Tensões na Flexão

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4. EFEITOS DA FORÇA CORTANTE NAS PEÇAS ESTRUTURAIS 
4. TENSÕES EM VIGAS 
4.1. Componente de tensão normal na flexão pura reta 
Diz-se que um elemento estrutural se encontra em flexão pura se o único 
esforço interno não nulo é o momento fletor. A flexão é dita reta se a deformação da 
viga ocorrer no mesmo plano do carregamento (plano xy). 
Considere a viga a seguir, para a qual adotam-se as seguintes hipóteses: 
- a viga é prismática e simétrica em relação ao plano vertical xy; 
- o material da viga é homogêneo e linearmente elástico; 
 - o peso próprio da viga é desprezado; 
- A única componente de tensão não nula (em relação aos eixos x, y, z) é 
x
; 
 - seções retas e planas, normais ao plano médio da viga antes da deformação, 
permanecem retas, planas, inalteradas em seu comprimento e normais ao plano médio da 
viga após a deformação (hipótese das seções planas). 
P
y, v
l
x
a
P
a
+
DMz
 
situação indeformada: 
y
x
m p
q
a
n
y
dx
MzMz
b
 
 
 
 
 
 
 
 C
A
P
ÍT
U
L
O
 
4 TENSÕES EM VIGAS SUBMETIDAS A CARREGAMENTO TRANSVERSAL 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
86 
 
situação deformada: 
b'
m'
p'
q'
a' y
dx
d
Mz
Mz
0

 
Figura 4.1 – Viga submetida ã flexão pura. 
Após a deformação, as vibras longitudinais da viga que pertencem a um mesmo 
plano paralelo ao plano xy tomam forma de arcos de circunferência concêntricos (devido à 
hipótese das seções planas). Algumas fibras se alongam (fibras inferiores no caso de Mz >0), 
outras se encurtam (fibras superiores no caso de Mz >0) e outras não sofrem variação de 
comprimento (constituindo a chamada superfície neutra ou plano neuto). 
MM
x
Plano neutro Eixo neutro
longitudinal
Eixo neutro transversal
ou
Linha neutra da seção
 
Figura 4.2 – Plano neutro da viga e linha neutra da seção. 
 
Considerando um trecho infinitesimal dx da viga, calcula-se a deformação 
específica longitudinal do segmento ab: 
 











y
d
ddy
dx
dxba
ab
abba
ab
lab
x
 

 a deformação 
específica longitudinal varia linearmente com a coordenada y (medida a partir da linha 
neutra da seção transversal). 
Como o material é linearmente elástico, lembrando que 
0 zy
: 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
87 
 


Ey
E xx
 

 a componente de tensão normal 
x
 varia linearmente com a 
coordenada y (medida a partir da linha neutra da seção transversal). 
Distribuição das tensões normais na seção provenientes do momento fletor M: 
y
L
N
L N
dA
yy
L
N
L N
dA
y
 
Para determinar a posição do eixo neutro em relação ao centróide, utiliza-se a 
definição do esforço normal: 
0000 



  yyASydAydA
E
dA
Ey
dAN z
AAAA
x
 Conclui-se que a distância entre a linha neutra da seção transversal e o eixo 
centroidal z deve ser nula, sendo então a linha neutra e o eixo z coincidentes. 
Para relacionar a componente 
x
 com o momento fletor 
zM
, utiliza-se a 
definição de 
zM
: 
z
z
z
AAA
xz
EI
M
I
E
dAy
E
dAy
Ey
dAyM 







 
12
. 
A componente de tensão 
x
 resulta então: 
y
I
MEy
z
z
x 


 
Para a componente de deformação 
x
, tem-se: 
y
EI
M
E z
zx
x 


. 
A grandeza 
zEI
 é a chamada rigidez à flexão da viga. Note que, para um mesmo 
material uma viga com maior momento de inércia de área em relação a z apresentará tensões 
e deformações menores do que uma outra com um menor momento de inércia de área em 
relação a z. 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
88 
 
Exemplo: Considere uma viga de seção transversal T submetida à flexão pura com 
kNm,M z 657
. Determinar a distribuição de tensão na seção transversal da viga, 
esboçando o gráfico e destacando os valores de tensão de máxima compressão e de máxima 
tração. 
12 cm
3 cm
3 cm
18 cm
 
z'
y'
 
