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 respectivos comprimentos (em metros). 
3.1.3. Propriedades e tipos de suspensões dos veículos pesados 
 Uma das funções do sistema de suspensão é isolar a estrutura do veículo e 
seus ocupantes de choques e vibrações geradas pelas irregularidades do 
pavimento. O objetivo é conciliar a sensibilidade humana e manter a estabilidade, o 
controle direcional e todas as necessidades de manobra de um veículo em seu 
comportamento dinâmico (Melo, 2007). 
 Uma forma de representar o sistema composto pela massa do veículo, 
suspensão e pneus é mostrada na Figura 7. A massa suspensa representa o 
conjunto do corpo do veiculo, seus ocupantes e carga transportada, que é apoiada 
sobre uma massa não suspensa, conjunto do eixo, roda, freio, mecanismos 
mecânicos e pneus, através de uma mola e um amortecedor. A massa não 
suspensa apóia-se no chão através do pneu, o qual atua como uma mola 
amortecida. 
 
 
Figura 7: Representação de um sistema de suspensão simples. 
 
 O tipo de suspensão mais utilizada em veículos pesados são aquelas 
formadas por molas formadas por feixes de lâminas. As propriedades deste tipo de 
mola são caracterizadas pela relação entre força e deslocamento, conforme mostra 
a Figura 8. 
 
17 
 
 
Figura 8: Relação força-deslocamento característica de uma mola em feixe de lâminas. Fonte: 
GILLESPIE et al., 1992. 
 
 Gillespie et al., 1992, também mostra em seu trabalho as propriedades típicas 
mais importantes utilizadas em simulações numéricas e que foram obtidas em 
experimentos realizados com diversas suspensões de diversos fabricantes. A Tabela 
3 mostra as propriedades dos tipos de eixos utilizados neste trabalho. 
 
Posição da suspensão Faixa de rigidez (kN/m) 
Coeficiente de 
amortecimento 
(kN.s/m) 
Massa não 
suspensa 
(kg) 
Eixo direcional 165 até 429 3,0 635,0 
Eixo simples trativo 482 até 589 6,0 1089,0 
Eixo trativo em tandem duplo 321 até 589 6,0 2132,0 
Eixo de semi-reboque em tandem triplo 321 até 393 6,0 2110,0 
Tabela 3: Propriedades das suspensões. 
 
3.1.4. Propriedades dos Pneus 
 A relação da deflexão vertical e carga suportada pelos pneus têm 
comportamento não-linear, inicialmente, e posteriormente linear. Gillespie et al., 
1992, além das propriedades de rigidez das suspensões as estudou também para os 
pneus que podem ser vistas resumidamente na Tabela 4. 
 
Tipo de pneu Rigidez por pneu (kN/m) 
Coeficiente de amortecimento por pneu 
(kN.s/m) 
Convencional Simples 839 1,0 
Convencional Duplo 839 1,0 
Tabela 4: Propriedades dos pneus. 
 
 
18 
3.2. Descrição das estruturas de pontes consideradas 
 A geometria das pontes é obtida em função do sistema estrutural, do vão a 
ser vencido, da altura estrutural disponível, do processo de construção e das 
características da via. 
 O Departamento Nacional de Estradas de Rodagem – DNER em seu manual 
de projeto de obras-de-arte especiais define alguns parâmetros a serem 
considerados durante o projeto de pontes. Dentre estes, pode-se citar aqueles 
utilizados para o projeto das estruturas aqui consideradas, que são: 
− Classe de projeto: I-B (pista simples) 
− Região: Plana 
− Largura da faixa de rolamento: 3,60 m 
− Largura do acostamento externo: 2,40 m 
− Velocidade diretriz: 100 km/h 
 
 
Figura 9: Seção transversal de acordo com o DNER para pontes da classe I-B. 
 
 Além destas recomendações, o DNER também recomenda valores mínimos 
para a alma das vigas, espessura das lajes e esbeltez. 
 O presente estudo restringiu-se as pontes de concreto armado, moldado in 
loco, com vãos de 20, 30 e 40 m, sendo o esquema estrutural longitudinal de vigas 
bi-apoiadas. As seções transversais são ilustradas na Figura 10, que constam de 
lajes associadas às vigas principais de seção retangular constante, sendo as 
transversinas desligadas das lajes. 
 
