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GABARITO DO 2o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA – 05/10/2016 – TURMA B1 Dados: dt n dt = ntn−1 ; ∫ tndt = tn+1 n+ 1 .Questo˜es (valor: 3 pontos; 0.75 ponto por questa˜o) Diante de cada questa˜o, afirme se e´ verdadeira ou falsa, justificando suas respostas em todas elas, se poss´ıvel com equac¸o˜es explicando seu racioc´ınio. Q1. Um carro de massa m e velocidade v tem que desacelerar ate´ atingir a metade de sua velocidade numa estrada plana. O trabalho realizado na frenagem, nesse caso, sera´ em mo´dulo igual a` metade da energia cine´tica inicial 1 2 mv2. A afirmativa e´ INCORRETA. Considere o teorema que nos diz que o trabalho total realizado sobre um corpo num processo e´ igual a` sua variac¸a˜o de energia cine´tica. Nesse caso, a variac¸a˜o de energia cine´tica e´ ∆Ecine´tica = Ecine´tica,final − Ecine´tica,inicial = 1 2 m(v 2 )2 − 1 2 mv2, e seu mo´dulo (e o do trabalho realizado pelos freios) e´ | − 3 4 | ( 1 2 mv2 ) = 3 8 mv2. Q2. Se a resultante das forc¸as externas que atuam sobre um corpo e´ nula, a energia mecaˆnica deve se conservar, mas o momento linear total pode na˜o ser constante. A afirmativa e´ INCORRETA. Pela definic¸a˜o de posic¸a˜o de centro de massa, a sua acelerac¸a˜o depende somente da existeˆncia de forc¸a externa resultante na˜o nula. Quando essa resultante das forc¸as externas for nula, a acelerac¸a˜o do centro de massa tambe´m sera´ nula e, consequentemente, a quantidade de movimento linear total do sistema tera´ que ser constante. A conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, pore´m, pode ocorrer ou na˜o, pois isso so´ depende de o trabalho de forc¸as na˜o-conservativas ser nulo ou na˜o. Q3. Num sistema de va´rias part´ıculas, o momento linear total e´ zero num certo referencial. Isso significa que a energia cine´tica total e´ tambe´m zero nesse referencial. A afirmativa e´ INCORRETA. A quantidade de movimento linear total de um sistema e´ um vetor, soma dos vetores das quantidades de movimento lineares individuais. A soma de va´rios vetores na˜o nulos pode muito bem ser nula. Pore´m, a energia cine´tica depende do mo´dulo da velocidade dos corpos e seu valor total, que e´ a soma das energias cine´ticas individuais, somente sera´ nula se todas as contribuic¸o˜es individuais o forem, pois o valor mı´nimo da energia cine´tica e´ zero, na˜o havendo energia cine´tica negativa. Q4. Uma part´ıcula esta´ sujeita a uma u´nica forc¸a conservativa, tal que sua energia potencial depende de sua posic¸a˜o x da seguinte maneira: U(x) = ax3 − bx+ c, onde a, b e c sa˜o constantes positivas. Essa part´ıcula possui apenas uma posic¸a˜o de equil´ıbrio. A afirmativa esta´ INCORRETA. A relac¸a˜o entre uma forc¸a e a energia potencial associada a ela e´ ~F = − dU(x) dx xˆ = −(3ax2 − b)xˆ. Uma posic¸a˜o de equil´ıbrio e` encontrada quando a forc¸a sobre a part´ıcula e´ nula. Nesse caso, isso acontece para x = ± √ − b 3a e, portanto, a part´ıcula tera´ duas posic¸o˜es de equil´ıbrio. P1– (3,0 pontos) Uma bola de massa m e´ lanc¸ada com velocidade V no cano de uma espingarda de mola de massa M , que esta´ em repouso numa superf´ıcie ho- rizontal como na figura. A mola e´ ideal e sua constante ela´stica e´ k. A bola fica agarrada no ponto de maior compressa˜o da mola e na˜o ha´ perda de energia por atrito da bola com o cano. Determine em termos dos dados (g, k, m, M e V ): Mm v Dx=0 coeficiente de atrito variavel(x)=Bxµ 2 k P1.1– o mo´dulo da velocidade do conjunto (espingarda e bola) imediatamente depois que a bola pa´ra no cano, comprimindo a mola ao ma´ximo; P1.2– a quantidade de energia potencial que fica armazenada na mola pela compressa˜o da bola. P1.3– Considere que a superf´ıcie pela qual os dois corpos escorregam, agora juntos, possua um atrito cujo coeficiente seja varia´vel, sendo nulo na posic¸a˜o inicial (x=0) e variando com o quadrado de x, como µ(x) = Bx2, onde B e´ uma constante conhecida. Calcule (em termos de g, k, m, M , V e B) a distaˆncia D que o conjunto percorre ate´ parar. Despreze as dimenso˜es da espingarda se