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GABARITO DO 3o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA - TURMA A4 - 22/11/2017 1– A figura ao lado mostra 4 estrelas de mesma massa m colo- cadas nos ve´rtices de um quadrado plano de lado a e isoladas do resto do Universo. 1.1– Calcule a energia potencial gravitacional total do sis- tema, considerando nula a energia potencial que possuem quando esta˜o infinitamente afastadas umas das outras. 1.2– Suponha que as estrelas sejam liberadas do repouso, e comecem a “cair” em direc¸a˜o ao centro do quadrado. Qual o mo´dulo da velocidade de cada uma quando es- tiverem a uma distaˆncia de a 3 umas das outras, ainda nos ve´rtices de um quadrado? a a a a m m mm a/3 a/3 a/3 a/3 m mm m inicialmente paradas v v v v co m v el oc id ad e v ca da u m a co m 2 34 1 Soluc¸a˜o A forc¸a gravitacional e´ conservativa possui uma energia potencial associada. Cada par de part´ıculas de massas m1 e m2 separadas por uma distaˆncia r possui, em relac¸a˜o a` situac¸a˜o onde esta˜o infinitamente afastadas a energia potencial gravitacional Epot = − Gm1m2 r (1) 1.1– Enumerei artificialmente as part´ıculas nos ve´rtices do quadrado de 1 a 4, em sua posic¸a˜o inicial. Existem 6 pares de part´ıculas no quadrado, 4 separados pela distaˆncia a (os pares 12, 23, 34, e 41) e 2 separados da distaˆncia √ 2a (os pares 13 e 24), e cada um possui uma energia potencial associada Epot,tot,inicial=(Epot,12+Epot,23+Epot,34+Epot,41)+(Epot,13+Epot,24)=4 [ − Gmm a ] +2 [ − Gmm √ 2a ] Epot,tot,inicial = − Gm2 a (4 + √ 2) (2) 1.2– A forc¸a gravitacional sofrida pelas partculas nesse caso e´ claramente varia´vel, pois depende da distaˆncia entre elas, que comec¸a a diminuir assim que sa˜o soltas ficando sob a influeˆncia de sua atrac¸a˜o mu´tua. Usar as Leis de Newton diretamente e´ um tanto trabalhoso. Pore´m, na˜o havendo outras forc¸as atuando, todas as forc¸as atuando sa˜o conservativas e, portanto, a energia mecaˆnica, soma das energias cine´ticas e potenciais do sistema, se conserva. Inicialmente as part´ıculas estavam paradas e com a energia potencial calculada na Eq.(2) Emec,inicial = Ecin,inicial + Epot,inicial = 0 + 0 + 0 + 0− Gm2 a (4 + √ 2) (3a) Como a situac¸a˜o e´ simtrica, as part´ıculas tera˜o todas a mesma velocidade, quando estiverem a` distaˆncia a 3 Emec,final = Ecin,final + Epot,final = 4 [ 1 2 mv2 ] − Gm2 a 3 (4 + √ 2) (3b) Igualando as Eqs.(3a) e (3b), e resolvendo, v = √ Gm a (4 + √ 2) (4) 2- Considere 2 sate´lites artificiais, B e C, de mesma massa e em o´rbita circular em torno da Terra. O raio da o´rbita de C em relac¸a˜o ao cento da Terra e´ treˆs (3) vezes o da o´rbita de B, RC/RB = 3. Qual e´ 2.a– a raza˜o de suas acelerac¸o˜es centr´ıpetas, aB aC , 2.b– a raza˜o de seus per´ıodos orbitais, PB PC , 2.c– a raza˜o de suas energias cine´ticas (em relac¸a˜o ao centro da Terra), Ecin,B Ecin,C , Soluc¸a˜o 2.a– A acelerac¸a˜o de um sate´lite em o´rbita crcular sera´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta e pode ser calculada com a segunda Lei de Newton. Por exemplo, para o sate´lites B e C: FB = G MTmB R2B = mBaB e FC = G MTmC R2C = mCaC . (5) Dividindo