 Primeiramente deve-se determinar o momento de inércia da seção em relação aos 
eixos centrais y, z. 
 - Cálculo da posição do centróide da seção: 
 A seção é simétrica em relação a um eixo vertical 

 o eixo central y será o aixo de 
simetria da seção. 
 Para determinar 
y
 e, com isso a localização de z, dividimos a seção em duas áreas: 
A1
A2
z'
y'
 
2
1 36312 cmA 
 
2
1 54183 cmA 
 
2905436 cmA 
 
cm,y 51
2
3
1 
 
cmy 12
2
18
32 
 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
89 
 
35436511 cm,S
A
z 
 e 
364854122 cmS
A
z 
370264854 cmS z  
 
cm,
A
S
y z 87
90
702
 
 
 Para calcular o momento de inércia de área 
zI
 da seção, utiliza-se o teorema dos 
eixos paralelos. 
z
y
z1
z2
7,8 cm
13,2 cm
6,3 cm
4,2 cm
 
cm,,,d A 3651871 
 
cm,,d A 2412872 
 
42
3
8414553636
12
312
1 cm,,I
A
z 


 
42
3
56,24102,454
12
183
2 cmI
A
z



 
443866562410841455 cm,,,I z 
 
 A componente de tensão normal 
x
 varia linearmente com a distância à linha neutra 
y: 
y,y
,
y
I
M
z
z
x 491
43866
5760

 (em kN/cm
2
) 
z
y
+
-
(kN /cm²)
-11,62
19,67
 
26719 cm/kN,
máxT

 
26211 cm/kN,
máxC

 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
90 
 
4.2. Tensão de cisalhamento na flexão simples 
Flexão simples

 ocorre momento fletor Mz e esforço cortante Qy. 
Esforço cortante (Qy)  tensões de cisalhamento que atuam na mesma direção de 
Qy. 
 No caso da flexão simples aqui considerada, a hipótese das seções planas 
permanece válida e a componente de tensão normal permanece a idêntica à relativa à 
flexão pura. Tomando-se o elemento de tensão representado a seguir, nota-se a 
existência de componentes de tensão de cisalhamento (novamente, neste caso 
0 zy
). 
P
x
y
xx
yx
xy
 
Pelo teorema de Cauchy 
tem-se que: 
yx xy 
 
As tensões 
yx
 surgem pela tendência de escorregamento entre seções 
longitudinais durante a flexão. 
P
P
Seções longitudinais
 
Considere agora a viga abaixo submetida à flexão simples. Uma das simplificações 
consideradas na teoria é que não ocorre a deformabilidade por cortante 
 0 xy
. A tensão 
de cisalhamento é calculada através do equilíbrio de um elemento de viga, e não a partir da 
componente de deformação como é o caso da componente de tensão normal. 
Tendo-se o elemento de viga representado a seguir, de comprimento dx: 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
91 
 
x
y
t
h
plano neutro
 
x
y
dx x  x*
y
 
 
 x  x*dx
 xy
 
dx
t
A*
 
Fazendo-se o equilíbrio das forças que atuam nesse elemento obtém-se: 
 
 
*
z
z
y
yx
*
z
z
z
yx
h
yz
z
yx
h
yz
z
yx
h
yz
z
yx
h
yz
zz
h
yz
z
yx
h
y z
zz
h
y z
z
yx
h
y
*
xyx
h
y
xx
S
It
Q
S
dx
dM
It
ydA
I
dM
dxtydA
I
dM
dxt
ydA
I
dM
dxtydA
I
dMM
ydA
I
M
dxt
ydA
I
dMM
ydA
I
M
dxtdAdxtdAF














1
00
00
22
222
2222
Sendo: 
yx 
 Tensão de cisalhamento que atua num ponto da seção distante 
1y
 da LN; 
yQ
 Esforço cortante na seção; 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
92 
 
t
Largura da seção á altura do ponto no qual se calculou a tensão de 
cisalhamento; 
zI
Momento de inércia da seção em relação a LN; 
 
2
h
y
*
z ydAS
 Momento estático, em relação a LN, da área situada entre o ponto 
onde se quer obter a tensão de cisalhamento e a extremidade referente ao valor máximo de y. 
4.2.1. Tensões de cisalhamento nas vigas com seção retangular 
Considere a viga seguinte submetida ao carregamento indicado, na qual se deseja 
avaliar as tensões de cisalhamento nos pontos de uma seção S qualquer. 
y
x
Seção S
P
z
 
z
y
y
h/2-y
b
h
 
Da expressão geral da tensão de cisalhamento tem-se que: 




































