O Fabuloso Livro de Exercicios de Algebra

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Rio de Janeiro, 2013
 
Exercícios 
de Álgebra
 
 
 
 
 
Sumário
Introdução
Capítulo 1: Fundamentos de Álgebra 1
Classificação Dos Números ................................................................................................ 2
Expressões Contendo Números Com Sinais ........................................................................... 5
Símbolos De Agrupamento ................................................................................................. 8
Propriedades Algébricas ................................................................................................... 11
Capítulo 2: Números Racionais 17
Notação de Número Racional .......................................................................................... 18
Simplificação de Frações .................................................................................................. 23
Combinação de Frações ................................................................................................... 26
Capítulo 3: Expressões Algébricas Simples 37
Tradução de Expressões ................................................................................................... 38
Expressões Exponenciais .................................................................................................. 40
Propriedade distributiva .................................................................................................. 45
Ordem das Operações ...................................................................................................... 48
Cálculo de Expressões...................................................................................................... 51
Capítulo 4: Equações Lineares Em Uma Variável 55
Somar e Subtrair Para Resolver Uma Equação ................................................................... 56
Multiplicar e Dividir Para Resolver Uma Equação ............................................................. 59
Resolução de Equações Em Várias Etapas .......................................................................... 61
Equações Modulares ....................................................................................................... 70
Equações Contendo Múltiplas Variáveis ............................................................................ 73
Sua única parada para uma revisão de números
2V�Q~PHURV�¿FDP�HP�JUXSRV�GLIHUHQWHV
6RPDU��VXEWUDLU��PXOWLSOLFDU�H�GLYLGLU�Q~PHURV�SRVLWLYRV�H�QHJDWLYRV
4XDQGR�Q~PHURV�HVWLYHUHP�DJUXSDGRV��OLGH�SULPHLUR�FRP�HOHV
6XSRVLo}HV�EiVLFDV�VREUH�iOJHEUD
(QWHQGHU�DV�IUDo}HV�p�PHOKRU�GR�TXH�WHPr�ODV
)UDo}HV�SUySULDV�H�LPSUySULDV��Q~PHURV�GHFLPDLV�H�PLVWRV
5HGXomR�GH�IUDo}HV�DRV�PHQRUHV�WHUPRV��FRPR������HP�YH]�GH�����
6RPD��VXEWUDomR��PXOWLSOLFDomR�H�GLYLVmR�GH�IUDo}HV
+RUD�GR�[�ID]HU�VXD�LPSUHVVLRQDQWH�HVWUHLD
$�DOTXLPLD�GH�WUDQVIRUPDU�SDODYUDV�HP�PDWHPiWLFD
5HJUDV�SDUD�VLPSOL¿FDU�H[SUHVV}HV�TXH�FRQWrP�SRWrQFLDV
0XOWLSOLFDomR�GH�XPD�FRLVD�SRU�XP�PRQWmR�GH�FRLVDV�HQWUH�SDUrQWHVHV
0LQKD�GRFH�DPDGD�6DOO\�VHUi�VHPSUH�HQWHQGLGD
6XEVWLWXLomR�GH�YDULiYHLV�SRU�Q~PHURV�
&RPR�UHVROYHU�HTXDo}HV�VLPSOHV
6RPDU���6XEWUDLU�GH�DPERV�RV�ODGRV
0XOWLSOLFDU�GLYLGLU�DPERV�RV�ODGRV
1DGD�GH�QRYR�DTXL��DSHQDV�DOJXPDV�HWDSDV�D�PDLV
$�PDLRULD�GHODV�WHP�GXDV�VROXo}HV
(TXDo}HV�FRP�'8$6��[�H�\��RX�PDLV�YDULiYHLV
Sumário 
2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUDiv
Capítulo 5: Representação Gráfica De Equações 
Lineares em Duas Variáveis 77
Retas Numéricas e O Plano de Coordenadas ...................................................................... 78
Representação Gráfica com Uma Tabela de Valores .............................................................. 83
Representação Gráfica Usando Pontos de Cruzamento ...................................................................... 90
Calculando a Inclinação de Uma Reta .............................................................................. 93
Representação Gráfica de Equações Modulares ..................................................................100
Capítulo 6: Equações Lineares Em Duas Variáveis 105
Forma do Ponto-Inclinação de Uma Equação Linear ..........................................................106
Forma da Inclinação-Cruzamento de Uma Equação Linear .................................................110
Representação Gráfica de Retas Na Forma 
Inclinação-Cruzamento ..................................................................................................113
Forma Padrão de Uma Equação Linear ...........................................................................118
Criação de Equações Lineares .........................................................................................121
Capítulo 7: Inequações Lineares 127
Inequações em Uma Variável ..........................................................................................128
Representação Gráfica de Inequações em Uma Variável .......................................................132
Inequações Compostas ...................................................................................................135
Inequações Modulares ...................................................................................................137
Conjunto-Solução .........................................................................................................140
Representação Gráfica de Inequações em Duas Variáveis ......................................................................142
Capítulo 8: Sistemas De Equações E Inequações Lineares 147
Representação Gráfica de Sistemas Lineares ......................................................................148
O Método de Substituição ...............................................................................................153
Eliminação de Variáveis .................................................................................................162
