RACIOCÍNIO LÓGICO CESPE

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RACIOCÍNIO LÓGICO
O que cai na CESPE?
- Operadores lógicos
- Lógica de 1ª ordem
- Equivalências e negações
- Sequências numéricas
- Argumentos válidos e não válidos (=sofismas/falácias)
- Condição suficiente e necessária
- Princípios de contagem (=análise combinatória)
As vezes cai:
- Porcentagem 
- Operações aritméticas (frações, multiplicações, divisões, etc)
- Leis de Morgan: negações do E e do OU
Raro:
- juros simples e compostos (básico)
Todo= quantificador universal
Algum= quantificador existencial (=pelo menos algum, existe pelo menos algum)
Nenhum = conjuntos disjuntos
Proposições lógicas - cers
Proposições são orações declarativas (possuem verbo) que admitem valor lógico (que permitam classificar em V ou F).
A frase deve conter sujeito e predicado, devem estar especificados o sujeito e o predicado, deve ter sentido completo (podendo ser verdadeira ou falsa).
Exs: Estou com calor (posso estar mentindo ou não – V ou F).
O valor de (é V ou F)
Não quero sorvete (V ou F)
NÃO são proposições:
- Exclamações: Bom dia! (expressão de desejo)
- Interrogações: Será que chove amanhã?
- Imperativas: Vá comprar pão!
- Frases com variáveis: “X é maior que 5”.
- Frases sem verbo (pois sequer são orações): “O melhor jogador de futebol.”
- Frases com ideias paradoxais. Ex.: “Esta frase é uma mentira”. Veja que, se você assumir que esta frase é VERDADEIRA, então ela é mesmo uma MENTIRA (ou seja, assumimos que ela era V e descobrimos que ela é F). E se assumirmos que ela é FALSA, então ela está falando a VERDADE ao afirmar ser mentirosa (assumimos que ela é F e descobrimos que é V). Por terem ideias contraditórias em si mesmas, essas frases não podem ser classificadas como V ou F.
Princípios Fundamentais da lógica: 
Princípio da Identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo, isto é, uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e uma proposição falsa é sempre falsa. 
Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. 
Principio do terceiro excluído: toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso.
(CESPE) A sentença “Quem é o maior defensor de um Estado não intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda?” é uma proposição composta que pode ser corretamente representada na forma (P∨Q)∧R, em que P, Q e R são proposições simples convenientemente escolhidas. Errada – não é proposição porque é pergunta.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS:
(CESPE) Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico. CERTA.
Dica: O trecho da sentença “...ao mesmo tempo...” é uma conjunção temporal, que pode ser substituído por “...enquanto... “, logo, não é um conectivo.
Proposição simples ou atômica: É uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de um objeto, isto é, possui um único objeto de estudo.
Proposição composta ou molecular: É formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos.
Para ser composta é necessário que haja conexão entre as proposições. Senão serão proposições simples. 
CESPE: não é porque tem um “e” que será uma proposição composta. CAI MUITO! BIZU CESPE: olhar se tem só um verbo. Se tiver verbo implícito, é simples!!! Exceção: conectivo “ou”. Se tiver “para” o resto da frase não é conectivo aditivo, mas explicativo (não acrescenta ideia). 
Ex: A sentença “A fiscalização federal é imprescindível para manter a qualidade tanto dos alimentos quanto dos medicamentos que a população consome” pode ser representada simbolicamente por P∧Q. ERRADA – simples.
Ex: A sentença “A presença de um órgão mediador e regulador das relações entre empregados e patrões é necessária em uma sociedade que busca a justiça social” é uma proposição simples. CERTO. Só há uma ideia.
Ex: A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples. CERTO.
Ex: A frase “O gaúcho, o mato-grossense e o mineiro têm em comum o amor pelo seu estado natal” pode ser representada logicamente na forma P∧Q∧R, em que P, Q e R sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Errada, não pode ser representada logicamente na forma P∧Q∧R, pois a frase é uma proposição simples - uma única ideia, um único sentido.
Ex: A frase “O perdão e a generosidade são provas de um coração amoroso” estará corretamente representada na forma P∧Q, em que P e Q sejam proposições lógicas convenientemente escolhidas. Errada – proposição simples.
OBS IMPORTANTE:  a proposição (P→Q)(Q↔P) vem com a conjunção "^" oculta entre as premissas, pois (...)(...) = (...) ^ (...).
Estou com calor e quero sorvete. – conjunção (^)
Se estou com calor, então quero sorvete. – condicional (→)
Estou com calor ou quero sorvete. – disjunção simples (v) - pelo menos uma é V
Se estou com calor, e somente se, quero sorvete. – bicondicional (<-->)
Ou estou com calor ou quero sorvete. – disjunção exclusiva (ou)
Conjunção(^): somente é V se ambas são V.
Na condicional (→): não se pode concluir que na ausência de condição, o contrário é verdadeiro. Se P = F, Q = V ou F. Ex: Se não estou com calor, então não quero sorvete.
Disjunção simples (v): pelo 1 é V ou ambos são V.
Bicondicional (<-->): se uma coisa acontece, a outra acontece. Se uma coisa não acontece, a outra também não acontece. Precisam coincidir.
Disjunção exclusiva (ou): ou 1 é V ou a outra é V. Só 1 é V. Não pode ter ambas V, nem ambas F. Não podem coincidir.
CESPE: a conjunção pois é conjunção condicional.
Ex: Alberto é advogado, pois Bruno não é arquiteto. A → B
CESPE: A proposição “A estabilidade econômica é dever do Estado e consequência do controle rígido da inflação” pode ser representada pela sentença lógica P→Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Errada - proposição simples. 
CESPE: A expressão “Uma revisão dos pisos salariais dos professores assegurará a revolução na educação básica a que a sociedade aspira, pois qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino deverá passar pela valorização do educador” pode ser representada pela sentença lógica P→Q, em que P e Q sejam proposições convenientemente escolhidas. CERTA.
Ex: Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errada – frase no imperativo.
(CESPE) A sentença “A vida é curta e a morte é certa" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. CERTA – não tem pegadinha.
(CESPE) A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q ∧ R, em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas. ERRADA - trata-se de uma proposição simples, onde os verbos estão apenas enumerados em uma sequência gradativa.
CESPE: A indicação de juízes para o STF deve ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura – proposição simples.
CESPE: A proposição “Deve ser estimulada uma atuação repressora e preventiva dos sistemas judicial e policial contra todo ato de intolerância” é uma proposição composta. Errada – proposição simples.
CESPE: A P2 - As pessoas têm o direito ao livre pensar e à liberdade de expressão - é uma proposição lógica simples. Certa. 
Após a palavra "consequência": se houver mais um verbo na frase (de preferência no infinitivo) será uma proposição composta, se não houver, é simples.
(CESPE) A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P → Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. Errada - é uma proposição simples, pois contém uma única ideia.
Ex: A frase “Todo ato de violência tem comoconsequência outro ato de violência” estará simbolicamente representada, de maneira correta, na forma P→Q, em que P e Q sejam proposições lógicas convenientemente escolhidas. Errada – proposição simples.
(CESPE) A sentença “O crescimento do mercado informal, com empregados sem carteira assinada, é uma consequência do número excessivo de impostos incidentes sobre a folha de pagamentos” pode ser corretamente representada, como uma proposição composta, na forma P->Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Errada – proposição simples.
(CESPE) A sentença: “Um governo efetivo precisa de regras rígidas, de tribunais que desempenhem suas funções com seriedade e celeridade e de um sistema punitivo rigoroso” pode ser corretamente representada pela expressão , em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Errada – proposição simples.
Em regra, para o Cespe a omissão de verbo condiciona a proposição simples QUANDO estiver ligada pela conjunção E (^), mas quando estiver conectada pelo conectivo chamado disjunção (OU -v), então será considerada composta.
(CESPE) A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P∨Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certa. 
Superstições são sempre um exemplo equivocado entre causa e efeito, pois suas veracidades não são provadas cientificamente.
Parte superior do formulário
TABELA-VERDADE DA CONJUNÇÃO: ambas são V.
	P
	Q
	P^Q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
TABELA- VERDADE DA DISJUNÇÃO SIMPLES (^): ambas são V ou pelo menos 1 é V.
	P
	Q
	PvQ
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
TABELA-VERDADE DA CONDICIONAL (v) : se a condição é falsa, a 2ª pode ser V ou F.
	P
	Q
	P→Q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
TABELA-VERDADE DA BICONDICIONAL: 
	P
	Q
	P<-->Q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
TABELA-VERDADE DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
	P
	Q
	Ou P ou Q 
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
RESUMO:
- P^Q (conjunção): só é V se ambas são V. (TODAS)
- P→Q (condicional): só é F quando P é V e Q é F. (BASTA UMA)
- PvQ (disjunção simples): só é F quando ambas são F. (SOMENTE UMA)
- Ou P ou Q (disjunção exclusiva): só é F quando ambas são V ou ambas são F. CESPE já considerou PvQ como disjunção exclusiva.
- P se e somente se Q (bicondicional): só é F quando VF ou FV.
FORMAS ALTERNATIVAS DE APRESENTAR AS PROPOSIÇÕES:
1) Conjunção:
- Estou com frio, mas quero sorvete. (com sentido de conjunção aditiva “e” – ambas são V)
- Embora Ana beba, não fuma. 
- Apesar de João ser rico, não tem um carro. 
- Não basta a mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta.
2) Disjunção exclusiva:
- Estou com calor, ou quero sorvete (com sentido de exclusão – VF ou FV – disjunção exclusiva)
- Estou com calor ou quero sorvete, mas não ambos (disjunção exclusiva – não podem coincidir)
3) Condicional
- Sempre que/Quando/Toda vez estou com calor, quero sorvete (condicional)
- Todo concurseiro é estudioso. (CAI MUITO)
- É concurseiro, logo é estudioso.
- É concurseiro, consequentemente é estudioso.