uma pela outra e levando em conta que mB = mC , a raza˜o solicitada e´ aB aC = R2C R2B = 9. (6) 2.b– Podemos usar a segunda Lei de Newton e expressar a acelerac¸a˜o centr´ıpeta como acentr = ω 2R = 4π 2 P 2 R e encontrar, por exemplo, o per´ıodo orbital para o sate´lite B: FB = G MTmB R2B = mBaB = mB 4π2RB P 2B ou, resolvendo para P, PB = 2π √ R3B GMT , (7) e equac¸a˜o semelhante vale ara C. Temos, enta˜o, PB PC = √ R3 B R3 C = 1√ 27 , onde usamos o dado de que RB/RC = 1 3 . 2.c– A velocidade de um sate´lite em o´rbita pode ser calculada com a segunda Lei de Newton e a expressa˜o que relaciona a velocidade tangencial com a acelerac¸a˜o centr´ıpeta em um movimento circular. Por exemplo, para o sate´lite B: FB = G MTmB R2B = mBaB = mB v2B RB ou, rearranjando os termos Ecin,B = 1 2 mBv 2 B = G MTmB 2RB . (8) A equac¸a˜o vale, de forma ana´loga, para C e podemos calcular Ecin,B Ecin,C = mBRC mCRB = 3, (9) onde levamos em conta que mB = mC . 3– Uma barra fina de massaM e comprimento L repousa sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. Um pequeno disco de massa m se movimenta, tambe´m sem atrito, com velocidade v e colide elasticamente com a barra, batendo nela a uma distaˆncia b de seu centro perpendicularmente a` barra, como mostra a figura. O disco fica parado apo´s a colisa˜o. 3.a– Quais grandezas, entre (A) quantidade de movimento linear, (B) quantidade de movimento angular e (C) energia cine´tica, se conservam no processo? Explique porque. 3.b– Escreva (em termos de m, M , L, b, v) as equac¸o˜es que rela- cionam os valores iniciais das grandezas A, B e C da questa˜o 3.a– com seus valores finais. 3.c– Se m = M 3 , qual deve ser o valor de b, em termos de M , L, e v, para que o disco de massa m = M 3 fique parado apo´s a colisa˜o? m v b M,L V =0 ω =0 0 0 Soluc¸a˜o 3.a– O enunciado fala claramente que houve uma colisa˜o ela´stica entre os dois corpos. Pelo simples fato de ter havido uma colisa˜o, se considerarmos os dois corpos como sendo um sistema, as forc¸as internas que aparecem na˜o conseguem produzir qualquer variac¸a˜o de momento linear ou de momento angular no sistema. Portanto tanto o (A) momento linear quanto o (B) momento angular se conservam imediatamente antes e depois da colisa˜o. Pelo fato de o enunciado dizer que a colisa˜o foi ela´stica, a (C) energia cine´tica do sistema tambe´m se conserva durante a colisa˜o. 3.b– Considerando a informac¸a˜o que a massa m deve parar apo´s a colisa˜o, as equac¸o˜es que relacionam essas grandezas antes e depois da colisa˜o sa˜o: pantes = mv + 0 = pdepois = 0 +MVCM (10) LCM,antes = mvb+ 0 = LCM,depois = 0 + ICMω = ML2 12 ω (11) Ecin,antes = 1 2 mv2 + 0 + 0 = Ecin,depois = 0 + 1 2 MV 2CM + 1 2 ICMω 2 = 1 2 MV 2CM + 1 2 ML2 12 ω2 (12) onde calculou-se o momento angular em relac¸a˜o ao centro de massa da barra e usou-se a tabela de momentos de ine´rcia fornecida no in´ıcio do teste para o momento de ine´rcia da barra em relac¸a˜o a seu centro de massa. 3.c– Levando-se, ainda, em conta que m = M 3 , as equac¸o˜es acima ficam v = 3VCM ou VCM = v 3 (10a) vb = L2 4 ω ou b = L2 4 ω v (11a) v2 = 3V 2CM + L2 4 ω2 (12a) levando VCM da Eq.(10a) na Eq.