Momento estático e de inércia

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1 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ÀREAS 
 
 A figura a seguir mostra uma área genérica e um par de eixos ortogonais, y' e z', com 
origem num ponto arbitrário O. 
y '
O
z '
z '
dA
C y ' y '
z '
 
 
 A área A da seção pode ser encontrada por integração: 

A
dAA
 (1) 
 O centróide da seção (ponto C) é o ponto cujas coordenadas são dadas pelas médias das 
coordenadas de todos os pontos da seção, calculadas por: 
 

 

A
A
dA
dAy
y
 (2) 
 2 

 

A
A
dA
dAz
z
 
 As integrais que aparecem nos numeradores nas equações (2) definem os momentos 
estáticos da área da seção em relação aos eixos 
z
 e 
y
, 
zS 
 e 
yS 
: 
 
A
z dAyS
 
 
A
y dAzS
 
(3) 
Cada uma destas integrais representa a soma de produtos de área elementar pela 
coordenada cujo módulo é igual à distância do elemento de área até o eixo considerado. 
 As equações (3) mostram que os momentos estáticos da área da seção têm unidade de 
comprimento elevada à terceira potência e que eles podem ser positivos, negativos ou 
nulos, dependendo da posição dos eixos coordenados em relação à seção. 
 Podem-se reescrever as equações (2) na forma: 
A
S
y z
 
A
S
z
y

 
(4) 
 Quando a seção possui um eixo de simetria, o momento estático da área da seção em 
relação a esse eixo é zero. De fato, analisando-se a seção da figura a seguir, que é simétrica 
em relação ao eixo 
y
, nota-se que a cada elemento de área dA de coordenada 
z
 
corresponde um elemento de área dA com coordenada -
z
. Assim, para cada par de 
elementos simetricamente dispostos, os produtos 
z
dA resultam iguais e de sinais 
contrários, cancelando-se e a integral apresentada na segunda das equações (3), que 
representa a soma desses produtos, se anula. Se 
yS 
 = 0, pode-se, com base na segunda das 
equações (4), afirmar que 
z
 = 0. Conclui-se, assim, que se uma seção possui um eixo de 
simetria, seu centróide se localiza nesse eixo. 
 3 
y '
z 'z '
O
y '
z '
dA dA
 
 Quando o centróide de uma seção puder ser localizado por inspeção, os momentos 
estáticos da área da seção em relação a certos eixos 
z
 e 
y
 poderão ser calculados a partir 
das equações: 
yASz 
 
zASy 
 
(5) 
 
Centróide de uma seção composta 
 
 Freqüentemente encontram-se seções compostas por partes com formas geométricas 
familiares, para cada uma das quais já são conhecidas a área e a posição do centróide. 
Nestes casos, as coordenadas do centróide C da seção segundo os eixos 
y
 e 
z
, denotadas 
respectivamente por 
y
 e 
z
, são calculadas com a auxílio das equações (4), após a 
avaliação da área da seção e dos momentos estáticos da área da seção em relação aos eixos 
coordenados através dos seguinte somatórios: 
 



n
1i
iAA
 (6) 
e 


 
n
1i
iiz yAS
 


 
n
1i
iiy zAS
 
(7) 
 4 
onde n é o número de partes em que se subdividiu a seção; Ai é a área da parte i da seção, 
cujo centróide Ci tem coordenadas 
iy
e 
iz
 segundo os eixos 
y
 e 
z
 respectivamente, e os 
produtos Ai
iy
 e Ai
iz
 representam os momentos estáticos da área da parte i da seção em 
relação aos eixos 
z
 e 
y
 respectivamente. 
Momento de inércia de área de figuras planas 
A figura a seguir mostra uma seção transversal de uma barra, um par de eixos ortogonais, 
y e z, com origem C e um elemento de área dA, de coordenadas y e z. 
dA
C z
y
y
z
 
Os momentos de inércia da área da seção em relação aos eixos z e y da área da seção em 
relação aos eixos y e z, são definidos, respectivamente, por: 