- É estudioso, pois é concurseiro. (consequente → antecedente)
- Irei à escola desde que chova. (consequente → antecedente)
Já foram cobradas as formas: p implica q; p é suficiente para q; q é necessário para p; p consequentemente q; q, se p e todo p é q.
4) Bicondicional:
- Apenas quando estou com calor eu quero sorvete (bicondicional)
- Gosto de sorvete assim como gosto de futebol. 
COMUTATIVIDADE: a ordem dos fatores não altera o produto.
Pode ocorrer:
- conjunção;
- disjunção simples;
- disjunção exclusiva;
- bicondicional.
Ordem das prioridades: usar quando não tiver parênteses.
^ v → ↔
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES:
Para descobrir a negação, basta você se perguntar: o que É O MÍNIMO que eu precisaria fazer para provar que essa frase é mentira?
O CESPE utiliza o seguinte símbolo ¬ para representar a negação . 
~P ou ¬P
Ex: ~ (P v Q)
Negação de “estou com frio”: Não estou com frio 
(Obs: é errado “estou com calor”).
DICA CESPE: A proposição P é “Acredito que estou certo”, logo, a negação da mesma será ~P, ou seja, Não acredito que estou certo.
Obs. Em uma proposição simples, a negação vem antes do verbo.
Negação de “todos os gatos miam” – não precisa provar que todos não miam, basta que um não mie: pelo menos um gato não mia, existem gatos que não miam.
Negação de “algum cão tem 5 patas”: nenhum cão tem 5 patas, não existe cão com 5 patas.
Dica: pense em provar que o autor está mentindo.
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS:
Estou com frio e quero sorvete. – Não estou com frio OU não quero sorvete. ~ (P v Q)
Macete: para negar uma conjunção usa-se uma disjunção simples negativas.
Estou com frio ou quero sorvete. – Não estou com frio e não quero sorvete. ~ (P ^ Q)
Macete: se pelo 1 é V. Para negar – negue ambas.
Se estou com frio, então quero sorvete. – Se estou com frio, então não quero sorvete. ~ (P → Q)
Macete: para negar uma condicional – a condição acontece, mas Q não acontece.
Estou com frio se, e somente se, quero sorvete. – Ou estou com frio ou quero sorvete. ~ (P <-->
 Q).
Macete: para negar a bicondicional usa-se a disjunção exclusiva.
(CESPE) A negação da proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser expressa por “O tribunal entende que o réu não tem culpa”. Errada – O Tribunal não entende que o réu tem culpa.
A negação da proposição “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética” pode ser expressa por “Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação antiética”. Errada. A expressão pode ser expressa simbolicamente por A v B, logo percebemos que a proposição é uma disjunção. Assim sua negação seria ~ (A v B) = ~A ^ ~B. 
(CESPE) Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: “Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar". Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue o item seguinte.
A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar". Certa. Negação da disjunção exclusiva = ~(PvQ) => P<->Q.
(CESPE) Considere as seguintes proposições para responder a questão.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.
Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1.
Para negar uma condicional é preciso MANTER A PRIMEIRA PARTE "E" NEGAR A SEGUNDA PARTE.
1ª parte: I V S 
2ª parte: P
Mantenho a primeira parte: (I V S) 
Troco o conectivo "Se..Então" pelo "E" 
Nego a segunda parte: ~P 
 Portanto ficará assim: (I V S) ^ ~P
~P1: Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, mas não há punição de criminosos.
(CESPE -2013) Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”. 
Considerando apenas os aspectos desse mandamento atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida, — proposição P — for verdadeira, julgue os itens seguintes.
Sem interessados = I
Não puder ser repetida = R
Dispensável = D
I ^ R → D
- A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”. Certa.
- A proposição P é equivalentea “Se não apareceram interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração, então é dispensável a realização de nova licitação”. Certa.
- Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em licitação anterior”.
? ^ V → V (errada – pode ser V ou F para P ser verdadeira).
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3. VUNESP – MP/SP – 2016) Dada a proposição: “Se Daniela pratica natação ou
ensaia no coral, então é quarta-feira e não é feriado”, sua negação pode ser
(A) Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, e é quarta-feira e não é
feriado.
(B) Se Daniela não pratica natação ou não ensaia no coral, então não é quarta-feira
e é feriado.
(C) Daniela pratica natação ou ensaia no coral, e não é quarta-feira ou é feriado.
(D) Se não é quarta-feira ou é feriado, então Daniela não pratica natação e não
ensaia no coral.
(E) Se Daniela não pratica natação e não ensaia no coral, então não é quarta-feira
ou é feriado.
A frase do enunciado é uma condicional do tipo (p ou q) → (r e s), onde,
p = Daniela pratica natação
q = Daniela ensaia no coral
r = é quarta-feira
s = não é feriado
Chamando “p ou q” de A e “r e s” de B, a frase do enunciado é A→B. A sua
negação é dada por “A e ~B”, onde:
B = r e s
~B = ~(r e s)
Como a negação da conjunção “r e s” é a disjunção “~r ou ~s”. Assim, ~B = ~r ou ~s
Assim, temos:
A e ~B = (p ou q) e (~r ou ~s)
Veja que:
~r = NÃO é quarta-feira
~s = É feriado
Assim, ficamos com: (p ou q) e (~r ou ~s) =
“Daniela pratica natação ou ensaia no coral, E não é quarta feira OU é feriado”
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE
A v [(~B)^C]
	A
	B
	C
	~B
	(~B)^C
	A v [(~B)^C]
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
NÚMERO DE LINHAS = 2 n = 2 3 = 8
(CESPE) Considere as seguintes proposições para responder a questão.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.
A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição P1 é igual a:
2 n = 2 3 = 8
Questão: ~{[(p → q v r] ↔ [q→ (~p v r)]}
	p
	q
	r
	~p
	p → q
	p → q v r
	(~p v r)
	q→ (~p v r)
	↔ 
	~
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
Tautologia: sentença onde todos os valores lógicos são verdadeiros.
P ou ~p (pelo menos 1 v = v)
	p
	~p
	P ou ~p
	V
	F
	V
	V
	F
	V
Contradição: sentença sempre F.
P e ~p
	p
	~p
	P e ~p
	V
	F
	F
	F
	V
	F
Contingência: dependendo da situação pode ser V ou F. Essa é a regra.
O número de linhas de uma tabela-verdade será sempre um número par. (2 n) 
PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES: transmitem a mesma ideia por terem a mesma tabela-verdade.
 
	P
	Q
	~P
	~Q
	P → Q
	~Q → ~P 
	~P ou Q
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	P
	Q
	~P
	~Q
	P v Q
	~Q → P
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
Decorar: 
P → Q = ~Q → ~P = ~P v Q 
P v Q = ~Q → P ou ~P → Q	
P ↔ Q = ~(P v Q)
Outro tipo de equivalência:
P --> Q é equivalente a TODO P é Q. Isso significa que todos os elementos de P estão contidos dentro do conjunto Q. Logo, P é subconjunto de Q.
Questão CESPE:
1) Proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra";
2) Afirmação da questão:
Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o conjunto dos que o registram, então B será subconjunto de A.
3) Solução:
Aplicamos a equivalência clássica da contra positiva e obtemos:
Se o comprador registra (conjunto B), então escritura o imóvel (conjunto A). B → A.
Em toda condicional pode-se que Todo antecedente é consequente. Portanto, todo B é A.
Conforme exposto acima, é fácil perceber que B está contido em A e, por isso, B é subconjunto de A. Portanto, o gabarito está CORRETO.
01.A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões”. CERTA
Macete: para negar uma condicional – a condição acontece, mas Q não acontece.
Fundamentos da resposta: Condicional: T ^E; Consequência: I. T ^E → I
NEGAÇÃO : a condição permanece (T ^E), mas a consequência não acontece ~I. 
T ^E ^ ~I 
02.(CESPE 2012) P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros
correspondentes, então, não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por: “Se há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes, então há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais”.ERRADA. 
O correto seria: não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros
correspondentes e há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais.
03.(FCC 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que:
(A) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado.
Dica: todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos é uma proposição simples.
Condição necessária e condição suficiente:
P→ Q
Se estou com calor, então compro sorvete.
P é condição suficiente para Q. Q é condição necessária para P.
P ↔ Q
Estou com calor, e somente se, compro sorvete.
P é necessária e suficiente para Q. Q é necessária e suficiente para P.
SENTENÇAS ABERTAS
Possuem uma variável que pode tornar a proposição falsa ou verdadeira. Sem saber o valor da variável, não é possível afirmar se é V ou F.
A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta. ERRADA.
Exs:
Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5.
P → Q
X =10
2X = 20 – 20 é divisível por 5, assim como 10 por 5 - VV =V
X=11
22 não é divisível por 5, assim como 11 – FF = V
X = 12,5
25 é divisível por 5, mas 12,5 não – VF = F
Exs: Ele foi o melhor jogador do mundo. Ele quem?
MACETE PARA DESCOBRIR DIVISORES: https://www.youtube.com/watch?v=rdaCtcN_J-0
Tipos de argumentos
- Dedução: do geral para o particular.
Ex: 
Todo pai é dedicado.
Marcos é pai.
Portanto, Marcos é dedicado. 
- Indução: do particular para o geral.
Ex:
O cachorro tem 4 patas e é mamífero.
O gato tem 4 patas e é mamífero.
Sendo assim, todo animal de 4 patas é mamífero.
- Analogia: comparação.
Ex:
Fortaleza fica litoral. 
Recife fica no litoral.
Logo, todas as capitais do nordeste ficam no litoral. 
- Falácias: não provam o que dizem (falsos argumentos).
Ex:
Todo aluno precisa de atenção.
Alexandre precisa de atenção.
Portanto, Alexandre é aluno. 
- Silogismos: argumento formado por 3 proposições, sendo 2 premissas e 1 conclusão. 