Sistemas de Inequações...................................................................................................168
Programação Linear ......................................................................................................173
Capítulo 9: Operações E Cálculos Com Matrizes 181
Anatomia de Uma Matriz ..............................................................................................182
Adição E Subtração de Matrizes ......................................................................................183
Multiplicação de Matrizes ..............................................................................................188
Cálculo de Determinantes ...............................................................................................192
Regra de Cramer ...........................................................................................................200
7UDEDOKH�FRP�PDLV�GH�XPD�HTXDomR�GH�XPD�Vy�YH]
,GHQWL¿FDU�RV�SRQWRV�TXH�WRUQDP�XPD�HTXDomR�YHUGDGHLUD
������2�TXH�GHYHPRV�XVDU�QD�UHSUHVHQWDomR�JUi¿FD"
,QVLUD�DOJXQV�[��PDUTXH�DOJXQV�SRQWRV��HQFHUUH�R�H[SHGLHQWH
$�IRUPD�PDLV�IiFLO�GH�PDUFDU�UDSLGDPHQWH�GRLV�SRQWRV�HP�XPD�UHWD
'HVFXEUD�D�LQFOLQDomR�GH�XPD�UHWD
1mR�GHL[H�TXH�HVWHV�JUi¿FRV�SDVVHP�GR�SRQWR��HQWHQGHX"�
*HUDomR�GH�HTXDo}HV�GH�UHWDV
3RQWR���LQFOLQDomR� �HTXDomR
5HWDV�SDUHFLGDV�FRP�\� �P[���E
�5HSUHVHQWDomR�JUi¿FD�GH�HTXDo}HV�TXH�VmR�UHVROYLGDV�SDUD�\
(VFUHYD�HTXDo}HV�GH�UHWDV�GH�PDQHLUD�XQLIRUPH
3UDWLTXH�WRGDV�DV�KDELOLGDGHV�GHVWH�FDStWXOR
6mR�FRPR�HTXDo}HV��PDV�VHP�R�VLQDO�GH�LJXDO
'HVHQIHUUXMH�VXDV�KDELOLGDGHV�GH�UHVROXomR�GH�HTXDo}HV�GR�&DStWXOR��
'HVHQKH�VHWDV�QDV�UHWDV�QXPpULFDV
'XDV�LQHTXDo}HV�SHOR�SUHoR�GH�XPD
7UDQVIRUPH�DV�HP�GXDV�LQHTXDo}HV
8PD�PDQHLUD�ERQLWD�GH�HVFUHYHU�VROXo}HV
5HWDV�TXH�SURGX]HP�VRPEUD�QR�SODQR�GH�FRRUGHQDGDV
������5HSUHVHQWH�JUD¿FDPHQWH�GXDV�UHWDV�GH�XPD�Vy�YH]
5HVROYD�XPD�HTXDomR�SDUD�XPD�YDULiYHO�H�VXEVWLWXD�R�UHVXOWDGR�QD�RXWUD)DoD�GHVDSDUHFHU�XPD�YDULiYHO�H�UHVROYD�SDUD�D�RXWUD
$�UHVSRVWD�HVWi�RQGH�DV�VRPEUDV�VH�VREUHS}HP
8VH�RV�YpUWLFHV�GH�XPD�UHJLmR�VRPEUHDGD
��Q~PHURV�HP�OLQKDV�H�FROXQDV
2UGHP�GH�XPD�PDWUL]�H�LGHQWL¿FDomR�GRV�HOHPHQWRV
&RPELQH�RV�Q~PHURV�GH�SRVLo}HV�FRUUHVSRQGHQWHV
1mR�WmR�IiFLO�TXDQWR�D�VRPD�H�D�VXEWUDomR
9DORUHV�GH¿QLGRV�DSHQDV�SDUD�PDWUL]HV�TXDGUDGDV
0DWUL]HV�GH�GRLV�DQGDUHV�TXH�UHVROYHP�VLVWHPDV
Sumário 
v
2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUD
Capítulo 10: Aplicações De Álgebra Matricial 207
Matriz Aumentada e Matriz Identidade ...........................................................................208
Operações com Linhas de Matrizes ...................................................................................211
Matriz Escalonada e Matriz Escalonada Reduzida por Linhas ............................................216
Matrizes Inversas ..........................................................................................................228
Capítulo 11: Polinômios 237
Classificação de Polinômios ............................................................................................238
Soma e Subtração de Polinômios ......................................................................................239
Multiplicação de Polinômios ...........................................................................................244
Divisão Longa de Polinômios..........................................................................................246
Divisão Sintética de Polinômios.......................................................................................251
Capítulo 12: Fatoração De Polinômios 257
Máximos Divisores Comuns............................................................................................258
Fatoração por Agrupamento ...........................................................................................265
Padrões de Fatores Comuns ............................................................................................267
Fatoração de Trinômios Quadráticos ................................................................................270
Capítulo 13: Expressões E Equações Com Radicais 275
Simplificação de Expressões Com Radicais ........................................................................276
Expoentes Racionais ......................................................................................................281
Operações com Raízes ....................................................................................................283
Solução de Equações com Radicais ...................................................................................288
Números Complexos.......................................................................................................290
Capítulo 14: Equações E Inequações Do Segundo Grau 295
Solução de Equações do 2º Grau por Fatoração..................................................................296
Completação do Quadrado .............................................................................................300
Fórmula Quadrática .....................................................................................................305
Aplicação do Discriminante ............................................................................................312
Inequações do 2º Grau Em Uma Variável .........................................................................316
0DLV�PDWUL]HV�FKHLDV�GH���FRP�XPD�GLDJRQDO�GH��
5Dt]HV�TXDGUDGDV��UDt]HV�F~ELFDV� H�H[SRHQWHV�IUDFLRQiULRV
5HVROYD�HTXDo}HV�TXH�FRQWHQKDP�[�
&RLVDV�DYDQoDGDV�FRP�PDWUL]HV
&ROXQDV�H[WUDV�H�PXLWRV���H��
7URTXH�OLQKDV��VRPH�FROXQDV�RX�PXOWLSOLTXH�SRU�XP�Q~PHUR
0DWUL]HV�TXH�HOLPLQDP�RXWUDV�PDWUL]HV
*UXSRV�GH�Q~PHURV�H�YDULiYHLV�HOHYDGRV�D�SRWrQFLDV
5RWXODomR�FRP�EDVH�QR�H[SRHQWH�H�QR�Q~PHUR�GH�WHUPRV
6y�IXQFLRQD�FRP�WHUPRV�VHPHOKDQWHV
(3,8�H�RXWURV�PDLV
