Introdução Resistência dos Materiais

Prévia do material em texto

Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
1. TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS 
1.1. Conceito de Tensão 
Considere um corpo em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças 
externas:(figura1-1): I
S
II
M
A
 
I
F
n
M
A
 
dF
n
dA
d 
Figura 1-1: Corpo em equilíbrio e seccionado. 
Para quantificar as forças internas num ponto M, imagina-se o corpo seccionado 
por um plano genérico S passando por M. Toma-se em S um elemento de área 
A
contendo 
M. Em 
A
atuam forças internas (ação da parte II sobre a parte I através de 
A
) cuja 
resultante é 
F
. A força interna média por unidade de área em 
A
 será: 
A
F
méd




 
Admitindo que a área 
A
 decresce indefinidamente, sempre contendo o ponto M, 
no limite defini-se o vetor tensão no ponto M associado ao plano S (ou à direção de sua 
normal 
n

): 
A
F
lim
A
n




 0
 
 
 
 
C
A
P
ÍT
U
L
O
 
1 TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
dAdF n 
  
Portanto, o vetor tensão em um ponto está associado a um plano. A área 
A
 no 
limite (dA) é chamada faceta. O vetor de tensão e sua medida possuem um caráter local, pois 
são associados a um ponto. 
Considerando agora a medida, ou norma, do vetor tensão 
n


, pode-se definir, 
ainda, as seguintes componentes de tensão: 
-Normal à seção: 
A
Fn
A 


 0
lim
 
-Tangencial à seção: 
A
Ft
A 


 0
lim
, 
sendo 
n
F
 a componente de 
F
 na direção da normal 
n

 e 
tF
 sua componente na direção 
tangencial (paralela) ao plano S. 
1.2. Tensões em barras submetidas à força normal 
Considerando o caso de uma barra, no qual analisam-se somente seções normais ao 
eixo longitudinal da barra. No caso particular no qual o vetor resultante 
RF
, das forças que 
agem na seção, coincide com a direção normal dessa seção, isto é, só há componente 
nF
, 
diz-se que a barra está submetida a forças normais. 
Considere o caso simples de uma barra submetida a uma força
F
 em seu eixo 
longitudinal (força axial). 
F
S
l
l
F
N
N
S S
 
Figura 1-2: Efeitos da força axial em barras de eixo reto. 
A força 
F
 causa deformações longitudinais na barra. Essas deformações originam 
componentes de tensão 

 nas seções transversais, de modo que: 
  dAN 
, isto é, o 
esforço normal N corresponde à resultante das componentes de tensão nornal na seção. Neste 
caso em particular, tem-se que σ é constante, logo: 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
   ANdANdAN 
 
 
Figura 1-3: Distribuição de tensões normais. 
Quando σ for positivo a tensão normal é de tração, caso contrário é de compressão. 
A tração causa um alongamento e a compressão um encurtamento. 
1.3. Diagrama Tensão – Deformação 
Inicialmente é necessário definir deformação. Considerando-se a barra anterior, 
submetida a uma força axial, verifica-se a ocorrência de um alongamento ∆l, comumente 
designado pela letra grega δ. O alongamento por unidade de comprimento define, então, a 
deformação  da barra, dada por: 
ll
l 
 


 onde ∆l é a variação de comprimento (ou 
deformação absoluta), e ε a deformação específica. 
Obs: É importante fazer distinção entre deformação absoluta e deslocamento. 
Entende-se por deslocamento de um ponto, ou de uma seção transversal ou de um corpo, a 
mudança da sua posição original. No caso da deformação, quer absoluta ou específica, sua 
caracterização se dará pela mudança na forma do corpo, após ocorridos os deslocamentos. 
Isto é, pela ocorrência de deslocamentos relativos entre os pontos do correspondente corpo. 
Ensaios em corpos de prova padronizados permitem obter o chamado diagrama 
tensão-deformação. 
1 
2 
3 
 = constante 
constante 
const 
 = variável na seção 
constante const 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
F
F
F
F
l l
 
Figura 1-4: Aplicação da força e medição das 
deformações axiais. 
Incrementa-se F e mede-se ε. Para cada incremento, 
calculam-se: 
A
F

 e 
l

 
 
 
Com os vários pares (σ; ε) constrói-se o diagrama: 


 
Figura 1-5: Diagrama Tensão-Deformação a partir do ensaio. 
O aspecto da curva σ - ε depende do material, podendo-se enquadrá-los em dois 
grandes grupos: dúctil e frágil. 
Curva σ –ε para material dúctil 



p
e
máx
adm
patamar de escoamento
regime elástico regime plástico encruamento ruptura
 
Figura 1-6: Diagrama típico para materiais dúcteis. 
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
p
Limite de proporcionalidade para as deformações elásticas. 
e
Tensão de escoamento (início das deformações plásticas) 
D
Tensão considerada no dimensionamento:.
csmáxd  
 
máx
 Máxima tensão obtida no ensaio 
A segurança das estruturas é garantida ao se considerar o valor de 
r
 no projeto 
Curva σ –ε para material frágil 


máx
adm
p
 
Figura 1-7: Diagrama típico para materiais frágeis. 
Neste caso, só ficam definidos 
p
 e 
máx
, isto é, não ocorre escoamento do 
material. 
O trecho linear da curva σ –ε dos vários materiais pode ser representada pela 
seguinte equação: 
  E
,em que E é uma constante de proporcionalidade denominada 
“módulo de deformação” do material. O valor de E se iguala à tg α e é uma característica 
peculiar a cada material. 
 
