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1 Métodos Analíticos e Computacionais Modelagem Analítica Capítulo V Equações Diferenciais Parciais V.I - Introdução Envolvem derivadas de dada função em mais de uma variável independente. Sua ordem é a ordem da sua derivada mais elevada. É linear se for do primeiro grau na variável dependente e suas derivadas. A modelagem de muitos problemas de engenharia resulta em equações diferenciais parciais, podendo-se citar: 1 – Propagação da onda unidimensional 2 2 2 2 2 x u c t u (V.1) 2 2 – Condução unidimensional do calor 2 2 2 x u c t u (V.2) 3 - Adensamento unidimensional de solos argilosos 2 2 x u c t u v (V.3) Acrescente-se a esses exemplos suas versões bidimensionais e tridimensionais. A obtenção de sua solução geral constitui tarefa extremamente complexa e na maioria das vezes desnecessária de modo que na prática obtém-se diretamente a solução particular desejada. V.2 - Adensamento Unidimensional de Solos Argilosos Saturados Assim como todos os materiais, os solos de fundações, uma vez solicitados pelas cargas provenientes das estruturas, apresentam deformações, induzindo as estruturas e fundações a experimentarem movimentações, cujas componentes verticais são denominadas, especificamente, de recalques de fundações. Para os solos arenosos as deformações do maciço de solo se dão por compactação, em virtude da redução dos espaços vazios dos seus poros com evasão de sua fase gasosa, fazendo com que os grãos de areia se aproximem mais um dos outros. Este tipo de solo, em geral, apresenta boa permeabilidade. As deformações impostas pelo carregamento são, portanto, imediatas. 3 Para os solos argilosos saturados de água as deformações do maciço de solo se dão por evasão da água dos poros, com dissipação das poro pressões, que surgem em razão da solicitação exercida pela estrutura. A permeabilidade dos maciços de solos argilosos é consideravelmente baixa, quando comparada com a permeabilidade dos solos arenosos, pois a água em seu interior, em razão da diminuta dimensão das partículas, sua forma laminar, e arranjo espacial, encontra-se confinada entre plaquetas, figura V.1.b. Assim, as deformações devidas ao carregamento desse tipo de solo é lenta, necessitando-se estudar sua evolução com o tempo. Para um ponto do interior de uma camada de solo argiloso saturado solicitado por um elemento de fundação, figura V.1.a, a pressão total num instante “t” qualquer, é dada por: )t(u)t()t(p ef onde “σef( t )” representa a parcela da pressão total que é transmitida através da fase sólida do maciço, sendo especialmente denominada pressão efetiva. “u( t )” representa a parcela da pressão total absorvida na fase líquida do maciço, sendo conhecida como pressão neutra ou poro pressão. Para um maciço de solo argiloso saturado de água, no instante imediato ao carregamento toda a pressão é absorvida pela fase líquida, de modo que, para t = 0, σef(0) = 0, e, p(0) = u(0). 4 A dissipação das pressões neutras, ou poro pressões, é acompanhada de recalques da fundação. Por esta razão, para fins práticos, a evolução da dissipação das poros pressões é tomada como referência para a avaliação de tais recalques. Uma vez que a pressão total se mantém constante, a pressão efetiva passa a aumentar com o tempo. Ao final do processo de adensamento num instante “tf” indefinido, quando a pressão neutra já foi totalmente dissipada ter- se-á u(tf) = 0, de modo que p(tf) = σef(tf). Nesta seção, será apresentada a resolução do problema de adensamento, referente ao maciço de solo da figura V.1.a. Tal maciço é formado por três camadas básicas de solo. A primeira camada, que é aquela sobre a qual o elemento de fundação se apoia diretamente, é constituída de material arenoso de boa permeabilidade. A segunda camada, de espessura igual a 2H, é constituída de argila saturada de água, representado a parte do maciço na qual, efetivamente, ocorrerá a dissipação das pressões neutras, representando, portanto, o foco da análise ora realizada. E, por fim, a terceira camada é também constituída de material arenoso de boa permeabilidade. Observe-se que na interface das camadas de areia com a camada de argila, a pressão neutra é nula, o que decorre da boa permeabilidade das areias que permite a livre movimentação de água em seu interior antes de desenvolver poro pressões. A poro pressão, curva u(z,t) da figura V.1.a, aumenta de seu valor nulo em tais interfaces em direção ao centro da camada, em z = H, onde atinge seu valor máximo. Com a dissipação das poro pressões com o tempo, a curva u(z,t) tracejada da figura V.1.a, que inicialmente posicionava-se mediante a configuração da curva g(z), em traço cheio da figura V.1.a, tende para o segmento vertical em traço fino, que é alcançado, quando a dissipação total é consumada. 