0XLWR�SDUHFLGD�FRP�D�GLYLVmR�ORQJD�GH�LQWHLURV
'LYLGLU�XVDQGR�DSHQDV�RV�FRH¿FLHQWHV
2�RSRVWR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�SROLQ{PLRV
0DLRU�IDWRU�TXH�GLYLGH�WXGR�VHP�GHL[DU�UHVWR�
%LQ{PLRV�WDPEpP�SRGHP�VHU�IDWRUDGRV
'LIHUHQoD�HQWUH�TXDGUDGRV�FXERV�SHUIHLWRV��VRPD�GRV�FXERV�SHUIHLWRV
7UDQVIRUPH�XP�WULQ{PLR�HP�GRLV�ELQ{PLRV
7LUDQGR�DV�FRLVDV�GD�UDL]
3RWrQFLDV�IUDFLRQiULDV�VmR�UDt]HV�GLVIDUoDGDV
6RPDU��VXEWUDLU��PXOWLSOLFDU�H�GLYLGLU�UDt]HV
8VH�H[SRHQWHV�SDUD�FDQFHODU�DV�UDt]HV
1~PHURV�TXH�FRQWrP�L��TXH�p�LJXDO�D�
8VH�DV�WpFQLFDV�GR�&DStWXOR����SDUD�UHVROYHU�HTXDo}HV
7UDQVIRUPH�XP�WULQ{PLR�HP�XP�TXDGUDGR�SHUIHLWR
8VH�RV�FRH¿FLHQWHV�GH�XPD�HTXDomR�SDUD�FDOFXODU�D�VROXomR
2�TXH�E��±��DF�LQGLFD�VREUH�XPD�HTXDomR�
,QHTXDo}HV�TXH�FRQWrP�[�
Sumário 
2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUDvi
Capítulo 15: Funções 323
Relações e Funções .........................................................................................................324
Operações com Funções ..................................................................................................326
Composição de Funções ..................................................................................................330
Funções Inversas ...........................................................................................................335
Funções Definidas por Partes ..........................................................................................343
Capítulo 16: Representação Gráfica De Funções 347
Representação Gráfica com Uma Tabela de Valores .............................................................348
Domínio e Imagem de uma Função ..................................................................................354
Simetria .......................................................................................................................360
Gráficos de Funções Fundamentais ..................................................................................365
Representação Gráfica de Funções com Uso de Transformações .............................................369
Funções Modulares........................................................................................................374
Capítulo 17: Cálculo De Raízes De Funções 379
Identificação de Raízes Racionais ....................................................................................380
Teste do Coeficiente Principal ..........................................................................................384
Regra dos Sinais de Descartes..........................................................................................388
Teste de Raízes Racionais ...............................................................................................390
Síntese das Estratégias de Identificação de Raiz ................................................................394
Capítulo 18: Funções Logarítmicas 399
Cálculo de Expressões Logarítmicas..................................................................................400
Gráficos de Funções Logarítmicas ....................................................................................402
Logaritmos Comuns e Naturais .......................................................................................406
Fórmula da Mudança de Base ........................................................................................409
Propriedades dos Logaritmos ...........................................................................................412
Capítulo 19: Funções Exponenciais 417
Representação Gráfica de Funções Exponenciais ................................................................418
Composição de Funções Exponenciais e Logarítmicas ..........................................................423
Equações Exponenciais e Logarítmicas .............................................................................426
Crescimento e Queda Exponenciais..................................................................................433
([SUHVV}HV�FRP�QRPHV�TXH�SURGX]HP�XPD�VDtGD�SRU�HQWUDGD
2�TXH�ID]�GH�XPD�IXQomR�XPD�IXQomR"
)XQo}HV�FRP����±��ø�H�·�
(QFDL[H�XPD�IXQomR�HP�RXWUD
)XQo}HV�TXH�VH�FDQFHODP
5HJUDV�GH�IXQo}HV�TXH�PXGDP�FRP�EDVH�QD�HQWUDGD�GH�[
'HVHQKR�GH�JUi¿FRV�TXH�QmR�VmR�UHWDV
Insira um bocado de coisas no x
2�TXH�YRFr�SRGH�LQVHULU"�4XDO�R�UHVXOWDGR"
3DUWHV�GH�XP�JUi¿FR�TXH�VmR�UHÀH[RV�XPD�GD�RXWUD
2V�JUi¿FRV�TXH�YRFr�PDLV�SUHFLVD�HQWHQGHU
0RYHU��HVWLFDU��HVSUHPHU�H�YLUDU�JUi¿FRV
(VWHV�JUi¿FRV�SRGHP�WHU�YpUWLFHV
5Dt]HV� �VROXo}HV� �SRQWRV�GH�FUX]DPHQWR�[
)DWRUDomR�GH�SROLQ{PLRV�FRP�XPD�YDQWDJHP�LQLFLDO
$V�H[WUHPLGDGHV�GH�XPD�IXQomR�GH¿QHP�DV�H[WUHPLGDGHV�GH�VHX�JUi¿FR
$V�PXGDQoDV�GH�VLQDO�DMXGDP�D�HQXPHUDU�DV�UDt]HV�UHDLV
(QFRQWUH�DV�SRVVtYHLV�UDt]HV�VHP�QDGD�DOpP�GH�XPD�GDGD�IXQomR
)DWRUDomR�GH�SROLQ{PLRV�JUDQGHV�GHVGH�R�LQtFLR
9RFr�ORJR�SHJD�R�ULWPR
'DGR�ORJa�E� �F��HQFRQWUH�D��E�RX�F
7RGDV�DV�IXQo}HV�ORJDUtWPLFDV�WrP�R�PHVPR�IRUPDWR�EiVLFR
2�TXH�p�LJXDO�jV�EDVHV�TXDQGR�QmR�Ki�EDVH�HVFULWD
&DOFXOH�YDORUHV�GH�ORJDULWPRV�FRP�EDVHV�HVWUDQKDV
([SDQVmR��FRQWUDomR�H�VLPSOL¿FDomR�GH�H[SUHVV}HV�ORJDUtWPLFDV
)XQo}HV�FRP�XPD�YDULiYHO�QR�H[SRHQWH
*Ui¿FRV�TXH�FRPHoDP�SUy[LPRV�D�\� ���H�VREHP�UDSLGDPHQWH
(ODV�VH�FDQFHODP
&DQFHOH�ORJDULWPRV�FRP�H[SRHQWHV�H�YLFH�YHUVD
8VH�I�W�� �1HNW�SDUD�PHGLU�FRLVDV�FRPR�SRSXODomR
Sumário 
vii
2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUD
Capítulo 20: Expressões Racionais 439
Simplificação de Expressões Racionais ..............................................................................440
Soma e Subtração de Expressões Racionais ........................................................................444
Multiplicação e Divisão de Expressões Racionais ...............................................................452
Simplificação de Frações Compostas .................................................................................457