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
1.4. Problema de análise estrutural: caso de uma barra sob carregamento axial 
F
l
x
A
 
+
F
F
DN
 
Diagrama de esforço normal 
Figura 1-8: Barra submetida à carga axial na extremidade. 
A resolução desse problema implica na determinação dos deslocamentos, das 
deformações e das tensões em qualquer ponto da barra. Para tanto é necessário combinar as 
relações: 
- Compatibilidade: 
Considerando que a barra se encontre submetida a um estado de tração uniforme, 
no qual seções planas e perpendiculares ao eixo da barra se deformem paralelamente umas 
em relação às outras, conforme ilustra a figura a seguir. Considerando um segmento AB na 
barra indeformada, que após a ocorrência de deformação passa à posição A*B*. A 
deformação específica longitudinal da barra 
x

 é dada por: 
A B
l
A* B*
dx dx*
uA
x
uB
 
dx
du
dx
uu
dx
dxdx
AB
ABBA AB
x 







, 
sendo du a variação dos deslocamentos 
sofridos por dois pontos distantes de dx 
quando na posição indeformada. 
 
- Equilíbrio: 
   
A
x dAxN 
. Quando σ é uniforme na seção, 
  AxN x 
. 
- Constitutiva: 
  EE xx
 
Assim: 
          dx
AE
xN
uxudx
AE
xN
dudx
E
du
dx
du
EE
xxxu
x
xx 



 
000
0

. 
 
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
 Para o caso particular em que N, E e A são constantes em x: 
    x
AE
N
dx
AE
N
dx
AE
N
uxu
xx





 
00
0
 
)(xu
→ deslocamentos 

dx
du
x
 deformações 
xx E  
 →tensões 
Se x=l: 
   
AE
lN
ulul


 0
, 
l
l
x


 e 
xx E  
 
Notar que 
x
 e 
x
 são constantes ao longo de x. 
Se 
ctexNN  )(
 ou 
dxxAA  )(
, a integral em du não é tão simples, de 
modo que: 
     

xxx
dx
xA
xN
E
uxudx
xAE
xN
du
000
)(
)(1
0
)(
)(
 
1.5. Caso de uma barra submetida a um carregamento uniformemente distribuído 
l
x A
q
 
ql
+
DN
 
ql
x
l-x
N
N
q
q
 
Diagrama de esforço normal DCLs para o cálculo de N 
Figura 1-9: Barra sob ação de carregamento distribuído uniforme. 
Pelo equilíbrio de forças na direção x da parte da barra de comprimento l-x, tem-se: 
  )(
0)(0
xlqxN
xlqNF
x


 
Determinando a máxima componente de tensão normal e o máximo deslocamento 
axial. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
A
lq
xx
xl
A
q
x
A
xN
x
máx





)(0
)()(
)(
)(
 
)
2
()(
)(
2
c
x
lx
AE
q
xu
dxxl
AE
q
dudx
E
du
Edx
du
dx
du
E
dx
du
E













 


 
-Condição de contorno: p/x=0, u(0)=0 
)(
)
2
()(
00)00()0(
2
xl
AE
q
dx
du
x
lx
AE
q
xu
cc
AE
q
u










 
-Máximo deslocamento 
AE
ql
u
l
ll
AE
q
ululx
lxxl
AE
q
dx
du
máxmáx







2
)
2
()(,
0)(0
22
 
Obs: o carregamento q pode ser o peso próprio da barra para o caso de seção 
transversal com área constante. 
Neste caso: 
Aq  
, onde γ seria o peso específico do material e A seria a área 
da seção transversal. 
Teríamos então: 
lmáx  
 e 
E
l
umáx



2
2 
Analogamente ao que é feito no caso de vigas, pode-se determinar a equação de 
equilíbrio interno através do equilíbrio de um trecho de comprimento infinitesimal dx tão 
pequeno quanto se queira. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
x
dx
N+dN
q
q
x N
 
O equilíbrio do trecho da barra de comprimento infinitesimal dx fornece: 
q
dx
dN
dxqdN
dNNdxqNF
x

 00 
-Condição de contorno: p/ x=l →N=0 




cxqNdxqdNdxqdN
dNNdxqNFx 00 
)()(
0
xlqxNN
lqcclq


 
A equação de equilíbrio interno 
 xq
dx
dN

 é valida para qualquer função de 
carregamento 
 xq
. Imagine que o comprimento dx seja pequeno de forma que a função de 
carregamento possa ser considerada como a soma de um valor constante 
 xq
 (valor da 
função para um dado valor de x) e uma função variação suposta muito pequena: 
 xdq
, 
assim a equação de equilíbrio do trecho de comprimento infinitesimal dx ficaria: 
    00  

dNNdxxdqdxxqNF
dxx
x
x
, o valor da integral é o que 
chamamos de infinitésimo de ordem superior, pois tem ordem de grandeza do produto de 
duas grandezas muito pequenas (
 xdq
 e 
dx
) e pode ser desprezado quando comparado 
com termos de ordem de grandeza de apenas um infinitésimo (
dN
 e 
 dxxq
). 
Assim a equação 
 xq
dx
dN

 é válida para qualquer variação de 
 xq
 com x. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
1.6. Exemplos 
1.6.1. Para a barra abaixo, determinar a função deslocamento u(x) e a variação 
de comprimento total da barra. Considere o módulo de elasticidade do 
material E como conhecido. 
 
