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Equações Diferenciais Parciais

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1 
Métodos Analíticos e Computacionais 
 
 
Modelagem Analítica 
 
 
Capítulo V 
 
 
Equações Diferenciais Parciais 
 
 
V.I - Introdução 
 
Envolvem derivadas de dada função em mais de uma variável 
independente. Sua ordem é a ordem da sua derivada mais elevada. É linear se 
for do primeiro grau na variável dependente e suas derivadas. 
 
A modelagem de muitos problemas de engenharia resulta em equações 
diferenciais parciais, podendo-se citar: 
1 – Propagação da onda unidimensional 
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u




 (V.1) 
 2 
2 – Condução unidimensional do calor 
2
2
2
x
u
c
t
u




 (V.2) 
3 - Adensamento unidimensional de solos argilosos 
2
2
x
u
c
t
u
v




 (V.3) 
Acrescente-se a esses exemplos suas versões bidimensionais e 
tridimensionais. 
 
A obtenção de sua solução geral constitui tarefa extremamente 
complexa e na maioria das vezes desnecessária de modo que na prática 
obtém-se diretamente a solução particular desejada. 
 
 
V.2 - Adensamento Unidimensional de Solos Argilosos Saturados 
 
Assim como todos os materiais, os solos de fundações, uma vez 
solicitados pelas cargas provenientes das estruturas, apresentam deformações, 
induzindo as estruturas e fundações a experimentarem movimentações, cujas 
componentes verticais são denominadas, especificamente, de recalques de 
fundações. 
 
Para os solos arenosos as deformações do maciço de solo se dão por 
compactação, em virtude da redução dos espaços vazios dos seus poros com 
evasão de sua fase gasosa, fazendo com que os grãos de areia se aproximem 
mais um dos outros. Este tipo de solo, em geral, apresenta boa 
permeabilidade. As deformações impostas pelo carregamento são, portanto, 
imediatas. 
 3 
 
Para os solos argilosos saturados de água as deformações do maciço 
de solo se dão por evasão da água dos poros, com dissipação das poro 
pressões, que surgem em razão da solicitação exercida pela estrutura. A 
permeabilidade dos maciços de solos argilosos é consideravelmente baixa, 
quando comparada com a permeabilidade dos solos arenosos, pois a água em 
seu interior, em razão da diminuta dimensão das partículas, sua forma laminar, 
e arranjo espacial, encontra-se confinada entre plaquetas, figura V.1.b. Assim, 
as deformações devidas ao carregamento desse tipo de solo é lenta, 
necessitando-se estudar sua evolução com o tempo. 
 
Para um ponto do interior de uma camada de solo argiloso saturado 
solicitado por um elemento de fundação, figura V.1.a, a pressão total num 
instante “t” qualquer, é dada por: 
 
)t(u)t()t(p ef 
 
 
onde “σef( t )” representa a parcela da pressão total que é transmitida através 
da fase sólida do maciço, sendo especialmente denominada pressão efetiva. 
“u( t )” representa a parcela da pressão total absorvida na fase líquida do 
maciço, sendo conhecida como pressão neutra ou poro pressão. 
 
Para um maciço de solo argiloso saturado de água, no instante imediato 
ao carregamento toda a pressão é absorvida pela fase líquida, de modo que, 
para t = 0, σef(0) = 0, e, p(0) = u(0). 
 
 4 
A dissipação das pressões neutras, ou poro pressões, é acompanhada 
de recalques da fundação. Por esta razão, para fins práticos, a evolução da 
dissipação das poros pressões é tomada como referência para a avaliação de 
tais recalques. 
 
Uma vez que a pressão total se mantém constante, a pressão efetiva 
passa a aumentar com o tempo. Ao final do processo de adensamento num 
instante “tf” indefinido, quando a pressão neutra já foi totalmente dissipada ter-
se-á u(tf) = 0, de modo que p(tf) = σef(tf). 
 
Nesta seção, será apresentada a resolução do problema de 
adensamento, referente ao maciço de solo da figura V.1.a. Tal maciço é 
formado por três camadas básicas de solo. A primeira camada, que é aquela 
sobre a qual o elemento de fundação se apoia diretamente, é constituída de 
material arenoso de boa permeabilidade. A segunda camada, de espessura 
igual a 2H, é constituída de argila saturada de água, representado a parte do 
maciço na qual, efetivamente, ocorrerá a dissipação das pressões neutras, 
representando, portanto, o foco da análise ora realizada. E, por fim, a terceira 
camada é também constituída de material arenoso de boa permeabilidade. 
 
