Deformações nas Vigas

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Capítulo Quinto: Deformações nas VigasUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
1. Linha Elástica de uma viga
Definição: Linha Elástica de uma viga é a curva obtida dos deslocamentos 
verticais dos pontos de sua superfície neutra, devidos ao encurvamento 
longitudinal por ela sofrido após a deformação.
Ilustração 1: 
Seja a viga solicitada abaixo:
P
S
x
y
a b
Situação inicial
BA
2
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
� A Linha Elástica é a curva que representa o eixo da viga após a 
deformação;
� Cada ponto do eixo da viga ( por exemplo aquele que representa a 
seção reta S) sofreu:
• Um deslocamento linear vertical (deflexão), representado por v; 
• Um deslocamento angular (rotação), definido entre a direção horizontal 
e a tangente à linha elástica no ponto considerado, representado por θθθθ;
Situação deformada
S
x
y
θ v
L.E. da viga
BA
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Convenção de sinais e unidades:
Deflexões (em comprimento 
linear)
v (+)
Rotações (em radianos)
y (+)
x (+)
θ (+)
y (+)
x (+)
OBSERVAÇÕES:
1) Efeitos da Flexão nas Vigas
Viga em Flexão � MF nas seções retas
MF � provoca um giro (ou rotação) da seção reta em torno da sua L.N.
(geralmente representado por θ)
O giro de cada seção reta � encurvamento longitudinal de toda a peça
3
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Em consequência desse encurvamento longitudinal, a peça passa a 
apresentar três regiões características:
I) Região que trabalha sob compressão, onde se tem:
- Fibras longitudinais sofrendo encurtamento
- Fibras transversais sofrendo estouramento lateral
II) Região que trabalha sob tração, onde se tem:
- Fibras longitudinais sofrendo alongamento
- Fibras transversais sofrendo afinamento lateral
III) Região da Superfície Neutra, onde nem as fibras longitudinais nem as 
fibras transversais sofrem qualquer deformação
- A única modificação que ocorre com os pontos dessa superfície é um 
deslocamento vertical sob forma de afundamento ou flecha que, por 
ocorrer segundo à direção “y” é representado pelo símbolo “v”.
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Ilustração a: Encurvamento longitudinal de uma peça em flexão pura
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Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Ilustração b: Deformação da seção reta após o ecurvamento
z
y
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
2) Linha Elástica versus Linha de Flexão
Quando do encurvamento longitudinal de uma viga em flexão, a maioria 
dos pontos de sua superfície neutra apresenta um deslocamento 
horizontal e um deslocamento vertical, caracterizando-se por um 
deslocamento real inclinado resultante dos dois deslocamentos 
anteriores. 
Assim, tem-se:
- Linha de flexão: Lugar geométrico definido pela extremidade final do 
deslocamento real dos pontos da superfície neutra da viga em 
consequência do seu encurvamento longitudinal.
- Linha elástica: Lugar geométrico definido pela extremidade final do 
deslocamento vertical (ou seja, componente vertical do deslocamento 
real) de todos os pontos da superfície neutra da viga em consequência do 
seu encurvamento longitudinal.
5
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
3) Na teoria das estruturas, tem-se:
- deslocamento segundo a direção x é representado pelo símbolo “u”
- deslocamento segundo a direção y é representado pelo símbolo “v”
- deslocamento segundo a direção z é representado pelo símbolo “w”
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Considerando a mesma viga da ilustração 1, reapresentada abaixo:
P
S
x
y
a b
Situação inicial
Situação deformada
2. Equação Diferencial da Linha Elástica
S
x
y
θ v
A B
A B
6
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
f
i
θ(i) ρ
O
dθ
ds
θ(f)
v
x
Destacam-se os seguintes elementos:
ds = arco de comprimento infinitesimal destacado sobre a L.E. da viga
dθ = ângulo central correspondente ao arco ds = ângulo formado entre as
tangentes tiradas pelos extremos do arco ds
ρ = raio de curvatura das fibras longitudinais da viga (variável ao longo do
comprimento da L.E. mas considerado constante no trecho dS entre i e f)
tangente à L.E pelo ponto i
tangente à L.E pelo ponto f
L.E. da viga
A B
d θ
y
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Pelos elementos destacados anteriormente, pode-se escrever :
dS
d
ds
d
dds θ
ρ
θ
ρ
θρ =∴=∴⋅= 11
Entretanto, o ângulo θ decresce quando se passa de A até B. Assim, para
cada incremento positivo ds tem-se um dθ negativo. Portanto:
ρ
θθ
ρ
θθθ 1
 
