matfinancas v2 A

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BRUNI
Bibliografia auxiliar
Livro
Matemática Financeira com HP12C e Excel
 Editora Atlas
BRUNI
Programação didática
Objetivo
 Apresentar os principais conceitos e aplicações da Matemática Financeira, com uso da HP 12C.
BRUNI
Ementa
Diagramas de fluxo de caixa
Juros simples
Desconto
Juros compostos
Taxas
Séries uniformes
Séries não uniformes
BRUNI
Conceitos iniciais e diagramas de fluxo de caixa
1
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender os propósitos da Matemática Financeira
Saber construir diagramas de fluxo de caixa
Compreender a evolução do dinheiro no tempo
BRUNI
Uma pergunta inicial …
O que é Matemática Financeira?
BRUNI
Uma resposta simples …
RETORNO
=
BRUNI
Constatação importante …
Dinheiro tem custo no tempo!!!
BRUNI
Primeiro passo …
Entendendo o dinheiro no tempo!!!
BRUNI
Diagramas de fluxo de caixa
Uma imagem que vale por mil palavras!
BRUNI
Diagramas de fluxo de caixa
Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo
Símbolos
Tempo
Movimentações de $
(+) Entradas
(-) Saídas
BRUNI
Ilustrando o uso do DFC
 Um investidor aplicou hoje $100,00 por um mês, planejando resgatar $108,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. 
-100,00
+108,00
1
taxa = 8/100 = 8%
juros = $8,00
ao período
0
meses
BRUNI
Pensando sobre os ...
Componentes do DFC
BRUNI
Componentes do DFC
Valor presente (VP)
Valor futuro (VF)
Tempo (n)
Taxa de juros (i)
-400,00
+480,00
4
taxa = 80/400 = 20%
VF - VP
juros = $80,00
ao período
0
VP
VF
n
i
BRUNI
Tome cuidado com alguns ...
Sinônimos
BRUNI
Para ficar esperto!!!
Classifique as definições em Valor presente (P) ou Valor futuro (F):
Montante
Capital inicial
Valor por dentro
Valor por fora
Valor nominal
Valor líquido
Valor atual
F
P
P
F
F
P
P
BRUNI
Outras expressões ...
Principal
Valor de face 
P
F
BRUNI
Pensando sobre ...
DFC em séries
BRUNI
Ampliando horizontes …
E se a operação for uma série?
Série = mais que dois capitais analisados
…
Exemplo:
BRUNI
DFC do televisor
+1.000,00
1
-300,00
2
-300,00
3
-300,00
4
-300,00
BRUNI
Componentes de séries
Valor presente (VP)
Valor futuro (VF)
Taxa de juros (i)
Tempo (n)
Pagamento (PMT)
BRUNI
Um DFC genérico
BRUNI
Pensando sobre ...
Séries antecipadas
BRUNI
A simbologia do …
1 + n
Com entrada!!!
BRUNI
Para ilustrar …
A vista: 15% desc
1 + 9
ou
+85
…
0
1
9
-10
Preço = $100,00
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Capítulo
A HP 12C e o Excel
2
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender os mecanimos de funcionamento da HP
Saber usar a notação RPN e as função da HP
Compreender os recursos disponíveis no Excel
BRUNI
Entendendo a HP 12C
Modelo tradicional
Dourado
BRUNI
Um modelo novo
Modelo novo, prateado
BRUNI
Teste a sua platina!!!
Alguns exemplares foram produzidos com erro! Teste o seu:
218720 CHS g CFo; 0 g CFj; 16 g Nj; 28000 g CFj; 0 g CFj; 10 g Nj; 65000 g CFj; 0 g CFj; 5 g Nj; 47000 g CFj; 0 g CFj; 18 g Nj; 88000 g CFj; f IRR 
Resultado correto: 0,11104985
Resultado incorreto de 1,191000 -10 (pela HP-12C Platinum) 
BRUNI
Emuladores para Palm
BRUNI
Emuladores para PC
HP 12C++
BRUNI
Algumas características …
RPN
Pilhas de registradores
BRUNI
Jan Lukasiewicz
Uma idéia genial!
Simplificar a notação matemática para facilitar as contas em máquinas!