Observe-se que na interface das camadas de areia com a camada de 
argila, a pressão neutra é nula, o que decorre da boa permeabilidade das 
areias que permite a livre movimentação de água em seu interior antes de 
desenvolver poro pressões. A poro pressão, curva u(z,t) da figura V.1.a, 
aumenta de seu valor nulo em tais interfaces em direção ao centro da camada, 
em z = H, onde atinge seu valor máximo. Com a dissipação das poro pressões 
com o tempo, a curva u(z,t) tracejada da figura V.1.a, que inicialmente 
posicionava-se mediante a configuração da curva g(z), em traço cheio da figura 
V.1.a, tende para o segmento vertical em traço fino, que é alcançado, quando a 
dissipação total é consumada. 
 5 
 
 A equação diferencial que rege o fenômeno de adensamento apresenta-
se sob a forma da equação V.4, apresentada adiante. 
2
2
v
z
u
c
t
u





 (V.4) 
onde “cv” representa o coeficiente de adensamento que é um parâmetro 
intrínseco à natureza do solo argiloso e às condições sob as quais o maciço se 
encontra. 
 
Figura 5.1 – a - ) Maciço de solo; b - ) Detalhe de um poro 
 
A solução da equação diferencial é então uma função “u(z,t)”. 
A equação diferencial do adensamento pode ser resolvida mediante 
separação de variáveis, a partir da consideração da proposta de Bernoulli, 
expressa sob a forma: 
 
)t(G).z(F)t,z(u 
 (V.5) 
 
 6 
Segundo tal proposta, portanto, a solução procurada pode ser 
representada pelo produto envolvendo uma função exclusiva da variável "z" e 
outra função exclusiva da variável "t". 
 
O domínio espacial do problema, constituído pela extensão vertical 
segundo a espessura da camada argilosa, pode ser representado por: 
 
}Hz/Rz{ 20  (V.6) 
 
As fronteiras do problema são as interfaces entre a camada de argila e 
as duas camadas de areia, inferior e superior. Uma vez que a pressão neutra 
em toda extensão de uma camada arenosa, incluindo-se as linhas da interface 
com a camada de argila, é nula, as condições de contorno do problema serão: 
 
Rt  022000 )t,H(uHz)t,(uz
 (V.7) 
 
A condição inicial a considerar se refere à lei de distribuição da pressão 
neutra ao longo da camada argilosa, em t = 0, ou seja: 
 
)z(g),z(ut  00
 (V.8) 
 
As derivadas de “u” em relação a “z” e “t” que constam na equação 
diferencial serão: 
 7 
2
2
2
2
dz
Fd
).t(G
z
u
dt
dG
).z(F
t
u





 (V.9) 
 
Levando-se a equação V.9 na equação V.4, obtém-se: 
 
dt
dG
)z(F
dz
Fd
)t(Gcv 2
2 (V.10) 
 
que uma vez reordenada resulta em: 
 
k
dt
dG
)t(Gcdz
Fd
)z(F v

11
2
2 (V.11) 
 
00
2
2
 kGc
dt
dG
kF
dz
Fd
v
 (V.12) 
 
A equação V.11 admite solução não trivial apenas se k < 0, pois, se k = 
0 a solução seriabaz)z(F 
. Das condições de fronteira: 
 
F( 0 ) = 0; e, F( L ) = 0 
 
encontrar-se-ia a = 0, e, b = 0., e, portanto, F(z) = 0, o mesmo ocorrendo com a 
função “u(z,t)”, e portanto, uma solução trivial que não tem consistência física. 
 8 
 
Se k > 0 a solução seria zz BeAe)z(F   , desde que “μ” e “-μ” 
sejam as raízes da equação característica. F(0) = 0 e F(L) = 0 induz F = 0 para 
todo “z” o mesmo ocorrendo com “u”. 
 