5 A equação diferencial que rege o fenômeno de adensamento apresenta- se sob a forma da equação V.4, apresentada adiante. 2 2 v z u c t u (V.4) onde “cv” representa o coeficiente de adensamento que é um parâmetro intrínseco à natureza do solo argiloso e às condições sob as quais o maciço se encontra. Figura 5.1 – a - ) Maciço de solo; b - ) Detalhe de um poro A solução da equação diferencial é então uma função “u(z,t)”. A equação diferencial do adensamento pode ser resolvida mediante separação de variáveis, a partir da consideração da proposta de Bernoulli, expressa sob a forma: )t(G).z(F)t,z(u (V.5) 6 Segundo tal proposta, portanto, a solução procurada pode ser representada pelo produto envolvendo uma função exclusiva da variável "z" e outra função exclusiva da variável "t". O domínio espacial do problema, constituído pela extensão vertical segundo a espessura da camada argilosa, pode ser representado por: }Hz/Rz{ 20 (V.6) As fronteiras do problema são as interfaces entre a camada de argila e as duas camadas de areia, inferior e superior. Uma vez que a pressão neutra em toda extensão de uma camada arenosa, incluindo-se as linhas da interface com a camada de argila, é nula, as condições de contorno do problema serão: Rt 022000 )t,H(uHz)t,(uz (V.7) A condição inicial a considerar se refere à lei de distribuição da pressão neutra ao longo da camada argilosa, em t = 0, ou seja: )z(g),z(ut 00 (V.8) As derivadas de “u” em relação a “z” e “t” que constam na equação diferencial serão: 7 2 2 2 2 dz Fd ).t(G z u dt dG ).z(F t u (V.9) Levando-se a equação V.9 na equação V.4, obtém-se: dt dG )z(F dz Fd )t(Gcv 2 2 (V.10) que uma vez reordenada resulta em: k dt dG )t(Gcdz Fd )z(F v 11 2 2 (V.11) 00 2 2 kGc dt dG kF dz Fd v (V.12) A equação V.11 admite solução não trivial apenas se k < 0, pois, se k = 0 a solução seriabaz)z(F . Das condições de fronteira: F( 0 ) = 0; e, F( L ) = 0 encontrar-se-ia a = 0, e, b = 0., e, portanto, F(z) = 0, o mesmo ocorrendo com a função “u(z,t)”, e portanto, uma solução trivial que não tem consistência física. 8 Se k > 0 a solução seria zz BeAe)z(F , desde que “μ” e “-μ” sejam as raízes da equação característica. F(0) = 0 e F(L) = 0 induz F = 0 para todo “z” o mesmo ocorrendo com “u”. Se a equação admite solução não trivial, portanto, esta será obtida para k < 0. A condição k = -p2 assegura que “k” será negativo. Aplicando-se este artifício às equações V.11 e V.12, se obtém as formas: 00 22 2 2 Gpc dt dG Fp dz Fd v (V.13) cujas soluções são: tcp veC)t(G)senpzCpzcosC()z(F 2 321 (V.14) de modo que: tcp ve).senpzBpzcosB()t,z(u 2 21 (V.15) Aplicando-se a primeira condição de fronteira à equação V.15, tem-se: 9 0B0)t,0(u 1 (V.16) de modo que resulta: tcp ve).senpzB()t,z(u 2 2 (V.17) A segunda condição de fronteira nos dá: 0H2senpB)t,H2(u 2 (V.18) para a obtenção de solução não trivial para “F” deve-se ter “B2” não nulo, de modo que 02 )pH(sen H n pnpH 2 2 . Se “B2” é constante arbitrária, a equação V.17 se torna: tc H n nn v e).z H n senB()t,z(u 2 22 4 2 (V.19) “un(z,t)” é solução da equação diferencial para todo número “n” pertencente ao universo dos números naturais, e, qualquer combinação linear envolvendo estas funções, também será solução. Desta forma, a forma apresentada na equação V.20 é solução. 10 1 4 1 2 22 2 n tc H n n n n v e).z H n senB()t,z(u)t,z(u (V.20) Da condição inicial u(z,0) = g(z) obtém-se: 1 2 n n )z H n senB()z(g (V.21) Se a equação V.21 representa o desenvolvimento de meio período impar de “g(z)” então: H n dz.z H n sen)z(g H B 2 0 2 1 (V.22) V.3 - Equação da Onda Unidimensional A modelagem matemática de que trata esta seção é aplicável à problemas envolvendo cabos sujeitos a fenômenos vibratórios, a exemplo dos cabos estaiados de pontes pênseis, figura V.2. 