Representação Gráfica de Funções Racionais .....................................................................459
Capítulo 21: Equações E Inequações Racionais 465
Proporções e Multiplicação Cruzada ................................................................................466
Solução de Equações Racionais .......................................................................................470
Variações Direta e Indireta ..............................................................................................475
Solução de Inequações Racionais .....................................................................................479
Capítulo 22: Seções Cônicas 487
Parábolas ....................................................................................................................488
Círculos .......................................................................................................................494
Elipses .........................................................................................................................499
Hipérboles ....................................................................................................................506
Capítulo 23: Problemas 515
Determinação de Valores Desconhecidos ............................................................................516
Cálculo de Juros ............................................................................................................521
Fórmulas Geométricas ....................................................................................................525
Velocidade e Distância ...................................................................................................529
Mistura e Combinação...................................................................................................534
Trabalho ......................................................................................................................538
$SrQGLFH�$��3URSULHGDGHV�$OJpEULFDV� ���
$SrQGLFH�%��*Ui¿FRV�LPSRUWDQWHV�H�WUDQVIRUPDo}HV�GRV�JUi¿FRV� ����
$SrQGLFH�&��,PSRUWDQWHV�)yUPXODV�GD�ÈOJHEUD� ���
Índice 555
)UDo}HV�FRP�PXLWDV�YDULiYHLV
5HGXomR�GH�IUDo}HV�SRU�IDWRUDomR
8VH�GHQRPLQDGRUHV�FRPXQV
Não são necessários denominadores comuns
5HGX]D�IUDo}HV�TXH�FRQWrP�IUDo}HV
$V�IXQo}HV�UDFLRQDLV�WrP�DVVtQWRWDV�
5HVROYD�HTXDo}HV�XVDQGR�DV�KDELOLGDGHV�GR�&DStWXOR���
4XDQGR�GRLV�IDWRUHV�IRUHP�LJXDLV��³;´�PDUFDUi�D�VROXomR
'HVIDoD�VH�GDV�IUDo}HV�RX�PXOWLSOLTXH�HP�FUX]�SDUD�UHVROYHU
7UDQVIRUPH�XP�SUREOHPD�GH�SDODYUDV�HP�XPD�HTXDomR�UDFLRQDO
1~PHURV�FUtWLFRV��SRQWRV�GH�WHVWH�H�VRPEUHDPHQWR
3DUiERODV��FtUFXORV��HOLSVHV�H�KLSpUEROHV
9pUWLFH��HL[R�GH�VLPHWULD��IRFR�H�GLUHWUL]�
&HQWUR��UDLR�H�GLkPHWUR
(L[RV�PDLRUHV�H�PHQRUHV��FHQWUR��IRFRV�H�H[FHQWULFLGDGH
(L[RV�WUDQVYHUVDLV�H�FRQMXJDGRV��IRFRV��YpUWLFHV�H�DVVtQWRWDV
6H�GRLV�WUHQV�VDHP�GD�HVWDomR�FKHLRV�GH�Q~PHURV�LQWHLURV�FRQVHFXWLYRV�� TXDO�R�UHQGLPHQWR�HP�MXURV"
1~PHURV�LQWHLURV�H�SUREOHPDV�VREUH�LGDGH
6LPSOHV��FRPSRVWRV�H�FRPSRVWRV�FRQWtQXRV
ÈUHD��YROXPH��SHUtPHWUR��H�GDt�HP�GLDQWH
'LVWkQFLD�p�LJXDO�j�YHORFLGDGH�YH]HV�R�WHPSR
0HGLomR�GH�LQJUHGLHQWHV�HP�XPD�PLVWXUD
4XDQWR�WHPSR�p�HFRQRPL]DGR�TXDQGR�VH�WUDEDOKD�HP�HTXLSH"
2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUDviii
Introdução
9RFr�HVWi�HVWXGDQGR�iOJHEUD"�6LP"�(QWmR��YRFr�35(&,6$�GHVWH�OLYUR��3HORV�
VHJXLQWHV�PRWLYRV��
)DWR�Qž����$�PHOKRU�PDQHLUD�GH�DSUHQGHU�iOJHEUD�p�UHVROYHQGR�H[HUFtFLRV�GH�
iOJHEUD��1mR�Ki�FRPR�QHJDU��6H�IRVVH�SRVVtYHO�HQWHQGHU�DV�DXODV�DSHQDV�FRP�D�
OHLWXUD�GR�OLYUR�GLGiWLFR�RX�GH�ERDV�DQRWDo}HV�IHLWDV�HP�VDOD��WRGRV�SDVVDULDP�
FRP�QRWDV�DOWDV��,QIHOL]PHQWH��D�GXUD�YHUGDGH�p�TXH�YRFr�WHP�TXH�WHU�
GHWHUPLQDomR�H�UHVROYHU�H[HUFtFLRV�DWp�TXH�VHXV�GHGRV�¿TXHP�GRUPHQWHV�
)DWR�Qž����$�PDLRULD�GRV�OLYURV�GLGiWLFRV�GL]�DSHQDV�48$,6�VmR�DV�UHVSRVWDV�
GRV�SUREOHPDV�SUiWLFRV��PDV�QmR�&202�FKHJDU�DWp�HODV��/yJLFR��VHX�OLYUR�
GLGiWLFR�SRGH�WHU�����SUREOHPDV�SDUD�FDGD�DVVXQWR��PDV�D�PDLRULD�Vy�WUD]�
DV�UHVSRVWDV��,VVR�TXHU�GL]HU�TXH��VH�YRFr�QmR�FKHJDU�j�UHVSRVWD�FRUUHWD��HVWDUi�
SHUGLGR��6DEHU�TXH�HUURX�QmR�DMXGD�HP�QDGD��VH�YRFr�QmR�VRXEHU�SRU�TXH�HUURX��
2V�OLYURV�GLGiWLFRV�GH�0DWHPiWLFD�VHQWDP�VH�HP�XP�WURQR�JLJDQWH��FRPR�R�
*UDQGH�H�7HUUtYHO�2]��H�GL]HP�³1mR�p�LVVR��WHQWH�QRYDPHQWH �´�H�QyV�WHQWDPRV��
'H�QRYR�H�GH�QRYR��(�FRQWLQXDPRV�HUUDQGR��4XH�MHLWR�HQFDQWDGRU�GH�DSUHQGHU��
�1mR�YDPRV�QHP�IDODU�SRU�TXH�RV�OLYURV�Vy�WUD]HP�DV�UHVSRVWDV�GRV�SUREOHPDV�
GH�Q~PHUR�tPSDU��,VVR�VLJQL¿FD�TXH�RV�DXWRUHV�VHTXHU�WLYHUDP�YRQWDGH�GH�
UHVROYHU�RV�GH�Q~PHUR�SDU"�
)DWR�Qž����0HVPR�TXDQGR�RV�OLYURV�GH�PDWHPiWLFD�WHQWDP�PRVWUDU�DV�HWDSDV�
GH�XP�SUREOHPD��R�ID]HP�PDOIHLWR��2�SHVVRDO�GD�PDWHPiWLFD�DGRUD�TXHLPDU�
HWDSDV��9RFr�HVWi�DFRPSDQKDQGR�EHP�XPD�H[SOLFDomR�TXDQGR��UHSHQWLQDPHQWH��
%$0���VH�SHUGH��9RFr�VH�SHUJXQWD�³FRPR�¿]HUDP�LVVR"´�RX�³GH�RQGH�YHLR�DTXHOH�
Q~PHUR���"�(OH�QmR�HVWDYD�DTXL�QD�HWDSD�DQWHULRU�´�3RU�TXH�D�PDLRULD�GHVVHV�
OLYURV�VXS}H�TXH��SDUD�UHVROYHU�XP�SUREOHPD�GD�SiJLQD������YRFr�GHYHULD�
FRQKHFHU�DV�����SiJLQDV�DQWHULRUHV�FRPR�D�SDOPD�GD�VXD�PmR"�9RFr�QmR�
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ix2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUD
Introdução 
)DWR�Qž����/HU�OLVWDV�GH�IDWRV�p�GLYHUWLGR�GXUDQWH�DOJXP�WHPSR��
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H[HUFtFLR�H�HVWLYHU�FRPSOHWDPHQWH�WUDYDGR��QmR�p�PHOKRU�VDEHU�
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SDUD�PLP��
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GDV�UHVSRVWDV��H�HVSHUR�TXH�DFKH�PLQKDV�DQRWDo}HV�~WHLV�DR�ORQJR�GR�SHUFXUVR��
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H�TXLVHUHP�SDVVDU�VHX�WHPSR�WUDEDOKDQGR�HP�SUREOHPDV�SUiWLFRV�GHYHULDP��
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%RD�VRUWH��H�OHPEUH�VH�GH�YLVLWDU�PHX�VLWH�ZZZ�FDOFXOXV�KHOS�FRP��6H�YRFr�
VHQWLU�YRQWDGH��PDQGH�XP�H�PDLO�FRP�VXD�RSLQLmR�H�GRLV�GHGRV�GH�SURVD��PDV�
QmR�OLWHUDOPHQWH�±�GHGRV�GH�YHUGDGH�HQWRSHP�RV�WXERV�GD�LQWHUQHW��
Agradecimentos
