CÁLCULO VETORIAL WEB 2

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CÁLCULO VETORIAL
WEBCONFERÊNCIA II
Karla Adriana
Cálculo Vetorial 
UNIDADE 2 
Prof ª. Karla Adriana
2
Integrais Triplas
Exemplo
Exemplo
Mudança de variáveis na integral tripla
Coordenadas Cilíndrica
Integrais em coordenadas cilíndricas
Jacobiano em coordenadas cilíndricas
Exemplo
Coordenadas esféricas
Integrais em coordenadas esféricas
Jacobiano em coordenadas esféricas
Exemplo
Exemplo
Derivada Direcional
Dada uma função z = f(x,y), estamos interessados em saber como a derivada dessa função se comporta na direção de um vetor unitário u determinado.
Teorema
Exemplo 1
Vetor Gradiente
Exemplo 2
Derivada Direcional e Vetor Gradiente
Exemplo 3
Maximizando a Derivada Direcional
Exemplo
Funções Vetoriais
Integrais de Linha
Iremos introduzir o conceito de integração ao longo de uma curva C. Essa integral é denominada de integral de linha 
 As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, movendo-a de um ponto A a um ponto B no plano 
 Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas variáveis
 Denominamos de integral de linha escalar, a integral de uma função f(x,y) ao longo de uma curva C e a denotamos por , onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C 
Integral de Linha Escalar
 Vamos entender melhor o conceito de integral de linha. Iremos utilizar a notação P(t) = (x(t); y(t)), para denotar um caminho (uma curva) no plano cartesiano R2. Podemos pensar em P(t) como sendo um ponto (em movimento), como função do tempo t, descrevendo uma curva C no plano, para 
 Para calcular uma integral de linha, é necessário conhecer a equação da curva C, a qual pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica 
 A forma cartesiana é mais utilizada, quando a curva C é o gráfico de uma função y = g(x). Já a forma paramétrica, abrange o caso geral, tanto para gráficos de função ou não. 
Integral de Linha Escalar
Em ambos os casos, uma integral de linha escalar pode ser transformada em uma integral simples de uma função de uma variável
Integral de Linha Escalar
A curva C é o gráfico de uma função y = g(x)
Exemplo
Integral de Linha de um campo Vetorial
Para determinar uma integral de linha vetorial, devemos primeiramente escolher um sentido de percurso ao longo da curva C. Isso é necessário porque as grandezas físicas, obtidas por este procedimento, ficam afetadas de um sinal algébrico. 
Integral de Linha de um campo Vetorial
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Divergente e Rotacional
Rotacional e divergente são duas operações essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos, eletricidade e magnetismo, entre outras áreas.
Em termos gerais, o rotacional e o divergente lembram a derivada mas produzem, respectivamente, um campo vetorial e um campo escalar.
Ambas operações são descritas em termos do operador diferencial 
Rotacional
Exemplo
Exemplo
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