BRUNI
Uma lógica reversa …
R
P
N
eversa
olonesa
otação
BRUNI
Alguns exemplos …
Álgebra convencional …
235
Soma de 235 e 121
121
+
=
Operandos
Operador
Instrução
356
Notação polonesa …
235
121
+
Operandos
Operador
Instrução
356
ENTER
BRUNI
Observação importante
A HP 12C não tem a tecla
=
A notação polonesa dispensa seu uso
BRUNI
A pilha de registradores
Registradores que processam as operações
Visor:
Registrador X
Clear X
Limpa o
registrador X
BRUNI
O funcionamento da pilha
8
Enter
8
8
4
4
+
12
 
BRUNI
Operações com a pilha
Limpa o registrador X
Troca X por Y
Rola a pilha para baixo
Limpa a memória
CLEAR
BRUNI
Funções especiais
Azuis
Amarelas
BRUNI
Funções especiais amarelas
Apenas teclas amarelas
BRUNI
O primeiro passo de sempre
Limpa a memória da calculadora
CLEAR
BRUNI
Funções especiais azuis
Apenas teclas azuis
BRUNI
Usando funções algébricas
Calcula o logaritmo neperiano
BRUNI
Funções essenciais
Funções financeiras
Serão discutidas com maior profundidade a partir de Juros Compostos
BRUNI
Funções financeiras da HP 12C
[n]: calcula o número de períodos
[i]: calcula a taxa de juros
[PV]: calcula o valor presente
[PMT]: calcula a prestação
[FV]: calcula o valor futuro
[CHS]: troca o sinal
BRUNI
Matemática financeira no …
Excel
BRUNI
Funções variadas
=VP()
=VF()
=NPER()
=TAXA()
=PGTO()
BRUNI
Três resultados do capítulo
Entendemos os mecanimos de funcionamento da HP
Sabemos usar a notação RPN e as função da HP
Compreendemos os recursos disponíveis no Excel
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Capítulo
Juros Simples
3
BRUNI
Seis objetivos do capítulo
Entender operações com juros simples
Entender o significado do desconto racional e comercial
Saber distingüir taxas de desconto por fora e por dentro
Calcular taxas efetivas
Compreender as operações com equivalência de capitais
Saber usar a proporcionalidade de taxas
BRUNI
Conceito de juros simples
Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE
BRUNI
Preste atenção!!!
Empréstimo
Valor atual na data zero igual a $100,00
Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros simples
BRUNI
Juros simples
0
-
100,00
VF=VP
1
10,00
110,00
VF=VP + i.VP
10% x $100
2
10,00
120,00
VF=VP + i.VP + i.VP
10% x $100
n
i.VP
VF
VF=VP (1+ i.n)
Juros simples sempre
incidem sobre valor presente
BRUNI
Fórmula dos juros simples
VF=VP (1+ i.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n
BRUNI
Demais fórmulas do SCS
BRUNI
Abreviaturas nas taxas 
BRUNI
Cuidado com os anos
ano civil ou exato
formado por 365 dias;
ano comercial
formado por 360 dias.
BRUNI
Exemplo A
Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate?
VF
-500
8 meses
0
i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)
VF = 500 (1+0,05 x 8)
VF = 700
BRUNI
Características dos juros simples
Valor uniforme dos juros períodicos
Valor futuro cresce linearmente
Capitalização Linear
BRUNI
Exercícios de …
Sala!
BRUNI
Exemplo B
Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am 
1.200,00
-VP
10 meses
0
i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)
1200 = VP (1+0,05 x 10)
VP = 800
BRUNI
Exemplo C
Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação?
10.400,00
-8000
6 meses
0
i = ?
VF = VP (1+in)
10400 = 8000 (1+i x 6)
i = 5%
BRUNI
Exemplo D
A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? 
11.700,00
-9000
n=?
0
i = 6% a.m.
VF = VP (1+in)
11700 = 9000 (1+0,06 x n)
n = 5
BRUNI
Importante!!!
Taxas são sagradas!!!
BRUNI
Exemplo E
Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a.
Taxa anual !!!
n em anos
X
24 meses = 2 anos
2 anos
BRUNI
Alterando o prazo …
VF=VP (1+ i.n)
VF=500 (1+ 0,08.2)
VF=$580,00
BRUNI
Descontando em …
Juros simples
por dentro
BRUNI
O que é descontar
Obter valor presente
Retirando os juros do valor futuro
Desconto = Juros
BRUNI
Desconto Racional Simples 
Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente
Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente
Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL
BRUNI
Da fórmula dos juros simples
VF = VP (1 + i.n)
Como se deseja obter VP
(1+in)
BRUNI
Exemplo F
Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto?
VP
0
2
-$4.400,00
Valor Presente
Juros
VP = VF/ (1+i.n)
VP = 4400/(1+0,05.2)
VP = 4000
D = 4400-4000
D = 400
Valor Futuro
BRUNI
Taxa efetiva
É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização. 
BRUNI
Exemplo G
Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação.
Taxa por fora = 33,3333%
BRUNI
Taxa efetiva no DFC!
$10.000,00
0
1
-$15.000,00 
Desconto = 1/3 de $15.000,00
Desconto = $5.000,00
Por fora =33,3333%
Por dentro =50%
VF = VP (1+i.n)
15000 = 10000 (1+i.1)
i = 50% a.m.
BRUNI
Descontando em …
Juros simples por fora
BRUNI
Exemplo genérico ...
Pagar no futuro, receber a vista
0
n
Descontar
Retirar os juros
Valor nominal
Valor líquido
(-) Desconto
Preciso do dinheiro hoje!!!
Sinônimos
Valor nominal
Valor futuro
Valor líquido
Valor presente
Desconto
Juros
BRUNI
Um exemplo usual …
Uma empresa possui uma duplicata a receber no valor de $4.000,00 em três meses
Porém, precisa do dinheiro hoje
Resolve descontar (trazer a valor presente) o título
O banco cobra uma taxa de desconto igual a 6% a.m.