3A
P
2P
C
B
A
2
3 l
1
3 l
x
A
 
O exercício é resolvido dividindo-se a barra em dois trechos distintos: 
Trecho BC: 
- “entrando” de baixo para cima para determinar o esforço normal, tem-se: 
N = 2P
2P
 
EA
P
EA
N
EA
P
A
N
PN
BC
BC
BC
xBC
x
BC
BCBC
xBC
22
2 


 
 Sendo 
 
1
2
Cx
EA
P
xu
dx
du
x 
, para 
lxl 
3
2
 
Trecho AB: 
- “entrando” de baixo para cima para determinar o esforço normal, tem-se: 
N = P
2P - P = P
 
EA
P
EA
N
EA
P
A
N
PN
AB
AB
AB
xAB
x
AB
ABAB
xAB
33



 
 Sendo 
 
2
3
Cx
EA
P
xu
dx
du
x 
, para 
lx
3
2
0 
 
Como a barra está fixa em x = 0 (topo): 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
u(0) = 0 e C2 = 0.  
  x
EA
P
xu
3

, para 
lx
3
2
0 
  
l
EA
P
lu
9
2
3
2






 
Para achar C1: 
 
1
2
Cx
EA
P
xu 
, para 
lxl 
3
2
 
  l
EA
P
Cl
EA
P
xu
9
2
3
4
1 
 
l
EA
P
C
9
10
1


 
 








lll
EA
P
x
EA
P
lx
EA
P
xu
x
3
2
 se ,
9
102
3
2
x0 se ,
3 
x
u (x)
x2
3 l l
2Pl
9EA
9EA
8Pl
 
 
Variação de comprimento total: 
  l
EA
P
luTOT
9
8

 
Alternativamente: 
l
EA
P
l
AE
P
l
AE
P
ll BC
BC
xAB
AB
xBCABTOT
9
8
3
12
3
2
3

 
 
 
 
1.6.2. Para a barra solicitada por forças longitudinais centradas, calcular: a) A 
Tensão Normal máxima; b) Os deslocamentos dos pontos das seções A e 
B. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
x
3 m 2 m
30kN 10kN
A B C
 
 
 
E = 10.000 kN/cm² 
 
A = 2 cm² 
 
Figura 1-10: Exemplo 1.6.1 
 
 
- Diagrama de corpo livre para o cálculo das reações: 
30kN 10kN
HA
V A
MA
 
0
A
M
 e 
0
A
V
 (atendidas identicamente) 
kNHHF AAx 20010300 
 
- Esquema: 
30kN 10kN20kN
SI SII
 
Seção 
IS
: 
NAB20kN
SI
 
kNNN
ABAB
20020 
(tração) 
Seção 
IIS
: 
30kN20kN
SII
NBC
 
kNNN
BCBC
1002030 
 (compressão) 
- Determinação das Tensões 
Trecho AB: 
210
2
20
cmkN
A
N
ABAB
AB
AB
AB  
 (tração) 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
Trecho BC: 
25
2
10
cmkN
A
N
BCBC
BC
BC
BC 

 
 (compressão) 
Obs.: em valores absolutos, tem-se que 
210 cmkNABmáx  
. 
- Determinação dos deslocamentos: 
  x
AE
N
uxu
cteA
cteN







0)(
 
∆l→ variação do comprimento em cada 
trecho. Quanto os pontos de uma seção se 
deslocam em relação aos de uma outra 
seção. 
Condição de contorno (válida para o trecho AB): 
  00 u
 
Trecho AB: 
  cmucm
cm
cm
kN
cmkN
uul
AB
3,0)300(3,0
2.000.10
30020
0)300(
2
2



 
Trecho BC: 
  cmucm
cm
cm
kN
cmkN
uul
BC
2,01,03,0)500(1,0
2.000.10
20010
300)500(
2
2



 ou ainda 
    cmlluul
BCABAC
2,00500 
. 
x(cm)
u(x) (cm)
3000 500
0,3 0,2
 
1.6.3. Para a barra submetida a forças longitudinais centradas, calcular: a) O 
valor da força F de modo que não seja exercida a tensão normal 
admissível (respeitando os sentidos de F); b) Para o maior valor possível 
de F, calcular o máximo deslocamento e verificar se existe alguma seção, 
além do engaste, cujos pontostenham deslocamento nulo. Caso exista, 
determinar sua posição. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
x
3 m1,5 m
2F5F
A B C
1,5 m
D
 
24
2
1001
12
cm/kN,E
cm/kN
adm


 
2
2
3
6
cmA
cmA
CD
AC

 
Figura 1-11: Exemplo 1.6.2 
 
- Reações e diagrama de esforço normal: 
x
2F5F
A B C D
HA
 
FHFFHF
AAx
30250 
 
 
x
2F5F
A B C D
3F
SI SII
 
Trecho AB (SI): 
 
Trecho BD (SII): 
 
A
3F
SI
NAB
 
5F
A B
3F
SII
NBC = NCD
 
3F+NAB=0 →NAB=-3F 
(compressão) 
3F-5F+N=0 →N=2F 
(tração) 
 
Diagrama de esforço normal: 
 
+
-
A
B C D
2F
3F
(DN)
 
- Máximo valor de F 
A tensão normal máxima em qualquer seção não pode ser maior que a admissível: 
adm 
 tanto na compressão quanto na tração. 
Existem três trechos nos quais N e A são simultaneamente constantes: 
* Trecho AB: NAB=-3F e AAB= AAC = 6cm² 
* Trecho BC: NBC=2F e ABC= AAC= 6cm² 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
* Trecho CD: NCD=2F e ACD= 3cm² 
Com isso, fica clara a possibilidade de utilizar a equação 
AN
 em cada 
trecho. 
* Trecho AB: 
kNF
F
ABadmAB 2412
6
3


 
 
* Trecho BC: 
kNF
F
BCadmBC 3612
6
2
 
 
* Trecho CD: 
kNF
F
CDadmCD 1812
3
2

 
- Deslocamentos em cada trecho da barra para o caso de 
máxFF 
=18 kN 
trechotrecho
trechotrecho
trecho
AE
lN
l



, para trechos nos quais E, N e A são simultaneamente 
constantes. 
  cmllxu ABABB 135,0
610000
150183




 
    cmlxuxu BCBC 09,0
610000
150182




 
    cmlxuxu CDCD 36,0
310000
300182




 
- Deslocamentos longitudinais das seções C e D: 
    cmllllxuxu ACBCABBCBC 045,0
 
    cmllllllxuxu ADADCDBCABCDCD 315,036,0045,0 
 
- Máximo deslocamento longitudinal 
        cmlxuuxuxuxumáxu ADDmáxDCBmáx 315,0},,{ 
 
