Prova 1 2017/2 - Fundamentos de Mecânica UFMG Luiz Paulo

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GABARITO DA 1
a
PROVA DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA - TURMA B2
Leia a prova TODA com ATENC¸A˜O antes de iniciar sua resoluc¸a˜o. Resolva as questo˜es literalmente.
Na˜o deˆ resposta nenhuma sem justificativa!
Parte A - Questo˜es (9 pontos, 2,25 ponto por questa˜o): Diante de cada pergunta ou afirmac¸a˜o abaixo,
responda ou corrija aquelas que estiverem errado e (mesmo se a afirmativa estiver correta) justifique com
suas palavras o seu racioc´ınio.
Q1. Em um dado planeta, um corpo em queda livre partindo do repouso gasta um terc¸o do tempo que
gastaria na Terra, para cair de uma mesma altura. Conclui-se que a acelerac¸a˜o da gravidade nesse
planeta e´ o triplo da acelerac¸a˜o da gravidade na Terra, g.
A afirmativa esta´ INCORRETA. Quando a acelerac¸a˜o, a, e´ constante, o tempo, t, gasto para se
percorrer uma certa distaˆncia, d, partindo do repouso, e´ dado por t =
√
2d/a. A acelerac¸a˜o se relaciona,
enta˜o, com a distaˆncia e o tempo por a = 2d/t2. A acelerac¸a˜o da gravidade da Terra pode ser escrita,
enta˜o, como g = 2h/t2. Como a altura de queda e´ a mesma, mas o tempo gasto no outro planeta e´ um
terc¸o, sua acelerac¸a˜o e´ g′=2d/(t/3)2=9(2h/t2)=9g. Ou seja, a acelerac¸a˜o g′ e´ nove vezes o valor de g.
Q2. Considere dois corpos de mesma forma e volume, mas com massas diferentes. Considere, ainda, que
para uma determinada forma, a resisteˆncia do ar so´ depende da velocidade e aumenta linearmente
com seu mo´dulo, sendo sempre oposta a ela. Quando caem de uma grande altura, a partir do
repouso, o de massa menor chega ao solo primeiro que o de massa maior.
A afirmativa esta´ INCORRETA. Os dois corpos, de formas e volumes iguais,
mas de massas (e pesos) diferentes, sa˜o soltos do repouso. A` medida que sua
velocidade aumenta (sob ac¸a˜o do peso, u´nica forc¸a inicial), a resisteˆncia do ar
aumenta linearmente e, para a mesma velocidade, e´ igual para os dois corpos.
A velocidade do corpo mais pesado aumenta mais rapidamente e ele sempre
tera´ velocidade maior que o de menor massa. Portanto o corpo de maior massa
chegara´ primeiro ao solo.
Fa,1
mg Mg
Fa,2
Fa,1
Fa,2
Q3. Uma pessoa tem que deslocar uma caixa de massa M por um plano
horizontal com atrito com velocidade constante, conforme a figura.
Em qual das situac¸o˜es ela fara´ forc¸a maior?
θ
com atrito
θ
(a)
com atrito
M
M
(b)
Na caixa atuam (1) a Terra, fazendo o seu PESO, (2) o plano, fazendo
uma forc¸a NORMAL e uma forc¸a de ATRITO, e (3) a forc¸a da pessoa.
A u´nica dessas forc¸as que na˜o muda nas duas situac¸o˜es e´ o peso. Na
situac¸a˜o (a) a forc¸a que a pessoa faz na caixa possui uma componente
para cima que, junto com a normal, equilibra o peso (pois a caixa na˜o
acelera na vertical). Como o peso na˜o varia, a normal do plano sobre
a caixa e´ menor na situac¸a˜o (a) que na situac¸a˜o (b). Na horizontal, a
forc¸a de atrito ira´ se opor ao movimento da caixa. O valor da forc¸a de
atrito cine´tico depende diretamente da forc¸a NORMAL existente entre
o plano e a caixa, Com isso, a pessoa tera´ que fazer uma forc¸a maior na
situac¸a˜o (b) que na (a), para que a componente horizontal dessa forc¸a consiga pelo menos equilibrar o
atrito e movimentar a caixa com velocidade constante. O pior e´ que, na situac¸a˜o (b), quando mais forc¸a
a pessoa faz, mais atrito a caixa pode sofrer.
Q4. Pela 2a Lei de Newton, a variac¸a˜o da velocidade de uma part´ıcula de massa constante nem sempre
e´ paralela a` resultante das forc¸as que nela atuam.