LÓGICA DE ARGUMENTOS - CERS
1) QUANTIFICADORES LÓGICOS 
OBS: Na matemática, uma sentença aberta é descrita assim porque seu valor não pode ser determinado até que suas variáveis ​​sejam substituídas por números específicos.
São expressões que servem para quantificar os elementosde determinado conjunto. São eles: 
Nenhum = ~ Ǝ ou ∄
I. Quantificador universal: Ɐ (lê-se “todo”,“para todo” ou “qualquer que seja”).
II. Quantificadores existenciais: Ǝ (lê-se “existe” ou “existe pelo menos um”) e Ǝ| (lê-se “existe um).
Nenhum = ~ Ǝ ou ∄
Chama-se de proposições categóricas proposições simples e diretas na forma de sujeito-predicado. Elas se apresentam de quatro tipos:
A: Todo M é N
B: Nenhum M é N ( Todo M não é N)
C: Algum M é N
D : Algum M não é N
Onde:
A é uma proposição universal afirmativa.
B é uma proposição universal negativa.
C é uma proposição particular afirmativa.
D é uma proposição particular negativa.
Relação entre Conjuntos e proposições. 
Caso 01: Todo M é N
Caso 02: Nenhum M é N
Caso 03: Algum M é N
A palavra algum representa elemento comum, isto é, que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Logo M N.
Caso 04: Algum M não é N
Nesse caso a expressão representa um elemento que pertence ao conjunto M , mas não pertence ao conjunto N. Logo M – N (diferença de conjuntos).
Cuidado: Algum M não é N é equivalente a algum não N é M. Agora algum M não é N é diferente de algum N não é M. Conforme vemos no diagrama a abaixo:
Observação: O que mais se cobra em provas de concursos públicos sobre este tema é, sem dúvida, a negação desses quantificadores. Observe no quadro a seguir:
Conjuntos numéricos:
1) Conjunto dos números naturais: representado por N.
São os não decimais maiores e iguais a zero.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
- conjunto dos naturais menos o zero
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
2) Conjunto dos números inteiros:
São os números formados pelos números naturais e os negativos.
Z = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
- inteiros não negativos: 
Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,8, …}
Inteiros não positivos: Esse subconjunto é representado por Z-, sendo composto por números inteiros negativos.
Z- ={…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0}
Inteiros não negativos e não nulos: a exclusão do número zero é representada pelo asterisco, com isso o zero não faz parte do subconjunto.
Z*+= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 …}
Inteiros não positivos e não nulos: 
Z*–= {… – 5,- 4, – 3, – 2, – 1}
3) Conjunto dos números racionais: representado por Q. Compõem -se dos números inteiros positivos e negativos, números decimais, números fracionários e dízima periódica.
Dica: conjunto N (naturais) e o Z (inteiros) estão inclusos no conjunto Q (racionais). 
Ex: Q = {… – 2; – 1; 0; + 1; +2, 14; + 4; + 4,555…}
4) Conjunto dos números irracionais: representado pela letra maiúscula I ou Q’, é formado pelos números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que possui muitas casas decimais, mas que não tem um período. 
Exs: Raízes não exatas como: = 1,4142135…
O número PI que é igual a 3,14159265…,
5) Números reais: Representado pela letra maiúscula R, compõem esse conjunto os números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. 
Ex: R = {… – 3,5679…; – 2; – 1; 0; + + 1; +2, 14; + 4; 4,555…; + 5; 6,12398…}
Todo natural é inteiro. Todo inteiro é racional. Todos os racionais juntos com os irracionais formam os reais.
01.(CESPE) Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (Ǝ x)(x ϵ Q)(x² = 2) é valorada como V.
Interpretação: existe um X racional tal que x² = 2. É uma proposição falsa, pois não há número ao quadrado que resulte em 2. Não há número que satisfaz o conjunto de racionais. 
Dica: Quando vamos fazer a comparação de elemento com conjunto ou vice-versa utilizamos o símbolo de(pertence) e (não pertence)
2) DIAGRAMAS LÓGICOS
São representações gráficas para as expressões quantificadoras. Observe:
Exs: Todo A é B. Todos os carros tem rodas. Nenhum A é B. Nenhum carro tem vidro transparente. Algum A é B. Algum brasileiro é descendente de europeu. Algum A não é B.
3) PROPOSIÇÃO FUNCIONAL
Uma sentença aberta pode se transformar em proposição lógica através do uso de um quantificador lógico. Observe a sentença aberta: “x + 3 > 10”. Isso não é uma proposição lógica, uma vez que necessita do valor de x para que tenhamos o julgamento de seu
valor lógico. Mas considere o conjunto A = {8, 9, 12} e a sentença “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se que x + 3 > 10”. Agora temos uma proposição lógica! É a chamada “lógica de 1ª ordem”.
Dica: nunca negue “todo” com “nenhum”.
(CESPE/UnB) Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja “x é mulher” e que D(x) seja “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente simbolizada por ¬x(M(x) D(x)).
 = existe
¬ = não existe
"Nenhuma mulher é desempregada" = Não existe mulher desempregada. 
~∃ x  (Não existe x) (M(x) (tal que x é mulher) ^ D(x )  (e desempregada) 
(x) CERTO
( ) ERRADO
Lógica de 1ª ordem: é uma extensão da lógica proposicional. Nela são utilizados diversos símbolos matemáticos para escrever sentenças que podem assumir os valores lógicos V ou F.
Ex: (Ǝx)(xϵR)(x<0)
Esta expressão pode ser lida assim: “existe valor x pertencente ao conjunto dos números reais tal que x é menor do que zero”.
LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO - CERS
1) ARGUMENTO
Argumento é um conjunto de proposições divididas entre premissas e conclusão, e que declara que se partirmos da verdade das premissas, chegaremos, inevitavelmente, à verdade da conclusão.
Ex: Se faz sol, vou à praia. Ontem fez sol. Logo, fui ontem fui à praia.
Ex: Se Ricardo ou Maria forem à festa, então eu não irei. Ricardo acidentou-se e não irá à festa. Logo, eu irei.
Ex: Todo homem é inteligente, e Maria é inteligente. Logo, Maria é homem. 
2) VALIDADE DE UM ARGUMENTO
CESPE: A sentença “As consequências de nossos atos são florestas devastadas, descongelamento das calotas polares, extinção de dezenas de espécies animais, poluição dos rios e diminuição drástica das reservas de água potável apresenta um argumento válido”. ERRADA – só há uma premissa, nem mesmo possui uma conclusão. 
A análise da validade de um argumento pode ser feita de diversas maneiras. 
a) Argumentos construídos com expressões quantificadoras:
Todo professor é estudioso. Existem advogados que são professores. Existem advogados estudiosos. 
Ex: Penso, logo existo – não é válido.
Melhor maneira de resolver: diagramas lógicos.
CESPE: O raciocínio Nenhum peixe é ave. Logo, nenhuma ave é peixe é válido. CERTA.
A
P
b) Argumentos construídos com conectivos lógicos:
- Válido: tem a estrutura correta – as premissas levam à conclusão (se as premissas são verdadeiras, a conclusão necessariamente é verdadeira). O argumento só será válido se a conclusão for inevitável (e não somente possível).
Ex: Algum A é B. É apenas possível que algum A não é B.
Ex: Estudo ou brinco. Se brinco, então fico feliz. Ontem não estudei. Logo, ontem fiquei feliz.
Deve-se partir da validade das premissas.
Para ~A ser V, A precisa ser F.
Para a 1ª premissa ser V, B precisa ser V.
Para a 2ª premissa ser V, já que B é V, C precisa ser V.
(CESPE) O texto “O homem inteligente nunca recebe penalidades, pois somente o homem que erra recebe penalidades e o homem inteligente jamais erra" apresenta um argumento válido.
Parte superior do formulário
O "pois", em se tratando da banca CESPE, funciona como uma condicional invertida, isto significa apenas que você inverterá a ordem em que devem aparecer as proposições simples que formam a condicional.
P1: O homem inteligente nunca recebe penalidades
P2:O homem que erra recebe penalidades
P3: O homem inteligente jamais erra.
P2^ P3 → P1
Se as premissas são verdadeiras, a conclusão necessariamente é verdadeira.
Portanto, certa, argumento válido.
OBS: poderia ter sido resolvida por conjuntos, pois há proposições quantificadas, como por exemplo, todo, nenhum, etc.
OBS: nem sempre é possível achar todos os valores, é preciso fazer testes para garantir que, independentemente do valor das proposições das premissas, a conclusão será sempre verdadeira. Nesse caso, fica mais fácil fazer ométodo das proposições falsas.
(CESPE) P1: Não perco meu voto.
P2: Se eu votar no candidato X, ele não for eleito e ele não me der um agrado antes da eleição, perderei meu voto.
P3: Se eu votar no candidato X, ele for eleito e eu não for atingido por uma benfeitoria que ele faça depois de eleito, perderei meu voto.
P4: Eu voto no candidato X.
C: O candidato X me dará um agrado antes da eleição ou serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer depois de eleito.
A partir das proposições de P1 a P4 e da proposição C apresentadas acima, julgue os itens seguintes, que se referem à lógica sentencial.
O argumento cujas premissas sejam as proposições P1, P2, P3 e P4 e cuja conclusão seja a proposição C será válido.
Resposta: https://youtu.be/IO5ITR08zxE?t=740
Caso as proposições P1, P2 e P4 sejam verdadeiras, será verdadeira a proposição “o candidato X é eleito ou ele me dá um agrado antes da eleição”. Dica: está querendo saber se é argumento válido. Mesma forma de resolução.
- Inválido: tem a estrutura problemática – as premissas não levam à conclusão (é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão seja falsa ao mesmo tempo). Ex: Todo cão voa. Rex é um gato. Logo, Rex voa.
O argumento pode ser válido ou inválido. Não existe argumento falso ou verdadeiro. Uma proposição pode ser verdadeira ou falsa.
É possível ter argumento válido com premissas e conclusões falsas, assim como é possível ter argumento inválido com premissas e conclusões verdadeiras.