$JUDGHFLPHQWRV�HVSHFLDLV�j�UHYLVRUD�WpFQLFD��GD�YHUVmR�HP�LQJOrV���3DXOD�3HUU\��
HVSHFLDOLVWD�TXH�YHUL¿�FRX�D�H[DWLGmR�GDTXLOR�TXH�YRFr�DSUHQGHUi�FRP�HVWH�OLYUR��
&RQKHFL�3DXOD�TXDQGR�HVWXGDYD�SDUD�VHU�SURIHVVRUD��H�HX�Vy�WLQKD�XP�RX�GRLV�
DQRV�GH�H[SHULrQFLD�QD�pSRFD���(OD�p�XPD�SURIHVVRUD�GH�H[WUHPR�WDOHQWR��H�
D�PHUD�UHYLVmR�GHVWH�OLYUR�p�TXDVH�XP�GHVSHUGtFLR�GH�VXDV�LPSUHVVLRQDQWHV�
KDELOLGDGHV��PDV�VRX�JUDWR�PHVPR�DVVLP�
Todas DV�PLQKDV�DQRWDo}HV�HVWmR�DVVLP��QD�ODWHUDO��H�DSRQWDP�SDUD�D�SDUWH�GR�OLYUR�TXH�HVWRX�WHQWDQGR�H[SOLFDU�
2�)DEXORVR�/LYUR�GH�([HUFtFLRV�GH�ÈOJHEUDx
Marcas
7RGRV�RV�WHUPRV�PHQFLRQDGRV�QHVWH�OLYUR��FRQKHFLGRV�FRPR�RX�VXVSHLWRV�GH�
VHUHP�PDUFDV�UHJLVWUDGDV�RX�PDUFDV�GH�VHUYLoR��UHFHEHUDP�D�LQLFLDO�PDL~VFXOD�
DGHTXDGDPHQWH��$�(GLWRUD�$OWD�%RRNV�QmR�SRGH�DWHVWDU�D�H[DWLGmR�GHVWD�
LQIRUPDomR��2�XVR�GH�XP�WHUPR�QHVWH�OLYUR�QmR�GHYH�VHU�YLVWR�FRPR�DIHWDQGR�D�
YDOLGDGH�GH�TXDLVTXHU�PDUFDV�UHJLVWUDGDV�RX�PDUFDV�GH�VHUYLoR�
Dedicatória
$R�PHX�¿OKR��1LFN��R�JDURWR�WLSLFDPHQWH�DPHULFDQR�TXH�DPD�IXWHERO��/HJR��
VXSHU�KHUyLV��/HJHQG�RI�=HOGD�H�¿QJH�TXH�VDEH�FDUDWr��9RFr�IH]�R�UHVXPR�
SHUIHLWR��JDURWmR��TXDQGR�GLVVH��³6DEH�SRU�TXH�WH�DPR�WDQWR��SDSDL"�3RUTXH�
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MDQWDU��H�6DUD��TXH�DGRUD�TXDQGR�HX�IDoR�FyFHJDV�DWp�HOD�SHUGHU�R�I{OHJR���
&XULRVDPHQWH��WHQKR�RUJXOKR�GH�TXH��DRV�WUrV�DQRV�GH�LGDGH��YRFrV�GXDV�
WHQKDP�GRPLQDGR�D�IRUPD�GH�GL]HU�³SDSDDDDDL���´�TXH�VXJHUH�TXH�HX�WDQWR�
GLYLUWR�TXDQWR�FDXVR�H[WUHPR�FRQVWUDQJLPHQWR�D�YRFrV�
$FLPD�GH�WXGR��j�PLQKD�HVSRVD��/LVD��TXH�PH�DQLPD��TXH�PH�DSRLD��PH�EXVFD�
H�ID]�FRP�TXH�YROWDU�SDUD�FDVD�VHMD�R�~QLFR�PRWLYR�GH�TXH�HX�SUHFLVH�SDUD�
DJXHQWDU�R�WUDQFR�GLDULDPHQWH�
Sua única parada para uma revisão de núme
ros
Capítulo 1
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
A álgebra é, fundamentalmente, um compêndio de conceitos 
matemáticos, axiomas, teoremas e algoritmos enraizados na abstração. 
A Matemática é mais poderosa quando não está aprisionada pelas 
limitações do concreto, e o primeiro passo rumo à libertação dessas 
restrições é a introdução da variável, uma estrutura na qual qualquer 
número de valores pode ser substituído. Porém, os alunos de álgebra 
precisam primeiro possuir um conhecimento considerável sobre 
números antes de poderem dar o próximo passo lógico, representando 
valores concretos em notação abstrata.
Este capítulo faz com que você se familiarize completamente com 
as classificações mais comuns usadas para descrever números, dá a 
oportunidade de manipular números com sinais de forma aritmética 
e investiga os princípios fundamentais da matemática que governam 
a álgebra.
Você deve estar ansioso para mergulhar nos detalhes práticos da álgebra, mas não pule o material deste capítulo. Ele está cheio de termos importantes como “número racional” e “propriedade comutativa”. Você também aprenderá coisas como a diferença entre números reais e complexos e se 0 é par ou ímpar. Alguns dos problemas podem ser fáceis, mas você pode se surpreender ao aprender algo novo.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra2
Os números 
naturais também 
são chamados de 
“números usados para 
contar”, porque quando 
os lemos, soa como se 
estivéssemos contando: 
1, 2, 3, 4, 5 e daí em 
diante. A maioria das 
pessoas não começa 
a contar pelo 0.
&ODVVLÀ�FDomR�GRV�1~PHURV
2V�Q~PHURV�¿�FDP�HP�JUXSRV�GLIHUHQWHV
1.1 Descreva a diferença entre N e N*.
A teoria de números diz que o conjunto de números inteiros não negativos e o 
conjunto dos números naturais contêm quase os mesmos números: {1, 2, 3, 4, 5, 
6, ...}. A diferença característica entre os dois conjuntos é que o de números inteiros 
não negativos também inclui o número 0. Portanto, o conjunto dos números 
naturais é equivalente ao de números inteiros positivos {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}, enquanto 
o conjunto de números inteiros não negativos é {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.
1.2 Que conjunto de números consiste em inteiros que não são números naturais? 
Que termo matemático descreve melhor este conjunto?
Os inteiros são números que não contêm fração ou casas decimais explícitas. 
Portanto, números como 5, 0 e –6 são inteiros, mas 4,3 e não.
Assim, todos os inteiros pertencem ao conjunto {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
Segundo o Problema 1.1, o conjunto de números naturais é {1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
Removemos os números naturais do conjunto dos inteiros para criar o conjunto 
descrito neste problema: {..., –4, –3, –2, –1, 0}. Este conjunto, que contém todos 
os inteiros negativos e o número 0, é descrito como conjunto de “números 
inteiros não positivos”.
1.3 O número 0 é par ou ímpar? Positivo ou negativo? Justifi que suas respostas.
Por defi nição, um número é par se não deixar resto ao ser dividido por 2. Para 
determinar se 0 é um número par, divida-o por 2: 0 y 2 = 0. (Note que 0 dividido 
por qualquer número real – exceto por 0 – é igual a 0.) O resultado, 0, não tem 
resto, então 0 é um número par.
Porém, 0 não é positivo nem negativo. Os números positivos são defi nidos como 
os números reais maiores que (mas não iguais a) 0, e os números negativos 
como os números reais menores que (mas não iguais a) 0; então 0 pode ser 
classifi cado apenas como “não positivo” ou “não negativo”.
1.4 Identifi que o menor número primo positivo e justifi que sua resposta.
Um número é descrito como “primo” quando se puder ser dividido por 
qualquer número além dele próprio e do número 1 sem deixar resto. De acordo 
com essa defi nição, o número 8 não é primo, porque é igualmente divisível 
tanto pelo número 2 quanto pelo número 4. Porém, os números 2, 3, 5, 7 e 11 
são primos, pois nenhum desses números é divisível por um valor diferente dele 
próprio e do 1 sem deixar resto. Note que o número 1 está visivelmente ausente 
dessa lista e não é um número primo.