10 −=⇒−=⇒−=⇒<
ds
d
ds
d
ds
d
ds
d
ds
d
A partir do triângulo ds, dx, dv, pode-se escrever:
dx
dv
tg =θ
θ
dv
dx
ds
tangente pelo ponto médio 
de ds (aproximadamente 
igual ao próprio ds)
ponto médio de ds
Ampliando-se o arco infinitesimal ds:
7
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Na prática das deformações , assim :
Como θ assume valores pequenos e é medido em radiano, tem-se:
dxds ≅
Dessa forma, como :
2
2
dx
vd
dx
dv
dx
d
dx
d
ds
d
=





==
θθ
dx
dv
sentg =⇒≅≅ θθθθ
dx
d
d
d
s
θθ
=
dx
dv
=θ
Sendo e , resulta:
ρ
θ 1
−=
ds
d
ρ
1
2
2
−=
dx
vd
2
2
dx
vd
ds
d
=
θ
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
M
dx
vdEI LN −=2
2
)(
Sendo e , obtém-se, finalmente:
Durante a demonstração da expressão de σx na flexão (Aula digital 16), foi 
visto que:
)(
1
LNEI
M
=
ρ
Esta é a equação diferencial básica para a linha elástica de uma viga,
que deve ser integrada em cada caso particular para se ter a deflexão
v.
)(
2
2
LNEI
M
dx
vd
−= ou
ρ
1
2
2
−=
dx
vd
)(
1
LNEI
M
=
ρ
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Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
1) Para qualquer viga, submetida a um dado carregamento, é possível
obter a partir dessa equação diferencial, por meio de duas integrações
sucessivas, uma expressão da forma:
que corresponde à Equação da Linha Elástica da referida viga.
Q
dx
dM
=
)(xfv=
OBSERVAÇÕES:
Sendo , resulta então:





−= 2
2
.)( dx
vdEIM LN
















−=∴
















−==
3
3
2
2
.. )()(
dx
vdEIQ
dx
vdEI
dx
d
dx
dMQ LNLN
2) Nos trechos homogêneos de carregamento ou total descarregamento
numa peça em flexão simples, tem-se:
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
3.2) O ângulo de rotação de qualquer seção reta da viga
situada à distância x do extremo esquerdo.
3) Conhecida a equação referente à linha elástica de uma viga
submetida a um certo carregamento, é possível obter:
'v
dx
dv
==θ
)(xfv=
3.1) O afundamento em qualquer ponto da superfície neutra da
viga, situado à distância x do extremo esquerdo (ou extremo de
referência para a origem dos eixos x e y).
)(xfv=
3.3) A expressão do momento fletor em qualquer trecho homogêneo da
viga. Ou seja:






−== 2
2
.)( )( dx
vdEIxMM LN
3.4) A expressão do esforço cortante em qualquer trecho homogêneo
da viga. Ou seja: 





−== 3
3
.)( )( dx
vdEIxQQ LN
9
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
q
S
x
y
A B
2
.lqRA =
2
.lqRB =
Considerando a viga abaixo (para a qual I(LN)=Iz):
Situação inicial
S
x
y
x
v
θ
Situação deformada
3. Aplicação 1: Equação da Linha Elástica de uma viga simplesmente 
apoiada com carga uniformemente distribuída em o todo o comprimento
A B
l
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
( )22
2
2 22222
xlx
EI
q
dx
vdqxqlx
dx
vdEI
z
z −
−
=⇒+−=
Assim, a equação diferencial da linha elástica será dada por:
A viga apresenta apenas 1 trecho de homogêneo de carregamento �
haverá apenas 1 expressão para M(x) � a viga terá uma só equação para 
sua L.E.
22
)(
2qxqlx
xM −=
Multiplicando-se ambos os membros por dx e integrando, obtém-se:
1
32
322
Cxlx
EI
q
dx
dv
z
+