Se a equação admite solução não trivial, portanto, esta será obtida para 
k < 0. A condição k = -p2 assegura que “k” será negativo. Aplicando-se este 
artifício às equações V.11 e V.12, se obtém as formas: 
 
00 22
2
2
 Gpc
dt
dG
Fp
dz
Fd
v
 (V.13) 
 
cujas soluções são: 
 
tcp veC)t(G)senpzCpzcosC()z(F
2
321

 (V.14) 
 
de modo que: 
 
tcp ve).senpzBpzcosB()t,z(u
2
21

 (V.15) 
 
Aplicando-se a primeira condição de fronteira à equação V.15, tem-se: 
 
 9 
0B0)t,0(u 1 
 (V.16) 
 
de modo que resulta: 
 
tcp ve).senpzB()t,z(u
2
2

 (V.17) 
 
 A segunda condição de fronteira nos dá: 
 
0H2senpB)t,H2(u 2 
 (V.18) 
 
para a obtenção de solução não trivial para “F” deve-se ter “B2” não nulo, de 
modo que 
02 )pH(sen
 
H
n
pnpH
2
2
  
. 
 
Se “B2” é constante arbitrária, a equação V.17 se torna: 
 
tc
H
n
nn
v
e).z
H
n
senB()t,z(u
2
22
4
2

 

 (V.19) 
 
“un(z,t)” é solução da equação diferencial para todo número “n” pertencente 
ao universo dos números naturais, e, qualquer combinação linear envolvendo 
estas funções, também será solução. Desta forma, a forma apresentada na 
equação V.20 é solução. 
 10 
 






1
4
1
2
22
2
n
tc
H
n
n
n
n
v
e).z
H
n
senB()t,z(u)t,z(u

 (V.20) 
 
Da condição inicial u(z,0) = g(z) obtém-se: 
 




1
2
n
n )z
H
n
senB()z(g
 (V.21) 
 
Se a equação V.21 representa o desenvolvimento de meio período impar 
de “g(z)” então: 
 

H
n dz.z
H
n
sen)z(g
H
B
2
0
2
1  (V.22) 
 
 
V.3 - Equação da Onda Unidimensional 
 
A modelagem matemática de que trata esta seção é aplicável à 
problemas envolvendo cabos sujeitos a fenômenos vibratórios, a exemplo dos 
cabos estaiados de pontes pênseis, figura V.2. 
 11 
 
Figura V.2 – Ponte Pênsil 
 
Tais cabos devem ter seus regimes vibratórios estudados em virtude do 
risco de fadiga do material e da ressonância com a freqüência própria do seu 
material, que podem levar a estrutura à ruína, a exemplo da ocorrência 
envolvendo a Ponte Tacoma Narrow em Washingon, 1940. 
 
Modelo físico ideal 
 
Trata-se de uma corda fixada em suas extremidades, mantida sob 
tensão, que é forçada a abandonar a sua forma original a partir de 
deslocamento transversal, figura V.3. Em determinado instante ela é liberada 
entrando em movimento vibratório. 
 
 
Figura 3 – Modelo da corda vibrante 
 12 
 
Se “ρ” é a densidade da corda por unidade de comprimento e, “T” é a 
tensão solicitante, então a equação diferencial que descreve o problema, 
matematicamente, de forma geral, é: 
 
2
2
2
2
2
x
u
c
t
u




 onde 

T
c 2
 (V.23) 
 
“u” representa a deflexão transversal de um ponto arbitrário da corda, sendo 
função da posição “x” do ponto, e, do instante de tempo “t”. Ou seja: 
 
)t,x(uu 
 (V.24) 
 
Uma vez que a corda está fixa nas extremidades e que o domínio 
espacial do problema é: 
 
}Lx/Rx{  0
 
 
onde “L” é o comprimento da corda, então as condições de fronteira do 
problema são: 
 
Rx)t,L(u)t,(u  000
 (V.25) 
 
 13 
Por outro lado, o regime vibratório depende da deflexão transversal 
inicial, que pode ser expressa mediante f( x ) = u(x,0), e da velocidade 
transversal de seus infinitos pontos no instante inicial t = 0, ou seja, 
.
t
u
)x(g
t 0


 
 
Para a resolução da equação diferencial adota-se como artifício a 
proposta de Bernoulle, para a separação das variáveis, segundo a filosofia já 
apresentada neste texto. Desta feita, a função solução “u” será da forma: 
 
)t(G).x(F)t,x(u 
 (V.26) 
 
Suas derivadas segundas em relação a “x” e “t”, constam na equação 
diferencial objeto de resolução apresentam as formas: 
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
Gd
.F
t
u
dx
Fd
.G
x
u





 (V.27) 
 
Levando-se estas derivadas na equação V.23 obtém-se: 
 
2
2
2
2
2
dx
Fd
Gc
dt
Gd
F 
 (V.28) 
 
Dividindo-se ambos os membros por 
FGc 2
 obtém-se a forma 
apresentada na equação V.29, apresentada a seguir. 
 
