Momento de Inércia

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Capítulo Quarto: Tensões na vigasUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
1.2– Momento de Inércia
1.2.1 – Definição e expressões gerais
O Momento de Inércia de uma área “A” em relação a um eixo é genericamente 
representado por “IIII” ou “JJJJ” e é definido pela integral do quadrado da dimensão 
genérica do plano dessa área que é perpendicular ao eixo considerado, em relação 
ao elemento infinitesimal de área dA.
x
y
A
dAx
y
∫= Ax dAyI ²
Ix � Momento de Inércia da área A 
em relação ao eixo x 
Iy � Momento de Inércia da área A 
em relação ao eixo y 
∫= A dAxIy ²
2
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
OBSERVAÇÕES:
a) Os valores dos momentos de inércia são sempre positivos.
b) Apesar de ter uma definição puramente matemática, o momento de inércia
de uma área em relação a um eixo exprime a dificuldade dessa área de girar
em torno do referido eixo.
P
y x
b1
h1
z
Ilustração: Considere-se as vigas 1 (b1=b e h1=2h) e 2 (b2=2b e h2=h), de 
mesma área de seção reta e de mesmo comprimento l, ambas submetidas à 
mesma carga pontual P.
P
y x
z
b2
h2
Viga 2Viga 1
P
P
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
- Ou seja:
encurvamento longit. da viga 1 < encurvamento longit. da viga 2
giro em torno de z da seção < giro em torno de z da seção
reta da viga 1 reta da viga 2
P
- Representação física das duas vigas:
- Situação deformada:
Viga 1 Viga 2
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Capítulo Quarto: Tensões na vigas
z
y
z
y
b1
h1 h2
b2
E isto ocorre porque:
Iz da seção reta da viga 1 > Iz da seção reta da viga 2
( )
6
4
12
2
12
3
1
33
11
1
hbIz
hbhbIz
⋅
=∴
⋅
=
⋅
=
6
12
2
12
3
2
33
22
2
hbIz
hbhbIz
⋅
=∴
⋅
=
⋅
=
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
c) Teorema dos eixos paralelos
2
.yAIxoIx +=
2
.xAIyoIy +=
Só pode ser aplicado quando um dos eixos passa pelo CG. Note que, 
no exemplo acima, os eixos xo e yo passam pelo CG da figura.
A
C.G.
y
x
x
y
xo
yo
4
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
dArIp
A∫=
2
1.2.2 - Momento Polar de Inércia
É calculado em relação a eixos perpendiculares ao plano da área (eixos na 
direção de z) ou em relação ao polo O (origem dos eixos ordenados) e é 
representado por Ip ou Jp . Sua expressão de cálculo é análoga à dos momentos 
de inércia comuns:
x
y
x
y
dA
r
z
A
O
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
a) O teorema dos eixos paralelos pode ser aplicado para correlacionar 
momentos de inércia polares, com a mesma condição de que um dos eixos 
deve passar obrigatoriamente pelo CG da área considerada 
OBSERVAÇÕES: 
xo
yo
O
r
zo
z
y
x
2
.rAIzoIz +=
A r
yo
xo dA
xo
x
y
yo
zo
z
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Capítulo Quarto: Tensões na vigas
b) O momento polar de inércia mais importante das seções retas das peças é o que 
ocorre em relação ao eixo de torção delas e se chama momento torsional de inércia, 
representado por It ou Jt.
c) Os momentos de inércia em relação a eixos contidos no próprio plano da 
seção reta são empregados no cálculo das tensões e deformações provocadas por 
momento fletor nas seções retas das peças estruturais enquanto o momento polar 
de inércia (mais propriamente, o momento torsional de inércia) é usado no cálculo 
das tensões e deformações provocadas por momento torsor nas referidas seções.
d) Correlação entre os momentos de inércia de uma área em relação a três eixos 
ortogonais passando por um mesmo ponto do plano dessa área, dois deles contidos 
neste plano. 
x
y
x
y
dA
r
z
A
O2
x
y
z
( )
xyz
AAA
AA
III
dydxdr
dyxdr
yxr
A AA
AA
+=
∫ ∫∫
∫∫
∴+=
∴+=
∴+=
²²²
²²²
²²²
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
12
3hbIy =
12
3bhIx =
y
dy
b
x
h
y
y
dx
b
x
h
x
CG CG
1.2.3 - Momentos de Inércia do retângulo em relação a eixos
paralelos aos seus lados passando pelo C.G.
(DEDUÇÃO NO QUADRO)
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Capítulo Quarto: Tensões na vigas
(DEDUÇÃO NO QUADRO)
y
x
R
C.G.
2
.
4RIz pi=
1.2.4 - Momentos de inércia do círculo em relação a três eixos
ortogonais com origem no seu centro, dois dos quais contidos no
plano do círculo
4
.
4RII yx pi==
Capítulo Quarto: Tensões na vigas
Exemplo 2: Calcular os momentos de inércia em relação aos 
eixos destacados 
3
3bhI x =
y
b
x
h
a) b)
3
3hbI y =
y
x
R
C.G.
z
2
..5 4RIz pi=
4
..5 4RII yx pi==
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Capítulo Quarto: Tensões na vigas
Exemplo 3: Calcular os momentos de inércia Iz e Iy da seção reta 
abaixo: 0 ,1 0 m
0 ,18 m
0,0 2 m
0 ,0 2 m z '
y '
y
z
Linha de raciocínio sugerida:
1) Dividir a área em partes retangulares menores;
2) Calcular as coordenadas do C.G. da área total (que corresponde à origem dos eixos z e y), 
utilizando o conceito de momento estático de área;
3) Calcular o momento de inércia Iz e Iy da área total, utilizando as fórmulas já deduzidas em 
aula para áreas retangulares e o conceito de teorema dos eixos paralelos;
45 10686,1 mxzI −=
46 107426,3 mxyI −=