SOFISMAS E FALÁCIAS = ARGUMENTOS INVÁLIDOS.
Ex: Todo cão voa (premissa falsa). Rex é um cão. Logo, Rex voa – conclusão falsa. ARGUMENTO VÁLIDO.
Ex: Nilo é um rio. Todo rio tem água doce. Logo, o Atlântico é um oceano. Premissas e conclusão verdadeiras. ARGUMENTO INVÁLIDO.
	MÉTODOS
	DEVE SER USADO
	ARGUMENTO SERÁ VÁLIDO SE
	NÃO DEVE SER USADO
	1º método: DIAGRAMAS LÓGICOS
	Argumentos construídos com expressões quantificadoras.
	
	Não contêm expressões quantificadoras.
	2º método: PREMISSAS VERDADEIRAS
	Proposições simples e em forma de conjunção
	Conclusão necessariamente verdade
	Nenhuma premissa é simples ou nenhuma premissa possui conjunção
	3º método: CONCLUSÃO FALSA
	Conclusão com preposição simples ou disjunção ou condicional
	Não é possível a existência simultânea entre premissas verdadeiras e conclusão falsa
	Na conclusão não há premissa simples, ou disjunção ou condicional
	4º método: TABELA-VERDADE
	No máximo 2 preposições simples 
	Em todas as linhas da tabela as premissas são verdadeiras, bem como a conclusão. 
	Possuir 3 ou mais premissas simples
Para saber se um argumento é válido é preciso entender o conceito de argumento válido: meu argumento SERÁ VÁLIDO se minha conclusão for verdadeira e minhas proposições, com base nessa conclusão, também forem verdadeiras OU se minha conclusão for falsa e através dessa conclusão falsa eu obter PELO MENOS UMA proposição FALSA. 
(CESPE): Considere as seguintes proposições para responder a questão.
P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.
P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.
P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.
Pretende-se acrescentar ao conjunto de proposições P1, P2 e P3 uma nova proposição, P0, de modo que o argumento formado pelas premissas P0, P1, P2 e P3, juntamente com a conclusão “A população não faz justiça com as próprias mãos” constitua um argumento válido. Assinale a opção que apresenta uma proposta correta de proposição P0:
Sempre que, no conjunto de premissas, NÃO houver conjunções, o método mais eficaz é o método da “CONCLUSÃO FALSA.” 
Neste caso, inicialmente, consideramos a conclusão falsa. Ao fazer isso, duas são as possibilidades:
 1ª) Todas as premissas verdadeiras ----- Argumento INVÁLIDO;
 2ª) Pelo menos uma premissas falsa ----- Argumento VÁLIDO; 
DICA: se não estiver dando certo, faça pelo método tradicional (considerando a conclusão verdadeira)
Considerando as proposições simples:
 I: Há Investigação
 SF: Suspeito é Flagrado Cometendo Delito
 PC: Há Punição de Criminosos
 ~ NV: Níveis de Violência não Tendem a Aumentar
 ~ PJ: População não faz Justiça com as Próprias Mãos
 
C: ~ PJ (F)
 P3: ~ NV (F)  → ~ PJ (F)=(V) 
 P2: PC (F)  →  ~ NV (F) = (V)
 P1: I (F)   ∨  SF (F)  →  PC (F)= (V)
Observem que partimos da conclusão falsa e obtivemos todas as premissas verdadeiras. Logo, o gabarito será a única alternativa de resposta que apresentar valor lógico falso. Veja:
 a) I (F)   ∨   SF (F)= (F)  
(CESPE) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir:
P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade. 
P2: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no mundo empresarial.
P3: Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. 
P4: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. 
Tendo como referência essas proposições, julgue os itens seguintes. 
O argumento que tem como premissas as proposições P1, P2 e P3 e como conclusão a proposição P4 é válido. Certo.
P4 = AEC v AET → G = F
VF = F
M→ G = FF = V
AEC v AET → E = VV = V
E → M = VF = F (1 falsa)
Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo.
Durante a noite, não chove.
Neste caso deu certo fazer pelo método tradicional. 
 "Durante a noite" é um advérbio de tempo usado pela banca para "confundir" os candidatos. O melhor artifício é considerar a última premissa do enunciado como uma proposição simples e resolver a questão sem "invenções". 
Faz frio. (V)
Quando Cláudio sai de casa (F), não faz frio (F).
Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V).
Quando chove (F), Maria não vai ao cinema (F).
Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V).
Analisando a assertiva...
Não chove. (V) ---- Portanto, o gabarito está CERTO. 
Dedução corresponde a determinar a conclusão.
Utiliza-se da regra e sua premissa para chegar a uma conclusão.
Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada."
Argumento de Autoridade: a conclusão se sustenta pela citação de uma fonte confiável, que pode ser um especialista no assunto ou dados de instituição de pesquisa, uma frase dita por alguém, líder ou político, algum artista famoso ou algum pensador, enfim, uma autoridade no assunto abordado.
Lógica sequencial - titans
01.(FCC 2012) Duas sequências são construídas conforme descrito abaixo: Sequência 1: primeiro termo igual a 10 e qualquer outro termo, a partir do segundo, igual ao anterior acrescido de duas unidades. Sequência 2: primeiro termo igual a 1 e qualquer outro termo, a partir do segundo, igual ao anterior acrescido do número de termos do primeiro até este termo anterior. 
Um termo da sequência 1 que é igual a um termo da sequência 2 é:
A = 10,12,14,16,18,22,24,26,28...
B = 1, 2, 4,7,11,16,22,29...
1+1 =2
2+2 =4
4+3 = 7
7+4 =11
11+5=16
16+6=22
22+7=29
(C) 22.
02.(FCC 2012) Na sequência 1, 5, 8, 2, 6, 9, 3, 7, 10, 4, ... a lei de formação é uma adição, outra adição, uma subtração e repete a primeira adição, a segunda adição e a subtração, sempre da mesma maneira. Utilize exatamente a mesma lei de formação para criar uma sequência de números naturais a partir do número 7, e outra a partir do número 15. A diferença entre o décimo termo da segunda sequência criada e o décimo termo da primeira sequênciacriada é: 
Lei de formação é uma adição, outra adição, uma subtração e repete a primeira adição, a segunda adição e a subtração: 1-5 = +4, 5-8=+3, 8-2=-6
A= 7,11,14,8,12,15,9,13,16,10
B = 15,19,22,16,20,23,17,21,24,18
(A) 8
Números primos:
Um número primo é um número natural maior que um, que só é divisível por um e por ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos. O número 6 não é primo, pois é divisível por 2 e por 3.
     Observações:
        => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
        => 2 é o único número primo que é par.
Quando a questão falar que um número é múltiplo de outro é o mesmo que ser divisível.
Quadrado perfeito = quando o número possui raiz quadrada exata.
Na matemática, a raiz quadrada de um número x é um número único e não negativo que, quando multiplicado por si próprio, se iguala a x . Por exemplo, 3 é a raiz 
06.(FCC 2012) Todos os anos, uma empresa realiza sua festa de confraternização no dia 29 de dezembro ou na última sexta-feira do ano, o que acontecer primeiro. No ano de 2011, a festa ocorreu no dia 29 de dezembro, uma quinta-feira. Sabe-se que: 
- os anos de 2012 e 2016 são bissextos, possuindo 366 dias; - os anos de 2011, 2013, 2014 e 2015 não são bissextos, tendo 365 dias; 
- mês de dezembro possui 31 dias. 
Nessas condições, o próximo ano em que a festa de confraternização dessa empresa ocorrerá no dia 29 de dezembro é : 
Dicas ano bissexto – formas indiretas: 
O ano é um múltiplo de 4 (acontece de 4 em 4 anos). Macete: todo ano olímpico é um ano bissexto.
O mês de fev possui 5 dias de um dia da semana a mais (o resto serão 4 cada) no ano bissexto. O ano bissexto ainda possui 2 meses seguidos somados 60 (fev: 29 dias e março: 31 dias).
Caso 1: 365 dias
Num ano normal (365 dias): dia 01/01 cairá no mesmo dia da semana que 31/12. O próximo ano irá iniciar no dia seguinte desse dia de semana.
Caso 2: 366 dias
Num ano bissexto: dia 31/12 cairá 1 dia depois do dia da semana do dia 01/01.
Ex: 01/01= domingo; 31/12 = segunda
2011: 29/12 – quinta, então 31/12 = sábado
2012 (bissexto): 01/01: dom; 31/12 = segunda-feira
2013: 01/01= terça; 31/12 = terça-feira
2014: 01/01 = quarta; 31/12 = quarta-feira
2015: 01/01 = quinta-feira; 31/12 = quinta-feira
2016 (bissexto) = 01/01 = sexta-feira; 31/12 = sábado – 29/12 = quinta.
Resposta: (E) 2016.
07. Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação.
O número de circunferências que compõem a 100º figura dessa sucessão é:
1ª: 1 bolinha
2ª: 3
3ª: 6
4ª: 10
5ª: 15
Uma sequência qualquer é uma progressão aritmética somente se a diferença entre termos consecutivos é constante.
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência na qual as diferenças entre cada par de termos formam, entre si, uma progressão aritmética não estacionária. Que é o caso da questão.
Fórmula: TN = N(N+1) /2 = T100 = 100(100+1) /2 = 100X101= 10100/2=5050
Resposta: (B) 5 050
DECORAR: TN = N(N+1) /2
08. (FCC 2010) No esquema abaixo, considere a relação existente entre o primeiro e o segundo grupos de letras, a contar da esquerda. A mesma relação deve existir entre o terceiro grupo e o quarto, que está faltando.
A C E B : D F H E :: L N P M : ?
O grupo de letras que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
Caso 1: + 3 casas cada.
A C E B : D F H E
A	C	E	B
B	D	F	C
C	E	G	D
D	F	H	E
Caso 2: também fazer mais 3 casas.