Por defi nição, um número primo deve ser divisível por exatamente dois únicos 
valores, ele mesmo e o número 1. No caso do 1, esses dois valores são iguais e, 
portanto, não são únicos. Embora isso possa parecer um detalhe insignifi cante, 
exclui o 1 do conjunto de números primos; então, o menor número primo 
positivo é 2.
Números 
como o 8, que não 
são primos porque 
são divisíveis por 
muitas outras coisas, 
são chamados de 
“números 
compostos”.
Assim, 
os números 
inteiros são 
obtidos dos 
números naturais, 
inserindo o 0.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
3O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra
Pequenas barras 
como essas são 
usadas para indicar 
quais são os dígitos de 
uma dízima periódica 
que se repetem. Às vezes,alguns dígitos iniciais 
não se repetem, mas o 
número continua sendo 
racional. Por exemplo, 
8,32 04
___
=
8,32040404... é um 
número racional.
1.5 Liste as duas características mais frequentemente associadas a um 
número racional.
A característica fundamental de um número racional é poder ser expresso 
em forma de fração, um quociente de dois inteiros. Portanto, e 
 
são 
exemplos de números racionais. Números racionais expressos em forma 
decimal apresentam um decimal fi nito (uma quantidade fi nita de valores após a 
vírgula decimal) ou uma dízima periódica (um padrão de dígitos que se repete 
infi nitamente). Considere as seguintes representações decimais dos números 
racionais para entender melhor os conceitos de decimal fi nito e dízima 
periódica.
� decimal fi nito
, ,
dízima periódica
, ,
dízima periódica
1.6 A constante matemática irracional S às vezes é aproximada pela fração . 
Explique por que essa aproximação não pode ser o valor exato de S.
Quando expandido a milhões, bilhões e até trilhões de casas decimais, os dígitos 
da representação decimal de S não se repetem de forma perceptível. Por ser igual 
a um decimal não fi nito, não periódico, S é um número irracional, e números 
irracionais não podem ser expressos em forma de frações.
1.7 Qual é maior, o conjunto dos números reais ou o conjunto dos números 
complexos? Explique sua resposta.
A combinação do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais 
produz o conjunto dos números reais. Em outras palavras, cada número real deve 
ser racional ou irracional. O conjunto de números complexos é muito maior do 
que o conjunto dos números reais, e o motivo é simples: todos os números reais são 
também números complexos. O conjunto dos números complexos é maior do que 
o conjunto dos números reais da mesma forma que o conjunto de seres humanos 
da Terra é maior do que o conjunto de homens da Terra. Todos os homens são 
humanos, mas nem todos os humanos são necessariamente homens. De forma 
semelhante, todos os números reais são complexos, mas nem todos os números 
complexos são reais.
Os números 
complexos serão 
posteriormente 
discutidos com 
mais detalhes 
neste livro, nos 
Problemas 13.37 
a 13.44.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra4
1.8 Liste os seguintes conjuntos de números em ordem crescente: números 
complexos, inteiros, irracionais, racionais, reais e naturais
Embora cada um desses conjuntos seja infi nitamente grande, os tamanhos não 
são iguais. O menor conjunto é o de números naturais, seguido pelo de números 
inteiros não negativos, que tem exatamente um elemento a mais do que o de 
números naturais. A inclusão de inteiros negativos ao conjunto dos inteiros não 
negativos resulta no maior conjunto, o de números inteiros. O conjunto de 
números racionais é signifi cativamente maior do que o de números inteiros, e o 
conjunto de números irracionais é signifi cativamente maior do que o de números 
racionais. O conjunto de números reais pode ser maior do que o de números 
irracionais, pois todos os números irracionais são números reais. O conjunto de 
números complexos é ainda maior do que o de números reais, como explicado 
no Problema 1.7. Portanto, esta é a correta ordem (crescente) tamanho: números 
naturais, números inteiros não negativos, números inteiros, números racionais, 
números irracionais, números reais e números complexos.
1.9 Descreva o número 13, identifi cando os conjuntos de números aos quais 
pertence.
Como o 13 não tem decimal ou fração explícita, é um número inteiro. Todos os 
inteiros positivos também são números naturais. Ele não é divisível por 2, então 
é um número ímpar. Na verdade, 13 não é sequer divisível por nenhum outro 
número além do 1 e do 13, então é um número primo. Podemos expressar o 13 
como uma fração , então 13 é um número racional. Portanto, 13 é também 
um número real e um número complexo. Concluindo, 13 é um número ímpar, 
primo, natural, inteiro, racional, real e complexo.
1.10 Descreva o número identifi cando os conjuntos aos quais pertence.
Como é menor do que 0 (isto é, está à esquerda do número 0 em uma reta 
numérica), é um número negativo. É uma fração, então, por defi nição, é um 
número racional e, portanto, é também um número real e complexo.
Qualquer 
decimal LQ¿�QLWDPHQWH�ORQJR�TXH�QmR�WHQKD�SDGUmR�GH�GtJLWRV�UHSHWLGRV�UHSUHVHQWD�
um número irracional. 3RU�RXWUR�ODGR��RV�
decimais racionais são ¿�QLWRV�RX�VmR�Gt]LPDV�SHULyGLFDV��3RU�KDYHU�PXLWR�PDLV�PDQHLUDV�
para escrever os números 
irracionais em forma 
de decimais do que 
maneiras de escrever 
números racionais em IRUPD�GH�GHFLPDLV��H[LVWHP�PXLWR�PDLV�
números irracionais 
do que racionais.
Segundo R�3UREOHPD������R�~QLFR�HOHPHQWR�
que os números LQWHLURV�QmR�QHJDWLYRV�FRQWrP�H�RV�Q~PHURV�QDWXUDLV�H[FOXHP�p�
o número 0.
Qualquer 
número dividido 
por ele próprio p�LJXDO�D����
SRUWDQWR�
=13÷1=13.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
5O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra
([SUHVV}HV�&RQWHQGR�1~PHURV�FRP�6LQDLV
Somar, subtrair, multiplicar e dividir números positivos e negativos
1.11 Simplifi que a expressão: 16 + (–9).
Essa expressão contém sinais adjacentes ou “duplos”, dois sinais juntos. Para 
simplifi car essa expressão, você deve converter os dois sinais em um único. O 
método é simples: se os dois sinais em questão forem diferentes, substitua-os 
por um único sinal negativo; se os sinais forem iguais (sejam eles positivos ou 
negativos), substitua-os por um único sinal positivo.
Neste problema, os sinais são diferentes, “+ –”, então você deve substituí-los por 
um único sinal negativo: –.
1.12 Simplifi que a expressão: –5 – (+6).
Essa expressão contém os sinais “– +” juntos. Conforme explicado no 
Problema 1.11, o sinal duplicado deve ser reescrito como um único sinal. 
Como os sinais são diferentes, devem ser substituídos por um único 
sinal negativo.
Para simplifi car, a expressão –5 – 6, ou qualquer expressão que contenha 
números com sinais, pense em termos de pagamentos e dívidas. Cada número 
negativo signifi ca dinheiro que você deve e cada número positivo, dinheiro que 
você recebe. Seguindo essa analogia, –5 – 6 seria interpretado como uma dívida 
de R$ 5,00 seguida por uma dívida de R$ 6,00, já que ambos os números são 
negativos. Portanto, –5 – 6 = –11, uma dívida total de R$ 11,00.
1.13 Simplifi que a expressão: 4 – (–5) – (+10).
Essa expressão contém dois conjuntos de sinais adjacentes ou “duplos”: “ – – ” 
entre os números 4 e 5 e “ – + ” entre os números 5 e 10. Substitua os sinais 
iguais por um único + e os sinais diferentes por um único –.
Simplifi que a expressão da esquerda para a direita, começando por 4 + 5 = 9.
 
Alguns 
livros de álgebra 
colocam os sinais 
de positivo e negativo 
mais para cima ou 
mais para baixo, assim: 
16 + –9. Lamento, 
mas isso é esquisito. É 
perfeitamente correto 
transformar esse 
minúsculo sinal voador 
em um sinal normal: 
16 + –9.
Pense 
da seguinte 
maneira: se 
os dois sinais 
concordarem 
entre si (se ambos 
forem positivos ou 
negativos), isso é bom, 
algo POSITIVO. Por 
outro lado, quando 
os dois sinais não 
concordarem entre 
si (um for positivo e 
outro negativo), isso 
não será bom. Será 
NEGATIVO.
Há outra técnica que pode ser usada para somar e 
subtrair números com sinais. Se os dois números tiverem sinais diferentes 
(como 9 e –10), subtraia-os (10 – 9 = 1) e use o sinal do número maior (10 ! 
9, então use o sinal negativo do número 10 para ter –1 como resultado, em vez de 
1). Se os sinais dos números forem os mesmos, então some-os e use o sinal que FRPSDUWLOKDP��(P�RXWUDV�SDODYUDV��SDUD�VLPSOL¿�FDU�±���±����VRPH����H����TXH�
resulta em 16) e, então, coloque diante do resultado o sinal negativode 
ambos os números: –16.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra6
Para simplifi car 9 – 10 usando a analogia dos pagamentos e dívidas do Problema 
1.12, 9 representa R$ 9,00 em dinheiro e –10 representa R$ 10,00 em dívidas. O 
resultado líquido seria uma dívida de R$ 1,00, portanto 9 – 10 = –1.
1.14 Simplifi que a expressão: 6 ¯ (–3).
A escolha do sinal a ser usado ao multiplicar ou dividir números funciona de 
forma muito semelhante ao método descrito no Problema 1.11 para eliminar 
sinais duplos. Quando dois números de mesmo sinal são multiplicados, o 
resultado é sempre positivo. Porém, se multiplicarmos dois números com sinais 
diferentes, o resultado será sempre negativo.
Nesse caso, pedimos que você multiplique os números 6 e –3. Como um é 
positivo e o outro negativo (ou seja, os sinais são diferentes), o resultado deve 
ser negativo.
6 ¯�(–3) = –18
1.15 Simplifi que a expressão: –16 ÷ (–2).
Quando dividimos números com sinais, o sinal do resultado mais uma 
vez dependerá dos sinais dos números envolvidos. Se os números tiverem 
o mesmo sinal, o resultado será positivo; se os números tiverem sinais 
diferentes, o resultado será negativo. Nesse caso, ambos os números da 
expressão, –16 e –2, têm sinal igual, portanto, o resultado será positivo: 
–16÷(–2)=8.
1.16 Simplifi que a expressão: (3) (–3) (4) (–4)
Multiplique os números com sinais trabalhando da esquerda para a direita. 
Dessa forma, multiplicando apenas dois números de cada vez, você poderá 
aplicar a técnica descrita no Problema 1.14 para determinar o sinal de cada 
resultado. Os dois números mais à esquerda são 3 e –3; como têm sinais 
diferentes, a multiplicação resultará em um número negativo: (3) (–3) = –9.
Multiplique novamente os números da extrema esquerda. Os sinais de –9 e de 4 
são diferentes, então o resultado é negativo: (–9) (4) = –36.
Ambos os números restantes são negativos; como os sinais são iguais, multiplicá-
los resultará em um número positivo.
Não há 
sinal de 
multiplicação 
entre (3) e (–3), 
então como saber se 
devemos multiplicá-
los? Essa é uma regra 
“não escrita” da 
álgebra. Quando duas 
quantidades estão 
escritas uma ao lado 
da outra sem nenhum VLQDO�TXH�DV�VHSDUH��¿�FD�
implícito que se trata 
de uma multiplicação. ,VVR�VLJQL¿�FD�TXH�FRLVDV�
como 4(9), 10y e xy 
são problemas de 
multiplicação.
Você 
também 
poderia escrever 
–16÷(–2)=+8, mas 
NÃO É NECESSÁRIO 
escrever o sinal de 
+ na frente de um 
número positivo. Se 
um número não tem 
sinal diante dele, LVVR�VLJQL¿�FD�TXH�
é positivo.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
7O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra
1.17 Simplifi que a expressão: 4 – |9|.
As barras envolvendo o número 9 nessa expressão representam um valor 
absoluto. Calcular o valor absoluto de um número com sinal é uma questão 
trivial – basta tornar positivo o número entre as barras de valor absoluto e, 
então, removê-las da expressão. Nesse caso, o número entre a notação de 
valor absoluto já é positivo, então, permanece inalterado.
Você fi cou com dois números com sinais para combinar: +4 e –9. De acordo 
com a técnica descrita no Problema 1.11, combinar R$ 4,00 em bens com R$ 9,00 em 
dívidas tem um resultado líquido de R$ 5,00 em dívidas: 4 – 9 = –5.
1.18 Simplifi que a expressão: |–10|– 14.
O valor absoluto de um número negativo, nesse caso –10, é o oposto do número 
negativo: |–10| = 10.
1.19 Simplifi que a expressão: –|5|–|–5|.
Se este problema não tivesse barras de valor absoluto e usasse parênteses 
no lugar delas, a abordagem seria completamente diferente. 
A expressão –(5) – (–5) tem o sinal duplo “– –”, que deve ser eliminado 
usando a técnica descrita nos Problemas 1.11 a 1.13. Porém, as barras de 
valor absoluto são tratadas de forma diferente da dos parênteses; então, 
esta expressão tecnicamente não contém sinais duplos. Comece calculando 
os valores absolutos: |5| = 5 e |–5| = 5.
As 
barras 
de valor 
absoluto são os 
antidepressivos do 
mundo matemático. 
Elas tornam positivo 
tudo que há entre elas. 
Para dizer de forma 
mais precisa, removem o 
sinal negativo do número 
que está entre elas. Isso VLJQL¿�FD�TXH�_±�_� ����
Porém, as linhas que 
alteram o humor não 
têm efeito sobre 
números positivos: _�_� ���
Os valores 
absolutos são 
simples quando 
há só um número 
dentro. Se o 
número for negativo, 
torne-o positivo e 
retire as barras de 
valor absoluto. Se 
o número já for 
positivo, deixe-o 
em paz e apenas 
tire as barras.
