(
1
2
2
3
3
1
1
111
2
12
3
13
1
1111
1
2
2
3
3
1
1
nonnn
n
nn
n
nnnn
o
n
n
n
nn
ooooo
n
on
n
onon
xfaxaxaxaxaxaxp
xfaxaxaxaxaxaxp
xfaxaxaxaxaxaxp









 2.14 
Tal sistema de equações lineares uma vez resolvido em ao, a1, a2, . . .an, 
resulta os valores de tais coeficientes. 
O sistema de equações 2.14 pode assumir a forma: 


















































































)(
.
.
.
)(
)(
)(
.
.
.
.
1 . . . 
.
.
.
1 . . . 
1 . . . 
1 . . . 
2
1
0
1
2
1
21
2
2
2
1
22
1
2
1
1
11
21
n
o
n
n
nn
n
n
n
n
nn
nn
oo
n
o
n
o
xf
xf
xf
xf
a
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 2.15 
Que é solúvel desde que a matriz característica seja não singular. Neste caso, 
em particular, o determinante da matriz característica: 

































1 . . . 
.
.
.
1 . . . 
1 . . . 
1 . . . 
21
2
2
2
1
22
1
2
1
1
11
21
nn
n
n
n
n
nn
nn
oo
n
o
n
o
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
X
 2.16 
, é conhecido como determinante de "Van der Monte". Ele é não nulo desde 
que todos os xi, sejam distintos, que é o que acontece no presente caso, pois, 
os xi representam elementos distintos do domínio de uma função. 
10 
 
Assim, se: 




























o
n
n
a
a
a
a
a
A
1
2
1
.
.
.
 e 























)(
.
.
.
)(
)(
)(
2
1
0
nxf
xf
xf
xf
F
 2.17 
Então: 
FXAFAX
1
.

 2.18 
Que é problema facilmente abordável mediante adoção de algoritmo estruturado. Uma 
vez obtida a matriz “A”, obtém-se, automaticamente, o polinômio interpolador 
correspondente. 
Exemplo3: Achar um polinômio interpolador para trabalhar no intervalo de 0o 
até 90o a partir de tabela com os valores exatos da função seno em 0o, 30o, 60o 
e 90o. 
Em se tratando de quatro pontos disponíveis, deve-se montar um polinômio 
interpolador de terceiro grau, ou seja: 
oaxaxaxaxp  1
2
2
3
33 )(
 
De modo que: 
0,1)90(909090)90(
866,0)60(606060)60(
5,0)30(303030)30(
0)0(000)0(
1
2
2
3
33
1
2
2
3
33
1
2
2
3
33
1
2
2
3
33




faaaap
faaaap
faaaap
faaaap
o
o
o
o
 
Ou em forma matricial: 
11 
 
 
 
 
Tal sistema, uma vez resolvido, resulta: 
0 e, ;01781,0 ;1019944,0 ;106054,0 1
4
2
6
3 

oaaxaxa
 
De modo que: 
 
O fato de o polinômio interpolador ter sido determinado com base na premissa 
de que ele coincide com a função nos pontos dados pode induzir à falsa idéia 
de erro nulo nesses pontos, entretanto, os coeficientes foram obtidos mediante 
algoritmo transcodificado em FORTRAN para o qual a função seno é função de 
biblioteca e tem seus valores obtidos via métodos numéricos aproximados. 
Além do mais, há de se considerar os erros que decorrem de deficiências 
numéricas, discutidas no capítulo 1, no tocante à resolução de sistemasa 
lineares. 
Uma vez comparados os valores corretos da função seno com aqueles obtidos 
mediante o polinômio interpolador, no intervalo estudado, constatam-se erros 
conforme o indicam as curvas das figuras 7 e 8. Os erros cometidos no 
presente caso foram da ordem de 0,002 para mais ou para menos. 
 
 
Figura 7 









































0,1
866,0
5,0
0
a
a
a
a
.
1 90 90 90
1 60 60 60
1 30 03 30
1 0 0 0
o
1
2
3
23
23
23
x01781,0x10x19944,0x10x6054,0)x(p 24363 

12 
 
 
 
Figura 8 
 
Polinômio Interpolador de Lagrange 
 
Para o caso de primeira ordem, o objetivo é obter um polinômio da forma: 
oaxaxp  11 )(
 2.19 
De modo que 
)()(1 oo xfxp 
 e 
)()( 111 xfxp 
. 
Assim sendo pode-se escrever: 
0)(
0)(
0)(
111
10
11



o
oo
o
axaxf
axaxf
axaxp
 2.20 
Introduzindo-se certa constante “c”, numericamente igual à unidade, então a 
equação 2.20 se transforma em: 
0axa)x(f.c
0axa)x(f.c
0axa)x(p.c
o111
oo10
o11