L N P M: 
L	N	P	M
M	O	Q	N
N	P	R	O
O	Q	S	P
Resposta: (C) O Q S P
09.(FCC 2009) Uma propriedade comum caracteriza o conjunto das palavras
seguintes:
MARCA – BARBUDO – CRUCIAL – ADIDO – FRENTE - ?
De acordo com tal propriedade, a palavra que, em sequência, substituiria corretamente o ponto de interrogação é:
A propriedade em comum é a repetição de letras em ordem alfabética.
A próxima tem que ser F repetido.
Resposta: (C) FOFURA
10. (FCC 2012) O contrato de trabalho de uma enfermeira prevê que, por semana, ela
trabalhe seis dias e tenha um dia de folga. A cada semana, porém, o dia de folga muda,
sendo 2ª feira na primeira semana, 3ª feira na segunda, 4a feira na terceira e assim por diante, até que na sétima semana a folga ocorra no domingo. A partir da oitava semana, o ciclo recomeça. Se essa enfermeira teve folga em um sábado, dia 1º de março, então a próxima folga que ela terá em um sábado será no mês de:
MARÇO: 31 DIAS (5 SEMANAS)
1ª semana: SÁB
2ª: DOM
3ª: SEG
4ª: TER
5ª: quarta-feira 
ABRIL: 30 DIAS 
1ª: QUI
2ª: sexta-feira
3ª: SÁBADO
Resposta: (B) abril
11. Observe as sequências de letras obtidas com uma mesma ideia.
I. A; B; D; G; K; P.
II. B; C; E; H; L; Q.
III. C; D; F; I ; M; R.
IV. D; E; ___; J; ___; S.
Utilizando a mesma ideia, a sequência IV. deverá ser completada, respectivamente, com as letras:
Macete: descobrir a propriedade em comum.
1ª: +2 letras em ordem alfabética.
2ª: +4 letras em ordem alfabética.
(C) G e N.
13. (FCC 2012) A sequência de figuras denominada A é formada por três figuras
que se repetem ilimitadamente, sempre na mesma ordem. A sequência de figuras
denominada B é formada por quatro figuras que se repetem ilimitadamente, sempre na
mesma ordem. Considerando as 15 primeiras figuras de cada sequência pode-se observar que o número de vezes em que as duas sequências apresentam figuras simultaneamente iguais é:
Dica: para não ter que desenhar coloque letras para representar e monte até a 15ª de cada sequência e veja quando A aparece simultaneamente.
A= ABCABCABCABCABC
B= ADAEADAEADAEADA
Resposta: (C) 3
14.(FCC 2006) Para formar a seguinte seqüência de pedras de dominó, considere
aquelas foram dispostas sucessivamente e esquerda para a direita, seguindo um determinado critério.
 ?
Segundo esse critério, a pedra que deve corresponder àquela que tem os pontos de interrogação é:
Dica: Dominó é uma sequência cíclica. 0 a 6
Ex: 2 3 4 5 6 0 1 
Aumentou 2 casas.
A casa superior costuma ser diferente da inferior. Podendo somar ou diminuir. Precisa ver o parâmetro.
Caso parte superior:
12345601234560123456012345- de 5 em 5 casas.
Solução:560123
Caso parte inferior:
432106= voltando de 1 em 1 casa.
Solução= 5
Resposta:
15.(TRT-PE FCC 2012) Em uma praia chamava a atenção um catador de cocos (a água do coco já havia sido retirada). Ele só pegava cocos inteiros e agia da seguinte maneira: o primeiro coco ele colocava inteiro de um lado; o segundo ele dividia ao meio e colocava as metades em outro lugar; o terceiro coco ele dividia em três partes iguais e colocava os terços de coco em um
terceiro lugar, diferente dos outros lugares; o quarto coco ele dividia em quatro partes iguais e colocava os quartos de coco em um quarto lugar diferente dos outros lugares. No quinto coco agia como se fosse o primeiro coco e colocava inteiro de um lado, o seguinte dividia ao meio, o seguinte em três partes iguais, o seguinte em quatro partes iguais e seguia na sequência: inteiro, meios, três partes iguais, quatro partes iguais, inteiro, meios, três partes iguais, quatro
partes iguais. Fez isso com exatamente 59 cocos quando alguém disse ao catador: eu quero três quintos dos seus terços de coco e metade dos seus quartos de coco. O catador consentiu e deu para a pessoa:
Total de cocos: 59
Ciclo: o primeiro coco ele colocava inteiro + o segundo ele dividia ao meio + o terceiro coco ele dividia em três partes iguais + o quarto coco ele dividia em quatro partes iguais e colocava os quartos de coco.
Total de ciclos: 59/4 = 14 ciclos completos (+3 atividades)
Com 56 cocos = 14 ciclos completos
57: colocava inteiro
58: dividia ao meio
59: dividia em três partes iguais
Quantos cocos inteiros: 14 +1 = 15
Quantos pedaços divididos pela metade = 15 x 2 = 30
Quantos pedaços partidos em 3 partes = 15 x 3 = 45 pedaços
Quantos pedaços partidos em 4 partes = 14 x 4 = 56 pedaços
Três quintos dos terços de coco:
3/5 de 45 = divide 45 por 5 = 9 x 3 = 27
Metade dos seus quartos de coco: 56:2 = 28
Total: 27+28 = 55 pedaços
Resposta: (B) 55 pedaçosde coco.
Ciclos e calendários (curso Titans) – não cai no Cespe
1. Na sequência numérica 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 7, o 1001º termo é o número 
1001: 5 = 200 e resta 1
Resposta: (A) 3
3. (TJ – PE – FCC) Observe a lei de formação usada para construir a seqüência de malhas
quadriculadas abaixo.
Segundo essa lei, a posição que o número 169 ocuparia em uma malha 15 x 15 é:
169:15 = 11 e resta 4.
Resposta: (D) 12a linha e 4a coluna.
5. (TRT 6 a REG 2012 – TÉCNICO JUD. – FCC) Em uma praia chamava a atenção um catador de cocos (a água do coco já havia sido retirada). Ele só pegava cocos inteiros e agia da seguinte
maneira: o primeiro coco ele colocava inteiro de um lado; o segundo ele dividia ao meio e
colocava as metades em outro lugar; o terceiro coco ele dividia em três partes iguais e
colocava os terços de coco em um terceiro lugar, diferente dos outros lugares; o quarto coco
ele dividia em quatro partes iguais e colocava os quartos de coco em um quarto lugar
diferente dos outros lugares. No quinto coco agia como se fosse o primeiro coco e colocava
inteiro de um lado, o seguinte dividia ao meio, o seguinte em três partes iguais, o seguinte
em quatro partes iguais e seguia na sequência: inteiro, meios, três partes iguais, quatro
partes iguais, inteiro, meios, três partes iguais, quatro partes iguais. Fez isso com
exatamente 59 cocos quando alguém disse ao catador: eu quero três quintos dos seus terços
de coco e metade dos seus quartos de coco. O catador consentiu e deu para a pessoa:
Total de cocos: 59
Ciclos: 4
59:4 = 14 e resta 3
Parou no 3º coco.
Três quintos dos seus terços de coco: 3/5 x 15 (ciclos) x 3 (pedaços) = 3x3x3 = 27
Metade dos seus quartos de coco: ½ x 14 (ciclos) x 4 (pedaços) = 7 x 4 = 28
27+28 = 55
Resposta: (B) 55 pedaços de coco.
Calendários:
O ano é bissexto quando for possível dividir por 4.
O mesmo dia e mês no ano seguinte: será um dia depois.
Motivo: 365/7 = 52 semanas e 1 dia (resta 1).
Se for ano bissexto e passar pelo dia 29/02: dois dias depois.
Motivo: 366/7 = 52 semanas e 2 dias
11 O ano de 2007 tem 365 dias. O primeiro dia de 2007 caiu em uma segunda-feira. Logo,
neste ano, o dia de Natal cairá numa:
01/01/2007: segunda-feira
01/01/2008: terça-feira
Dia 25/12 é uma semana antes do dia 01/01
Resposta: b) terça-feira
13 (FCC - 2012 - TJ-RJ - Analista Judiciário - Análise de Sistemas) Todos os anos, uma empresa
realiza sua festa de confraternização no dia 29 de dezembro ou na última sexta-feira do ano,
o que acontecer primeiro. No ano de 2011, a festa ocorreu no dia 29 de dezembro, uma
quinta-feira. Sabe-se que:
- os anos de 2012 e 2016 são bissextos, possuindo 366 dias;
- os anos de 2011, 2013, 2014 e 2015 não são bissextos, tendo 365 dias;
- mês de dezembro possui 31 dias.
Nessas condições, o próximo ano em que a festa de confraternização dessa empresa
ocorrerá no dia 29 de dezembro é:
29/12/2011 = quinta-feira
29/12/2012 (bissexto) = sábado
29/12/2013 = domingo
29/12/2014 = segunda-feira
29/12/2015 = terça-feira
29/12/2016 (bissexto) = quinta
Resposta: e) 2016.
Ano normal:
52 vezes cada dia da semana, exceto um dia da semana que será 53 vezes (vai ser o mesmo dia que inicia e termina o ano).
14 (SEFAZ – SP – FCC) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366
dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro
ano desse período em que o dia 1º de janeiro cairá numa segunda-feira será:
01/01/2010: sexta-feira
01/01/2011: sábado
01/01/2012 (bissexto- mas não passou ainda por 29/02): domingo
01/01/2013 (passou pelo 29/02): terça
01/01/2014: quarta
01/01/2015: quinta
01/01/2016(bissexto- sem passar por 29/02): sexta-feira 
01/01/2017 (passou por 29/02): domingo
01/01/2018: segunda-feira
Resposta: (D) 2018
Mês com 29 dias: 1 dia da semana repete 5 vezes e o resto só 4 vezes. O próximo mês começa um dia depois desse dia da semana que começou e terminou.
29/7 = 4 e resta 1.