19 
 
a) Vão 20 m 
 
 
 
 
b) Vão 30 m 
 
 
 
c) Vão 40 m 
 
Figura 10: Seção transversal típica das pontes estudadas. 
 
 
20 
4. Modelo computacional para simulação da iteração 
veículo-estrutura 
4.1. Modelagem do veículo 
 O veículo é um sistema de carregamento dinâmico móvel, ou seja, variável no 
tempo e no espaço, que atua na estrutura de uma ponte ao trafegar sobre o 
pavimento a certa velocidade. O veículo excita a ponte devido à ação inercial das 
massas do veículo, pela rugosidade do pavimento (desprezada neste trabalho) e 
pela iteração com a própria estrutura em movimento. Considera-se, também, que o 
veículo não perde contato com a estrutura em momento algum. 
 Apresenta-se esquematicamente na Figura 11 o modelo do veículo, bem 
como os referenciais adotados. O modelo representa um veículo, com uma massa 
suspensa e outra não suspensa, assim como sua suspensão (massa 1m , mola 1k e 
amortecedor 1c ) e pneus (mola 2k e amortecedor 2c ) e dois graus de liberdade: 1x e 
2x . A iteração veículo-estrutura é dada através do grau de liberdade cx . 
 
 
Figura 11: Veículo com 2 graus de liberdade sobre um elemento linear. 
 
 Pode-se escrever o sistema de equações diferenciais associadas aos graus 
de liberdade do veículo e do grau de liberdade de contato do mesmo com a ponte 
cx , conforme a equação (1). 
 
21 
( ) ( ) 




=
















−+−
−
+
















−+−
−
+
















2
1
2
1
2211
11
2
1
2211
11
2
1
2
1 00
00
00
P
P
x
x
x
kkkk
kk
x
x
x
cccc
cc
x
x
x
m
m
ccc
&
&
&
&&
&&
&&
 (1) 
onde: iP , im , ic , ix&& , ix& e ix são o peso, a massa, o coeficiente de amortecimento, a 
aceleração, a velocidade e o deslocamento da massa i, respectivamente. 
 Este modelo apresenta resultados próximos daqueles obtidos com um modelo 
mais complexo de quatro graus de liberdade analisado por Green, conforme 
mostrado na Figura 12. Por esse motivo o modelo com 2 graus de liberdade foi 
adotado neste trabalho. 
 
 
Figura 12: Resposta obtida por Green et al com veículos de 2 e 4 graus de liberdade. 
 
 O resultado apresentado na Figura 12 indica que a complexidade do modelo 
de veículo para o caso analisado não exerce grande influência sobre as respostas 
obtidas. 
4.2. Modelagem da estrutura das pontes 
 Para a modelagem da estrutura foi considerado uma discretização unifilar 
através do Método dos Elementos Finitos, utilizando elementos de viga. 
 As equações diferenciais de movimento de uma estrutura submetida a um 
carregamento em função do tempo e do espaço é dada por: 
fkxxcxm =++ &&& (2) 
onde: 
m é a matriz de massa global da estrutura; 
c é a matriz de amortecimento global da estrutura; 
 
22 
k é a matriz de rigidez global da estrutura; 
x&& , x& e x são, respectivamente, os vetores de aceleração, velocidade e 
deslocamento dos pontos nodais da estrutura e 
f é o vetor de forças nodais variável no tempo e no espaço. 
 A Figura 13 mostra o modelo de vigas representando a estrutura da ponte, 
isto é, o conjunto formado pelas vigas principais e transversais e tabuleiro, sendo im 
a i-ésima massa concentrada nos nós. 
 
 
Figura 13: Modelo de elementos finitos da estrutura da ponte. 
 
 A superestrutura foi modelada como barras contínuas utilizando elementos de 
viga os quais apresentam matrizes de rigidez local elk como a mostrada na equação 
(3), onde E , I e L representam, respectivamente, o módulo de elasticidade 
longitudinal da superestrutura, o momento de inércia da seção transversal e o 
comprimento do elemento. A matriz de rigidez global da estrutura, k , foi obtida 
somando-se adequadamente as matrizes de rigidez locais dos

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