−
−
= (a)
Trecho homogêneo: 0 ≤ x ≤ l
O momento fletor em uma seção S, distante x do apoio esquerdo é:
10
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
(b)
Que representa a equação de cálculo de θ ao longo de x e pode
também ser escrita como:
Integrando-se novamente, obtém-se:
(c)
( ) 132 2312')( CxlxEI
q
v
dx
dv
x
z
+−
−
===θ
( ) 2143224)( CxCxlxEI
q
xv
z
++−
−
=
Tem-se as seguintes condições de contorno para obtenção das constantes 
C1 e C2:
[ ]
[ ]



=
=
=
=
0)(
0)(
/
0/
lxp
xp
xv
xv
ou



=
=
0)(
0)0(
lv
v
Substituindo estas condições em (c), obtém-se:
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
OBSERVAÇÕES: 
1) Para a viga considerada, pela simetria, temos ainda que a tangente no 
meio do vão é zero (ou seja, o ângulo θ dessa seção é nulo, pois ela 
permanece com a mesma inclinação nula de antes da deformação). Assim, 
a constante C1 pode ser determinada também substituindo-se em (b) a 
seguinte condição:
ou[ ] 0)(
2
/ == lxpxθ
zEI
qlC
24
3
1 =
0
2
=




 lθ
02 =C e
Daí, resultam:
( )322 64
24
)( llxx
EI
q
x
z
+−=θ
( )323 2
24
)( llxx
EI
qx
xv
z
+−=
(d)
(e)
11
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
3) A flecha máxima ocorre no meio do vão, onde se tem . Fazendo 
s em (e), obtém-se:
z
máx EI
qll
24
)()0(
3
=== θθθ
2
l
x =
z
máx EI
qll
vv
384
5
2
4
=





=
0=
dx
dv
2) A tangente máxima ocorre no apoio esquerdo (é máxima pois tem valor 
positivo devido ao sentido horário da rotação, contudo, tem o mesmo 
módulo da tangente no apoio direito, onde a rotação é negativa). Fazendo 
x=0 em (d), obtém-se:
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
P
a b
v
v
x
x
4. Aplicação 2: Equação da Linha Elástica de uma viga simplesmente 
apoiada com força concentrada
Situação inicial
Situação deformada
A B
A B
θ
S
S
l
aPRB .=l
bPRA .=
v
Considerando a viga abaixo (para a qual I(LN)=Iz):
y
y
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Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
x
l
Pb
xM =)( Para x ≤ a
)()( axPx
l
Pb
xM −−= Para x ≥ a
As equações diferenciais da elástica de cada trecho serão, portanto:
x
l
Pb
dx
vdEIz −=2
2
Para x ≤ a
)(2
2
axPx
l
Pb
dx
vd
zEI −+−= Para x ≥ a
A peça apresenta 2 trechos homogêneos de carregamento � o momento 
fletor tem duas expressões de cálculo (uma para o bordo esquerdo, outra 
para o direito). Assim:
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Integrando mais uma vez:
Integrando as equações, temos:
(b)
1
2
2
)( C
l
Pbx
xEI
dx
dvEI zz +−== θ Para x ≤ a
2
22
2
)(
2
)( CaxP
l
Pbx
xEI
dx
dvEI zz +
−
+−== θ Para x ≥ a
3
3
16
)( CxC
l
Pbx
xvEIz ++−= Para x ≤ a
(a)
Para x ≥ a
42
33
6
)(
6
)( CxCaxP
l
Pbx
xvEI z ++
−
+−=
13
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
As condições de contorno para cálculo das constantes são:







=
=
°°
°°
=
=
trecho2trecho1
trecho2trecho1
)()(
)()(
0)(
0)0(
aa
aa
l
vv
v
v
θθ
Como os dois bordos possuem a mesma rotação em x=a, igualando-se
as equações obtidas em (a) e fazendo x=a em ambas, temos C1=C2.
Ambos os bordos possuem também a mesma deflexão em x=a, portanto,
igualando-se as equações obtidas em (b) com x=a, temos C3=C4.
Para determinação das constantes C3 e C4, utilizamos a condição de
contorno em que a deflexão é nula nos apoios. Com v=0 para x=0 na
equação do 1º trecho (onde x ≤ a) obtida em (b), temos:
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Finalmente, fazendo v=0 para x= na equação do 2º trecho (onde x ≥ a)
obtida em (b), temos:
(d)
043 ==CC
l
blPb
l
PbPblCC
6
)(
66
223
21
−
=−==
Para o 1º trecho 0 ≤ x ≤ a
)(
6
)( 222 xbl
lEI
Pbx
xv
z
−−=
(c)
Substituindo-se os valores das constantes obtidos em (c) e (d) nas
equações de (a) e nas de (b), resulta:
(e)
l
(f)
( )222 3
6
.
')( xbl
lEI
bP
v
dx
dv
x
z
−−===θ
14
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
(h)
( ) 2222 )(
2
3
6
.
')( ax
EI
P
xbl
lEI
bP
v
dx
dv
x
zz
−+−−===θ
Com as equações (f) e (h), é possível se calcular a deflexão (ou
afundamento) de qualquer ponto da linha elástica, bem como através de
(e) e (g) determina-se a tangente a elástica em qualquer ponto.
(g)
zz EI
axP
xbl
lEI
Pbx
xv
6
)()(
6
)(
3
222 −+−−=
Para o 2º trecho a ≤ x ≤ l
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Para x=0 na equação (e) e x= em (g), obtém-se θA e θB (nos
extremos da viga):
zlEI
blPb
6
)( 22
A
−
=θ
A flecha máxima ocorre onde a tangente à elástica é horizontal. Se
a > b, a flecha máxima está no bordo esquerdo. Igualando-se a
equação (e) a zero:
zlEI
alPab
6
)(
B
+
−=θ
03 222 =−− xbl
3
22 bl
x
−
=
e
A flecha máxima, substituindo (j) em (f), será então:
2
3
22
39
)(
z
máx lEI
blPb
v
−
=
(j)
(k)
(i)
l
15
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Se a carga P estiver no meio do vão, a flecha máxima ocorre neste
ponto. Seu valor pode ser obtido fazendo e em (f).
De (j), percebe-se que, para uma carga concentrada, a flecha máxima
ocorre sempre próximo do centro da viga. No caso limite, quando b é
muito pequeno e tende a zero, a distância x dada por (j) é f
e o ponto de flecha máxima está a do centro da viga.
2
lb =
z
ba
l
x EI
Pl
v
48
3
2
=
=
=
lll 077,0
23
=−
ll 577,0
3
=
Assim, a flecha ao centro é uma boa aproximação da flecha máxima.
Fazendo em (f), obtém-se:
2
l
x =
)43(
48
22
2
bl
EI
Pb
v
z
ba
l
x
−=
>
=
(m)
2
l
x =
(l)
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
A diferença entre as flechas em (k) e (m), no caso mais desfavorável,
quando b tende a zero, é de somente cerca de 2,5% da flecha máxima,
confirmando que a flecha ao centro é uma boa aproximação da flecha
máxima.
OBSERVAÇÃO:
Explicação de por que vmáx ocorre à esquerda do ponto de aplicação de
P quando a>b.
�De A até B, o ângulo θ apresenta valores positivos, nulo e negativos.
Calculando o valor de θ(a) nesta situação, em que a>b, obtém-se:





−−=
222 3
6
.)( abl
zlEI
bP
aθ
16
Capítulo Quinto: Deformações nas Vigas
Esse valor é negativo, conforme verificação abaixo:
( ) 







 +−+=⇒




−−= +−
22222222 2
6
.)(2
6
.)( baaba
zlEI
bP
aaabl
zlEI
bP
a θθ
( ) ( )[ ] 022
6
.)( 22222 <+−⋅+= ++ baabbaa
lEI
bP
a
z
θ
Como [θ(a)]p/a>b é obrigatoriamente negativo, θ=0 ocorre à esquerda do
ponto de aplicação de P.
Assim, [vmáx]p/a>b ocorre na seção do 1º trecho que apresenta θ(x) =0, ou
seja, como já foi visto, onde .
3
22 bl
x
−
=