 2.21 
Ou na forma matricial apresentada na equação 2.22. 
 
13 
 


































0
0
0
a
a
c
.
1x)x(f
1x)x(f
1x)x(p
o
1
11
oo
1
 2.22 
As equações acima, de incógnitas c, ao, a1 são homogêneas, de modo que, se 
apresentarem soluções não nulas o determinante característico é nulo. 
Desenvolvendo-se, então, o determinante pela primeira coluna obtém-se: 
0)xx)(x(f)xx)(x(f)xx)(x(po11o1o1 
 2.23 
Resultando o polinômio de Lagrange de primeira ordem: 
)xx(
)xx(
)x(f
)xx(
)xx(
)x(f)x(p
o1
o
1
1o
1
o1






)x(L)x(f)x(L)x(f 11oo 
 2.24 
Com: 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
o
o
o
o
xx
xx
xL
xx
xx
xL






 2.25 
O polinômio interpolador de Lagrange de ordem “n” seria: 
)()(...)()()()()( 11 xLxfxLxfxLxfxp nnoon 
 2.26 
Com: 
)xx)...(xx)(xx)...(xx)(xx(
)xx)...(xx)(xx)...(xx)(xx(
)x(L
ni1ii1ii1ioi
n1i1i1o
i





 2.27 
Observe-se que, aplicando-se o polinômio a cada um dos pontos tabelados, resulta: 
)()(0)(1)( jjnjiji xfxpjixLjixL  
 2.28 
Ou seja, que nos pontos tabelados os valores do polinômio interpolador de Lagrange e 
da função coincidem. 
Escrevendo-se 2.27 em forma alternativa contracta tem-se a equação 2.29. 
14 
 















n
ij
j ji
j
n
ik
k
ki
n
ij
j
j
i
xx
xx
xx
xx
xL
0
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
 2.29 
Exemplo 4: Utilização do polinômio interpolador de Lagrange ao exercício do 
exemplo anterior para elaborar tabela de senos de 0o a 90o, em intervalos de 
10o. 
A forma do polinômio de Lagrange é especialmente apropriada para utilização 
em algoritmos estruturados o qual poderia apresentar-se mediante a seqüência 
de procedimentos: 
 
Inicio 
Introdução dos valores dos pares [xi,f(xi)] 
- (0;0,0); (30;0,5); (60;0,866); (90,1,0) 
Abertura de laço sobre os pontos cujo valor do seno é desejado 
- i = 1 a i = 10 
 x = (i – 1)*10 
Cálculo dos valores dos coeficientes: 
))()((
))()((
)(
321
321
xxxxxx
xxxxxx
xL
ooo
o



 
))()((
))()((
)(
31211
32
1
xxxxxx
xxxxxx
xL
o
o



 
))()((
))()((
)(
32122
31
2
xxxxxx
xxxxxx
xL
o
o



 
15 
 
))()((
))()((
)(
23133
21
3
xxxxxx
xxxxxx
xL
o
o



 
Cálculo dos valores do seno via a função de biblioteca: 
Frigor = sen(x) 
Cálculo dos valores do seno via polinômio de Lagrange: 
 
)()()()()()()()()( 3322113 xLxfxLxfxLxfxLxfxpV ooaprox 
 
Cálculo do erro: 
Erro = Frigor-Vaprox 
Impressão dos resultados: 
Fechamento do laço 
 
2.3 - Ajustamento de Curvas 
Método dos Mínimos Quadrados 
Considere-se “n+1” pontos de coordenadas conhecidas aos quais seja 
necessário ajustar uma curva, escolhida de forma mais intuitiva, como sendo 
da forma: 
o122331m1mmmm axaxaxa...xaxa)x(p   2.30 
A operação pode não ser efetuada satisfatoriamente, sobretudo, tratando-se de 
pontos provenientes de algum ensaio referente a fenômenos oscilatórios ou de 
decaimento, exigindo-se a apropriação de funções trigonométricas, 
exponenciais ou logarítmicas. Abstraindo-se, portanto a restrição de a função 
ter de apresentar-se em termos de polinômios, pode-se escrevê-la na forma: 
)x(ga)x(ga)x(ga 
...)x(ga)x(ga)x(p
oo1122
1m1mmmm

 
 2.31 
16 
 
Onde )x(g),x(g),x(g),...,x(g,g o121mm  são funções de “x” 
convenientemente escolhidas. 
Os coeficientes 
o121mm a,a,a,...,a,a 
 são distintos e independentes, de 
modo que as funções )x(g),x(g),x(g),...,x(g,g o121mm  têm de ser 
linearmente independentes, ou seja, escolhendo um terno arbitrário de tais 
funções não se deve ter: 
)x(ga)x(ga)x(ga kkjjii 
 2.32 
Para aplicação do método ora abordado, a soma dos desvios do valor obtido 
da função ajustada em relação ao valor de dada medição: 
)x(f)x(p);....,x(f)x(p
);x(f)x(p);x(f)x(p
nn1mn221m2
111m1oo1mo