(12a), tem-se v2 = 3 (v 3 )2 + L2 4 ω2 ou ω v = √ 8 3L2 . (13) Levando ω v da Eq.(13) na Eq.(11a) encontra-se b = L2 4 √ 8 3L2 = L √ 6 . 4a– Um planeta em o´rbita el´ıptica em torno de uma estrela possui menor quantidade de movimento linear quando esta´ mais pro´ximo da estrela que quando esta´ mais distante. A afirmativa esta´ INCORRETA. A justificativa pode ser obtida pela segunda Lei de Kepler, que afirma que o raio vetor que liga o planeta a` estrela varre a´reas iguais em tempos iguais. Estando mais perto da estrela o planeta tem que se movimentar mais ra´pido para varrer a mesma a´rea do que quando esta´ mas longe. Podemos, ainda, usar a segunda lei de Newton, lembrando que o raio de curvatura da o´rbita do planeta e´ o mesmo tanto no ponto mais pro´ximo quanto no mais afastado da estrela, mas a forc¸a de atrac¸a˜o da estrela e´ maior no ponto mais pro´ximo que no mais afastado. Enta˜o, a acelerac¸a˜o centr´ıpeta no ponto mais pro´ximo e´ maior que no mais afastado. Como ac = v 2/R, e o raio de curvatura e´ o mesmo, a velocidade linear e, portanto, a quantidade de movimento linear, e´ maior quando o planeta esta´ mais pro´ximo que quando mais distanteda estrela. 4b– Um planeta em o´rbita el´ıptica em torno de uma estrela possui menor quantidade de movimento angular quando esta´ mais pro´ximo da estrela que quando esta´ mais distante. A afirmativa esta´ INCORRETA. A justificativa pode ser obtida pela segunda Lei de Kepler, que afirma que o raio vetor que liga o planeta a` estrela varre a´reas iguais em tempos iguais. Foi demonstrado, tanto no livro como em sala de aula, que a a´rea de um setor de o´rbita e´ proporcional ao momento angular do corpo na o´rbita. Portanto, se a a´rea varrida pelo raio vetor do planeta e´ a mesma num determinado tempo, o momento angular tambe´m e´ o mesmo. Podemos, ainda, usar o fato de que a forc¸a gravitacional na˜o consegue exercer torque em relac¸a˜o a quem a exerce. Se o torque for nulo, a segunda Lei de Newton para rotac¸a˜o implica que a variac¸a˜o do momento angular e´ nula e, portanto, o momento angular e´ contante em todos os pontos da o´rbita. 4c– Se a forc¸a resultante que age sobre um sistema for nula, necessariamente o torque resultante sobre esse sistema tambe´m e´ nulo. A afirmativa esta´ INCORRETA. Apesar de relacionados, forc¸as e torques dependem das condic¸o˜es do problema. Considere a figura ao lado, onde uma roda esta´ sob a ac¸a˜o de duas forc¸as iguais e opostas, ~F1 e ~F2. A resultante das mesmas e´ nula, mas o torque que elas produzem em torno do eixo na˜o o e´. F2 F1 4d– Se o torque resultante que age sobre um sistema for nulo, a forc¸a resultante sobre esse sistema pode na˜o ser nula. A afirmativa esta´ CORRETA. Apesar de relacionados, forc¸as e torques dependem das condic¸o˜es do problema. Considere um corpo inicialmente em repouso sob a ac¸a˜o somente de seu peso. O torque resultante do peso em relac¸a˜o a qualquer ponto situado na linha vertical que passa pelo seu centro de massa, onde o peso atua, e´ nulo, apesar de o corpo estar linearmente acelerado pela ac¸a˜o da forc¸a resultante na˜o nula.
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