Mês com 30 dias: 2 dias da semana (seguidos) que se repetem 5 vezes e o resto só 4 vezes. Começa num dia da semana e o mês seguinte começa dois dias depois desse dia da semana que começou. Ex: começou no sábado, termina na sexta e o outro mês começa segunda.
30/7 = 4 e resta 2
16) Um mês com 30 dias pode ter:
Resposta: a) 5 sábados e 5 domingos
Mês com 31 dias: 3 dias da semana (seguidos) que se repetem 5 vezes e o resto só 4 vezes. Começa em um dia semana e o mês seguinte começa 3 dias depois desse dia da semana que começou. Ex: começou na terça, termina na quinta e o outro mês começa na sexta.
31/7 = 4 e resta 3
Mês com 28 dias: o mês seguinte começa no mesmo dia que começou o mês de 28 dias. Portanto, termina um dia antes desse dia da semana que começou.
28/4 = 4 (resta nada)
17 (BACEN ) O mês de fevereiro de um ano bissexto só terá cinco sábados se começar em
um(a)
(A) sábado.
18 (FCC - TRF-3R - Analista Judiciário - Área Judiciária - Execução de Mandados) Se o dia 08
de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de julho desse mesmo ano foi:
Março: 31 dias
Abril: 30 dias
Maio: 31 dias
Junho: 30 dias
Julho: 31 dias
08/03 – 08/04= terça + 3 dias = sexta-feira
08/04 – 08/05 = sexta + 2 dias = domingo
08/05 – 08/06 = domingo + 3 dias = quarta
08/06 - 08/07 = quarta + 2 dias = sexta
08/07 + 7 dias = 15
15 + 7 = 22
22+7= 29 (sexta)
30= sábado
Resposta: d) um sábado.
Outra maneira:
31+30+31+30+22(julho)= 144 dias
30-8 = 22 dias
144/7 = 20 e resta 4
08 cai na terça + 4 dias = sábado
19 (IBGE) Os anos bissextos têm 366 dias, um a mais do que aqueles que não são bissextos.
Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a
terminar no dia 29. Certo ano bissexto começou em uma segunda-feira. O primeiro dia do
mês de março foi um(a):
01/01 – 01/02 = segunda + 3 dias = quinta-feira 
Fev de ano bissexto: começa e termina no mesmo dia = quinta-feira
01 de março = sexta-feira.
Resposta: (C) sexta-feira.
31+29 = 60
60/7= 8 semanas e resta 4
01 cai na segunda + 4 dias = sexta.
20 (ANALISTA DE SUPORTE DE SISTEMAS – FUNASA) Certo ano, houve uma sexta-feira 13 no mês de abril. A sexta-feira 13 seguinte, nesse ano, ocorreu no mês de
13/04 – 13/5 = sexta + 2 dias = domingo
13/05 a 13/6 = domingo + 3 dias = quarta-feira
13/06 a 13/07 = quarta + 2 dias = sexta
Resposta: (C) julho.
24 (TRT – 11a Região – FCC – 2012) Se em um determinado ano o mês de agosto teve cinco
sextas-feiras, cinco sábados e cinco domingos, então o dia 13 de setembro desse ano caiu em:
Mês de 31 dias: começou no 1º: sexta e terminou no último: domingo.
01/09 = Segunda.
Resposta: (D) um sábado.
26(TRF – 2a Região – FCC – 2012) Suponha que, no dia 15 de janeiro de 2011, um sábado,
Raul recebeu o seguinte e-mail de um amigo:
"Este é um mês especial, pois tem 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras e isso só
ocorrerá novamente daqui a 823 anos. Repasse esta mensagem para mais 10 pessoas e,
dentro de alguns dias, você receberá uma boa notícia."
Tendo em vista que é aficionado em Matemática, Raul não repassou tal mensagem pois,
após alguns cálculos, constatou que a afirmação feita na mensagem era falsa. Assim sendo,
lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, Raul pode concluir corretamente
que o próximo ano em que a ocorrência de 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras
acontecerá no mês de janeiro será:
2011= 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras = COMEÇOU NO SÁBADO
01/2011 = sábado
2012 = domingo
2013 = +2 = terça-feira
2014 = quarta-feira
2015 = quinta-feira
2016 = sexta-feira
2017 = +2 = domingo
2018 = segunda-feira
2019 = terça-feira
2020 = quarta-feira
2021 = +2 = sexta-feira
2022 = sábado
Resposta: (A) 2022.
15 (FCC - TCE-SP - Agente da Fiscalização Financeira - Informática - Suporte de Web) Sabe-se que, no ano de 2004 o mês de fevereiro teve 5 domingos. Isso acontecerá novamente no ano
de:
É ano bissexto pois fevereiro teve5 domingos. Então começou no domingo e terminou no domingo. A resposta só pode ter ano bissexto.
Não contar ano por ano, mas a cada 4 anos. No normal seriam 4 dias (um a cada ano), mas como são anos bissextos adiciona 1.
2004: domingo
2008: +5 = sexta-feira
2012: +5 = quarta-feira
2016: +5 = segunda-feira
2020: + 5= sábado
2024: +5 = quinta
2028: +5 = terça
2032: +5 = domingo
Resposta: d) 2032.
27 (TRT 14ª. Região – Técnico Judiciário – FCC/2011) Sabe-se que, em outubro de 2007, os
dias x e 3x ocorreram em um domingo. Lembrando que anos bissextos são números
múltiplos de 4, então o próximo ano que os dias x e 3x de outubro ocorrerão novamente em
um domingo será:
Entre x e 3x precisa ser divisível por 7.
Fazer por tentativa.
X = 1; 3x = 3
X =2; 3x = 6
X =3; 3x= 9
X=4; 3x = 12
X= 5; 3x = 15
X=6; 3x = 18
X= 7; 3x = 21
07/10/2007 – 07/10/2008 (B) = domingo +2 = terça
07/10/2008 – 07/10/2009 = quarta-feira
07/10/2009 – 07/10/2010 = quinta-feira
07/10/2010 = 07/10/2011 = sexta-feira
07/10/2011 – 07/10/2012 (V) = DOMINGO
Resposta: a) 2012
28(MRE - Oficial de Chancelaria – FCC/2009) Godofredo e Lili aniversariam nos respectivos meses de agosto e setembro, em um mesmo dia da semana. Se o dia do aniversário de Godofredo é o sêxtuplo do dia do de Lili, então a soma das datas em que os dois aniversariam é:
Nesse caso:
X = 1; 6x = 6
X= 2; 6x = 12
X= 3; 6x = 18
X= 4; 6x= 24
X=5; x = 30
Construir calendário (x=setembro; 6x= agosto) Setembro só vai até dia 5 e ver quais datas coincidem com o mesmo dia da semana.
Resposta: d) 14
29 (FCC - TJ-SE - Analista Judiciário - Área Judiciária) Suponha que uma pessoa nasceu na segunda metade do século XX e que, no ano x² , ela terá x anos. Assim sendo, o ano do nascimento dessa pessoa é:
ANO= X2; IDADE = X
X2 – 302 = 900
402 = 1600
502 = 2500
452 = 2025
Em 2025 ele terá 45 anos. Qual ano ele nasceu? 1980.
Resposta: a) 1980
Questão difícil:
30- Em nosso calendário, há dois tipos de anos em relação à sua duração: os bissextos, que duram 366 dias, e os não bissextos, que duram 365 dias. O texto abaixo descreve as duas únicas situações em que um ano é bissexto. 
- Todos os anos múltiplos de 400 são bissextos − exemplos: 1600, 2000, 2400, 2800; 
- Todos os anos múltiplos de 4, mas não múltiplos de 100, também são bissextos − exemplos: 1996, 2004, 2008, 2012. 
Disponível em: (<http://www.tecmundo.com.br/mega-curioso/20049-como-funciona-o-anobissexto-.htm>. Acesso em 16.12.12).
Sendo n o total de dias transcorridos no período que vai de 01 de janeiro de 1898 até 31 de dezembro de 2012, uma expressão numérica cujo valor é igual a n é
Dica: a subtração não dá a quantidade de anos, precisa somar mais 1 (para incluir o 1º ano). 
2012- 1898 = 224 +1 = 225 anos.
Cada ano tem pelo menos 365 dias - 365 x (2012 − 1898 + 1)
Agora precisa saber quantos anos bissextos tiveram: 28 ou 29 anos?
1900 não foi ano bissexto – porque não é divisível por 400 e é divisível por 100. Ou seja, será de 1904 à 2012.
2012 – 1904 = 108 anos
Divide por 4 (porque bissextos são de 4 em 4 anos). 108/4 = 27 (adiciona 1 para saber o total de anos).
Resposta: (C) 28 + 365 x (2012 − 1898 + 1).
Aula 03 - Titans
Conceitos matemáticos básicos (Estratégia)
VÍDEO SOBRE ADIÇÃO:
Manter as casas decimais (vírgula embaixo de vírgula)
Resposta: 370,25
Resposta: 56,285
Subtração: mesma ideia.
VÍDEO SOBRE MULTIPLICAÇÃO:
Conta o número de vírgulas de cima e debaixo.
49,2 x 3,71 = 182,532 (3 vírgulas)
VÍDEO SOBRE DIVISÃO:
Para simplificar: divide ambos por 10.
576/3= 192
Para simplificar: multiplica ambos por 10.
214/30= 7,133...
Mesma ideia.
214/38= 5,637...
VÍDEO SOBRE FRAÇÕES:
Soma de frações:
1º: precisam estar com o denominador em comum. Para isso, procure o múltiplo em comum.
7 14 21 29 35 (x5)
5 10 15 20 25 30 35 (x7)
Denominador em comum: 35
3x5= 15; 4x7= 28
15/35 + 28/35= 43/35
Subtração de frações:
Denominador comum: 6
1x3= 3; 1x2=2
3/6 – 2/6= 1/6
Multiplicação de frações:
Multiplica direto casa por casa.