2822
1
2
22 yh
I
Q
y
h
yy
h
b
Ib
Q
S
It
Q
z
y
z
y
yx
*
z
z
y
yx
 
Observe que essa equação corresponde a uma parábola do 2º grau em y, isto é, a 
tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a distância y, definida entre ponto 
no qual se deseja calcular a tensão de cisalhamento e a Linha Neutra da seção. Além 
disso, a expressão é uma função par (mesmo valor para valores positivos e negativos 
de y de mesmo módulo). 
Considerando 
0y 
 obtém-se: 
bh
Qh
hb
Qh
I
Q yy
z
y
máxyx
2
3
8
12
8
2
3
2



 
 
Considerando 
2
h
y 
 obtém-se: 
0
22
1
8
22
















hh
I
Q
z
y
mínyx
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
93 
 
Assim, a distribuição de tensões de cisalhamento na seção apresenta o seguinte 
aspecto: 
 
y
LN
x
 
máx = 3 V
2 bh
 
bh
Qy
máx
2
3

 
A determinação do momento estático de área pode ainda ser feita através da 
integração: 
L N
y
h
b
y
dy
dA = b.dy
z
 












  282
222222 yh
b
by
dybyydAS
h
yyy
*
z
hh
 
 
4.2.2. Tensões de cisalhamento nas vigas com seção I simétrica 
h1
b1
h
b
 
Vigas de seção I 

 formada por dois 
elementos principais



 1 1
1
ALMA: retângulo b h 
MESA: retângulo 
2
h h
b

 
  
 
 
Assim: 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
94 
 
Vigas de seção I 

 
composição 
de retâgulos
 

 
 tensões de cisalhamento 
com comportamento análogo 
ao de seções retangulares
 
As principais diferenças entre os casos de seção retangular e I simétrico podem ser 
resumidas no seguinte: 
Seção retangular 

 
uma única espessura
 ao longo de sua altura
 

 
uma única expressão
 para a tensão de 
cisalhamento 
 
Seção I 

 
dois valores de espessura 
ao longo da altura
 

 
duas expressões 
para a tensão de 
cisalhamento 
 
z
y
y
h/2-y
A*
 
z
y
A*
A*
1
2
y
h1/2-y
h/2-h1/2
 
 
Expressão 
geral: 
*
z
z
y
yx S
It
Q



 
 
 
  33 3 3 1 11 12
12 2 12 12 12
LN LN
b b hbh b b h bh
I I
  
       
  
 
Expressão da tensão cisalhamento 
xy
 para pontos situados sobre a alma 
Ponto situado na alma 

 
22
11 hy
h

 
   2122211
1111
1
2211
8
4
8
22
1
222
1
2
21
hh
b
yh
b
S
hh
h
hh
by
h
yy
h
bS
yAyASSS
*
z
*
z
****A
z
A
z
*
z
**












 





 




















 
1bt 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
95 
 
   







 21
222
1
1
1 8
4
8
hh
b
yh
b
Ib
Q
z
y
yx
 
Expressão da tensão cisalhante 
xy
 para pontos situados sobre a mesa 
Ponto situado na mesa

22
1 hy
h

; 
 22 4
8
22
1
2
yh
b
S
y
h
y
h
byAS
*
z
***
z














 
bt 
 
 







 22
1
4
8
yh
b
Ib
Q
z
y
yx
 
Percebe-se que para os dois casos 
xy
 apresenta variação quadrática parabólica do 
2º grau, o que poderia ser diferente, pois a função em I corresponde a uma composição de 
retângulos. 
Novamente momento estático também pode ser obtido por integração: 
z
y
y
dy
 
bdydA 
 












  282
222222 yh
b
by
dybyydAS
h
yyy
*
z
hh
 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
96 
 
z
y
y
dy
 
dybdA 12 
 
bdydA 1
 



























 
8828
22
2
1
222
1
1
2
2
222
1
112
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
hh
b
yh
bS
byyb
dybydybyydAydAS
*
z
h
h
h
yyy
*
z
h
h
h
h
h
h
 
Distribuição das tensões de cisalhamento na seção: 
   
 
























22
,4
8
22
,
8
4
8
122
112
1
222
1
1
1
h
y
h
yh
b
Ib
Q
h
y
h
hh
b
yh
b
Ib
Q
z
y
z
y
yx 
 Alma: 
    212211
18
0 hhbhb
Ib
Q
y
z
yalma
máxxymáx 


 
   