Obs.: Os deslocamentos de uma seção qualquer devem ser determinados em 
relação à mesma origem, que neste caso é a seção A (x = 0). 
- Seção com deslocamento nulo: 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
x(cm)
u(x) (cm)
0
150 300
600
-0,135
-0,045
0,315
d
300-d
 
cmdddd
dd
5,375,1336,0)300(045,0315,0
315,0
300
045,0



 
No trecho CD em relação à seção C. 
1.6.4. Determinar o encurtamento absoluto num bloco troncônico causado pela 
força axial compressiva P e pelo peso do bloco P0. O módulo de 
deformação longitudinal e o peso específico do material do bloco têm 
respectivamente os valores E e γ. 
P a
x
h
dx
d0
d(x)
x
 
 
Figura 1-12: Exemplo 1.6.3 
- Equação geral para o cálculo dos deslocamentos 
dx
xAE
xN
du
xAE
xN
dx
du
x
)(
)(
)(
)(




 
- Análise para a força P no topo do bloco 
    


h
a
dx
xAE
P
auhul
)(
1
111
 , 
4
)]([
)(
2xd
xA


 e   0
1
hu
 
Da figura percebe-se que: 
    x
h
d
xd
h
d
x
xd 00 
 
Daí: 
2
2
2
0
4
)( x
h
d
AxA x



 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
Logo: 






 
h
a
h
a
dxx
dE
hP
ldx
xd
h
E
P
l 2
2
0
2
122
0
2
1
41
.
4

 





























hadE
hP
l
ah
dE
hP
l
x
dE
hP
l
h
a
114
11
4
1
4
2
0
2
1
11
2
0
2
1
1
2
0
2
1 
 
 ah
adE
hP
l
ha
ah
dE
hP
l 













2
0
12
0
2
1
44

 (encurtamento) 
Encurtamento absoluto: 
 ah
adE
hP
l 



2
0
1
4

. 
- Análise para a ação do peso próprio 
Neste caso além da variação da área da seção, o diagrama de 
 xNN 
também 
depende de x. Assim: 
    
h
a
dx
xA
xN
E
auhul
)(
)(1
222
 e 
  0
2
hu
 
a
x
N(x)
P0
 
P0 + 
0)( xN
→ 
)(xN
= - P0 → 
   xxAxN )(
3
1
 
)(
63)(3
)(1 22
222
ah
E
ldxx
E
ldxx
xA
xA
E
l
h
a
h
a







 
 
(encurtamento). 
Encurtamento absoluto: 
)(
6
22
2
ah
E
l 


 
- O encurtamento total absoluto será dado por: 
21
lll
T

 
1.6.5. Para o cone a seguir, suposto apoiado numa superfície indeformável, 
determine a função de deslocamento u(x) e a variação de comprimento de 
seu eixo. 
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
x
A
h
 
Peso total = 
TOTV
 = 
 hA
base
3
1
. 
O peso para uma porção de coordenada x a partir do topo é dado por: 
  xxAxp 
3
)(

, que será numericamente igual a menos a normal  N(x) = - p(x) 
(compressão). 
   
 
 
 
 
 
x
xA
xxA
xA
xp
xA
xN
x
x
 
3
1
3
1
 
A deformação é dada por: 
 
 
  Cx
E
xux
EE
x
x xx 





 2
63
 
Sendo u (h) = 0 
22
6
0
6
h
E
CCh
E




 
Finalmente: 
  22
66
h
E
x
E
xu




 
A variação de comprimento total é dada por: 
  2
6
0 h
E
uTOT


 (o sinal negativo indica um encurtamento da peça). 
1.7. Estruturas estaticamente indeterminadas 
Há situações nas quais as equações de equilíbrio da estática são insuficientes para 
se determinar as reações de apoio. Nestes casos, é necessário levar em consideração as 
deformações das barras para calcular essas reações. 
Considere a barra biengastada abaixo, submetida à carga axial centrada. Essa barra 
é hiperestática, ou estaticamente indeterminada, pois há duas reações a determinar e só é 
possível utilizar uma equação da estática. São dois os métodos para se calcular tais reações. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
P
l
x
a
b
A
C
B
 
P
RA
RB
 
  PRRF BAx 0
 
Figura 1-13: Barra biengastada sob carga axial. 
 
 
- Primeiro método 
Seleciona-se uma, ou algumas, das reações como incógnitas. Escolhamos 
AR
, por 
exemplo. Se 
AR
 for conhecida, a determinação de 
BR
é direta, utilizando-se as equações da 
estática. 
P
l
x
a
b
A
C
B
 
l
A
B
RA
 
Figura 1-14: Primeiro método de resolução. 
Retirando-se o vínculo associado a 
AR
, a estrutura resultante é isostática e 
permanece estável, tornando-se estaticamente determinada. Dessa forma, a reação 
AR
 é 
denominada “redundante estática”, e a estrutura isostática resultante é a dita “estrutura 
primária”. 
Considere agora o efeito de P no deslocamento do ponto A na estrutura primária. 
Tal deslocamento ocorre para baixo, e seu valor é dão por 
AE
bP
p



. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
A seguir, adote a redundante 
AR
 como ação naestrutura primária. O deslocamento 
no ponto A será, então, dado por 
AE
lRA
R



. 
O deslocamento final do ponto A é dado pelam soma: 
RP  
 
Devido ao vínculo existente nesse ponto, tem-se que a deformação será nula, uma 
vez que o engaste impede tal deformação. Logo: 
00  RP 
 
Com isso: 
l
bP
R
AE
lR
AE
bP
A
A 





0
 
 
A equação que define o deslocamento final δ do ponto A é denominada “equação 
de compatibilidade de deslocamento”. 
Pelo equilíbrio estático, obtêm-se 
BR
: 
l
aP
Rbl
l
P
R
l
bP
PRPRR BBBBA