A questa˜o esta´ INCORRETA. A 2a Lei de Newton para corpos de massa constante diz que ~FRES = m~a.
Como se trata de uma equac¸a˜o vetorial, todas as propriedades do vetor forc¸a resultante sobre o corpo sa˜o
iguais a`s propriedades do produto da massa pela acelerac¸a˜o vetorial resultante do corpo. Por definic¸a˜o, a
acelerac¸a˜o e´ a derivada da velocidade do corpo no tempo, ou seja, e´ a variac¸a˜o da velocidade por unidade
de tempo, ~a = d~v
dt
. Portanto, a variac¸a˜o da velocidade e´ SEMPRE paralela a` acelerac¸a˜o que, por sua vez,
e´ SEMPRE paralela a` forc¸a resultante.
Parte B - Problemas (16 pontos, P2 = 6 pontos; P1 e P3 = 5 pontos):
P1– Um cineasta filma a erupc¸a˜o de um vulca˜o
e, num certo instante, ele registra um bloco
sendo arremessado fazendo um aˆngulo θ
com a horizontal, partindo da boca do vul-
ca˜o de uma altura H a partir do solo. Ele
acompanha o movimento do bloco e o filma
batendo no solo, como na figura, um tempo
T apo´s ser lanc¸ado. Calcule, desprezando
a resisteˆncia do ar:
P1.1– o mo´dulo da velocidade do bloco no mo-
mento que ele foi arremessado da boca do
vulca˜o e comec¸ou a ser filmado, V0, em
func¸a˜o de g, H, θ, e T .
P1.2– a distaˆncia horizontal, D, que o bloco
percorrera´ do instante em que foi arremes-
sado da boca do vulca˜o ate´ o momento que
se choca com o solo.
θ
D
H
Soluc¸a˜o
Trata-se de um movimento de proje´til, onde a acelerac¸a˜o e´ constante, igual a zero na direc¸a˜o horizontal
e igual a g para baixo na direc¸a˜o vertical. As equac¸o˜es que regem esse tipo de movimento sa˜o
horizontal : x = x0 + V0,xt Vx = V0,x (1)
vertical : y = y0 + V0,yt+
1
2
ayt
2 Vy = V0,y + ayt (2)
P1.1– Considerando o eixo y positivo para cima e o eixo x positivo para a direita na figura, podemos
usar a primeira das Eqs. (2), para y. Sabendo que, ao chegar ao solo, o bloco possui y = 0, ao partir da
boca do vulca˜o, possui y0 = H, que ficou um tempo T no ar, sob uma acelerac¸a˜o ay = −g e que partiu
com sua velocidade fazendo um aˆngulo θ com a horizontal:
0 = H + V0,yT +
1
2
(−g)T 2 = H + V0 sen θT −
1
2
gT 2 ou V0 =
1
2
gT 2 −H
T sen θ
(3)
P1.2– Durante o tempo T em que ficou no ar, a acelerac¸a˜o horizontal do bloco foi nula e sua velocidade
constante, como nas Eqs. (1). Nesse tempo, seu deslocamento foi x− x0 = D. Enta˜o,
x− x0 = D = V0,xT = V0 cos θT =
1
2
gT 2 −H
T sen θ
cos θT =
(
1
2
gT 2 −H
)
cot θ. (4)
P2– Deseja-se acelerar o bloco de massa M
por meio de uma forc¸a F aplicada no bloco de
massa m, como na figura ao lado. Considere
que existe atrito entre os blocos de massa M
e m, e que o coeficiente de atrito esta´tico e´
µE, e que ha´ atrito entre o bloco de massa
M e o cha˜o, de coeficiente de atrito cine´tico
µC. Expresse seus resultados em termos de
M , m, µE, µC e g.
µC
E
m
µ
mg
Mg
Fa1E
N1
N2
Fa1E
N1
MF
Fa2C
P2.1– Fac¸a os diagramas de todas as forc¸as para os dois blocos, m e M . Para clareza, fac¸a diagramas
separados para cada corpo. Identifique os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o das forc¸as entre eles.
P2.2– Encontre o valor mı´nimo da acelerac¸a˜o a para que eles se movimentem juntos, sem que o bloco
de massa m escorregue sobre o de massa M .
P2.3– Encontre o valor da forc¸a F na situac¸a˜o de P2.1–.
P2.4– Se o valor da forc¸a F encontrado em P2.3– for dobrado, o que acontece com as novas componentes,
vertical e horizontal, da forc¸a de contato entre os blocos?
