A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
47 pág.
tcc waldir

Pré-visualização | Página 6 de 8

elementos utilizados 
na discretização da estrutura. 




















−
−−−
−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
el
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
k (3) 
 O módulo de elasticidade longitudinal do concreto aos 28 dias utilizado foi o 
módulo de elasticidade secante, obtido segundo a norma NBR 6118, no item 8.2.8, 
conforme abaixo. 
2
15600 ckci fE = 
MPaEci 3313035.5600 2
1
== 
 
cics EE 85,0= 
MPaEcs 2816033130.85,0 == 
 
(4) 
 
 
 
 
(5) 
 
23 
 Para a massa específica do concreto armado foi adotado o valor 
³/25 mkNc =ρ , os valores da área e do momento de inércia da seção transversal, 
utilizados em cada caso, estão listados na Tabela 5 para os respectivos vãos. 
 Para a simulação da massa das pontes adotou-se uma modelagem de 
massas discretas, obtendo-se a matriz global apresentada abaixo. 
( ) ( ) ( ) ( )[ ],2/,,2/,2/,2/ 32211 nmmmmmmdiag K++=M (6) 
 O valor da massa im do i-ésimo elemento é calculada multiplicando-se a área 
da seção transversal, A , pelo comprimento do elemento, L , e pela massa 
específica da estrutura, cρ . 
 A matriz de amortecimento foi considerada proporcional à matriz de massa. 
 
Vão 
(m) 
Área 
(m²) 
Momento de inércia 
(m4) 
20 5,1710 0,7670 
30 5,9810 2,8671 
40 6,4310 4,8609 
Tabela 5: Propriedades das seções transversais das pontes consideradas. 
 
4.3. Modelo acoplado veículo-estrutura 
 Associando as equações (1) e (2), pode-se escrever um sistema de equações 
único que engloba todas as equações diferenciais que descrevem o comportamento 
dinâmico do sistema, conforme mostrado na equação (7). 
 
24 
( )









=






































+−
−
+






































−
+−
−
+






































tfx*k
x*c
xm
2
1
2
1
2,
2,211
11
2
1
2
2211
11
2
1
2
1
00
00
0
00
00
0000
00000
00
00
0
00
00
00-00
00000
00
00
00
00
00
000000
000000
P
P
x
x
k
kkkk
kk
x
x
c
cccc
cc
x
x
m
m
c
c
MM
MM
LL
LL
&
&
&
MM
MM
LL
LL
&&
&&
&&
MM
MM
LL
LL
 
(7) 
onde: 
*c é a matriz de amortecimento da estrutura com o elemento ccc , acrescido de 2c ; 
*k é a matriz de amortecimento da estrutura com o elemento cck , acrescido de 2k ; 
 Na equação (7), somente a matriz de massas é constante no tempo. As 
demais devem ser atualizadas a cada passo no tempo, já que com o movimento do 
veículo o grau de liberdade do ponto de contato é alterado. 
 O vetor de cargas ( )tf é obtido através da adição das cargas nodais 
equivalentes do veiculo, ( )tf ' (conforme equação (8)), ao vetor de cargas devido ao 
carregamento permanente da estrutura. Para determinar as cargas nodais 
 
25 
equivalentes, primeiramente determina-se a posição do veículo em dado instante, 
conseqüentemente o elemento sobre o qual o veículo se encontra. Feito isso, 
calcula-se as cargas nodais equivalentes de acordo com a equação (8) e Figura 14. 
 
 
Figura 14: Elemento com carga fora do nó. 
 
 
( ) ( )( )
( ) 













−
−
+−
+−
=














=
lala
aal
alaall
alal
l
P
M
V
M
V
t
2
2
22
323
3
2
2
1
1
23
2
23
f' (8) 
onde: 21 PPP += . 
 Os valores das rigidezes equivalentes adotadas para modelar as rigidezes da 
suspensão foram obtidos a partir dos valores médios daqueles listados na Tabela 3 
e então calculou-se a rigidez equivalente a associação paralela de molas. Os valores 
obtidos para as rigidezes, coeficientes de amortecimentos e massas estão listados 
na Tabela 6. 
 
Massa 
(kg) 
Rigidez 
(kN/m) 
Coeficiente de amortecimento 
(kN.s/m) Veículo 
1m 2m 1k 2k 1c 2c 
2C 14276,0 1724,0 684,0 839,0 6,0 1,0 
3C 20233,0 2767,0 603,5 839,0 6,0 1,0 
2S3 37666,0 3834,0 1041,0 839,0 6,0 1,0 
Tabela 6: Propriedades adotadas para os veículos considerados. 
 
 
 
26 
5. Efeitos da passagem de veículos sobre pontes 
rodoviárias 
 Neste capítulo será apresentado um estudo com a intenção de fornecer uma 
melhor compreensão dos parâmetros mais influentes no fator de amplificação 
dinâmica (FAD). Este fator é definido como: 
estático
dinâmicoFAD δ
δ
= (9) 
onde: 
dinâmicoδ
 é o deslocamento máximo no meio do vão de uma ponte avaliado para a 
passagem de um veículo, considerando-se forças inerciais e 
estáticoδ é o deslocamento máximo no meio do vão de uma ponte avaliado para a 
passagem de um veículo, sem considerar forças inerciais (carga estática). 
 Foram consideradas pontes com duas vigas principais biapoiadas com vãos 
de 20, 30 e 40m, sujeitas a passagem de veículos das classes 2C, 3C e 2S3, com 
velocidades iguais a: 20, 60 e 100 km/h. Neste trabalho foi desconsiderado o efeito 
das irregularidades do pavimento. 
 No modelo unifilar da estrutura foram considerados o método da superposição 
modal (ROCHA e BARBOSA, 2007) e 3 modos de flexão vertical. 
 Após realizar uma análise de convergência para um vão de 48 m, optou-se 
por utilizar 12 elementos. Para isso, realizou-se a passagem de um veículo sobre a 
estrutura modelada com 4, 12 e 24 elementos. As respostas para o deslocamento 
vertical no meio do vão podem ser vistas na Figura 16. Observa-se nessa figura que 
os resultados para 12 e 24 elementos são muito semelhantes e, por esse motivo, o 
modelo com 12 elementos foi adotado. 
 
27 
 
Figura 15: Análise de convergência. 
5.1. Respostas típicas das pontes 
 Apresentam-se a seguir as respostas em termos de deslocamentos no meio 
do vão para as estruturas consideradas. As mesmas foram submetidas à passagem 
de veículos das classes 2C, 3C e 2S3 com peso total de 160kN, 230kN e 415kN, 
respectivamente. As velocidades (v) dos veículos foram fixadas em 20, 60 e 
100km/h. Os deslocamentos verticais no meio do vão para os três vãos 
considerados são apresentados nas figuras 17, 18 e 19, respectivamente. 
 
 
 
a) v = 20 km/h 
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 1 2 3 4 5
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
m
)
2C 3C 2S3
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
b) v = 60 km/h 
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 0,5 1 1,5 2
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
m
)
2C 3C 2S3
 
c) v = 100 km/h 
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 0,5 1 1,5 2
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
m
)
2C 3C 2S3
 
Figura 16: Resposta em termos de deslocamentos no meio do vão para a ponte com vão de 20m. 
 
 
 
 
 
a) v = 20 km/h 
-80
-60
-40
-20
0
20
0 1 2 3 4 5
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
m
)
2C 3C 2S3
 
 
 
 
 
 
29 
b) v = 60 km/h 
-80
-60
-40
-20
0
20
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
m
)
2C 3C 2S3
 
c) v = 100 km/h 
-80
-60
-40
-20
0
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
m
)
2C 3C 2S3
 
Figura

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.