Aula 03

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CÁLCULO II
Aula 3 – Técnicas de Integração: integração por partes e integrais que envolvem funções trigonométricas
Tema da Apresentação
TECNICAS DE INTEGRAÇÃO – AULA 3
CÁLCULO II
Conteúdo Programático desta aula
Integração por partes
 
Integrais que envolvem funções trigonométricas.
D ASS
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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 A integração não é tão direta quanto a diferenciação.
 Exibiremos algumas técnicas que, combinadas com as regras básicas de integração, nos permitirão resolver integrais indefinidas mais complicadas. 
 MUDANÇA DE VARIÁVEL (SUBSTITUIÇÃO)
 A regra da substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a diferenciação. Já vimos na aula passada.
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INTEGRAÇÃO POR PARTES
 
 A regra que corresponde a Regra do Produto para a diferenciação é chamada de integração por partes.
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De fato, Se f e g são funções diferenciáveis, então: 
Fazendo: 
 
 
Temos então: 
 
 
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EXERCÍCIO
1.Calcule:
 Sendo:
 Temos:
Obs.: Note que se tivéssemos feito u=sen x e dv=xdx a integral do segundo membro seria mais complicada.
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2.Calcule:
 Sendo: u = ln x e dv=x dx
 Temos: du = 1/x dx e v = x²/2 + c
Logo:
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3.Calcular:
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Integrais Trigonométricas
(I) Tipo: 
Caso 1: 
No mínimo um dos expoentes m, n é um inteiro ímpar positivo.
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Ex1.: Calcular a integral:
Temos:
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Ex2.:Calcular a integral:
Temos:
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Caso 2: Ambos os expoentes m, n são inteiros pares não negativos.
Lembretes: e
Ex.: Calcular:
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(II) Integrais envolvendo os produtos: 
 sen mx cos nx, sen mx sen nx, cos mx cos nx
Aplicação: 
 Analise matemática de fenômenos periódicos, tais como ondas do mar e ondas cerebrais.
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LEMBRETES:
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Ex.: Calcular:
Temos:
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Resumindo
 Na aula de hoje estudamos:
. A técnica de integração por partes
. Integrais envolvendo funções trigonométricas
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