EEAR e ESA aula de conjuntos

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 CURSOPROGRESSÃO CENTRO 
 
Prof Rodrigo 
 
Noçoes de conjuntos 
1) Conjunto: conceito primitivo; não necessita, 
portanto, de definição. 
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = 
{2, 4, 6 ,8 ,10 ,12, ... }. 
Esta forma de representar um conjunto, pela 
enumeração dos seus elementos, chama-se forma de 
listagem. O mesmo conjunto também poderia ser 
representado por uma propriedade dos seus elementos 
ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P 
acima, poderíamos escrever: 
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }. 
 
1.1) Relação de pertinência: Sendo x um elemento do 
conjunto A , escrevemos x A, 
onde o símbolo significa "pertence a". 
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , 
indicamos esse fato com a notação 
y A. 
 
1.2) Igualdade de conjuntos : Dois conjuntos A e B 
são iguais quando eles possuem os mesmos elementos. 
Indicamos essa igualdade por A = B. 
Exemplo: Os conjuntos A = {x| x é um número maior 
que – 2 e menor ou igual a 4}] e B = { 1, 0, 1, 2, 3, 
4} possuem os mesmos elementos. Assim, os 
conjuntos A e B são iguais, ou seja, A = B. 
De maneira semelhante, dois conjuntos são diferentes, 
ou seja, não são iguais, quando algum elemento 
pertence a um conjunto e não pertence ao outro. 
Indicamos por C D. 
 
1.3) Conjunto unitário, vazio e universo. 
Conjunto unitário: Um conjunto A que possui um 
único elemento é chamado conjunto unitário, ou seja 
n(A) = 1. Os conjuntos A = {7} e B = {x| x é um 
número par e primo} 
Conjunto vazio: Dizemos que A é um conjunto vazio 
quando ele não possui nenhum elemento, ou seja n(A) 
= 0. Podemos indicar um conjunto vazio por ou { }. 
O conjunto A = {x| x é um número ímpar e divisível 
por 2} 
Conjunto universo: Indicado geralmente por U, 
aquele a qual pertencem todos os elementos 
considerados em determinada situação. É importante 
que explicitamente ou implicitamente fique bem 
estabelecido o conjunto universo U. 
 
1.4) Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto 
A também pertence a um conjunto B, então dizemos 
que 
 
 
 
 
 
 
A é subconjunto de B e indicamos isto por A ⊂ B. 
Notas: 
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A ⊂ A ) 
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer 
conjunto. ( ⊂ A) 
c) se um conjunto A possui m elementos então ele 
possui 2
m
 subconjuntos. 
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de 
um conjunto A é denominado 
conjunto das partes de A e é indicado por P(A). 
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é 
dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}} 
e) um subconjunto de A é também denominado parte 
de A. 
f) Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. 
g) Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B. 
 
Se um conjunto tem n elementos, então P(A) = , 
ou seja a quantidade de subconjuntos de um 
conjunto. 
2) Operaçoes com conjuntos 
2.1) Uniao : Dados os conjuntos A e B, define-se o 
conjunto união A  B = {x; x  A ou x  B}. 
Exemplo: {0,1,3}  { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-
se facilmente que o conjunto união contempla todos os 
elementos do conjunto A ou do conjunto B. 
Propriedades imediatas: 
a) A  A = A 
b) A   = A 
c) A  B = B  A (a união de conjuntos é uma 
operação comutativa) 
d) A  U = U , onde U é o conjunto universo. 
2.2) Interseção: Dados os conjuntos A e B , define-se 
o conjunto interseção A  B = {x; x  A e x  B}. 
Exemplo: {0,2,4,5}  { 4,6,7} = {4}. Percebe-se 
facilmente que o conjunto interseção contempla os 
elementos que são comuns aos conjuntos A e B. 
Propriedades imediatas: 
a) A  A = A 
b) A   =  
c) A  B = B  A ( a interseção é uma operação 
comutativa) 
d) A  U = A onde U é o conjunto universo. 
São importantes também as seguintes propriedades: 
P1. A  ( B  C ) = (A  B)  ( A  C) (propriedade 
distributiva) 
2 
 
