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elementos utilizados na discretização da estrutura. − −−− − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI el 4626 612612 2646 612612 22 2323 22 2323 k (3) O módulo de elasticidade longitudinal do concreto aos 28 dias utilizado foi o módulo de elasticidade secante, obtido segundo a norma NBR 6118, no item 8.2.8, conforme abaixo. 2 15600 ckci fE = MPaEci 3313035.5600 2 1 == cics EE 85,0= MPaEcs 2816033130.85,0 == (4) (5) 23 Para a massa específica do concreto armado foi adotado o valor ³/25 mkNc =ρ , os valores da área e do momento de inércia da seção transversal, utilizados em cada caso, estão listados na Tabela 5 para os respectivos vãos. Para a simulação da massa das pontes adotou-se uma modelagem de massas discretas, obtendo-se a matriz global apresentada abaixo. ( ) ( ) ( ) ( )[ ],2/,,2/,2/,2/ 32211 nmmmmmmdiag K++=M (6) O valor da massa im do i-ésimo elemento é calculada multiplicando-se a área da seção transversal, A , pelo comprimento do elemento, L , e pela massa específica da estrutura, cρ . A matriz de amortecimento foi considerada proporcional à matriz de massa. Vão (m) Área (m²) Momento de inércia (m4) 20 5,1710 0,7670 30 5,9810 2,8671 40 6,4310 4,8609 Tabela 5: Propriedades das seções transversais das pontes consideradas. 4.3. Modelo acoplado veículo-estrutura Associando as equações (1) e (2), pode-se escrever um sistema de equações único que engloba todas as equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema, conforme mostrado na equação (7). 24 ( ) = +− − + − +− − + tfx*k x*c xm 2 1 2 1 2, 2,211 11 2 1 2 2211 11 2 1 2 1 00 00 0 00 00 0000 00000 00 00 0 00 00 00-00 00000 00 00 00 00 00 000000 000000 P P x x k kkkk kk x x c cccc cc x x m m c c MM MM LL LL & & & MM MM LL LL && && && MM MM LL LL (7) onde: *c é a matriz de amortecimento da estrutura com o elemento ccc , acrescido de 2c ; *k é a matriz de amortecimento da estrutura com o elemento cck , acrescido de 2k ; Na equação (7), somente a matriz de massas é constante no tempo. As demais devem ser atualizadas a cada passo no tempo, já que com o movimento do veículo o grau de liberdade do ponto de contato é alterado. O vetor de cargas ( )tf é obtido através da adição das cargas nodais equivalentes do veiculo, ( )tf ' (conforme equação (8)), ao vetor de cargas devido ao carregamento permanente da estrutura. Para determinar as cargas nodais 25 equivalentes, primeiramente determina-se a posição do veículo em dado instante, conseqüentemente o elemento sobre o qual o veículo se encontra. Feito isso, calcula-se as cargas nodais equivalentes de acordo com a equação (8) e Figura 14. Figura 14: Elemento com carga fora do nó. ( ) ( )( ) ( ) − − +− +− = = lala aal alaall alal l P M V M V t 2 2 22 323 3 2 2 1 1 23 2 23 f' (8) onde: 21 PPP += . Os valores das rigidezes equivalentes adotadas para modelar as rigidezes da suspensão foram obtidos a partir dos valores médios daqueles listados na Tabela 3 e então calculou-se a rigidez equivalente a associação paralela de molas. Os valores obtidos para as rigidezes, coeficientes de amortecimentos e massas estão listados na Tabela 6. Massa (kg) Rigidez (kN/m) Coeficiente de amortecimento (kN.s/m) Veículo 1m 2m 1k 2k 1c 2c 2C 14276,0 1724,0 684,0 839,0 6,0 1,0 3C 20233,0 2767,0 603,5 839,0 6,0 1,0 2S3 37666,0 3834,0 1041,0 839,0 6,0 1,0 Tabela 6: Propriedades adotadas para os veículos considerados. 26 5. Efeitos da passagem de veículos sobre pontes rodoviárias Neste capítulo será apresentado um estudo com a intenção de fornecer uma melhor compreensão dos parâmetros mais influentes no fator de amplificação dinâmica (FAD). Este fator é definido como: estático dinâmicoFAD δ δ = (9) onde: dinâmicoδ é o deslocamento máximo no meio do vão de uma ponte avaliado para a passagem de um veículo, considerando-se forças inerciais e estáticoδ é o deslocamento máximo no meio do vão de uma ponte avaliado para a passagem de um veículo, sem considerar forças inerciais (carga estática). Foram consideradas pontes com duas vigas principais biapoiadas com vãos de 20, 30 e 40m, sujeitas a passagem de veículos das classes 2C, 3C e 2S3, com velocidades iguais a: 20, 60 e 100 km/h. Neste trabalho foi desconsiderado o efeito das irregularidades do pavimento. No modelo unifilar da estrutura foram considerados o método da superposição modal (ROCHA e BARBOSA, 2007) e 3 modos de flexão vertical. Após realizar uma análise de convergência para um vão de 48 m, optou-se por utilizar 12 elementos. Para isso, realizou-se a passagem de um veículo sobre a estrutura modelada com 4, 12 e 24 elementos. As respostas para o deslocamento vertical no meio do vão podem ser vistas na Figura 16. Observa-se nessa figura que os resultados para 12 e 24 elementos são muito semelhantes e, por esse motivo, o modelo com 12 elementos foi adotado. 27 Figura 15: Análise de convergência. 5.1. Respostas típicas das pontes Apresentam-se a seguir as respostas em termos de deslocamentos no meio do vão para as estruturas consideradas. As mesmas foram submetidas à passagem de veículos das classes 2C, 3C e 2S3 com peso total de 160kN, 230kN e 415kN, respectivamente. As velocidades (v) dos veículos foram fixadas em 20, 60 e 100km/h. Os deslocamentos verticais no meio do vão para os três vãos considerados são apresentados nas figuras 17, 18 e 19, respectivamente. a) v = 20 km/h -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 0 1 2 3 4 5 Tempo (s) D es lo ca m en to (m m ) 2C 3C 2S3 28 b) v = 60 km/h -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 0 0,5 1 1,5 2 Tempo (s) D es lo ca m en to (m m ) 2C 3C 2S3 c) v = 100 km/h -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 0 0,5 1 1,5 2 Tempo (s) D es lo ca m en to (m m ) 2C 3C 2S3 Figura 16: Resposta em termos de deslocamentos no meio do vão para a ponte com vão de 20m. a) v = 20 km/h -80 -60 -40 -20 0 20 0 1 2 3 4 5 Tempo (s) D es lo ca m en to (m m ) 2C 3C 2S3 29 b) v = 60 km/h -80 -60 -40 -20 0 20 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Tempo (s) D es lo ca m en to (m m ) 2C 3C 2S3 c) v = 100 km/h -80 -60 -40 -20 0 20 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Tempo (s) D es lo ca m en to (m m ) 2C 3C 2S3 Figura
