CÁLCULO VETORIAL WEB 1

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CÁLCULO VETORIAL
WEBCONFERÊNCIA I
Karla Adriana
Cálculo Vetorial 
UNIDADES 1 
Prof ª. Karla Adriana
2
Funções de várias Variáveis
Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado de números reais (x,y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y).
O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem o conjunto de valores de f, ou seja, 
Funções de três variáveis: É uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) em um 
domínio D pertence ao R3 um único número real denotado por f(x,y,z).
 
Exemplos:
Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,4):
Exemplos:
Gráficos
Em muitas situações precisamos fazer a representação dessas funções;
Existe mais de uma forma de fazermos essa representação, uma delas são os gráficos;
Para representarmos algumas funções precisamos do auxílio de computadores;
Exemplo:
Podemos analisar essa função
em cada par de eixos coordenados
Limite e Continuidade
Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente próximos de (a,b). 
Dizemos que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (a,b) é L e escrevemos
se para todo ε > 0 existe um número correspondente
Interpretação geométrica
Caminhos de Aproximação
Continuidade
Derivadas Parciais
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e fy definidas por
Para achar fx, olhe y como constante e diferencie f (x,y) com relação a x.
2. Para achar fy, olhe x como constante e diferencie f (x,y) com relação a y.
Notações
Podemos representar derivadas parciais de várias formas:
Exemplo
Interpretação Geométrica
Da mesma forma que derivada de uma função de uma variável pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à função em um ponto, para funções de duas variáveis as derivadas parciais também podem ser interpretadas dessa forma.
Com uma grande diferença: agora teremos duas retas
Exemplo
Se ache e interprete esses números como inclinações
Derivadas parciais de 2ª Ordem
Exemplo
Funções de n Variáveis
Se u é uma função de n variáveis, , sua derivada parcial em relação à i-ésima variável xi é
Exemplo:
Regra da Cadeia: caso 1
Suponha que z = f (x,y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis em t.
Então z é uma função diferenciável de t e
Exemplo
Regra da Cadeia: caso 2
Suponha que z = f (x,y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(s,t) e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de s e t.
Então
Exemplo:
Integrais Duplas: caso especial
Suponha que f (x, y) = g(x)h( y) e R = [a,b]X[c,d]. Então pelo Teorema de Fubini, temos:
Integrais Duplas: caso especial: exemplo
Integrais duplas: regiões gerais
Estamos interessados em integrar uma função z = f(x,y) sobre uma região de forma mais geral.
Regiões tipo I:
Regiões tipo I:
Exemplo:
Regiões tipo II:
Mudança de Variáveis na integral dupla
De modo mais geral, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação T do plano uv no plano xy
Definição: O jacobiano da transformação T dada por x = g(u,v) e y = h(u,v) é
Integral dupla em coordenadas polares
Integral dupla em coordenadas polares