15/40
Pode simplificar. Ex: dividir ambos por 5
Resposta: 3/8
Divisão de frações:
Mantém a primeira fração e multipla o inverso da segunda.
4/5 x 5/3= 20/15
Simplifica: 4/3
Interpretação de frações:
1/5 x 25 = 25/5. Simplifica=5
2/3x5/6x60=
Corta o 60 e 6 (divide por 6)= em cima= 2x5x10=100; embaixo: 3x1=3
100/3 = 3,333...
90= 1/3 x X
90/3/1= X
X = 90x3= 270
84=3/5x X
84/3/5= X
X= 84x 5/3= 420/3=140
Expressões aritméticas: 
Primeiro parênteses, depois colchetes, depois chaves.
Primeiro petência/raiz, depois mutiplicação/divisão, depois subtração/soma.
5X +2 =17
5X= 17-2
5X=15
X=3
2x – 3= -5+ 4x
-3 +5 = 4x – 2x
2=2x
X=1
Elevação de números decimais:
(1,0x) 2
(1,01)2= 1,DDQQ = 1,0201
D= dobro
Q= quadrado
Divisão por 0,25
0,25= ¼
56:1/4= 56x 4/1= 224
Multiplicação por 0,25
56:1/4= 56:4= 14
Gravar fraçôes:
0,25= 1/4
0,5 = ½
0,75= ¾
0,333...= 1/3
0,666... = 2/3
1,5 = 3/2
0,125=1/8
0,1= 1/10
Multiplicação e divisão por 4:
4= 2x2
Ex: 190/4= 190:2=95:2= 47,5
190x4 = 190x2= 380x2= 760
40=4x10
0,025= 1,40
DICA – Grave os principais quadrados perfeitos
1,52 = 2,25
Grave os cubos perfeitos:
DICA – Grave as potências de 2
Desmembramentos:
TEORIA DOS CONJUNTOS - TITANS
Conjunto união: equivale ou (inclusivo).
Conjunção interseção: equivale a “e”.
Conjunção diferença: corta a interseção e veja o que sobra em cada lado (e não a soma deles).
A-B = A e (~B)
Diferença simétrica: contrário da interseção (ou excludente).
A B = (A-B) U (B-A)
Questões com diagramas:
1) (ANALISTA/TRT) As atividades físicas têm sido recomendadas como forma de se obter uma boa qualidade de vida. Uma pesquisa realizada com médicos que residem na região oceânica de uma determinada cidade, na faixa etária entre 30 e 40 anos, sobre a prática de duas modalidades de atividades físicas, caminhada na orla marítima e exercícios em academia de ginástica, constatou que, dos médicos consultados, 180 não freqüentam academia de ginástica, 130 apenas caminham na orla, 280 praticam apenas uma das duas modalidades e 30 praticam as duas modalidades. A quantidade de médicos que freqüentam academia de ginástica corresponde a:
Quantidade de pessoas que praticam exercícios em academia de ginástica – 280 (praticam apenas 1) – 130 (praticam 2) = 150
Justificativa: a soma dos dois lados tem que dar 280 (então diminui o outro lado).
Resposta: 150 (academia) + 30 (que praticam 2) = 180
c) 180
2) (Técnico Bacen- FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: Inglês e Espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar Inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é:
Vão estudar inglês: 105-37= 68
Vão estudar espanhol = 118 – 37= 81
Total: é tudo (inclusive quem não pretende estudar) = 7X
1/7x X = X/7 (mesma coisa de 7X)
Total: 7X= X+68+81+37
7x-x= 168
6x=186
X= 31
Para saber a resposta: 7x31 = 217
Análise Combinatória - CERS
1) Princípios de contagem
Princípio aditivo (regra do “ou”): SOMA. Aplica-se quando se tem APENAS UMA ESCOLHA.
Ex: P1 + P2 + P3 + ... + Pn
Princípio multiplicativo (regra do “e”): MULTIPLICA. Aplica-se em caso de sucessão (sequência) de escolhas. É o princípio fundamental da contagem. 
P1. P2. P3. ... .Pn
https://www.youtube.com/watch?v=R5kmOTQLlFU&list=PLXtRQkFOjLFAf6CKC6yLLPbkaVCrktZHk
DICAS:
- Quando a questão falar que só utilizou algarismos pares do sistema de numeração decimal: 0,2,4,6,8.
- Quando a questão falar que o número é par: apenas o último algarismo precisa ser 0,2,4,6,8.
- Nenhum número inicia por 0.
- Verificar se os algarismos podem se repetir ou precisam ser distintos. 
Exemplo:
Dispondo de 10 camisas, 6 calças e 3 pares de sapato, de quantas maneiras uma pessoapoderia se vestir?
Ex: Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5 e 7.
Como responder: são 3 algarismos (3 escolhas)
1º: 6 possibilidades 1,2,3,4,5,6
2º: 6 possibilidades 1,2,3,4,5,6
3º: 6 possibilidades 1,2,3,4,5,6
Trata-se de associação.
Portanto: 6.6.6= 216
Quantos números de dois algarismos distintos podem ser obtidos, usando-se apenas os algarismos 1,3,6,8 e 9?
5.4= 20
1º algarismo: 5 possibilidades.
2º algarismo: 4 possibilidades (porque são distintos).
Ex: Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6?
São elementos distintos: não pode repetir.
1º: 6 opções - 1,2,3,4,5,6
2º: 5 opções 
3º: 4 opções 
Portanto: 6.5.4= 120.
Ex: Quantos (números) pares de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6?
Possibilidades? 3 (algarismos)
Quantas opções? 6. 
Para o número ser par: o último algarismo precisa ser par . Opções no último algarismo? 3
1º: 6
2º: 6
3º: precisa terminar em par = 2 
6.6.2 = 72
Ex: Quantos pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6?
Primeiro faz esse - 3º: 2 (precisa ser par: 2 ou 4)
Já usou 1 algarismo, para não repetir, tira 1.
Depois: 1º: 5
Por fim: 2º: 4
5.4.2= 40
Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 
1. O total de possibilidades distintas (sem repetição) para as três primeiras colocações é 58. ERRADA - 5.4.3= 60.
2. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. ERRADA. 1.4.3 = 12
1ºlugar: equipe A
2º: B,C,D ou E – 4 possibilidades
3º: 3 possibilidades.
3. Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. CERTA. 4.3.2=24
1º: 4 (exceto A)
2º: 3
3º: 2
4. (CESPE) Para cadastrar seus equipamentos, uma instituição usa códigos numéricos de 2 algarismos, de 3 algarismos e de 4 algarismos, não sendo permitidas repetições de algarismos. A partir dos algarismos de 0 a 9, o número de códigos distintos disponíveis para esse cadastramento é igual a:
Em regra são 10 possibilidades (0 a 9).
Código de 2 algarismos:
1º : 10 – 2º: 9. 10.9=90
Código de 3 algarismos:
10.9.8= 720
Código de 4 algarismos: 10.9.8.7= 5040
Número de códigos: soma – porque os códigos são distintos
90+720+5040 = 5850
5. (CESPE) Para proceder a uma investigação criminal, um perito dispõe de 9 procedimentos distintos que empregam apenas recursos eletrônicos e outros 5 procedimentos distintos que empregam apenas recursos humanos. Nessa situação, a quantidade de procedimentos distintos que o perito tem à disposição para realizar a mencionada investigação é igual a
 (C) 14 – ele quer o total de procedimentos disponíveis.
Seria multiplicação se pedisse: o perito vai utilizar 2 procedimentos, sendo um de recursos humanos e um de recursos eletrônicos.
6.(CESPE TRE 2009). Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada — entre salada verde, salpicão e mista —, um prato principal — cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim —, a quantidade n de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente será:
3.4.2=24
Resposta: 
PERMUTAÇÃO X COMBINAÇÃO X ARRANJO
Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula Pn=n!. Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta. 
Um arranjo de n elementos é uma escolha de possibilidades entre esses n objetos na qual a ordem importa.
As Combinações de n elementos são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas por 
1ª Estou formando grupos? 
se a resposta for NÃO, entao permutação. 
se a resposta for SIM, entao pode ser combinação ou arranjo. 
2ª A ordem é importante? 
se a resposta for SIM, entao usa-se arranjo 
se for NÃO, usa-se combinação. 
N= total
P=evento desejado
PERMUTAÇÃO SIMPLES:
- Se a questão pede que fiquem sempre juntos: TAPE (todos é um, adiciona, permuta).
Ex: 8 pessoas em fila, sendo que 2 precisam estar sempre juntas. Quantas filas podem ser formadas dessa forma?
2 pessoas juntas = 1
1+ 6 (pessoas restantes) = 7
Permuta: 7!
Permuta entre as 2 pessoas: 2!
7!x2! = 7x6x5x4x3x2x1(x2x1) = 10.080
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO:
Anagramas: permutação que envolve letras.
Sem repetição = permutação simples.
Com repetição: permutação com repetição.
Ex: Arara
Quantas letras: 5!
Divide-se pelo número de repetições: 3!2!
5!/3!2! = pode simplificar
5x4x3!/3!2! = 5x4/2! = 20/2 = 10
Ex: A senha requerida é formada por 8 letras da palavra TERESINA, com vogais ocupando as 4 primeiras posições e as consoantes, as 4 últimas. Se a pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo, quantas tentativas?
Vogais ocupando as 4 posições: quantas vogais -4; repetidas: 2
4!/2! = 4x3x2!/2! = 4x3 =12
Consoantes ocupando as 4 últimas: 
4! = 4x3x2x1=24
Solução: 12x24 = 288
PERMUTAÇÃO CIRCULAR: não costuma cair.
Pode ocorrer ao redor de uma mesa qualquer, em uma roda de pessoas ou quaisquer outras situações em que esteja presente a ideia de um círculo. 
