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1 Capítulo Segundo: Análise das Tensões e Deformações UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Capítulo Segundo: Análise das Tensões e Deformações 3.5 – Círculo de MOHR para o Estado Plano de Tensões I) Definição É a representação gráfica de todos os valores de s e t que submetem um ponto no E.P.T. através de um grupo de seções (paralelas à direção 3) destacado sobre este ponto. II) Traçado do Círculo de Mohr Para o traçado do círculo de Mohr, basta que se conheçam as tensões em duas seções perpendiculares entre si do mesmo elemento em torno de um ponto no E.P.T.. Assim, tem-se os seguintes casos: 1º CASO: Conhecendo-se sx, sy e txy de uma Posição Geral do elemento em torno de um ponto Exemplo 7 (NO QUADRO) 2 Capítulo Segundo: Análise das Tensões e Deformações 2º CASO: Conhecendo-se s1, s2 correspondentes à Posição Principal do elemento em torno de um ponto Exemplo 8 (NO QUADRO) III) Utilização do círculo de MOHR O círculo de MOHR é utilizado para a determinação gráfica das tensões que submetem o elemento solicitado através de qualquer seção que o referido círculo representa. Como as seções no elemento solicitado são geralmente posicionadas através do ângulo “φ” que a sua normal forma a partir da direção horizontal em sentido anti-horário, a obtenção do círculo das tensões que sobre ela atuam é feita do seguinte modo: 1) Traça-se o círculo de MOHR correspondente ao elemento solicitado Capítulo Segundo: Análise das Tensões e Deformações 2) A partir do raio que representa, no círculo, a direção horizontal do elemento solicitado, marca-se o dobro do ângulo “φ” (ou seja, “2φ”) que caracteriza a seção considerada, no mesmo sentido anti-horário de sua medição no elemento solicitado. 3) A extremidade final do arco correspondente ao ângulo central “2φ” é o ponto de representação, no círculo, da seção em destaque. 4) Projetando-se este ponto sobre os eixos horizontal e vertical que caracterizam o círculo de MOHR, obtém-se respectivamente a tensão normal σ e a tensão de cisalhamento t que atuam no ponto através da seção considerada. Exemplo 9 (NO QUADRO) OBSERVAÇÕES: 1ª) A normal a uma seção que se destacou através de um elemento solicitado é representada no círculo de MOHR correspondente pelo raio que chega ao ponto de representação dessa seção 3 Capítulo Segundo: Análise das Tensões e Deformações 2ª) A partir do círculo de MOHR correspondente a um certo grupo de seções, passando por um elemento solicitado, é fácil perceber que: -A tensão de cisalhamento tMÁX ocorre numa seção cuja normal faz um ângulo de 45º a partir da direção de direção de σ1 em sentido anti-horário, ou seja, φ3(+) = φ1(+) + 45º - A tensão de cisalhamento tMÍN ocorre numa seção cuja normal faz um ângulo de 135º a partir da direção de direção de σ1 em sentido anti- horário, ou seja, φ4(+) = φ1(+) + 135º NOTA: Quando φ3(+) = φ1(+) + 45º > 180ºè [φ3(+)]real = [φ3(+)]calculado - 180º Quando φ4(+) = φ1(+) + 135º > 180ºè [φ4(+)]real = [φ4(+)]calculado - 180º
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