  212
1
2
1
2
2
1
1
2
11
1
1
8
4
4
82
hhb
Ib
Q
hhb
h
bhb
Ib
Qh
yyy
z
yalma
mín
z
yalma
mínxymáxxymín


















 
 Mesa: 
 
 212
2
121
8
4
4
82
hh
I
Q
h
hb
Ib
Qh
yyy
z
ymesa
máx
z
ymesa
máxxymínxymáx






















 
  0
4
4
82
2
2 




















h
hb
Ib
Qh
yyy
z
yalma
mínxymáxxymín
 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
97 
 
V
( mín) mesa
( máx) alma
( mín) alma
( máx) mesa
 
Exemplo: Considere a viga a seguir, de seção transversal T e submetida ao carregamento 
indicado. 
5m
q
y
x
1m
 
12 cm
3 cm
3 cm
18 cm
 
a) Para 
m/kNq 20
, determinar a distribuição da componente cisalhante de tensão na 
seção transversal de máximo esforço cortante em módulo da viga, esboçando o gráfico e 
destacando os valores de tensões de máximas e mínimas, na alma e na mesa. 
b) Sendo 
240 cm/kN,adm 
, determinar a carga 
máxq
relativa à resistência ao cisalhamento.
 A seção transversal é a mesma do exemplo anterior, tem-se então: 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal98 
 
z
y
7,8 cm
13,2 cm
 
443866 cm,I z 
 
 Primeiramente determinamos o diagrama de esforços cortantes da viga: q
V A V B
q
q/2
 
q,q
q
q,V
q,
q
q,V
B
A
63
25
1
52
42
25
1
52


 2,4q
2,6q
q
+
-
+ DQy
 
Determinam-se as expressões do momento estático de área 
*
zS
 para a alma e para a 
mesa da seção: 
z
y
A*
y
13,2-y
 
(a) 
A*
A*
1
2
z
y
|y|
|y|-4,8
18 cm
 
(b) 
z
y
7,8-|y|
|y|
A*
 
(c) 
Expressão da tensão cisalhamento 
xy
 para pontos situados sobre a alma 
Ponto situado na alma 

 
cm,ycm, 21384 
 
ou 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
99 
 
Pela figura (a): 
   
25136261
213
2
1
2133
y,,S
y,yy,yAS
*
z
***
z







 
cmt 3
 
Na seção de máximo cortante em módulo 
q,Qy 62
 
 25136261
438663
62
y,,
,
q,
yx 


 
Expressão da tensão cisalhante 
xy
 para pontos situados sobre a mesa 
Ponto situado na mesa

cm,ycm, 8487 
; 
Para a determinação do momento estático de área podemos proceder de forma 
idêntica à anterior (que corresponde a realizar a integração no sentido de crescimento de y) 
ou realizar a integral no sentido de diminuição de y (fazendo y variando até seu valor mínimo 
de -7,8cm e invertendo o sinal da integração). 
- Primeira forma: variando a ordenada de y até 13,2cm (figura (b)). 
     
2
22
2211
604365
6043656241388226
84
2
1
84129213183
21
y,S
y,y,,S
,yy,y,S
yAyASSS
*
z
*
z
*
z
****A
z
A
z
*
z
**
















 
 
 
 
 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
100 
 
- Segunda forma: variando a ordenada de y até -7,8cm e tomando o sinal do 
momento estático como o inverso (figura(c)): 
   
 
2
22
604365
604365043656
87
2
1
8712
y,S
y,,yS
y,yy,yAS
*
z
*
z
***
z















 
 
cmt 12
 
Na seção de máximo cortante em módulo 
q,Qy 62
 
 2604365
4386612
62
y,
,
q,
yx 


 
 
 











cm,ycm,,y,
,
q,
cm,ycm,,y,,
,
q,
yx
8487604365
4386612
62
213845136261
438663
62
2
2
 (com q em kN/m) 
a) Para 
m/kNq 20
: 









cm,ycm,,y,,
cm,ycm,,y,,
yx
848710724664090
213841072466171
23
23 
  21710 cm/kN,yxy
alma
máx 
 
  0213  ,yxy
alma
mín
 
  2015184 cm/kN,,yxy  
 
  2254084 cm/kN,,yxymesamáx  
 
  087  ,yxy
mesa
mín
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
101 
 
 
z
y
(kN/cm²)
0,254 1,015
1,17
 
 
b) 
m/kN,
,,
,,
q,,
,
q,
máx 836
6236261
43866340
4036261
438663
62






 
4.3. Tensões principais na flexão 
4.3.1. Estados de tensão reinantes nos pontos de uma peça em flexão simples 
P
x
y
S
P
V
M
+
Vs = V > 0
Ms = M > 0
VM
P
x
y
x x
xy
x x
xy
xy
xy
xy
x x
xy
x x
 
0 y
S
y QQ
 
0 z
S
z MM
 
P
x
y
S
P
V
M
+
Vs = V > 0
Ms = M > 0
VM
P
x
y
x x
xy
x x
xy
xy
xy
xy
x x
xy
x x
 
Pontos de uma seção 
transversal de uma
 peça em flexão simples
 

 
Cada ponto se encontra em um estado tensional distinto e, assim, são associadas a 
estes distintas tensões principais dadas por: 
Mz Mz 
Qy Qy 
Submetidas a um estado de tensões 
no qual 
0 yzxzzy
. 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
102 
 
 
 
 
2
2
1
2
2
2
2 2
2 2
x y x y
xy
x y x y
xy
   
 
   
 
    
     
    

    
      
    
 
Preparadas a partir do seguinte elemento de 
tensão: 
y
xy
x
y
x
xy
 
Para elementos de tensão utilizado na viga, adotou-se seguinte convenção: 
xy
xx
xy
 
Assim, 
xy
entra com sinal 
 
 nas expressões anteriores, o que não modifica em 
nada o resultado final. 
Da mesma forma, em cada ponto da seção existe a direção, defasada de 45º em 
relação às direções principais, qual ocorre um valor máximo de 
xy
, dado por: 
 
2
2
max
2
x
xy
     
 
 
 
P
x
y
x x
xy
xy
x x
LN
 
Ponto sobre a linha neutra 

 cisalhamento 
simples 

máx
 coincide com o valor de 
xy
neste ponto. 
Ponto na extremidade da seção transversal

 
cisalhamento simples 

1
 ou 
2
coincide 
com o valor de 
x
neste ponto. 
 
4.4. Considerações sobre peças submetidas à flexão simples 
4.4.1. Características gerais da flexão simples: 
 Presença de Mz e Qy nas seções transversais; 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
103 
 
 Em conseqüência do momento fletor 
y
I
M
M
z
z
xz 
 
 Em conseqüência do esforço cortante 
yQ *
z
z
y
yx S
It
Q



 
 Estado de tensões definido em cada 
ponto da peça 
,x xy  
 Em cada ponto: 
 
2
2
1,2
2 2
x x
xy
      
  
 
2
2
max
2
x
xy
     
 
 
4.4.2. Condições gerais para o dimensionamento 
1º) 
max que ocorre 
na peça
  
flexão f 
 
2º) 
max que ocorre 
na peça
   
4.4.3. Determinação do 
max
 e do 
max
 da peça 
Para cada caso de carregamento e seção transversal existem pontos “candidatos” à 
ocorrência de máximas componentes de tensões normais e cisalhantes. 
Vigas com seção transversal retangular 
P
y
( máx) seção
Tensões normais
na seção
Tensões de cisalha-
mento na seção
 
 
 
máx
: seção de 
máxz
M
 em módulo nos extremos da seção transversal: 
xmáx 
 
 Duas possibilidades para 
máx
: 
1ª possibilidade: pontos da LN na seção de 
máxy
Q
em módulo 
xymáx 
 
Capítulo 4: Tensões em vigas submetidas a carregamento transversal 
 
104 
 
2ª possibilidade: pontos extremos da seção de 
máxz
M
 em módulo 
24
2
xx
máx




 
Vigas com seção transversal em I 
 Tensão normal máxima 
max
 
1ª possibilidade: pontos extremos da seção de 
máxz
M
em módulo 
xmáx 
 
2ª possibilidade: pontos extremos da alma na seção de 
máxz
M
 em módulo 
2
2
22
xy
xx
máx 




 



 
3ª possibilidade: pontos extremos da alma na seção de 
máxy
Q
 em módulo 
2
2
22
xy
xx
máx 




 



 
 Tensão de cisalhamento máxima 
1ª possibilidade: pontos extremos da seção de 
máxz
M
 em módulo 
24
2
xx
máx




 
2ª possibilidade: pontos extremos da alma na seção de 
máxz
M
 em módulo 
2
2
22
xy
xx
máx 




 



 
3ª possibilidade: pontos extremos da alma na seção de 
máxy
Q
 em módulo 
2
2
22
xy
xx
máx 




 


4ª possibilidade: pontos da LN na seção de 
máxy
Q
 em módulo 
xymáx 