Qual o desconto sofrido?
$4.000,00
0
3
Situação original
-$4.000,00
VP
Nova situação
Usando o desconto racional …
BRUNI
Diferentes tipos de desconto
Racional simples ou por dentro
Aplicação da fórmula dos juros simples
VF = VP.(1 + i.n)
Assim …
VP = VF / (1 + i.n)	
Ou …
D = VF - VP
BRUNI
Desconto racional
D = VF – VP
VP = VF / (1+in)
D = VF – VF / (1+in)
D = VF{1 – [1 / (1+in)]}
Do enunciado:
VF = 4000
id = 6% a.m.
n = 3 meses
Desconto:
D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17
Comentário:
Que trabalho!!!
Existe alguma forma mais fácil?
Desconto Comercial
BRUNI
Desconto comercial
Comercial ou por fora
Juros são calculados sobre Valor Futuro
É preciso ajustar a fórmula!
BRUNI
Desconto comercial
Nas operações de desconto comercial, com o objetivo de tornar mais fácil os cálculos, a instituição financeira costuma fazer incidir a taxa sobre o valor futuro
D = id.n.VF 
id = taxa de desconto por fora
Cuidado!
O banco apenas simplifica contra o bolso do cliente!!!
BRUNI
Segunda fórmula …
D = id.n.VF 
VP = VF – D
VP = VF – id.n.VF
VP = VF (1– id.n)
BRUNI
Fórmulas de desconto comercial
BRUNI
Desconto comercial
D = id.n.VF
Cuidado: 
id = taxa de desc comercial
Do enunciado:
VF = 4000
id = 6% a.m.
n = 3 meses
Desconto:
D = id.n.VF 
D = 0,06.3.4000 = $720,00
Obs: anterior (racional simples) foi igual a $610,17
$4.000,00
0
3
-$4.000,00
0
3
VF = VP (1+in)
4000 = 3280 (1+i.3)
i = [(4000/3280)-1]/3
i = 7,32% a.m.
Situação original
Nova situação
Taxa efetiva
VP ou Líquido
4000 – 720 = $3.280,00
E a taxa efetiva simples?
BRUNI
Importantíssimo!!!
A taxa de desconto comercial incide sobre o valor futuro!
O valor futuro é sempre maior que o valor presente!
Cuidado!!!
A taxa efetiva (que incide sobre o valor presente) será sempre maior!
BRUNI
Alguns sinônimos importantes
Valor futuro
Montante
Valor de face
Valor do título
Valor nominal
Valor presente
Capital inicial
Valor líquido
BRUNI
Fórmula do desconto comercial
VP=VF (1- id.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n
id = taxa de desconto comercial
D=VF.id.n
BRUNI
Descontando comercialmente
 Uma empresa quer descontar um título a receber no valor de $10.000,00 em 5 meses mediante desconto comercial a 4% a.m. Calcule: a) desconto; b) valor líquido; c) taxa efetiva mensal simples.
-10.000,00
+VP
5
taxa = 2000/8000 = 25% ao período
D = VF.id.n
0
meses
D = 10000 x 0,04 x 5
a) D = 2000
b) VP = 8000
c) taxa = 5% ao mês
BRUNI
O desconto bancário
As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente inclui o IOF 
(Imposto sobre Operações Financeiras).
BRUNI
Fórmula do desconto bancário
VP = VF - D = VF - VF.id.n – t.VF = VF (1 - id.n - t)
O valor presente ou líquido da operação de desconto bancário pode ser calculado mediante a aplicação da seguinte fórmula:
Desconto
Valor presente
ou líquido
Valor futuro ou nominal
BRUNI
Uma análise simplificada por…
Prazos médios 
BRUNI
Analisando prazos médios
É comum representar os fluxos por seus prazos médios e valor total
BRUNI
Para sempre lembrar …
A Cia Melhor da Praça deseja descontar um borderô, com id = 5% a.m. Calcule o valor líquido recebido por ela.
BRUNI
O borderô …
Borderô = conjunto de títulos
Título	Valor	Prazo
203A	$500,00	30 dias
305F	$600,00	45 dias
440E	$400,00	60 dias
Soma $1.500,00
n
BRUNI
Desconto de Borderô
Título	Valor	Prazo
203A	$500,00	30 dias
305F	$600,00	45 dias
440E	$400,00	60 dias
Soma
$1.500,00
Prazo médio =
500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60 =
 500 + 600 + 400
= 44 dias 
44 dias
BRUNI
Simplificando …
Simplificando …
VP = VF (1-id.n)
VP = 1500 (1-0,05.44/30)
VP = $1.390,00
BRUNI
Equivalência de Capitais
“Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”.
BRUNI
Constatação importante …
Dinheiro tem custo no tempo!!!
Deve ser somado apenas em mesma data!
BRUNI
A operação de equivalência
-4.000,00
1.000,00
1.000,00
2.000,00
X?