A
z dAyI
2
 

A
y dAzI
2
 
 (8) 
Dessas equações, pode-se concluir que os momentos de inércia de área sempre serão 
positivos. 
Considere agora a figura seguinte, da qual se conhece o produto de inércia de área Ixy em 
relação a um par de eixos centroidais tais como os eixos xy mostrados. 
 5 
dA
z '
C z
y
d
2
d 1
y
z
z '
y '
O
y '
 
Com base nas relações entre as coordenadas de um elemento de área dA segundo os eixos 
y
 e 
z
 e as coordenadas segundo os eixos y e z 
1dyy 
 
2dzz 
 
 
Pode-se determinar o momento de inércia da área da seção em relação aos eixos 
y
 e 
z
 
     
AAAAAA
z dAdydAddAydAdydydAdydAyI
2
11
22
11
22
1
2 22
 
     
AAAAAA
y dAdzdAddAzdAdzdzdAdzdAzI
2
22
22
22
22
2
2 22
 
na qual d1 e d2 são as coordenadas do centróide C em relação aos eixos 
zy 
. Sendo a origem dos 
eixos yz o centróide da área da seção, tem-se que: 
 6 
0
0




AzzdAS
AyydAS
A
y
A
z
 
onde 
y
 e 
z
 as coordenadas do centróide 
segundo os eixos yz. 
Com isso, as expressões se reduzem a: 
2
1AdII zz 
 
2
2AdII yy 
 
(9) 
Estas equações correspondem ao Teorema dos Eixos Paralelos. 
Exemplo: Cálculo dos momentos de inércia de área de uma seção L: 
0,10 m
0,18 m
0,02 m
0,02 m z'
y'
 
Devemos determinar as propriedades geométricas 
zI
 e 
yI
, em relação aos eixos centrais 
yz. Para isso, consideramos a seção como a subtração de dois retângulos 1 e 2, conforme indicado 
na figura a seguir. 
 7 
0,10 m
0,18 m
1
z'
y'
 
0,08m
0,16 m
2
z'
y'
 
o Determinação do centróide da seção: 
As coordenadas do centróide da seção em relação aos eixos 
zy 
 se escrevem como: 
A
S
y z 
 e 
A
S
z
y

 
21 AAA 
, 
21 zzz
SSS  
 e 
21 yyy
SSS  
 
2
1 0180180100 m,,,A 
 e 
2
2 01280160080 m,,,A 
2310205 m,A 
 
m,
,
,
ym,S
m,,
,
,AyS
m,,
,
AyS
z
z
z
06540
10205
10403
10403
1028101280
2
160
020
106210180
2
180
3
4
34
33
22
33
11
2
1




















 
mzmS
mAzS
mAzS
y
y
y
0746,0
1020,5
1080,3
1080,3
1012,50128,0
2
08,0
1000,9018,0
2
10,0
3
4
34
34
22
34
11
2
1




















 
 8 
z'
y'
y
z
C
0,0654 m
0,0746 m
 
Para o cálculo dos momentos de inércia em relação a 
yz
 utiliza-se o teorema dos eixos 
paralelos: 
2
1AdII zz 
 e 
2
2AdII yy 
, lembrando que aqui os eixos 
zy 
 da fórmula se 
referem aos eixos 
yz
 da seção e os eixos 
yz
 da fórmula se referem aos eixos centrais de cada uma 
das partes 1 e 2. 
 As partes 1 e 2 são retangulares, tendo-se então: 
y
z
C
b
h
 
12
3hb
I z


 
12
3bh
I y


 
  452
3
10955065400900180
12
180100
1
m,,,,
,,
I z



 
  452
3
102640654010001280
12
160080
2
m,,,,
,,
I z



 
4510691
21
m,III zzz

 
  452
3
10592074600500180
12
100180
1
m,,,,
,,
I y



 
  452
3
102120746004001280
12
080160
2
m,,,,
,,
I y



 
4510803
21
m,III yyy

 
 
 9 
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE: Em todos os casos analisados em resistência dos 
materiais 1 a seção apresentará simetria em relação a um eixo vertical. Com isso 
z 
 é determinado 
por inspeção da figura. Além disso,como tratamos de flexão reta, não é necessário calcular a 
propriedade 
yI
.