Soluc¸a˜o
P2.1– Os diagramas de forc¸as foram feitos na pro´pria figura, onde separei os corpos. Atuam no corpo de
massa m (forc¸as desenhadas em azul):
1. o peso mg, vertical, para baixo, realizado pela Terra, que sofre a reac¸a˜o;
2. a forc¸a normal entre as superf´ıcies dos blocos, N1, feita pelo bloco de massa M (que sofre a reac¸a˜o)
sobre o de massa m, para a esquerda, perpendicular a` superf´ıcie entre os blocos;
3. a forc¸a de atrito esta´tico entre as superf´ıcies dos blocos, Fa1E , feita pelo bloco de massa M (que
sofre a reac¸a˜o) sobre o de massa m, para cima, paralela a` superf´ıcie entre os blocos;
4. e a forc¸a F do enunciado, horizontal e para a direita.
e, no corpo de massa M (forc¸as tambe´m em azul):
5. o peso Mg, vertical, para baixo, realizado pela Terra, que sofre a reac¸a˜o;
6. a forc¸a normal entre as superf´ıcies dos blocos, N1, feita pelo bloco de massa m (que sofrea reac¸a˜o)
sobre o de massa M , para a direita, perpendicular a` superf´ıcie entre os blocos;
7. a forc¸a de atrito esta´tico entre as superf´ıcies dos blocos, Fa1E , feita pelo bloco de massa m (que
sofre a reac¸a˜o) sobre o de massa M , para baixo, paralela a` superf´ıcie entre os blocos;
8. a forc¸a normal entre a superf´ıcie do bloco de massa M e o piso, N2, perpendicular a` superf´ıcie do
piso (portanto vertical), para cima, feita pelo piso;
9. a forc¸a de atrito cine´tico entre a superf´ıcie do bloco de massaM e o piso, Fa2C , paralela a` superf´ıcie
(portanto horizontal) e oposta ao movimento (portanto para a esquerda), feita pelo piso;
Os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o esta˜o ligados por linhas vermelhas.
P2.2– Para se moverem juntos, os dois corpos se movimentam sobre o piso, que e´ horizontal. Portanto, a
componente vertical da forc¸a resultante em cada um dos blocos tem que ser nula. Para o corpo de massa
m, considerando positivo para cima
Fa1E −mg = 0 −→ Fa1E = mg, (5)
de onde concluimos que o bloco de massa m e´ seguro pelo atrito com o bloco de massa M . Para o bloco
de massa M , ainda considerando positivo para cima,
N2 − Fa1E −Mg = 0 −→ N2 = Fa1E + mg = (m+M)g, (6)
de onde concluimos que a normal com o piso segura o peso dos dois blocos. Na direc¸a˜o horizontal, as
u´nicas forc¸as que atuam no corpo de massa M sa˜o a normal N1 entre os corpos e a forc¸a de atrito cine´tico
feita pelo piso, Fa2C . Acontece que a forc¸a de atrito entre os blocos tem que ser igual ao peso do corpo
de massa m, como encontrado na Eq.(5). Se essa forc¸a estiver no seu limite, ela sera´ igual ao produto da
normal pelo coeficiente de atrito esta´tico entre as superf´ıcies. Portanto,
µEN1 = Fa1E = mg −→ N1 =
Fa1E
µE
=
mg
µE
. (7)
A forc¸a de atrito cine´tico entre o bloco de massa M e o piso e´ dada por Fa2C = µCN2 = µC(m +M)g,
onde usamos o resultado da Eq.(6). Analisando o corpo de massa M na horizontal, considerando positivo
para a direita,
N1 − Fa2C =
mg
µE
− µC(m+M)g = Ma −→ a =
1
M
(
m
µE
− (m+M)µC
)
g, (8)
e encontramos a acelerac¸a˜o mı´nima do conjunto.
P2.3– Para encontrarmos a forc¸a F temos que analisar o corpo de massa m agora na horizontal. Ele
tera´ a mesma acelerac¸a˜o que o de massa M , encontrada na Eq.(8), pois a condic¸a˜o e´ que se movimentem
juntos. Considerando positivo para a direita (o sentido do movimento do conjunto) e usando as Eqs.(7)
e (8),
F −N1 = ma −→ F = N1 +ma =
mg
µE
+
m
M
(
m
µE
− (m+M)µC
)
g. (9)
e encontramos a forc¸a mı´nima que tem que ser feita.
P2.4– A forc¸a F encontrada na Eq.(9) e´ o valor mı´nimo para os dois corpos acelerarem juntos. Se
esse valor for dobrado, obviamente a acelerac¸a˜o sera´ maior e, portanto, a normal entre os blocos, N1
aumentara´, pois e´ a resultante entre ela e a forc¸a de atrito cine´tico com o piso que acelera o bloco de
massaM , e essa forc¸a de atrito na˜o depende da forc¸a F . Pore´m, o corpo de massam continua se movendo
na horizontal e seu peso tambe´m na˜o e´ afetado pelo valor de F , Portanto, o atrito entre os blocos continua
sendo o responsa´vel por segurar o peso do de massa m e na˜o muda.
P3– Um reporter de traˆnsito esta´ voando em um avia˜o leve,
relatando as condic¸o˜es de tra´fego para uma emissora de
ra´dio. Seu voˆo se dirige de sul para norte sobre uma estrada
reta e que aponta na mesma direc¸a˜o, num trecho horizontal
e plano. Os marcos da estrada abaixo indicam que a sua
velocidade em relac¸a˜o ao solo e´ VAv,s=v, em mo´dulo, e o
indicador de velocidade do avia˜o mostra que o mo´dulo da
velocidade do mesmo em relac¸a˜o ao ar, VAv,ar=v, tambe´m
e´ igual a v. Entretanto, o reporter nota que a frente do
avia˜o aponta ligeiramente para uma direc¸a˜o a noroeste (a
esquerda da estrada), e um funciona´rio do servic¸o de me-
teorologia informa que na regia˜o ha´ um vento cuja veloci-
dade em relac¸a˜o ao solo e´ Var,s=v/4, onde v e´ o mesmo
acima, mas na˜o fornece a direc¸a˜o do vento.
sul
v/8 v/8
oeste
norte θ/2
Var,solo=
v/4
θ/2
θ/2 lesteV
V A
v,
so
lo
=
v
A
v,ar
=
v
P3.1– Encontre a expressa˜o que da´ a direc¸a˜o do vento. Especi-
fique para onde aponta e deˆ o aˆngulo que faz com a direc¸a˜o
norte (ou seu seno ou cosseno).
P3.2– Qual o aˆngulo que o corpo do avia˜o faz com a estrada
(pode dar o seno ou o cosseno)?
Soluc¸a˜o
O enunciado do problema nos diz que a velocidade do
avia˜o em relac¸a˜o ao solo vale v e esta´ dirigida de sul para
norte. Ao mesmo tempo, o problema nos informa que o avia˜o
se movimenta em relac¸a˜o ao ar com velocidade de mesmo
mo´dulo, v, mas apontando ligeiramente na direc¸a˜o noroeste,
e que a velocidade do vento em relac¸a˜o ao solo vale v/4. A
relac¸a˜o entre velocidades medidas com relac¸a˜o a diferentes
referenciais e´ (na f´ısica cla´ssica, na˜o-relativ´ıstica):
~VP,o = ~VP,o′ + ~Vo′,o (10)
onde P e´ um determinado ponto, o o referencial de nossa escolha e o′ om outro referencial qualquer.
Qualquer que seja nossa escolha para P , o ou o′, aplicando a Eq. (10) corretamente como sendo vetorial,
vamos encontrar a resposta certa. Vamos fazer o avia˜o ser P , o solo ser o referencial o e o ar ser o
referencial o′ e desenhar os vetores (ao lado)
Esses vetores obedecem a` relac¸a˜o:
~VAvia˜o,solo = ~VAvia˜o,ar + ~Var,solo. (11)
P3.1– A Eq. (11) fica representada por um triaˆngulo equila´tero de lado maior igual a v e base igual a v/4.
Trac¸ando a bissetriz relativa a` base, vemos que
v sen
θ
2
=
v
8
ou
θ
2
= arcsen
1
8
. (12)
onde θ
2
e´ o mesmo aˆngulo que a velocidade do ar faz com a direc¸a˜o oeste–leste (veja a figura), apontando
ligeiramente para o norte. O aˆngulo θ
2
vale 7◦, 181 (em graus), mas bastaria dar o seu seno ou cosseno.
P3.2– O corpo do avia˜o aponta na mesma direc¸a˜o que a sua velocidade em relac¸a˜o ao ar, ~VAvia˜o,ar e,
portanto, faz o aˆngulo de θ com a direc¸a˜o da estrada (sul-norte, veja a figura).