BRUNI
Exemplo H
Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00
Pagará $14.000,00 em 30 dias
Pagará X em 60 dias
Taxa simples igual a 3% a.m.
Calcule o valor de X
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
Use a data focal 60 dias
0
30
60 dias
BRUNI
Taxa simples igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
$22.000,00
$23.320,00
$14.420,00
$8.900,00
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 22000 (1+0,03.2)
VF = $23.320,00
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 14000 (1+0,03.1)
VF = $14.420,00
0
1
2 meses
BRUNI
Exemplo I
Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X.
Use a data focal zero
BRUNI
Resolução …
-X
-X
$500,00
0
1
2
i = 4% a.m. (JS)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.1)
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.2)
VP = 0,9259.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X 
X = 500/1,8874 = $264,91 
$264,91 
$264,91 
BRUNI
Exemplo J
Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 
BRUNI
Solução do Exemplo J
$1.800,00
0
3
-$800,00 
-$1.150,00 
$1.000,00
0
3
-$1.150,00 
VF = VP (1+in)
1150 = 1000 (1+i.3)
i = [(1150/1000) – 1] / 3)
i = 5%
BRUNI
Proporcionalidade de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. 
BRUNI
Fórmula da equivalência
ia = ib.(nb/na)
Em juros simples, vale usar regra de três!!!
Em juros simples!!!
BRUNI
Exemplo L
I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.
II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.
BRUNI
Solução do Exemplo L
I. 
3% a.m. = [__] % a.s.
1 semestre = 6 meses
3% x 6 = 18% a.s.
3% a.m. = [__] % a.a.
1 ano = 12 meses
3% x 12 = 36% a.a.
BRUNI
Solução do Exemplo L
II. Cálculo de taxas mensais
a) 1 semestre = 6 meses
90% a.s. ÷ 6 = 15% a.m.
b) 1 ano = 12 meses
220,8% a.a. ÷ 12 = 18,4% a.m.
c) 1 biênio = 24 meses
96% ÷ 24 = 4% a.m.
BRUNI
Seis resultados do capítulo
Entendemos operações com juros simples
Entendemos o significado do desconto racional e comercial
Aprendemos distingüir taxas de desconto por fora e por dentro
Calculamos taxas efetivas
Compreendemos as operações com equivalência de capitais
Aprendemos usar a proporcionalidade de taxas
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Capítulo
Juros compostos
4
BRUNI
Para pensar ...
"O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza”.
Albert Einstein
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender operações com juros compostos
Saber usar a equivalência de taxas
Compreender as operações com equivalência de capitais
BRUNI
Conceito de juros compostos
Juros sempre sobre o MONTANTE ANTERIOR
BRUNI
Preste atenção!!!
Empréstimo
Valor atual na data zero igual a $100,00
Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros compostos
BRUNI
Juros compostos
0
-
100,00
VF=VP
1
10,00
110,00
VF=VP (1+i)
10% x $100
2
11,00
121,00
VF=VP (1+i) (1+i)
10% x $110
n
i.VFant
VF
VF=VP (1+ i)n
Juros compostos sempre
incidem sobre montante
BRUNI
Uma constatação
Juros sobre montante
Montante inclui juros
Juros sobre juros
BRUNI
Fórmula dos juros compostos
VF=VP (1+ i)n
BRUNI
Fórmula dos juros compostos
BRUNI
Calculando no braço
Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do resgate.
VF
-4000
6 meses
0
i = 8% a.m.
VF = VP (1+i)n
VF = 4000 (1+0,08)6
VF = $6.347,50 
BRUNI
As tabelas padronizadas
Para facilitar as contas …
VF=VP (1+ i)n
(1+ i)n
linha
coluna
Tabelas padronizadas
BRUNI
Para o exemplo
n=6
i=8%
=1,5869
VF
-4000
6 meses
0
i = 8% a.m.
BRUNI
Substituindo an,i
VF = VP (1+i)n
VF = $6.347,50 
VF = 4000. (1,5869)
BRUNI
Para facilitar as contas …
Recursos auxiliares de cálculos podem ser empregados …
Calculadora HP12C
Planilha Excel
BRUNI
Juros compostos na HP 12C
BRUNI
Funções financeiras da HP 12C
[n]: calcula o número de períodos
[i]: calcula a taxa de juros
[PV]: calcula o valor presente
[PMT]: calcula a prestação
[FV]: calcula o valor futuro
[CHS]: troca o sinal
BRUNI
Emuladores para PC
HP 12C++
BRUNI
Na HP 12C
VF
-4000
6 meses
0
i = 8% a.m.
f Reg
4000 CHS PV
6 n
8 I
[FV] $6.347,50 
BRUNI
Importantíssimo!!!
Ajuste a HP 12C para a convenção exponencial!!!
Sempre trabalhar com juros compostos, mesmo nas partes fracionárias de n!
BRUNI
Configurando a HP 12C
C
Ative o flag “C”!!!
BRUNI
Para ativar …
BRUNI
HP 12C configurada!!!