11 Figura V.2 – Ponte Pênsil Tais cabos devem ter seus regimes vibratórios estudados em virtude do risco de fadiga do material e da ressonância com a freqüência própria do seu material, que podem levar a estrutura à ruína, a exemplo da ocorrência envolvendo a Ponte Tacoma Narrow em Washingon, 1940. Modelo físico ideal Trata-se de uma corda fixada em suas extremidades, mantida sob tensão, que é forçada a abandonar a sua forma original a partir de deslocamento transversal, figura V.3. Em determinado instante ela é liberada entrando em movimento vibratório. Figura 3 – Modelo da corda vibrante 12 Se “ρ” é a densidade da corda por unidade de comprimento e, “T” é a tensão solicitante, então a equação diferencial que descreve o problema, matematicamente, de forma geral, é: 2 2 2 2 2 x u c t u onde T c 2 (V.23) “u” representa a deflexão transversal de um ponto arbitrário da corda, sendo função da posição “x” do ponto, e, do instante de tempo “t”. Ou seja: )t,x(uu (V.24) Uma vez que a corda está fixa nas extremidades e que o domínio espacial do problema é: }Lx/Rx{ 0 onde “L” é o comprimento da corda, então as condições de fronteira do problema são: Rx)t,L(u)t,(u 000 (V.25) 13 Por outro lado, o regime vibratório depende da deflexão transversal inicial, que pode ser expressa mediante f( x ) = u(x,0), e da velocidade transversal de seus infinitos pontos no instante inicial t = 0, ou seja, . t u )x(g t 0 Para a resolução da equação diferencial adota-se como artifício a proposta de Bernoulle, para a separação das variáveis, segundo a filosofia já apresentada neste texto. Desta feita, a função solução “u” será da forma: )t(G).x(F)t,x(u (V.26) Suas derivadas segundas em relação a “x” e “t”, constam na equação diferencial objeto de resolução apresentam as formas: 2 2 2 2 2 2 2 2 dt Gd .F t u dx Fd .G x u (V.27) Levando-se estas derivadas na equação V.23 obtém-se: 2 2 2 2 2 dx Fd Gc dt Gd F (V.28) Dividindo-se ambos os membros por FGc 2 obtém-se a forma apresentada na equação V.29, apresentada a seguir. 14 2 2 2 2 2 11 dx Fd Fdt Gd Gc (V.29) Cada um dos membros da equação V.29, tomados individualmente, envolve apenas uma das variáveis, logo, tal expressão será verdadeira apenas se cada um dos membros for igual a certa constante, ou seja: k dx Fd F k dt Gd Gc 2 2 2 2 2 11 (V.30) ou 00 2 2 2 2 2 kF dx Fd kGc dt Gd (V.31) Para a segunda das equações V.31 só se encontra solução não trivial se k < 0, como já foi visto neste texto. Considerando que a condição k = -p2 assegura que “k” será negativo, e, aplicando-a à segunda das equações 30, obtém-se a forma: 02 2 2 Fp dx Fd (V.32) Cuja solução é: BsenpxpxcosA)x(F (V.33) 15 Das condições de fronteira 00000 BsenpL)L(FA)(F Para que “F” seja uma função não nula é necessário que “B” seja diferente de zero, de modo que sen(pL) tem de ser nulo o que acontece quando L n pnpL . Uma vez que “B” é uma constante arbitrária podemos fazer B = Bn. Assim procedendo chega-se à forma: Nn x L n sen)x(F nn (V.34) Uma vez que 2 2 L n pk , a primeira das equações V.31 assume a forma: 0 2 2 2 G L n c dt Gd (V.35) fazendo-se L cn n a equação V.35 torna-se: 02 2 2 G dt Gd n (V.36) cuja solução apresentar-se-á conforme a equação V.37. 16 tcostsen)t(G nnnnn (V.37) Desta forma cada uma das infinitas funções: x L n sen).tcostsen()t(G).x(F)t,x(u nnnnnnnn x L n sen).tcosBtsenA()t,x(u nnnnn (V.38) será solução da equação V.23. Cada uma das funções “un(x,t)” são denominadas funções características, funções próprias ou auto – funções. Os “λn” são os valorescaracterísticos, auto-valores ou modos de vibração da corda vibrante. O conjunto λ1, λ2, . . . , λk, . . . , constitui o espectro vibratório da corda vibrante. Uma vez que, qualquer combinação linear envolvendo as funções “un(x,t)” também é solução da equação diferencial em resolução, para determinar uma solução que satisfaça, inclusive, as condições iniciais )0,x(u)x(f e 0tt u )x(g , podemos considerar a série: 11 n nnnn n n x L n sen).tcosBtsenA()t,x(u)t,x(u (V.39) 17 Aplicando-se as condições iniciais tem-se: 11 00 n n n n x L n senB),x(u),x(u)x(f ou seja 1n n x L n senB)x(f que representa desenvolvimento de meio período impar que aproxima f(x), desde que: L n dx L xn sen)x(f L B 0 2 (V.40) Da segunda condição inicial: 01 0 t nnn n nnn t L xn sen)]tcos(A)t(senB[ t u )x(g ou: L xn senA)x(g n nn 1 que representa desenvolvimento de meio período impar que aproxima g(x), desde que: L nn dx L xn sen)x(g L A 0 2 18 e: L n n dx L xn sen)x(g L A 0 2 (V.41)
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