 
 2.33 
deve ser um mínimo possível. Para i-ésima das “n” medições, ter-se-ia: 
n,1i),x(f)x(p ii1mi   2.34 
A soma das “n+1” diferenças é então: 
 

n
0i
2
i
= um valor mínimo 2.35 
mas: 
   


n
0i
2
iim
n
0i
2
i )x(f)x(p
 2.36 
Logo: 
   


n
0i
2iiooi11imm
n
0i
2i )x(f)x(ga)x(ga...)x(ga 2.37 
Na verdade, o objetivo precípuo, é minimizar o segundo membro da equação 
2.37, cujas incógnitas são os coeficientes 
o121mm a,a,a,...,a,a 
. Para tal 
17 
 
deve-se tomar suas derivadas parciais em relação a cada uma dessas m+1 
icógnitas igualando-as a zero. Assim procedendo, obtém-se: 
     0a2aa
n
0i j
ii
n
0i
2ij
n
0i
2ij 



















  ; j = 0, 1, 2,...,m. 2.38 
mas: 
0
a
0
a
2
n
0i j
i
i
n
0i j
i
i 






 
; j = 0, 1, 2, ....,m. 2.39 
Haja vista que: 
)x(f)x(ga)x(ga...)x(ga iiooi11immi  2.40 
 )x(f)x(ga)x(ga...)x(gaaa iiooi11immjji 



 2.41 
)x(f
a
)x(ga
a
)x(ga
a
 
...)x(ga
aa
i
j
ioo
j
i11
j
imm
jj
i















 2.42 
j
i
io
j
o
i1
j
1
ii
j
i
im
j
m
j
i
a
)x(f
)x(g
a
a
)x(g
a
a
... 
)x(g
a
a
...)x(g
a
a
a

















 2.43 
Observe-se que: 
i se 







 0a
)x(fji1a
aji0a
a
j
i
j
i
j
i 2.44 
De modo que: 
)x(g000...0)x(g...0a ijijj
i 


 
 2.45 
 
18 
 
Substituindo-se 2.45 em 2.39 resulta: 
  0)x(g.)x(f)x(p)x(ga
n
0i
ijiim
n
0i
iji
n
0i j
ii 



  , 2.46 
j = 0, 1, 2, ..., m 
uma vez que: 
)x(ga)x(ga)x(ga 
...)x(ga)x(ga)x(p
oo1122
1m1mmmm

 
 2.47 
Então: 
  0)x(g.)x(f)x(ga)x(ga)x(ga...)x(ga
n
0i
ijiiooi11i22imm 

 2.48 
 
0)x(g)x(f - 
)x(g)x(ga)x(g)x(ga...)x(g)x(ga
n
0i
iji
n
0i
ijiooiji11ijimm






 2.49 
Ou: 
0)x(g)x(f - 
)x(g)x(ga)x(g)x(ga...)x(g)x(ga
n
0i
iji
n
0i
ijioo
n
0i
iji11
n
0i
ijimm






 2.50 
Ou ainda: 






n
0i
iji
n
0i
ijioo
n
0i
iji11
n
0i
ijimm
)x(g)x(f)x(g)x(ga 
)x(g)x(ga...)x(g)x(ga
 2.51 
 
19 
 
Fazendo-se: 
 
m 2,..., 1, 0,j m ; 2,..., 1, 0,k ; 

n
0i
ijikkj )x(g)x(g 2.52 
e: 
m ..., 2, 1, 0, j 
n
0i


;)x(g)x(f ijij
 2.53 
 
Pode-se converter a equação 2.51 em: 
m 2,...,1, 0,j ;aa...a jooj1j1mmj   2.54 
 
moom1m1mmm
2o2o112m2m
1o1o111m1m
oooo1o1mmo
aa...a.
.
.
 aa...a
 aa...a
 aa...a







 2.55 
Examinando-se 2.52 conclui-se que: 
m 2,..., 1, 0,j m; 2,..., 1, 0,k ;  j kkj 
 2.56 
E a expressão 2.55 assume então a forma: 
mmmm11momo
2mm2121oo2
1mm1111oo1
omom11oooo
a...aa
.
.
.
 a...aa
 a...aa
 a...aa








 2.57 
20 
 
Que em notação matricial assume a forma: 



































































m
2
1
0
m
2
1
o
mmm1mo
2m212o
1m111o
omo1oo
.
.
.
a
.
.
a
a
a
.
 . . . 
.
.
.
 . . . 
 . . . 
 . . . 








 2.58 
Constata-se facilmente que a equação 2.58, representa um sistema de equações 
lineares, a “m+1” equações e “m+1” incógnitas, que uma vez resolvido resulta os 
valores dos coeficientes do polinômio interpolador, procurados.