Independência linear

Prévia do material em texto

Independência linear
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em álgebra linear, um conjunto S de vectores diz-se linearmente independente se nenhum dos seus elementos for combinação linear dos outros.
Índice
Definição formal
Um subconjunto S de um espaço vectorial V diz-se linearmente dependente se existe um subconjunto finito F de S e escalares {\displaystyle \lambda _{v},v\in F}, não todos nulos, tais que {\displaystyle \sum _{v\in F}\lambda _{v}\ v=0}. O conjunto S diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito F de S se tem {\displaystyle \sum _{v\in F}\lambda _{v}\ v=0\Rightarrow \lambda _{v}=0\,,\forall v\in F}.[1][2]
Nestas situações, diz-se também que os vetores do subconjunto S são linearmente dependentes ou linearmente independentes, respectivamente.
Exemplos
Os vectores {\displaystyle u} e {\displaystyle j} são linearmente dependentes (são paralelos); os vectores {\displaystyle u} e {\displaystyle v} são linearmente independentes (formam uma base para o plano {\displaystyle P} da imagem); os vectores {\displaystyle u,w} e {\displaystyle k} são linearmente independentes (formam uma base para um espaço vetorial de três dimensões)
O conjunto vazio é linearmente independente[3]
Um conjunto unitário cujo único elemento não é o vetor nulo, é linearmente independente[4]
Dois vectores do plano são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo do outro (isto é, se são colineares).
Em {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}:
O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é linearmente independente.
O conjunto {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} é linearmente independente.
Qualquer subconjunto de {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} com mais de três vectores é linearmente dependente.
Três vectores não nulos e não colineares são linearmente dependentes se estiverem contidos em um mesmo plano
Três vectores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por suas coordenadas for igual a zero.
Referências
Ir para cima↑ Noble & Daniel, 1986, p. 89
Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 67–68
Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 68
Ir para cima↑ Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 74
Bibliografia
Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. (São Paulo: Atual). ISBN 9788570562975.
Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada (Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil). ISBN 9788570540225.
Álgebra linear
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano R³. Subespaços são estudados em álgebra linear.
Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas oudiferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais,transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.
Índice
História
Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como aeliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.
O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início daálgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.
Sistemas de equações lineares
Ver artigo principal: Sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.
Geometria analítica
Ver artigo principal: Geometria analítica
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.
Espaços vetoriais
Ver artigo principal: Espaço vetorial
Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.
Transformação linear
Ver artigo principal: Transformação linear
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Teoremas fundamentais[editar | editar código-fonte]
Teorema do Núcleo e da Imagem
Teorema Espectral
Teorema dos Valores Singulares
Teorema de Cayley-Hamilton
Todo espaço vetorial possui uma base.[1]
Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.[2]
Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.[3]
A matriz é inversível se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um isomorfismo.
Aplicações
Programação linear
Processamento de imagens
Física matemática
Estatística
Referências
Ir para cima↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.
Ir para cima↑ Dimension theorem for vector spaces
Ir para cima↑ http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php
Ver também
O Wikilivros tem um livro chamadoÁlgebra linear
Regra de Cramer
Subespaço vetorial
Vetor
Equação linear
Livros online
J. Santos, Reginaldo, Introdução à Álgebra Linear
Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto
Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
Zani, Sérgio L., "Álgebra Linear"
Malajovich, Gregório, "Álgebra Linear"
Pellegrini, Jerônimo C., "Álgebra Linear"
Treil, Sergei, "Linear Algebra Done Wrong"
Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
Hefferon, Jim, Linear Algebra
Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra
Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry
Dependência e Independência Linear
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.
Sejam V um espaço vetorial e∈ V.
Dizemos que o conjunto {} ou que os vetoressão linearmente independentes (LI) se a equação
admitir apenas a soluçãotrivial, isto é: a1 = ... = an = 0
Se existir algum aj ≠ 0, dizemos que {} ou que os vetoressão linearmente dependentes (LD).
Em outras palavras, o conjunto {} é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear dos outros.
Prova:
SejamSuponha que aj ≠ 0(para ser LD).
Então.
Portanto,é combinação linear.
Por outro lado, se tivermostal que para algum j
Então,
Logo, bj = −1 e, portanto, V é LD.
A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil:
i) Sejaé LD se e somente seeestiverem na mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origemsão pararlelos:
ii) Sejaé LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem:
Exemplo: Os vetoressão LI ou LD?
Solução: Verificando a expressão
Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI.
Questões
1) Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad − bc = 0, mostre que eles são LD. Se ad − bc ≠ 0, mostre que eles são LI.
2) Para quais valores de a o conjunto de vetores {(3,1,0); (a2 + 2,2,0)} é LD?
3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.
4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores.
5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: