lista Calculo 1 - Jaime rivera

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Universidade Federal de Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Prof. Jaime E. Mun˜oz Rivera
rivera@im.ufrj.br
http//www.im.ufrj.br/˜rivera
Segunda Lista de Exercicios de Ca´lculo I
Rio de Janeiro 29 de agosto de 2017
1. Encontre os valores de b de tal forma que o polinoˆmio p(x) = 4x3 + 6ax2 + b tenha uma raiz no
intervalo [0, 1]. (Veja secc¸a˜o 7.7 do texto) Resp.- b ∈ [−4− 6a, 0] se a > −2/3 b ∈ [0,−4− 6a]
a < −2/3
2. Mostre a seguinte identidade: f(x) = xex, enta˜o f (n)(x) = nex + xex.
3. Verifique a seguinte identidade: f(x) = x2ex, enta˜o f (n)(x) = n(n− 1)ex + 2nxex + x2ex.
4. Calcule f (n)(x), para f(x) = x2ex
2
.
5. Encontre as dimenso˜es do retaˆngulo de maior a´rea que pode ser inscrito num c´ırculo de raio R.
6. Um corpo se esta´ movimentando em linha reta, sobre uma superf´ıcie rugosa, de coeficiente de
atrito igual a µ, pela ac¸a˜o de uma forc¸a constante aplicada ao corpo atrave´s de um cabo que faz
um aˆngulo de θ graus respeito a horizontal. Se o corpo se movimenta com velocidade constante,
calcule o aˆngulo que deve fazer o cabo com a horizontal, de tal forma que o movimento se realize
com a mı´nima forc¸a poss´ıvel.
7. Calcular as dimenso˜es que deve ter uma caixa retangular sem tampa de maior volume poss´ıvel,
obtida a partir de uma la´mina retaˆngular a e b fazendo um corte de x unidades nos bordes.
8. Se quer produzir caixas fechadas, de volume constante igual a V0 unidades cu´bicas. Suponha
que por razo˜es este´ticas a base caixa deve ser ser retangular com um dos lados igual a
√
2 vezes
o outro. Encontre as dimenso˜es da caixa fabricado com o mı´nimo de material.
9. Quer se levar uma mercadoria de uma cidade A para outra cidade B ambas separadas por um
Rio. A cidade B esta´ situada a 10 Km a direita da Cidade A e a 20 Km ao Norte de A. Suponha
que o Rio tem uma espessura de 10Km. Como se deve construir a estrada que vai da cidade
A para B, de tal forma que o transporte seja o mais ra´pido poss´ıvel, se o barco vai a uma
velocidade constante 20 Km/h e por terra a mercadoria e´ transportada a uma velocidade 60.
Resp.- x = 2.110149.
10. Encontre a trajeto´ria que debe seguir um raio luminoso que parte do ponto A(0,−1) e chega o
B(2, 1), se o eixo das abscissas divide o espac¸o em dois medios homogeˆneos e as velocidades em
cada me´dio sa˜o tais que vA/vB = 3/4. Onde vA e´ a velocidade da luz no me´dio que esta debaixo
do eixo, e a velocidade vB e´ a velocidade da luz no me´dio acima do eixo.
11. Mostre a Lei de Snell da refrac¸a˜o da Luz, utilizando o princ´ıpio de Fermat, que diz que a
trajeto´ria que segue um raio luminoso, e´ aquela que minimiza o tempo de percorrido.
1
12. A resisteˆncia de uma viga retangular e´ conjuntamente proporcional a sua largura e a´ltura.
Encontre as dimenso˜es da viga mais resistente que pode ser cortada de uma barra da forma de
um cilindro circular reto de raio 72 cm. Resp. x = y = 72
√
2
13. Uma lata fechada de volume de 27 cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto. Se a tampa
e o fundo circulares sa˜o cortados de pedasos quadrados da chapa encontre o raio e a altura de
da lata para que a quantidade de material a ser usado seja mı´nima. Inclua o metal gasto para
se obter a tampa e o fundo. Resp. a) r = 3/2, h = 12/pi.
14. Se quer fazer uma piraˆmide de base quadrada a partir de uma la´mina quadrada de lado L. De
que magnitude deve ser feito o corte x mostrado na figura, de tal forma que a piraˆmide tenha a
maior volume poss´ıvel. (Veja sec¸a˜o 7.5 do texto)
x L-2x x
x
L-2x
x
d
15. Se quer construir uma piraˆmide a partir de uma la´mina de forma de um pol´ıgono regular de n
lados iguais a L. De que magnitude deve ser feito o corte x mostrado na figura, de tal forma
que a piraˆmide tenha a maior volume poss´ıvel. (Prob. 7.5.15 do texto)
x
L
n = 8
16. Utilizando o Teorema do Valor me´dio de Cauchy, mostre a regra da L’Hospital para calcular
limites com indeterminac¸a˜o da forma 0/0.
17. Calcular os seguintes limites
lim
x→0
ex
2−x − cos(2x2)
ln(cos(x3))
, lim
x→0
cos(x2 − x)− x3 − x2 + x+ 1
cos(cos(x3)− 1)− 1 , limx→0
(x3 − 1)e−x2 − x3 + 1
cos(x3)− 1
18. Seja f : R→ R verificando f(a+ b) = f(a)f(b). Se f ′(0) = −3, f(2) = 10, calcular f ′(8).
2
19. Quais das seguintes func¸o˜es sa˜o convexas em todo R: a) f(x) = ln(x), b) f(x) = x4 + 3x2 − 5x,
c) f(x) = x6 + 3x3 + x2 − 4x
20. Calcule os extremos das seguintes func¸o˜es
a) f : [−3, 4]→ R, f(x) = 3x2 − 4x+ 1, b) f : [−1, 1]→ R, f(x) = x
4 + 1
x2 − 9 .
c) f : [−3, 3]→ R, f(x) = x3 − 4x2 + x+ 1.