 14 
2
2
2
2
2
11
dx
Fd
Fdt
Gd
Gc

 (V.29) 
 
Cada um dos membros da equação V.29, tomados individualmente, 
envolve apenas uma das variáveis, logo, tal expressão será verdadeira apenas 
se cada um dos membros for igual a certa constante, ou seja: 
 
 
k
dx
Fd
F
k
dt
Gd
Gc

2
2
2
2
2
11 (V.30) 
ou 
00
2
2
2
2
2
 kF
dx
Fd
kGc
dt
Gd (V.31) 
 
Para a segunda das equações V.31 só se encontra solução não trivial se k < 0, 
como já foi visto neste texto. Considerando que a condição k = -p2 assegura 
que “k” será negativo, e, aplicando-a à segunda das equações 30, obtém-se a 
forma: 
02
2
2
 Fp
dx
Fd (V.32) 
 
Cuja solução é: 
 
BsenpxpxcosA)x(F 
 (V.33) 
 
 15 
Das condições de fronteira 
00000  BsenpL)L(FA)(F
 
 
Para que “F” seja uma função não nula é necessário que “B” seja 
diferente de zero, de modo que sen(pL) tem de ser nulo o que acontece 
quando 
L
n
pnpL
  
. 
Uma vez que “B” é uma constante arbitrária podemos fazer B = Bn. 
Assim procedendo chega-se à forma: 
 
Nn  x
L
n
sen)x(F nn

 (V.34) 
 
Uma vez que 2
2







L
n
pk
, a primeira das equações V.31 assume 
a forma: 
0
2
2
2






 G
L
n
c
dt
Gd  (V.35) 
 
fazendo-se 
L
cn
n

 
 a equação V.35 torna-se: 
02
2
2
 G
dt
Gd
n
 (V.36) 
 
cuja solução apresentar-se-á conforme a equação V.37. 
 
 16 
tcostsen)t(G nnnnn   (V.37) 
 
Desta forma cada uma das infinitas funções: 
 
x
L
n
sen).tcostsen()t(G).x(F)t,x(u nnnnnnnn
  
x
L
n
sen).tcosBtsenA()t,x(u nnnnn
  (V.38) 
 
será solução da equação V.23. 
 
Cada uma das funções “un(x,t)” são denominadas funções 
características, funções próprias ou auto – funções. Os “λn” são os valorescaracterísticos, auto-valores ou modos de vibração da corda vibrante. O 
conjunto λ1, λ2, . . . , λk, . . . , constitui o espectro vibratório da corda vibrante. 
 
Uma vez que, qualquer combinação linear envolvendo as funções 
“un(x,t)” também é solução da equação diferencial em resolução, para 
determinar uma solução que satisfaça, inclusive, as condições iniciais 
)0,x(u)x(f 
 e 
0tt
u
)x(g



, podemos considerar a série: 
 






11 n
nnnn
n
n x
L
n
sen).tcosBtsenA()t,x(u)t,x(u
 (V.39) 
 
 17 
Aplicando-se as condições iniciais tem-se: 
 






11
00
n
n
n
n x
L
n
senB),x(u),x(u)x(f
 ou seja 




1n
n x
L
n
senB)x(f
 
 
que representa desenvolvimento de meio período impar que aproxima f(x), 
desde que: 
 

L
n dx
L
xn
sen)x(f
L
B
0
2  (V.40) 
 
Da segunda condição inicial: 
 
01
0






 
t
nnn
n
nnn
t L
xn
sen)]tcos(A)t(senB[
t
u
)x(g
 ou: 
 
L
xn
senA)x(g
n
nn




1
 
 
que representa desenvolvimento de meio período impar que aproxima g(x), 
desde que: 

L
nn dx
L
xn
sen)x(g
L
A
0
2 
 
 18 
e: 
 

L
n
n dx
L
xn
sen)x(g
L
A
0
2 

 (V.41)

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