 )(
 
Esse método de análise é também denominado “Método das Forças”, pois 
considera forças como incógnitas. É um método mais geral, no qual podem ser consideradas 
várias redundantes como no caso de vigas contínuas, biengastadas, etc. 
- Segundo Método 
Neste caso considera-se o deslocamento 
C
 como incógnita. 
P
l
x
a
b
A
C
B
 
P
RA
RB
 
NAC
P
NBC
 
Figura 1-15: Segundo método de resolução. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
O deslocamento 
C
 pode ser calculado por: 
a
AE
R
AE
aR
AE
aN
C
A
A
C
AC
C
 





.
 e 
b
AE
R
AE
b.R
AE
bN C
B
B
C
BC
C







 
Admitindo-se que 
C
 é positivo para baixo, resultando em tração no trecho AB e 
compressão em BC. 
Pelo equilíbrio estático: 

















ba
ab
AE
P
P
ba
AEPRR
C
CC
BA
 
lAE
baP
baAE
baP
CC





 
)(
 
Daí, temos que: 
l
bP
RA


 e 
l
aP
RB


 
Este método de análise é também denominado “Método dos deslocamentos”, pois 
considera deslocamentos como incógnitas. Assim como o método das forças, também é mais 
geral, no qual podem ser consideradas várias redundantes como no caso de vigas contínuas, 
bi-engastadas, etc. 
1.8. Exemplos 
1.8.1. Dimensionar a barra de seção circular da figura para uma tensão 
admissível σ = 15kN/cm². 
40kN 40kN
30cm 30cm 30cm
x
A B C D
 
d
 
40kN 40kNHA HD
 
 
Seção reta DCL da barra 
 
Figura 1-16: Exemplo 1.8.1 
 
Reações: 
  HHHHHF DADAx 040400
 
- Diagrama de Esforço Normal: 
- Esforços Normais em cada trecho 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
40kN 40kNHA HD
SI SII SIII
 
 
Trecho AB (seção SI): 
HA NAB
 
HHNNH
AABABA
 0
 
Trecho BC (seção SII): 
40kNHA NBC
 
40040  HNNH
BCBCA
 
 
Trecho CD (seção SIII): 
40kN 40kNHA NCD
 
HHNNH
AABABA
 0 
A figura anterior corresponde ao diagrama de esforço normal hipotético, pois foi 
obtido supondo-se intensidades e direções das reações. Observar que o diagrama ficou 
determinado em função da reação H, que corresponde à incógnita do problema. 
- Compatibilidade 
 









 0
30304030
00
AE
H
AE
H
AE
H
llll CDBCABT 
kNHHHHH 3,13403040 
 
- Diagrama de esforço normal: 
+
A
B
C D
+
-
DN(kN)
13,3 13,3
-26,7
 
- Tensão em cada Trecho 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
Trecho AB: 
 
    cmddNd
d
N
ABAB
AB
AB
AB
AB
AB
06,1
15
3,13444 22
2









 
 
Trecho BC: 
  cmdd BCBC 50,1
15
7,2642



 
 
Trecho CD: 
  cmdd
BCCD
06,1
15
3,1342



 
 
Com isso, 
cmdbarra 50,1
 satisfaz às duas condições. 
1.8.2. Seja a estrutura esquematizada na figura, a qual é composta por duas 
barras com área A1 e A2, despostas simétricamente com relação a um eixo 
vertical. Determinar o deslocamento do ponto c. 
48 kN
x
y
1 2
 
3 m 3 m
4 m
A B
C
 
Figura 1-17: Exemplo 1.8.2 
Dados: 
2
1 4cmA 
, 
2
2 2cmA 
, sen α =0,6 , cos α =0,8 , E=20000 kN/cm² 
- Estabelecendo o equilíbrio do nó: 
48 kN
HC
N2N1

 
48coscos0 21   NNFy
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
  60488,0 2121  NNNN
 
  CCx HNNHsenNsenNF  1221 6,000  
Existem 3 incógnitas a determinar: 
1N
, 
2N
 e 
CH
 
Sendo a treliça uma estrutura estável e sendo possível utilizar apenas a resultante 
nula de forças como equação de equilíbrio, pode-se concluir que a treliça é 1 vez 
hiperestática. Neste caso, é necessário lançar mão das deformações (equação de 
compatibilidade) para resolver o problema. 
48 kN
1 2
 
A B
C
C
C
l2
l1 
Para determinar a relação entre l1 e l2, observamos que existe restrição ao 
deslocamento horizontal do ponto C e assim, este ponto se deslocará na vertical. A 
barra 1 sofrerá uma variação de comprimento l1 e uma rotação em torno do nó A, 
enquanto a barra 2 sofrerá uma variação de comprimento l2 e uma rotação em torno 
do nó B. Como tratamos de pequenas rotações, aproxima-se o deslocamento na 
extremidade não fixa da barra considerada como ocorrendo perpendicular a esta 
barra (por considerar que a rotação em torno do nó fixo da barra seja muito pequena). 
A figura a seguir ilustra o raciocínio descrito: 
C

l2 l1
c
rotação da barra 1rotação da barra 2
barra 2barra 1
 
 
Isolando-se os triângulos retângulos: 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
l1
c
l2
c
 
 
21
21cos ll
ll
CC







 
Com isso, é possível escrever: 
22
22
11
11
21
AE
lN
AE
lN
ll






. 
Como os comprimentos e os módulos de elasticidade são iguais, podemos escrever: 
21
21
21 2
24
NN
NN
ll 
 
Daí: 
kNNNNNN 2060260 22221 
 e 
kNN 401 
 
    kNHHHNN
CCc
1240206,06,0
12

 
-Determinação de 
C
 
Pela figura da estrutura deformada 
cm313,0
420000
50040
8,0cosll CCC21 



 (para baixo) 
 