C
BRUNI
Exemplo A
Pedro aplicou $400,00 por três meses a 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate?
-400,00
VF?
n=3
i=5% a.m.
[f] [Reg]
400 [CHS] [PV]
3 [n]
5 [i]
[FV] 463,05
BRUNI
Exemplo B
Qual o valor presente obtido para um valor futuro igual a $800,00 no ano 4 a uma taxa igual a 8% a. a.? 
[f] [Reg]
800 [FV]
4 [n]
8 [i]
[PV]
BRUNI
Exemplo C
[f] [Reg]
500 [CHS] [PV]
3 [n]
600 [FV]
[i]
-500,00
+600,00
3
i = ?
BRUNI
Exemplo D
[f] [Reg]
1200 [FV]
4 [n]
2 [i]
[PV]
-VP
+1.200,00
4
i = 2%
BRUNI
Exemplo E
[f] [Reg]
800 [CHS] [PV]
6 [n]
3 [i]
[FV]
-800,00
+VF
6
i = 3%
BRUNI
Exemplo F
[f] [Reg]
580 [CHS] [PV]
750 [FV]
8 [n]
[i]
-580,00
+750,00
8
i = ?
BRUNI
Características dos compostos
Juros incidem sobre juros
Valor futuro cresce exponencialmente
Capitalização Exponencial
BRUNI
Compostos superam simples?
VP
N = 1
BRUNI
Para valor de n …
N < 1 
Juros simples são maiores que juros compostos
N = 1
Juros simples são iguais a juros compostos
N>1
Juros compostos são maiores que juros simples
BRUNI
Equivalência de Capitais
“Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”.
(mesmo conceito em juros simples)
BRUNI
Exemplo G
Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00
Pagará $14.000,00 em 30 dias
Pagará X em 60 dias
Taxa composta igual a 3% a.m.
Calcule o valor de X
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
BRUNI
Taxa composta igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
$22.000,00
$23.339,80
$14.420,00
$8.919,80
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+i)n
VF = 22000 (1+0,03)2
VF = $23.339,80
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+i)n
VF = 14000 (1+0,03)1
VF = $14.420,00
0
1
2
BRUNI
Exemplo H
Uma loja anuncia um produto a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros composta, iguais a 4%, calcule o valor de X.
BRUNI
Resolução …
-X
-X
$500,00
0
1
2
i = 4% a.m. (JC)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
VP = X / (1+0,04)1
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
VP = X / (1+0,04)2
VP = 0,9246.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X 
X = 500/1,8861 = $265,10 
$264,91 
$264,91 
BRUNI
Exemplo I
Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? 
BRUNI
Equivalência de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. 
BRUNI
Fórmula da equivalência
ia = [(1+ib)(nb/na)]-1
BRUNI
É mais fácil …
Usar a HP12C
BRUNI
Enganando a HP 12C
Calculando a equivalência de taxas na HP 12C
-100,00
VF?
12
i = 79,59% a.a.
i = 5% a. m. = ____ % a. a.?
0
[f] [Reg]
100 [CHS] [PV]
12 [n]
5 [i]
[FV] 179,59
179,59
Suponha VP = 100
BRUNI
Enganando a HP 12C (2!!!)
Calculando a equivalência de taxas na HP 12C
-100,00
180,00
12
i = 5,02% a. m.
i = 80% a. a. = ____ % a. m.?
0
[f] [Reg]
100 [CHS] [PV]
180 [FV]
12 [n]
[i] 5,02
BRUNI
Enganando a HP 12C (2!!!)
Calculando a equivalência de taxas na HP 12C
-100,00
160,00
12
i = 3,99% a. m.
i = 60% a. a. = ____ % a. m.?
0
[f] [Reg]
100 [CHS] [PV]
160 [FV]
12 [n]
[i] 3,99
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Usando as antigas e funcionais 
Tabelas
BRUNI
Tabela de fatores (1+i)n
BRUNI
Tabela de fatores (1+i)n
BRUNI
Capítulo
Operações com Taxas 
de Juros
5
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender a álgebra das taxas de juros
Saber operar taxas nominais e unificadas
Compreender as operações com diferentes taxas de juros
BRUNI
Novo assunto …
A álgebra das taxas de juros
BRUNI
A álgebra das taxas de juros
Um produto custava R$ 40,00 e sofre dois aumentos sucessivos de 20% e 30%, respectivamente. Qual o preço final do produto e qual a taxa de variação percentual do produto?
BRUNI
A álgebra das taxas de juros
Solução: se o preço inicial é R$ 40,00, o preço final será 40 x (1 + 0,20) x (1 + 0,30) = R$ 62,40. O multiplicador para a taxa total da operação será igual a (1 + 0,20) x (1 + 0,30) = 1,56. Logo, a taxa total da operação será: 0,56 ou 56%.
Generalizando…
Ou: 
BRUNI
Novo assunto …
Taxas
unificadas
(ou aparentes)
BRUNI
Taxas unificadas
Resultam da incorporação sucessiva de
 Juros reais
 Inflação
Fórmula:
(1 + iu) = (1 + ir).(1+ii)
unificada
real
inflação
BRUNI
Taxas unificadas
Quado períodos múltiplos são analisados, é preciso considerar o multiplicatório das taxas.
