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Círculo de Mohr para o E.P.T

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1
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
3.5 – Círculo de MOHR para o Estado Plano de Tensões
I) Definição
É a representação gráfica de todos os valores de s e t que submetem um
ponto no E.P.T. através de um grupo de seções (paralelas à direção 3)
destacado sobre este ponto.
II) Traçado do Círculo de Mohr
Para o traçado do círculo de Mohr, basta que se conheçam as tensões em
duas seções perpendiculares entre si do mesmo elemento em torno de
um ponto no E.P.T..
Assim, tem-se os seguintes casos:
1º CASO: Conhecendo-se sx, sy e txy de uma Posição Geral do elemento
em torno de um ponto
Exemplo 7 (NO QUADRO)
2
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
2º CASO: Conhecendo-se s1, s2 correspondentes à Posição Principal
do elemento em torno de um ponto
Exemplo 8 (NO QUADRO)
III) Utilização do círculo de MOHR
O círculo de MOHR é utilizado para a determinação gráfica das tensões
que submetem o elemento solicitado através de qualquer seção que o
referido círculo representa.
Como as seções no elemento solicitado são geralmente posicionadas
através do ângulo “φ” que a sua normal forma a partir da direção
horizontal em sentido anti-horário, a obtenção do círculo das tensões
que sobre ela atuam é feita do seguinte modo:
1) Traça-se o círculo de MOHR correspondente ao elemento solicitado
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
2) A partir do raio que representa, no círculo, a direção horizontal do
elemento solicitado, marca-se o dobro do ângulo “φ” (ou seja, “2φ”) que
caracteriza a seção considerada, no mesmo sentido anti-horário de sua
medição no elemento solicitado.
3) A extremidade final do arco correspondente ao ângulo central “2φ” é
o ponto de representação, no círculo, da seção em destaque.
4) Projetando-se este ponto sobre os eixos horizontal e vertical que
caracterizam o círculo de MOHR, obtém-se respectivamente a tensão
normal σ e a tensão de cisalhamento t que atuam no ponto através da
seção considerada.
Exemplo 9 (NO QUADRO)
OBSERVAÇÕES:
1ª) A normal a uma seção que se destacou através de um elemento
solicitado é representada no círculo de MOHR correspondente pelo raio
que chega ao ponto de representação dessa seção
3
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
2ª) A partir do círculo de MOHR correspondente a um certo grupo de
seções, passando por um elemento solicitado, é fácil perceber que:
-A tensão de cisalhamento tMÁX ocorre numa seção cuja normal faz um
ângulo de 45º a partir da direção de direção de σ1 em sentido anti-horário,
ou seja, φ3(+) = φ1(+) + 45º
- A tensão de cisalhamento tMÍN ocorre numa seção cuja normal faz um
ângulo de 135º a partir da direção de direção de σ1 em sentido anti-
horário, ou seja, φ4(+) = φ1(+) + 135º
NOTA:
Quando φ3(+) = φ1(+) + 45º > 180ºè [φ3(+)]real = [φ3(+)]calculado - 180º
Quando φ4(+) = φ1(+) + 135º > 180ºè [φ4(+)]real = [φ4(+)]calculado - 180º

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