 
P2. A  ( B  C ) = (A  B )  ( A  C) 
(propriedade distributiva) 
P3. A  (A  B) = A (lei da absorção) 
P4. A  (A  B) = A (lei da absorção) 
Observação: Se A  B =  , então dizemos que os 
conjuntos A e B são Disjuntos. 
2.3) Diferença: A - B = {x ; x  A e x  B}. 
Observe que os elementos da diferença são aqueles 
que pertencem ao primeiro conjunto, mas não 
pertencem ao segundo. 
Exemplos: 
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. 
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. 
Propriedades imediatas: 
a) A -  = A 
b)  - A =  
c) A - A =  
d) A - B  B - A (a diferença de conjuntos não é uma 
operação comutativa). 
2.4) Complementar de um conjunto :Trata-se de um 
caso particular da diferença entre dois conjuntos. 
Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a 
condição de que B  A , a diferença A - B chama-se, 
neste caso, complementar de B em relação a A . 
Simbologia: CAB = A - B. 
3) Número de elementos da união de dois conjuntos 
:Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de 
elementos de A seja n(A) e o número de elementos de 
B seja n(B). 
Nota: o número de elementos de um conjunto, é 
também conhecido com cardinal do conjunto. 
 
Representando o número de elementos da interseção A 
 B por n(A  B) e o número de elementos da união 
A  B por n(A  B) , podemos escrever a seguinte 
fórmula: 
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) 
4) Conjuntos numéricos 
 
4.1) Conjunto dos números naturais (N): 
É formado pelos números inteiros não negativos. 
 
 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Excluindo o zero formamos o conjunto dos naturais 
não nulos, que é dado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, ...}. Logo, N* = N – {0} 
 
4.2) Conjunto dos números inteiros (Z): 
É formado pelos números inteiros, positivos e 
negativos. 
 
 
 
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Alguns subconjuntos de Z, são: 
· Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {..., –3, –2, –1, 
1, 2, 3, ...} 
· Conjunto dos inteiros positivos: 
 
 = {1, 2, 3, 4, ...} 
· Conjunto dos inteiros negativos: 
 = {..., –3, –2, 
–1} 
· Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 
4, ...} 
· Conjunto dos inteiros não positivos: Z - = {..., –3, –2, 
–1, 0} 
Observe que: 
a) 
 = N* 
b) Z+ = N 
c) Z ⊃ N (o conjunto dos números inteiros contém o 
conjunto dos números naturais) 
 
4.3) Conjunto dos números racionais (Q): 
Números racionais são aqueles que podemos obter pela 
divisão de dois inteiros, ou seja, são 
números que podem ser expressos através de uma 
razão. 
Q = {x| x = 
 
 
; } 
Exemplos: 
1) 0,7 Q, pois 0,7 = 7/10 
2) –2,31 Q, pois –2,31 = - 231/ 100 
3) 5 Q, pois 5 = 5/1 
4) 2,333... Q, pois 2,333.... = 7/3 
Observe que: 
a) Um número racional, quando escrito na forma 
decimal, pode apresentar um número 
finito de casas decimais (decimal exato) ou um número 
infinito de casas decimais (dízimas 
periódicas). 
b) Q ⊃ Z (o conjunto dos números racionais contém o 
conjunto dos números inteiros) 
 
4.4) Conjunto dos números reais (R): 
O conjunto dos números reais é formado pela união 
dos números racionais (conjunto Q) com 
os números irracionais (I). Enquanto os números 
racionais são os números que podem ser 
expressos por uma razão, os números irracionais são os 
números que não podem ser expressos 
por uma razão. 
Exemplos de números irracionais: 
1) O número (pi), que usamos como 
aproximadamente 3,1416, mas na realidade tem um 
número de casas decimais infinito sem formar uma 
dízima periódica. Uma aproximação 
3 
 
 
mais precisa do número é: = 
3,1415926535897932384626433832795... 
2) O númeroe (número de Euler), que é base do ln 
(logaritmo neperiano ou log de base e), 
podemos considerar como aproximadamente igual a 
2,7182818, mas seu número de 
casas decimais também é infinito sem formar uma 
dízima periódica. 
3) Qualquer raiz não exata é um número irracional, seu 
valor não poderá ser expresso por 
uma razão, como exemplos podemos citar: , , 
 
 
 , 
 
 , etc... 
Observe que R ⊃ Q (o conjunto dos números reais 
contém o conjunto dos números racionais) 
e que R = Q + I.