Círculo de Mohr - Definição, traçado e utilização

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Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
1.4 – Círculo de MOHR
1.4.1 – Definição
� É a representação em gráfico dos valores de todas as tensões normais e de
cisalhamento (σφ,τφ) que atuam em cada uma das infinitas seções transversais
destacadas em um mesmo elemento homogeneamente solicitado. Explicando
melhor:
� Numa peça (ou elemento) homogeneamente solicitada, como na figura abaixo, 
cada seção transversal apresenta um par de tensões (σφ, τφ), tal que:
Onde, algebricamente:






=
=
)2(.
2
cos.σ 2
ϕστ
ϕσ
ϕ
ϕ
sen
2
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
� Pensando num gráfico “σ x τ” , cada seção transversal da peça corresponde
a um ponto no plano, de coordenadas (σφ , τφ).
� Se existem infinitas seções na peça � existirão infinitos pontos (σφ, τφ) a
serem marcados no plano.
� O círculo de Mohr provém da ligação desses pontos.
1.4.2 – Traçado do Círculo de Mohr
1.4.2.1 - Raciocínio Introdutório
� Como um círculo fica definido a partir de três pontos distintos destacados
sobre o seu contorno, seria então necessário conhecer as tensões σφ e τφ
que atuariam em três seções distintas, passando pelo mesmo elemento
solicitado cujo círculo de Mohr se deseja traçar;
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
� Entretanto, analisando as características de correlação entre a peça
solicitada e o círculo de Mohr correspondente, é possível efetuar o seu traçado
de forma mais simplificada, pois:
• como já foi dito, cada ponto do círculo corresponde a uma seção na peça
ou elemento solicitado
• na peça, cada seção é caracterizada por um ângulo “φ” de sua normal,
que varia de 0º a 180º para varrer todas as seções consideradas
• no círculo, cada ponto fica caracterizado por um ângulo central “θ”, que
deve variar entre 0º e 360º para percorrer todos os referidos pontos
• portanto, para que cada ponto do círculo corresponda a uma seção
inclinada da peça, deve-se ter θ = 2φ
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Capítulo Segundo: 
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• assim, duas seções perpendiculares entre si (ou seja, defasadas de 90º),
destacadas de um mesmo elemento homogeneamente solicitado, serão no
círculo de MOHR correspondente, pontos extremos de um mesmo diâmetro (ou
seja, pontos defasados de 180º).
• conhecendo-se pontos extremos de um mesmo diâmetro, é possível traçar
o círculo correspondente.
� Dessa forma, conclui-se que: Para traçar o círculo de MOHR de um grupo
de seções destacadas sobre um mesmo elemento homogeneamente
solicitado, basta se conhecer as tensões (σφ , τφ) em duas seções
perpendiculares (entre si) no elemento, para então marcar no plano σ x τ seus
respectivos pontos e, a partir destes e do diâmetro formado entre eles, traçar o
referido círculo.
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
1.4.2.2 – Procedimento de Traçado
1) Define-se um sistema de eixos onde, geralmente, σ é o eixo das abcissas e
τ o eixo das ordenadas
2) Marcam-se os valores de (σφ , τφ) referentes a duas seções perpendiculares
(entre si) no elemento solicitado e, a partir dos pontos que representam estas
seções no plano σ x τ e do diâmetro formado entre eles, efetua-se o traçado do
círculo de MOHR.
Exemplo 3: Traçar o círculo de MOHR para os seguintes elementos em solicitação 
axial:
a) Solicitação axial de tração
b) Solicitação axial de compressão
PP
P P
(Resolução no Quadro)
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�O círculo de Mohr é utilizado para determinação em gráfico das tensões
normais e de cisalhamento (σφ;τφ) que submetem os pontos de qualquer
seção considerada através do elemento solicitado que ele representa
� Para isso, deve-se proceder do seguinte modo:
1 ) Verifica-se qual a seção do elemento solicitado cuja normal coincide com a
direção de solicitação
2) Localiza-se o ponto do círculo de Mohr que representa essa seção, e, a
partir do raio que chega a esse ponto, marca-se um ângulo central de valor
2φ no mesmo sentido anti-horário de medição do ângulo φ no elemento
solicitado
3) A extremidade final do arco correspondente a esse ângulo central 2φ será
o ponto de representação da seção em estudo
1.4.3 – Utilização do Círculo de Mohr
Capítulo Segundo: 
Análise das Tensões e Deformações
4) Projetando-se este ponto sobre os eixos horizontal e vertical obtêm-se,
respectivamente, a tensão normal e a tensão de cisalhamento que
caracterizam a referida seção.
Exemplo 4: Determinar as tensões que submetem a seção (paralela à
direção z) caracterizada por um ângulo φ=30º na peça ilustrada abaixo,
utilizando o círculo de Mohr correspondente.
y
z
x
φs = 30º 4 cm
2,5 cm
8000 N8000 N
(Resolução no Quadro)