1.8.3. Determinar a reação total em A, a reação na mola C e o esforço normal no 
fio DE, supondo que a barra AD tem rigidez infinita e peso desprezível. 
A B
C
D
E
5 m 5 m 5 m
20 kN
k = 50 kN/cm
 = 2cm
E = 210 GPa
5 m
 
Equação de equilíbrio estático: 
kNmNVNVM
kNNVVF
DECDECA
DECAy
203215105200
200



 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
Compatibilidade de deslocamentos: 
da figura a seguir, tem-se que 
EC
ECtg 



 23
1510
. 
C
E
10 m
15 m

 
 
DE
DE
DEDE
DEDE
E N
N
EA
lN 3
4
2
1058,7
101,2
4
2
500 







 
C
C
C
V
k
V
02,0
 
  DEC NV
31058,7202,03
DEC NV 2527,0
 
kNVkNNNN CDEDEDE 44,17,52032527,02 
 e 
kNVA 86,12
 
1.8.4. Para a estrutura a seguir determinar o valor do esforço normal em toda 
peça e as reações RA e RD. 
 
diâmetro = 4,0 cm
diâmetro = 6,0 cm 50 kN
4 m
5 m
5 m
500 kN/cm
A
B
C
D
 
 
Resolvendo pelo método das forças e retirando o vínculo em A, tem-se: 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressãosimples entre os limites elásticos 
 
 
 
RA
 
(1) 
50 kN
 
(2) 
A equação de compatibilidade é dada por: 
    021 TOT
 
  AA
CD
CDA
BC
BCAA RR
EA
lR
EA
lR
k
R 3
4
2
4
21
10358,4
101,2
4
6
500
101,2
4
4
400
500
1 





























(para cima) 
  cm
EA
l
CD
CD 0421,0
101,2
4
6
5005050
4
22















 (para baixo) 
kNRR AA 66,900421,010358,4
3  
 
kNRR AD 34,4050 
 
kNRNN ABCAB 66,9
 e 
kNRN DCD 34,40
 
1.9. Barras constituídas por dois materiais 
Seja um tubo constituído por material com módulo de elasticidade longitudinal 
1E
e área 
1A
. Esse tubo é preenchido com material de módulo 
2E
 e área 
2A
. O conjunto é 
apoiado numa base rígida, e em seu topo é posicionada uma placa, também rígida, para a 
aplicação da força F. Determine as tensões geradas no tubo e no material de preenchimento. 
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
l
Placa Rígida
Base Rígida
Corpo de prova
F
 
E1, A1
E2, A2
 
Seção reta do corpo de prova 
Figura 1-18: Corpo de prova constituído de dois materiais e submetido a uma carga centrada. 
Em cada área deve atuar uma parcela da força normal da seção, logo: 
FNN  21
 (equilíbrio estático). 
- Compatibilidade de deslocamentos: 
Aplicação da força F →Deformação ∆l do conjunto → Tubo: 
1l
=∆l; Material de 
preenchimento: 
2l
=∆l. 
Assim: 
21
2
2
1
1
21  




l
l
l
l
ll
 
Da Lei de Hooke: 
2
2
2
1
1
1
,
EE
E
  
 
Mas: 
2
2
1
1
2
2
1
1
21 
E
E
EE

 
Considerando 
2
1
E
E
n 
, pode-se escrever: 
21   n
 
A força Normal pode ser obtida por: 
  dAN 
. Nos casos de σ constante, 
teremos N=σA. Assim: 
111 AN 
 e 
222 AN 
 
Daí: 
FNN  21 FAAnFAA  22122211  
 
21
2212
AAn
F
FAAn


 
 
Que pode ser reescrita da seguinte forma: 
eqA
F
2
, em que 
21 AAnAeq 
 
Refazendo para 
:1
 
FNN  21  FA
n
A 2
1
11

 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
21
1
21
1
2
1
1
2
11
AAn
Fn
n
AnA
F
n
A
A
F
F
n
A
A














  
eqA
Fn 
1
 
Para exercitar, considere o pilar abaixo submetido a compressão centrada de 
intensidade 1.500 kN. O pilar tem seção transversal retangular sendo adotada distribuição 
uniforme de 8 barras com 25 mm de diâmetro cada, conforme ilustrado abaixo. Sabendo-se 
que o aço e o concreto apresentam módulos de deformação iguais a 
2000.21 cmkNEaço 
 
e 
2000.3 cmkNEconc 
, respectivamente, pede-se para determinar as tensões em cada um 
dos materiais e o deslocamento vertical do pilar. 
2,0m
1500kN
 
40cm
40cm
825
 
Seção reta do pilar 
Figura 1-19: Exercício barras constituídas por dois materiais. 
Escolhamos a seguinte ordem para aplicação das equações anteriormente 
deduzidas: 
- Material 1:Aço→









2
1
2
1
2
1
21000
27,39
4
5,2
8
cmkNEE
cmAA
aço

 
- Material 2: Concreto →






2
2
2
212
3000
73,15604040
cmkNEE
cmAAA
conc
 
Assim: 
eqA
nF 
1
 e 
eqA
F
2
 
7
3000
21000
2
1  nn
E
E
n
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
2
21 62,183573,156027,397 cmAAAAnA eqeqeq 
 
Logo: 
2
11 72,5
62,1835
71500
cmkN

 
 (compressão) 
2
22 817,0
62,1835
1500
cmkN

 
 (compressão) 
Deslocamento Vertical da seção do topo do pilar: 
cml
l
l
l
EE 055,0
200
2100072,5 1
1
1
1
11111 