Fórmula:
BRUNI
Para fixar
Um investidor aplicou $450,00, recebendo $580,00 após um determinado período. Sabendo que a inflação no período foi igual a 8%, calcule a taxa real.
BRUNI
Novo assunto …
Taxas 
nominais
 
BRUNI
Taxas nominais
Taxas de juros apresentadas em uma unidade, porém capitalizadas em outra
No Brasil, caderneta de poupança
6% a. a., capitalizada mensalmente
0,5% a. m.
BRUNI
Calcule as taxas anuais
24% a.a., capitalizada mensalmente
18% a.s., capitalizada mensalmente
36% a.a., capitalizada semestralmente
8% a.a., capitalizada quadrimestralmente
BRUNI
Três resultados do capítulo
Entendemos a álgebra das taxas de juros
Aprendemos operar taxas nominais e unificadas
Compreendemos as operações com diferentes taxas de juros
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Capítulo
Anuidades ou séries
6
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender o DFC em séries
Saber diferenciar séries postecipadas e antecipadas
Compreender os cálculos envolvendo séries uniformes
BRUNI
Conceito de Séries
Seqüencia de pagamentos ou recebimentos em datas futuras, como contrapartida de recebimento ou aplicação a valor presente
BRUNI
Tipos de séries
Uniformes
Valores nominais iguais
Não uniformes
Valores nominais diferentes
Este capítulo:
Séries Uniformes
BRUNI
Classificação das séries
Antecipadas
Com entrada
Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …
Postecipadas
Sem entrada
Exemplos … 2x, 5x, 6x …
BRUNI
A geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma geladeira
Na loja, $1.000,00 a vista
Ou … em quatro iguais mensais, sem entrada
Valores nominais
iguais
Séries UNIFORMES
+$1.000,00
-PMT
Taxa da loja?
i= 4% a.m.
Como obter PMT?
Álgebra
Tabelas
HP 12C
Excel
BRUNI
Usando o bom senso
Pagamentos em 1, 2, 3 e 4
Prazo médio igual a 2,5
+$1.000,00
-PMT
i= 4% a.m.
n = 2,5
Supondo JS
VF
VF = VP (1+in)
VF = 1000 (1+0,04.2,5)
VF = 1100
Como são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1100/4 = $275,00
Cuidado!
Valor aproximado por juros simples
Valor exato com juros compostos
BRUNI
Usando a álgebra
VP = an,i.PMT
BRUNI
Usando a tabela
an,i=3,6299
Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49
BRUNI
Usando a HP 12C
[n]: calcula o número de períodos
[i]: calcula a taxa de juros
[PV]: calcula o valor presente
[PMT]: calcula a prestação
[FV]: calcula o valor futuro
[CHS]: troca o sinal
g Beg
g End
ou
BRUNI
Na HP 12C
7
BEG
8
END
Begin = Começo
Antecipado
Com entrada
Flag no visor
End = Final
Postecipado
Sem entrada
Sem Flag
BRUNI
Exemplo na HP 12C
[f] [Reg]
1000 [PV]
4 [n]
4 [i]
+$1.000,00
-PMT
i= 4% a.m.
Sem entrada ou
POSTECIPADA
em inglês
END
[g] [END]
$275,49
[PMT]
Com JS, $275,00
BRUNI
Usando o Excel
Pode usar a função …
=PGTO()
Tipo 0
Tipo 1
ou
BRUNI
E se os pagamentos fossem …
Com entrada …
BRUNI
Usando o bom senso
Pagamentos em 0, 1, 2 e 3
Prazo médio igual a 1,5
+$1.000,00
-PMT
i= 4% a.m.
n = 1,5
Supondo JS
VF
VF = VP (1+in)
VF = 1000 (1+0,04.1,5)
VF = 1060
Como são feitos quatro pagamentos
Pagamento = 1060/4 = $265,00
Cuidado!
Valor aproximado por juros simples
Valor exato com juros compostos
BRUNI
A geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma geladeira
Na loja, $1.000,00 a vista
Ou … em quatro iguais mensais, com entrada
+$1.000,00
-PMT
i= 4% a.m.
Com entrada
ANTECIPADA
em inglês
BEGIN
[f] [Reg]
1000 [PV]
4 [n]
4 [i]
[g] [BEG] [PMT]
$264,89
JC = $265,00, diferença de $0,11!!!
BRUNI
Exemplo A
Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:
4 x sem entrada
BRUNI
Analisando o DFC: 4x
+600,00
-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Sem entrada
Na HP 12C: g END
[f] [Reg]
600 [PV]
4 [n]
g [END]
2 [i]
[PMT]
-157,5743
BRUNI
Exemplo B
Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:
1 + 3 x
BRUNI
Analisando o DFC: 4x
+600,00
-PMT
Taxa igual a 2% a.m.