comparadas com a distaˆncia D. Soluc¸a˜o P1.1– Considerando a bola, a mola e a espingarda como sendo um sistema, a interac¸a˜o entre esses corpos e´ como uma colisa˜o. Portanto, podemos desprezar todas as forc¸as externas durante o evento e, com isso, a acelerac¸a˜o do centro de massa do sistema sera´ nula e a sua velocidade ficara´ constante durante a interac¸a˜o. No instante que a bola tiver comprimido a mola ao ma´ximo, as velocidades da espingarda e da bola tera˜o que ser iguais (caso contra´rio, se a da bola ainda fosse maior que a da espingarda, a mola seria mais comprimida, ou se fosse menor, a mola ja´ estaria se distendendo). Portanto, como a velocidade do centro de massa e´ constante durante a colisa˜o, temos, chamando a velocidade no instante em que as velocidades sa˜o iguais, de V , a situac¸a˜o antes de 1 e a depois de 2 VCM,1 = mv + 0 m+M = VCM,2 = MV +mV m+M , (14) de onde tiramos V = m m+M v. (15) Ou seja, a velocidade do conjunto nesse instante e´ igual a` velocidade do centro de massa. P1.2– Como a colisa˜o e´ ra´pida, e na˜o ha´ perda de energia por atrito da bola com o cano da espingarda, a energia mecaˆnica tem que se conservar durante a colisa˜o. As forc¸as atuantes sa˜o os pesos, a forc¸a da mola, todas conservativas, e a normal, que, nesse caso, na˜o realiza trabalho por ser perpendicular ao deslocamento do conjunto. Os pesos na˜o realizam trabalho (ou, equivalemente, as energias potenciais gravitacionais na˜o se alteram) no processo. A energia mecaˆnica imediatamente antes (situac¸a˜o 1) e imediatamente depois da colisa˜o (situac¸a˜o 2) sa˜o, Emec.,1 = Ecine´tica,1 + Epot.,grav.,1 + Epot.,ela´st.,1 (16) = 1 2 mv2 + 0 + Epot.,grav.,esp.,1 + Epot.,grav.,bola,1 + 0 (17) Emec.,2 = Ecine´tica,2 + Epot.,grav.,2 + Epot.,ela´st.,2 (18) = 1 2 (m+M)V 2 + Epot.,grav.,esp.,2 + Epot.,grav.,bola,2 + Epot.,ela´st.,2. (19) Como a energia mecaˆnica se conserva, as energias potenciais gravitacionais tambe´m na˜o variaram entre as situac¸o˜es 1 e 2, e a mola estava na posic¸a˜o de equil´ıbrio em 1, temos, usando as Eqs. (16) e (18) Epot.,ela´st.,2 = Epot.,ela´st.,1 + Ecine´tica,1 − Ecine´tica,2 (20) e, usando a Eq. (15), Epot.,ela´st.,2 = 0 + 1 2 mv2 − 1 2 (m+M)V 2 = 1 2 mv2 ( 1− m m+M ) , (21) que e´ a energia armazenada na mola. P1.3– Apo´s a bola ficar presa no cano da espingarda, elas saem com a velocidade calculada na Eq. (15) e encontram pela frente uma superf´ıcie com atrito. Como o conjunto somente se movimenta na horizontal e a forc¸a de atrito na˜o possui componente na vertical, a normal e´, em mo´dulo, igual ao peso da espingarda com a bola presa, N = (m+M)g, constante. A forc¸a de atrito, por sua vez, e´ igual a normal multiplicada pelo coeficiente de atrito que, nesse caso, e´ varia´vel com a posic¸a˜o Fatrito = µ(x)N = Bx 2(m+M)g, (22) e a forc¸a de atrito e´, portanto, varia´vel. A definic¸a˜o de trabalho de uma forc¸a ~F qualquer e´ dWF = ~F · d~s = |~F | |d~s| cos θF,ds, (23) onde θF,ds e´ o aˆngulo entre a forc¸a e o infinite´simo de deslocamento. Para o peso e a normal esse aˆngulo e´ de 90◦ e o trabalho dessas duas forc¸as sera´ nulo. Pore´m, o trabalho do atrito, que sera´ o trabalho total, na˜o sera´ nulo e tera´ que ser calculado pela integral da Eq. (23) dWF,atrito = |~F | |d~s| cos θF,ds = Bx 2(m+M)g ds cos 180◦ (24) e teremos de integrar fazendo x variar de 0 a D WF,atrito = ∫ dWF,atrito = D∫ x=0 Bx2(m+M)g ds cos 180◦ = −B(m+M)g D∫ x=0 x2ds, (25) onde o sinal negativo aparece do cosseno. A trajeto´ria segue na mesma direc¸a˜o na qual x cresce e, por isso fizemos ds = dx. Usando a integral primitiva fornecida nos dados para n = 2, WF,atrito = −B(m+M)g D∫ x=0 x2dx = −B(m+M)g ( x3 3 ) ∣∣∣∣∣ D 0 = −B(m+M)gD3 3 . (26) O trabalho total realizado sobre o sistema sera´ igual a variac¸a˜o de energia cine´tica e, como o peso e a normal na˜o realizam trabalho WFRES = WF,atrito = −B(m+M)g D3 3 = ∆Ecine´tica = 0− 1 2 (m+M)V 2 = − 1 2 m2 m+M v2, (27) onde usamos o resultado da Eq. (15). Da equac¸a˜o acima podemos calcular D D = 3 √( 3v2 2Bg )( m m+M )2 . (28)
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