 
Caso fosse pedida a força normal em cada material: 
kNNNAN 62,22427,3972,5 11111 
 
kNNNAN 12,127573,1560817,0
22222
 
1.10. Tensão Inicial e Tensão Térmica 
Muitas vezes, em alguns sistemas estaticamente indeterminados é possível haver 
tensões iniciais no processo de montagem, quer por imperfeições quer por variações 
intencionais de comprimentos. Tais tensões existem na ausência de cargas exteriores e 
dependem, exclusivamente, da geometria da estrutura, das propriedades mecânicas dos 
materiais e da grandeza das imperfeições. 
Considere, por exemplo, que a barra de uma treliça tenha comprimento 
all 2
, 
maior que a medida l de sua posição na montagem. Uma possibilidade para montagem é: 
Comprimir a barra 2, encurtando-a no valor a. Para tanto, a força F necessária será: 
 
 
al
AEa
F
AE
lF
aFN
AE
lN
al I
I








 22
22
2
2
22
22
2 )1(
 
F
x
y
2 
l
A B
D
1 1
C
l+a
F
l = -a2 (I)
 
Figura 1-20: Problema de imperfeições geométricas em estruturas de treliça. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
Após a montagem, o ponto D se deslocará, e seu valor será menor que a diferença 
de comprimento a. Podemos considerar a força de compressão na barra 2 como uma força 
aplicada no nó D, conforme ilustrado a seguir: 
A C
D
 D
B
a

N 2 (I)
 

A C
D
B

N = 0
F 
 
Estabelecendo o equilíbrio do nó D: 

F
N 2 (II)
N1 N1
 
 cos20cos20
1)(212 )(
NNFFNNF
IIy II

(1) 
  110 NNFx
 (2) (simetria) 
Como a estrutura é simétrica e o carregamento atuante é também simétrico, o ponto 
D se deslocará na vertical. Analisando a compatibilidade de deslocamentos, é possível 
estabelecer a relação seguinte: 

l2 (II)
l1 l1
 
 
  cos
1
2
l
l
II


 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
)(2
122
11
1
11
11
22
)(2 cos
cos
II
II
N
lAE
lAE
N
AE
lN
AE
lN







 

 (3) 
Substituindo (3) em (1): 
122
2
11
)(2)(2
122
2
11
2
cos2
1
cos2
)(
lAE
lAE
F
NFN
lAE
lAE
N
IIIIII







 
Porém, da geometria da treliça: 
cos
1
l
l 
 
Consequentemente: 
22
3
11
)(2 cos2
1
AE
AE
F
N
II




 
A força normal final na barra 2 será: 





22
3
11
2)(2)(22
cos2
1
AE
AE
F
FNNNN III 
 


























 1
cos2
1
cos2
1
1
3
1122
22
2
22
3
11
2  AEAE
AE
FN
AE
AE
FN 
Mas 
al
AEa
F


 22
 











 1
cos2 31122
2222
2
AEAE
AE
al
AEa
N
 





























3
11
22
22
23
1122
3
1122
2
cos2
1
1
cos2
cos2
AE
AEal
AEa
N
AEAE
AE
al
AEa
N
 
  









3
11
22
22
2
cos2
1
AE
AE
al
AEa
N
 
Avaliando-se novamente o equilíbrio do nó obtém-se: 
   

IIII
NFNFNN
2112
cos2cos2 
 
       
 
IIIIII
NNNNNN 221221 cos2cos2  
21
cos2 NN  
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
 Os valores de força normal surgiram por ocasião da montagem, isto é, antes 
mesmo da atuação do carregamento na estrutura. Com isso, existirão tensões iniciais nas 
barras dadas por: 
1
1
1
A
N
i

 e 
2
2
2
A
N
i

. 
Essas tensões devem ser adicionadas às tensões provocadas pelas cargas atuantes. 
Na etapa de dimensionamento é essa adição que deve ser limitada à tensão admissível 

. 
Isto é: 
  ci 11
 e 
  ci 22
 
As deformações que ocorrem nas barras de um sistema provenientes de variações 
térmicas podem, também, ter o mesmo efeito que as imperfeições geométricas. Considere 
uma barra biengastada que experimenta um aumento de temperatura de 
0t
 para t. 
l
R R
 
0
ttt 
 
Figura 1-21: Barra submetida a efeitos térmicos. 
Devido à presença do engaste, a barra é impedida de alongar e surgem tensões de 
compressão. O processo para determinação dessas tensões é semelhante ao já apresentado, o 
qual utiliza como compatibilidade de deslocamento a não alteração no comprimento da 
barra, isto é, 
.0 barral
 
Retirando-se um dos engastes, a variação de comprimento sofrida pela barra é dada 
por: 
tll
T
 
, sendo α o coeficiente linear de dilatação térmica do material, l seu 
comprimento inicial, e ∆t a variação de temperatura sofrida. 
l lT
 
0
ttt 
 
Figura 1-22: Variação de comprimento proveniente do efeito térmico. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
Considerando R como força atuante na extremidade, o deslocamento sofrido pela 
barra será: 
l
l N
R
 
AE
lR
AE
lN
l
N






 
Superpondo os efeitos, tem-se que: 
00 



AE
lR
tllll
NTtotal

, 
tAER   , sendo a normal na barra RN  (compressão). 
Outro exemplo seria o da treliça com 3 barras, em que a barra vertical sofre um 
acréscimo ∆t de temperatura. Caso essa barra não estivesse posicionada, sofreria um 
alongamento no valor 
tll
T
 
. 

A CB

1 1
2 l
lT
2
 
Nestas condições, para realizar a montagem proceder-se-ia de modo análogo ao 
feito anteriormente, sendo que ∆lT corresponderia à diferença de comprimento a. 
Assim, a força normal gerada na barra vertical é dada por: 
 
























 311
22
22
2
3
11
22
22
2
cos2
1)1(
cos2
1)(
AE
AE
tl
AEtl
N
AE
AE
ll
AEl
N
 
A essa força normal correspondem tensões normais como resultado da variação de 
temperatura ∆t, sofrida pela barra 2. 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
1.10.1. Exemplo: Sabe-se que existe uma folga de 0,5mm entre as barras da figura 
à temperatura de 20C. Determinar, para a temperatura de 140C, a tensão 
normal e comprimento final da barra de alumínio. 
 