Com entrada
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg]
600 [PV]
4 [n]
g [BEG]
2 [i]
[PMT]
-154,4846
BRUNI
Exemplo C
A Mercantil Precinho e Descontão Ltda. pensa em financiar suas vendas, cobrando uma taxa composta mensal sempre igual a 3% a. m. Calcule o valor das prestações nas operações de venda financiada apresentadas a seguir.
BRUNI
 Rádio Somzão
Valor a vista igual a $400,00, em três iguais, sem entrada.
BRUNI
Analisando o DFC do Somzão
+400,00
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
Sem entrada
Na HP 12C: g END
[f] [Reg]
400 [PV]
3 [n]
g [END]
3 [i]
[PMT]
-141,4121
BRUNI
b) Tocador de CD Musical
Valor a vista igual a $240,00, entrada de $80,00 mais cinco mensais iguais.
BRUNI
Analisando o DFC do Musical
+240,00
2
0
1
4
3
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
Entrada igual a 80
Na HP 12C: g END
[f] [Reg]
160 [PV]
5 [n]
g [END]
3 [i]
[PMT]
5
-80,00
+160,00
-34,9367
BRUNI
c) Televisor Veja Mais
Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7.
BRUNI
Analisando o DFC do Veja Mais
+1.200,00
2
0
1
4
3
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
1 + 7
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg]
1200 [PV]
8 [n]
g [BEG]
3 [i]
[PMT]
5
6
7
-165,97
BRUNI
d) Refrigerador Esquimó
Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3.
BRUNI
Analisando o DFC do Esquimó
+2.100,00
2
0
1
3
-PMT
Taxa igual a 3% a.m.
1 + 3
Na HP 12C: g BEG
[f] [Reg]
2100 [PV]
4 [n]
g [BEG]
3 [i]
[PMT]
-548,5017
BRUNI
Exemplo D
Um amplificador tem preço a vista igual a $1.200,00. A loja cobra 4% a. m. Calcule o valor das prestações mensais nos seguintes casos:
Prestação = [PMT]
5 x sem entrada
1 + 3
Entrada de $300,00 + 4 x
BRUNI
a) 5 x sem entrada
[f] Reg
1200 [PV]
4 [i]
5 [n]
g [END] (sem entrada)
[PMT] – 269,55
BRUNI
b) 1 + 3x
[f] Reg
1200 [PV]
4 [i]
4 [n]
g [BEG] (com entrada)
[PMT] -317,87
BRUNI
c) $300,00 + 4 x
[f] Reg
900 [PV] (abatendo a entrada)
4 [i]
4 [n]
g [END] (sem entrada)
[PMT] -247,94
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Capítulo
Sistemas de amortização
7
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender os príncípios básicos associados aos sistemas de amortização
Saber diferenciar os sistemas SAC, Price e Americano
Compreender a composição das tabelas de amortização e juros
BRUNI
Conceito
Forma de incidência e cálculo de juros e amortização do valor principal
devido
BRUNI
Sistemas de amortização
Sistema de amortizações constantes (SAC)
Sistema de prestações constantes (Price)
Sistema americano
BRUNI
Amortizações constantes
Amortizações iguais
Juros diferentes
BRUNI
Um exemplo simples …
Financiamento de $3.000,00
Taxa igual a 10% a. m.
Três pagamentos mensais 
1a forma
SAC
BRUNI
Amortização e juros
SAC: $3.000,00 / 3 = $1.000,00
BRUNI
Para nunca esquecer
Componha a planilha de pagamento referente a um empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m., considerando quatro prestações. Use o sistema SAC.
BRUNI
Planilha SAC
BRUNI
Prestações constantes
Amortizações diferentes
Juros diferentes
Prestações iguais
BRUNI
Um exemplo simples …
Financiamento de $3.000,00
Taxa igual a 10% a. m.
Três pagamentos mensais 
2a forma
Price
BRUNI
Amortização e juros
Price: f Reg 3000 PV 3 n 10 i g End PMT
-1.206,34
Diferença
BRUNI
Para nunca esquecer
Componha a planilha de pagamento referente a um empréstimo de $8.000,00, a 5% a.m., considerando quatro prestações. Use o sistema Price.
BRUNI
Planilha Price
BRUNI
Americano
Amortizações no final
Juros periódicos
BRUNI
Exemplo típico
DEBÊNTURES
BRUNI
Características
OBRIGAÇÃO
DATA DE VENCIMENTO
PAGAMENTO DE JUROS
PERIÓDICOS
BRUNI
A presença de coupons periódicos
BRUNI
VALOR NOMINAL
$200.000,00
VENCIMENTO
2 ANOS
Componentes das Debêntures
BRUNI
Tempo
Risco
Preço Unitário PU
Componentes e fluxo de caixa
BRUNI
0
1
2
3
400
... cupons semestrais a 18% a. a. ...
… periodiciade semestral …
Taxa de remuneração = 9% a.s.
Taxa de cupom = NOMINAL!
9% de 400 = $36 mil
36
36
36
Taxa de desconto = 16% a.a.