Bem, a expressão 
AINDA não tem 
sinais duplo. 
Logo, terá.
Viu? Aqui 
está o sinal 
duplo. Quando _±�_�VH�WUDQVIRUPRX�
em (+5), o sinal 
negativo diante dos 
valores absolutos não 
sumiu. No próximo 
passo, você elimina 
o sinal duplo “– +” 
para obter 
–5 – 5.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra8
1.20 Simplifi que a expressão: |2|–|–7|+|–5|–|9|.
Não elimine os sinais duplos desta expressão até ter cuidado dos 
valores absolutos. 
Combine os números com sinais de dois em dois, trabalhando da esquerda para 
a direita. Comece com 2 – 7 = –5.
 
1.21 Simplifi que a expressão: |3+(–16) – (–9)|.
Este problema contém o valor absoluto de toda uma expressão, não apenas de 
um único número. Nesses casos, não podemos simplesmente remover os sinais 
negativos de cada termo da expressão, em vez disso, devemos primeiro simplifi car 
a expressão para depois termos o valor absoluto do resultado.
Para simplifi car a expressão 3 + (–16) – (–9), devemos eliminar os sinais 
duplicados para, então, combinar os números um de cada vez, da esquerda para 
a direita.
6tPERORV�GH�$JUXSDPHQWR
Quando números estiverem agrupados, lide primeiro com eles
1.22 Simplifi que a expressão: (3¯7) + 10.
Quando partes de uma expressão estiverem contidas dentro de um grupo de 
símbolos – como parênteses (), colchetes [] e chaves {} –,simplifi que-as primeiro, 
não importando em que lugar da expressão estejam. Nesta expressão, 3¯7 está 
entre parênteses, então multiplique esses números: 3¯7 = 21.
1.23 Simplifi que a expressão: 3 ¯ (7+10)
A única diferença entre essa expressão e o Problema 1.22 é a colocação dos 
parênteses. Dessa vez, a expressão 7 + 10 está entre os símbolos de agrupamento 
e deve ser simplifi cada primeiro.
Por enquanto, 
os parênteses e 
outros símbolos 
de agrupamento 
dirão que partes do 
problema deverão ser 
solucionadas primeiro. 
Quando não houver 
parênteses para 
ajudar, você precisará 
aplicar algo conhecido 
como “ordem das 
operações”, tratada 
nos Problemas 3.30 
a 3.39.
–5 + 5 = 0
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
9O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra
Comparando essa solução com a do Problema 1.22, fi ca claro que a colocação 
dos parênteses na expressão teve um impacto signifi cativo.
1.24 Simplifi que a expressão: [19+(–11)]÷2.
Embora essa expressão contenha parênteses e colchetes, estes são, tecnicamente, 
os únicos símbolos de agrupamento presentes; os parênteses ao redor do –11 só 
estão ali por questões de notação. Simplifi que primeiro a expressão 
entre colchetes.
1.25 Simplifi que a expressão: [30÷(3¯5)]–4.
Essa expressão contém dois conjuntos aninhados de símbolos de agrupamento, 
colchetes e parênteses. Quando uma expressão agrupada estiver contida dentro 
de outra, sempre simplifi que primeiro a expressão mais interna e trabalhe de 
dentro para fora. Nesse caso, deve ser simplifi cada primeiro a expressão 
entre parênteses (3¯5).
Ainda há uma expressão agrupada dentro desta, que será a próxima a 
ser simplifi cada.
1.26 Simplifi que a expressão: .
Os símbolos de agrupamento não se limitam aos parênteses, colchetes e chaves. 
Embora não contenha qualquer dos elementos mencionados, essa fração 
consiste em duas expressõesagrupadas. Trate o numerador 
(6 + 10) e o denominador (14 – 8) como expressões individuais e simplifi que-as 
separadamente.
Sinais duplos, 
como os da 
expressão 19 
+ (–11), já são 
bastante feios; 
todavia, é ainda 
mais feio escrever os 
sinais um ao lado do 
outro, assim: 19 + 
– 11. Se você voltar 
aos Problemas 1.11 a 
1.13, perceberá que o 
segundo número com 
sinal está sempre 
colocado entre 
parênteses nos casos 
em que deixá-lo 
de fora faça com 
que os dois sinais ¿�TXHP�MXQWRV�
“Aninhado” VLJQL¿�FD�TXH�
uma expressão 
está dentro de 
outra. Nesse 
caso, (3¯5) está 
aninhada dentro 
da expressão entre 
colchetes [30¯(3¯5)], 
pois a expressão entre 
parênteses também 
está entre colchetes. 
Expressões aninhadas 
são como aquelas 
bonecas russas em 
formato de ovo. Sabe 
quais são? Quando 
você abre uma das 
bonecas, há outra 
menor dentro.
Se você não tiver certeza sobre como 166 se 
transformou em 83 , divida os números da parte de cima 
e de baixo da fração por 2: 16÷2 = 8 e 6÷2 = 3. Esse SURFHVVR�p�FKDPDGR�GH�³VLPSOL¿�FDomR´�RX�³UHGXomR´�GD�
fração e será explicado nos Problemas 2.11 a 2.17.
Capítulo 1 — Fundamentos de Álgebra
O Fabuloso Livro de Exercícios de Álgebra10
O “numerador” é 
a parte de cima 
da fração e o 
“denominador”, a 
parte de baixo.
De acordo com o ¿�P�GR�3UREOHPD�
1.27, ao dividir um 
número por seu 
oposto (como 7 e 
–7), obtemos –1.
Três, se não 
contarmos _±�_�FRPR�
grupo (porque 
tem apenas um 
número dentro). 
Quatro, se o 
contarmos.
1.27 Simplifi que a expressão: .
Assim como o Problema 1.26, essa expressão fracionária tem, por defi nição, 
dois grupos implícitos: o numerador e o denominador. Porém, ainda contém 
um segundo símbolo de agrupamento: as barras de valor absoluto. A expressão 
de valor absoluto está aninhada no denominador; então, simplifi que primeiro a 
expressão mais interna.
Agora, simplifi que separadamente o numerador e o denominador.
Qualquer número dividido por ele próprio é igual a 1, então , mas, 
observe que o numerador é negativo. De acordo com o Problema 1.15, quando 
números com sinais diferentes são divididos, o resultado é negativo.
1.28 Simplifi que a expressão:
 
.
Essa expressão consiste em duas expressões de valor absoluto separadas que 
são subtraídas uma da outra. A expressão fracionária da esquerda requer maior 
atenção; então, comece simplifi cando-a.
Agora que a fração está em um formato mais manejável, determine os dois 
valores absolutos da expressão.
1.29 Simplifi que a expressão: .
Esse problema contém várias expressões aninhadas – chaves que contêm 
colchetes, que contêm parênteses que, por sua vez, contêm um valor absoluto. 
Comece pela mais interna delas, a expressão de valor absoluto.
A expressão mais interna rodeada pelos símbolos de agrupamento agora é 
(3 + 1); então, simplifi que-a em seguida.