21. Suponha que a posic¸a˜o de uma part´ıcula esta´ dada pela func¸a˜o f(t) = t3 − 2t + 1. Calcular a
velocidade e a acelerac¸a˜o que esta particula possui no ponto t = 2. Resp.- v(2) = 10 m/seg,
a(2) = 12 m/seg2
22. Encontre os valores das constantes a, b, c e d de tal forma que a func¸a˜o f(t) = at3 + bt2 + ct+ d
defina a posic¸a˜o de um corpo que se esta´ deslocando com acelerac¸a˜o constante. Resp.- a = 0
23. Um corpo cai, devido ac¸a˜o das forc¸as gravitacionais, de uma altura de 100 metros. Calcular o
tempo que demora em chegar a superf´ıcie. Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ constante
igual a 9.8 m/seg2 e que o corpo parte do repouso. Resp.- t = 4.52.
24. Usando primeiras e segundas derivadas, fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x3 − 2x2 + x+ 3
25. Encontre o ma´ximo e o mı´nimo das seguintes func¸o˜es: (Veja sec¸a˜o 7.20 do texto)
f(x) = |x− 1|+ |2x+ 1|, no intervalo [−5, 5].
f(x) = ||x| − 1| no intervalo [−5, 5].
26. Calcular os extremos relativos da func¸a˜o f(x) = x3 − 6x2 + x+ 5, e indique o ponto de ma´ximo
e o ponto de mı´nimo local. Resp.- x1 ≈ 3.914, mı´nimo x2 ≈ 0.085 ma´ximo.
27. Calcular o ma´ximo e o mı´nimo global da func¸a˜o f(x) = x3+4x2+5, no intervalo [−3, 3]. Resp.-
x = 3 ponto de ma´ximo global e x1 = 0 ponto de mı´nimo.
28. Encontre a equac¸a˜o do c´ırculo, que tenha a mesma concavidade e que seja tangente a curva
y = x3 no ponto x = 1. Resp.- (x− 427)2 + (y − 1627)2 = 1000542
29. Calcular a velocidade ma´xima em que um ve´ıculo de pode-se deslocar no ponto (2, 7) numa
trajeto´ria de forma de um arco de para´bola de equac¸a˜o y = 2x2 − 1, se o coeficiente de fricc¸a˜o
e´ costante igual a µ = 0.5. Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ igual a g = 9.8m/seg2
Resp.- vmax = 50.27Km/hora.
30. Verifique se as func¸o˜es sa˜o cont´ınuas ou diferencia´veis no ponto x = 0.
f(x) =
{
x2sen ( 1x) se x 6= 0
0 se x = 0
, g(x) =
{
e−
1
x se x > 0
0 se x ≤ 0
31. Uma escada com 7 metros esta´ encostada em uma parede. Se a base da escada e´ arrastada em
direc¸a˜o a parede a 1.5m/seg, que ta˜o ra´pido o topo da escada esta´ subindo pela parede quando
a base esta´ a dois metros dela. Resp. 1.5
√
49− a2/a (a e´ a posic¸a˜o inicial da escada)
3
32. Calcular os extremos relativos e os extremos absolutos das func¸o˜es:
f(x) = x3 + 3x2 − 9x; em [−4, 4], f(x) = 6x1/3 − 2x2/3 em [−7, 7].
e verifique sua respostas utilizando os crite´rios de segunda derivadas quando for o caso. Fac¸a
um esboc¸o dos gra´fico. Resp. a) x = 1 min, x = −3 Max. b) x = 27/8 Max.
Resp. A 15(
√
20−√15) metros de A.
33. Desenhe uma parte do gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua atrave´s do ponto onde x = c se as
seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas
(a) f ′(c) = 0, f ′(x) < 0, se x < c; f ′′(x) > 0 se x > c.
(b) f ′′(c) = 0, f ′(c) = −1, f ′′(x) < 0 se x < c;
f ′′(x) > 0 se x > c.
Resp.
-ff
?
6
c
f(c)
ppppa) -ff
?
6
c
f(c)
pppppb)
34. Seja f : [a, b]→ R tal que f ′(x) = 0 para todo x. Mostre que f deve ser uma func¸a˜o constante.
35. Encontrar as tangentes comums as para´bolas y = x2 +9 e y = x2−6x+1 Resp.- y = 2√5x−4,
y = −2√5x+ 16.
36. Usando o me´todo de Newton,encontre uma raiz no intervalo ]0, 1[ do polinoˆmio.
p(x) = x4 − 3x3 + x2 − 2x+ 1
37. Seja f uma func¸a˜o de clase C2 tal que f ′′(x) ≥ 0, enta˜o para todo θ ∈ [0, 1] temos que
f(θx+ (1− θ)y) ≤ θf(x) + (1− θ)f(y).
38. Seja f : [a, b]→ R tal que f ′(x) = 0 para todo x. Mostre que f deve ser uma func¸a˜o constante.
Refereˆncia
1. Ca´lculo Light. Editora Cieˆncia Moderna. ISBN 978-85-399-0393-1
http://www.lcm.com.br/site/livros/detalhesLivro/f/calculo-light.html
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