Fluxos semestrais
= 7,7033% a.s.
PU ou Preço Unitário
YTM
Taxa de remuneração > Taxa de desconto -> Ágio!
BRUNI
Taxa de desconto = 7,7033% a.s.
PU
BRUNI
Três resultados do capítulo
Entendemos os príncípios básicos associados aos sistemas de amortização
Sabemos diferenciar os sistemas SAC, Price e Americano
Compreendemos a composição das tabelas de amortização e juros
BRUNI
Para sempre lembrar!!!
Exercícios de Fixação
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Capítulo
Séries não uniformes
8
BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender os princípios empregados na avaliação de séries não uniformes
Saber aplicar o método do VPL
Compreender o uso do método da TIR
BRUNI
Análise a …
Valor Presente
BRUNI
Descrição
Considera a soma de TODOS os fluxos de caixa na DATA ZERO
BRUNI
Trazendo a valor presente
-500,00
200,00
250,00
400,00
Considerando CMPC igual a 10% a. a.
181,82
206,61
300,53
688,96
188,96
Valor Presente Líquido
BRUNI
VPL e HP 12C
Funções financeiras
[g] [CF0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0
[g] [CFj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j
Cuidado!! j <= 20 !!!
[g] [Nj] – Abastece o número de repetições
[i] – Abastece o custo de capital
[f] [NPV] – Calcula o VPL
NPV = Net Present Value
BRUNI
Calculando VPL na HP12C
[f] [Reg]
500 [CHS] [g] [CF0]
200 [g] [CFj]
250 [g] [CFj]
400 [g] [CFj]
10 [i] [f] [NPV]
188,96
BRUNI
Uso do VPL
VPL
Zero
>
<
Aceito!!!
Rejeito!!!
BRUNI
Uma das taxas …
Taxa Interna de Retorno
BRUNI
Perfil do VPL
Relação inversa entre CMPC e VPL
Taxa Interna de Retorno
TIR = 27,95%
Gráf1
		188.9556724267
		125.9554532753
		71.7592592593
		24.8
		-16.1583978152
		-52.1007976426
VPL
Plan1
		10%
						Ano		FC		Operação		VP (FC)		Saldo
						0		-500				-500.00		-500.00
						1		200				181.82		-318.18				688.96
						2		250				206.61		-111.57
						3		400				300.53		188.96
		
								$(665.50)
								$242.00
								$275.00
								$400.00
				28%
																0.37125
										188.96				CMPC		VPL
								10%		$188.96				10%		$188.96
								15%		$125.96				15%		$125.96
								20%		$71.76				20%		$71.76
								25%		$24.80				25%		$24.80
								30%		$(16.16)				30%		$(16.16)
								35%		$(52.10)				35%		$(52.10)
								40%		$(83.82)
								45%		$(111.96)
Plan1
		
VPL
Plan2
		
Plan3
		
Plan1
		10%
						Ano		FC		Operação		VP (FC)		Saldo
						0		-500				-500.00		-500.00
						1		200				181.82		-318.18				688.96
						2		250				206.61		-111.57
						3		400				300.53		188.96
		
								$(665.50)
								$242.00
								$275.00
								$400.00
				28%
																0.37125
										188.96				CMPC		VPL
								10%		$188.96				10%		$188.96
								15%		$125.96				15%		$125.96
								20%		$71.76				20%		$71.76
								25%		$24.80				25%		$24.80
								30%		$(16.16)				30%		$(16.16)
								35%		$(52.10)				35%		$(52.10)
								40%		$(83.82)
								45%		$(111.96)
		
														CMPC		10%		15%		20%		25%		30%		35%
														VPL		188.96		125.96		71.76		24.80		-16.16		-52.10
Plan1
		
VPL
Plan2
		
Plan3
		
BRUNI
Cálculo matemático da TIR
Solução polinomial …
VPL = 0, K = TIR
TIR é raiz do polinômio …
BRUNI
Na prática …
HP 12C: [f] [IRR]
Excel: =TIR(Fluxos)
BRUNI
TIR e HP 12C
Funções financeiras
[g] [CF0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0
[g] [CFj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j
Cuidado!! j <= 20 !!!
[g] [Nj] – Abastece o número de repetições
[f] [IRR] – Calcula a TIR
IRR = Internal Rate of Return
BRUNI
Calculando TIR na HP12C
[f] [Reg]
500 [CHS] [g] [CF0]
200 [g] [CFj]
250 [g] [CFj]
400 [g] [CFj]
[f] [IRR]
27,95
BRUNI
Uso da TIR
TIR
CMPC
>
<
Aceito!!!
Rejeito!!!
BRUNI
Para sempre lembrar !!!
Exercícios
Resolva os exercícios do livro!!!!
BRUNI
Tópicos importantes e …
Extras!
BRUNI
Fonte das figuras utilizadas
Quase todas as figuras utilizadas neste conjunto de slides foram obtidas das seguintes fontes:
100.000 MultImídia Pack. Revista Expert Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000.
30.000 Multimídia Pack. Revista Expert Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000.
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