A
aço
DC
alumínio
B
30 cm 25 cm
0,5 mm
 








 C
GPaE
mmA
Alumínio
/1023
70
2000
6
2
 








 C
GPaE
mmA
Aço
/1018
190
800
6
2
 
Na situação de equilíbrio: 
1 2
 1  2
 
  NNNFx 210
 
Imagina-se que as duas barras se deformam livremente e, a seguir, aplicam-se a 
condição de igualdade entre os esforços normais e a equação de compatibilidade. 
Tl1
 = variação de comprimento da barra 1 devida à variação de temperatura; 
Tl2
 = variação de comprimento da barra 2 devida à variação de temperatura; 
Nl1
 = variação de comprimento da barra 1 devida ao esforço normal N; 
Nl2
 = variação de comprimento da barra 1 devida ao esforço normal N. 
cmltlT 0828,0301201023 6111 

 
cmltlT 0540,0251201018 6222 

 
    NNl
AE
N
l N 41
11
1 10143,230
207000



 
    NNl
AE
N
l N 42
22
2 10645,125
819000



 
Equação de compatibilidade: 
cmafollll NNTT 05,0lg2121 
 
kNNcmNN 14,22905,010645,110143,20540,00828,0 44  
 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
2
1
1 /46,11
20
14,229
cmkN
A
N

 
cmlll NT 0337,014,22910143,20828,0 4111 

 
1.11. Distensão de Anel Circular (vasos de pressão de paredes finas) 
O estudo apresentado a seguir é válido para tubos vazados, nos quais a espessura e, 
da seção transversal, é muito menor que o raio de curvatura R, nestas condições, pode-se 
considerar que as tensões normais σ apresentam distribuição uniforme ao longo da espessura 
e da parede do tubo. 
R
e
O
 
Figura 1-23: Aproximação na distribuição de tensões ao longo da espessura do anel. 
Considere agora um reservatório cilíndrico com raio de curvatura R, espessura e, e 
comprimento l contendo um fluido sob pressão p. 
x

r
R
e
L
p
 
Figura 1-24: Cilindro sob pressão interna p e sistema de coordenadas utilizado. 
Analisemos o comportamento de metade de um trecho infinitesimal de 
comprimento dx submetida a esforços radiais devidos à pressão interna p (as forças 
decorrentes da pressão do fluido dirigem-se radialmente contra o tubo). 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
x
R
e
dx
 
p
 
p
 

 
Figura 1-25: Equilíbrio da meia parte do cilindro. 
O equilíbrio de forças na vertical (coincidente com a direção  no caso ilustrado) 
fornece: 
   

   0
00
20 cospRdxdsenpRdxdxRdpsendApsendxeF
A
V
e
pR
pRdxdxe   22
 (tensão circunferencial). 
Tomando agora o equilíbrio de forças horizontais de um trecho que contém uma 
das extremidades do vaso cilíndrico, tem-se: 
x
 
 
e
pR
eRRpF xxH
2
20 2 
 (tensão longitudinal). 
1.12. Trabalho de deformação e Energia de deformação 
A ação de uma força externa F sobre um corpo tem como resultado a alteração da 
sua forma. Em contrapartida, as forças de ligação entre as moléculas do corpo opõem-se à 
mudança da forma provocada por essas forças exteriores. Durante a mudança de forma, ou 
deformação, as forças externas produzem trabalho, o qual é transformado parcial ou 
totalmente em “energia potencial de deformação”. Um material é dito elástico se no processo 
de carga e descarga de um corpo de prova não aparecer uma deformação permanente e não 
ocorrer dissipação de energia (sistema conservativo). Sendo o sistema conservativo, todo o 
trabalho realizado pelas cargas externas é convertido em energia potencial (energia de 
deformação). 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
No presente caso, considera-se que as 
cargas externas são aplicadas de forma lenta e 
gradativa durante o crescimento do deslocamento, de 
forma a evitar qualquer efeito dinâmico no sistema. 
Considera-se aqui o caso de materiais 
elásticos, o que resulta no trabalho de deformação ser 
igual à energia de deformação. 
 
Fext
S

S
Fext
 intDeslocamento  
 
Trabalho realizado por Fext 
 
Acúmulo de energia potencial na 
barra 
Figura 1-26: Corpo sob ação de carga 
axial 
 
A densidade de energia de deformação u (energia de deformação por unidade de 
volume) pode ser calculada como a área abaixo da curva do diagrama tensão deformação: 


u
 
Caso linearmente elástico 


u
 
Para o caso linearmente elástico: 
E
E
dEdu
222
22
00





 
 . 
A energia de deformação total é dada por: 



VV
dV
E
udVU
2
2
, para o caso mais geral. 
Para um solicitação axial, como a tratada no presente caso: 
Capítulo Primeiro – Tração e Compressão simples entre os limites elásticos 
 
 
 
 

V
dV
EA
N
U
EA
N
u
A
N
2
2
2
2
22
 
Ou, em função de uma carga concentrada: 

U
P
 
áreaWU 
 sob a curva = 
P
2
1
 
 
Nos casos em que a força P, associada à força normal, o módulo de deformação E e 
a área A da seção transversal são constantes ao longo do comprimento x, pode-se escrever: 

EA
Px
x
AE
P
U


2
2 
Exemplo: considere uma barra prismática, de comprimento submetida ao peso 
próprio (peso específico 

): 
l
 
Peso próprio: 
     
2
222
2222
2
2
2
EA
xlxlq
uxlxlqNxlqNAq


 
 
E
Al
EA
lq
dx
EA
xlxlq
AUAdxdV
l
662
2 3232
0
2
222
1



 
 
A energia de deformação resulta: 
E
Al
U
6
32