Ex: De quantas maneiras distintas, 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa quadrada?
https://www.youtube.com/watch?v=V5s1KK5PhlI&index=5&list=PLXtRQkFOjLFAf6CKC6yLLPbkaVCrktZHk
COMBINAÇÃO SIMPLES:
Arranjo: ordem importa. É uma permutação, sempre multiplica.
Fórmula:
Combinação: ordem não importa.
Fórmula:
N= total
P=evento desejado
(CESPE) Determinado órgão público é composto por uma diretoria geral e quatro secretarias; cada secretaria é formada por três diretorias; cada diretoria tem quatro coordenações; cada coordenação é constituída por cinco divisões, com um chefe e sete funcionários subalternos em cada divisão. CERTA!
A respeito desse órgão público, julgue o item seguinte, sabendo que cada executivo e cada funcionário subalterno só pode ocupar um cargo nesse órgão.
Se, entre onze servidores previamente selecionados, forem escolhidos: sete para compor determinada divisão, um para chefiar essa divisão, um para a chefia da coordenação correspondente, um para a diretoria e um para a secretaria, haverá menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas escolhas.
1º: Se, entre onze servidores previamente selecionados, forem escolhidos: sete para compor determinada divisão.
C11,7= 11!/7!(11-7)! = 11x10x9x8x7!/7!x4! = 11x10x9x8/4x3x2= 330
2º: um para chefiar essa divisão, um para a chefia da coordenação correspondente, um para a diretoria e um para a secretaria
C4,1= 
C3,1=
C2,1=
Sempre que C n,p, p=1, o valor de Cn,p = n.
Não precisa fazer: 4,3,2
Solução: 330x4x3x2x1 =7920
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
Cn+p-1,p= n!/p!(n-p)!
CESPE (2012) 
 
Uma aeronave possui capacidade para transportar 138 passageiros arranjados em 23 fileiras com seis assentos cada, conforme ilustrado na figura acima. Com base nessas informações e na figura, julgue os itens a seguir.
Se três amigos desejarem viajar em assentos contíguos — de um mesmo lado do corredor — na fileira 5, que se encontra vazia, a atendente poderá alocá-los nos assentos de 12 maneiras diferentes.
Resposta mediante aplicação da fórmula de combinação com repetição.
N = 3 (três amigos desejam viajar em assentos contíguo)
P = 2 (apesar de serem 6 assentos na fileira 5, precisam ser contíguos, assim só podem ser 3 de um lado e 3 de outro).
Fórmula: C n+p-1,p = n!/p!(p-n)!
Primeiro:
Cn+p-1 =3+2-1
N agora= 4
Aplicando a fórmula conforme o novo número N.
C4,2= 4!/2!(4-2)!= 4x3x2!/2!x2! 
Cortando todos os 2!, resta 4x3 = 12
Resposta certa (12).
https://www.youtube.com/watchv=gT0lt58hcw4&index=9&list=PLXtRQkFOjLFAf6CKC6yLLPbkaVCrktZHk Macete: bola traço 
 Parte superior do formulário
No caso de determinadaempresa solicitar a compra de 18 passagens com a única condição de que os assentos correspondentes estejam todos em três fileiras contíguas, haverá 21 maneiras distintas de se atender a essa solicitação.
FAZER
(CESPE) A Comissão Nacional de Biodiversidade (CONABIO), que atua fundamentalmente na implementação da política nacional de biodiversidade, é constituída pelo presidente e mais 6 membros titulares, tendo estes 6 últimos 2 suplentes cada. Considere que seja necessária a presença de exatamente 7 membros para a realização de uma reunião da CONABIO, sendo a presença do presidente e a de pelo menos um membro titular obrigatórias. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes que essa comissão poderá ser formada para suas reuniões é inferior a 250.
7. DÍFICIL (CESPE TRE 2009). Considere que um grupo de quatro indivíduos, em que dois deles são irmãos, tenham sido indicados para compor uma lista quádrupla, devendo ser definida a posição dos nomes desses indivíduos na lista. Sabendo que os nomes dos dois irmãos não podem aparecer em posições consecutivas nessa lista, o número de possíveis maneiras de se organizar a referida lista é igual a:
1º passo: ver total de possibilidades:
4.3.2.1= 24
2º passo: aparecendo em posições consecutivas.
1ª possibilidade: 
Na P1 são 2 possibilidades: um ou outro irmão, então na P2 ficará o outro irmão.
Na P3 são 2 possibilidades: um ou outro irmão, então na P4 ficará o outro irmão.
	2
	1
	2
	1
	P1
	P2
	P3
	P4
4 possibilidades x 3 situações de posições juntos (P1-P2,P2-P3,P3-P4): 4.3=12
Final: 24 -12 = 12
(C) 12.
08. (ABIN CESPE 2010) Considere que uma das técnicas de acompanhamento de investigado que se desloque por uma rua retilínea consista em manter um agente no mesmo lado da via que o investigado, alguns metros atrás deste, e dois outros agentes do lado oposto da rua, um caminhando exatamente ao lado do investigado e outro, alguns metros atrás. Nessa situação, há 10 maneiras distintas de 3 agentes previamente escolhidos se organizarem durante uma missão de acompanhamento em que seja utilizada essa técnica. ERRADA.
Posição 1: 3 agentes
Posição 2: sobrou 2 agentes (pois um já está na 1)
Posição3: sobrou 1 agentes
Resposta: 3.2.1= 6
09. Considerando que a sigla do partido deva começar com a letra P e o complemento poderá ter mais uma, duas ou três letras escolhidas entre as 26 letras do alfabeto, então, o número de escolhas possíveis para a sigla do partido será superior a 18.000. CERTA.
Possibilidade 1: P (1 letra). 1ª letra (26 possibilidades de letras) = 26
Possibilidade 2: P (1) . 2ª letra (26 possibilidades de letras) . 3ª letra (26) = 676
Possibilidade 3: : P (1) . 2ª letra (26 possibilidades de letras) . 3ª letra (26). 4ª letra (26) = 17576
Resposta: 17578+676+26= 18278
Texto para as questões 10 a 12
Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.
10-O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000. CERTA. 26.26.10.10.10.10= 676000
11-O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000. ERRADA.
Dica: escolha de elementos iguais- a 1ª é livre; a 2ª em diante SEMPRE igual a 1.
Resposta: 26.1.10.10.10= 26.000
12- O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras e de algarismos é superior a 470.000. ERRADA.
26.25.10.9.8= 468000
13. Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5 Modalidades diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.
5X5=25
14 Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para a aquisição de um veículo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, com ou sem direção hidráulica, com ou sem vidros e travas elétricas. Desse modo, são, no máximo, 128 as opções distintas para a escolha de um veículo. ERRADA
Possibilidades: 
4 cores externas
4 cores internas
Com ou sem ar=2
Com ou sem direção=2
Com ou sem vidros e travas elétricas = 2
4x4x2x2x2x2x2= 256
15. (TRE-MT CESPE 2010) Para as eleições gerais em determinado ano, se candidataram 5 cidadãos à presidência da República e, em determinado estado, 4 cidadãos se candidataram a governador do estado e 6, ao Senado Federal. Nesse estado, a eleição será feita com cédula comum, de papel, e, independentemente de partido político, a posição dos candidatos, por cargo, será feita por sorteio e seguirá o modelo abaixo.
De acordo com as informações do texto, a quantidade de configurações diferentes para a cédula em função do sorteio da posição dos nomes dos candidatos é
Presidente=5x4x3x2x1= 120
Governador: 4.3.2.1= 24
Senador: 6.5.4.3.2.1= 720
Resposta: 720.24.120= 2073600
Dica: na sucessão de escolhas sempre é multiplicação.
18. (CESGRANRIO 2008) Pedrinho precisava inventar uma bandeira para representar seu grupo em um trabalho escolar. Ele criou uma bandeira simples, de quatro listras verticais, representada abaixo.
Pedrinho decidiu pintar sua bandeira utilizando as quatro cores da bandeira do Estado de Rondônia. De quantos modos essa bandeira poderá ser pintada, se duas listras seguidas devem, obrigatoriamente, ser de cores diferentes?
4.3.3.3= 24
Aula 15.1 CERS
CONJUNTOS - CERS
É uma reunião de elementos que possuem a mesma caracterísitica.
Diagrama de Venn:
A
B
C
D
Enumeração:
A = { 1,2,3,4}
B = {a,b,c,d}
Uso de uma propriedade:
A = { X/X é múltiplo de 2}
Conjunto unitário:
A = {a}
B = {b}
Vazio: não possui elementos
A = [ ]
A = Ø
A = [Ø] ERRADO – representa o unitário
Relação de pertinência:
ϵ = pertence
∉ = não pertence
OBS: só pode ser usado em relação entre elemento e conjunto.
Ex: A = {a,b,c,d}
a ϵ A
OBS: prescisam ser os mesmos elementos.
Ex: B = { a,b,d, [d]}
[d]} não é o mesmo elemento, portanto não ∉ a B.
Relação da inclusão: relação de subconjunto
⊂ = está contido
⊄ = não está contido
⊃ = contém
⊅ = não contém
A ⊂ B
B ⊃ A
Macete: a boca sempre aponta para o maior.
OBS: todo conjunto é subconjunto dele mesmo. Ou seja, A ⊂ A.
Todo conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Ex:
CESPE: Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira, julgue o item seguinte.
Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o conjunto dos que o registram, então B será subconjunto de A. 
OBS: quando houver subconjunto [a] ele ⊂, quando for elemento a é ϵ. 
Conjunto das partes: é o conjunto que representa todos os subjuntos do conjunto.
P (A)
2n = número de subconjuntos.
n = total de elementos
Número de conjuntos não vazio = 2n – 1
Operações de conjuntos:
União
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B, formado por todos os elementos os elementos pertencentes a A ou B, então: 
A ∪ B = { X/X ∈ A ou X ∈ B}
Considere o conjunto A {1, 2, 3} e o conjunto B {3,4,5}. Determine o conjunto A ∪ B
Resposta: {1, 2, 3, 4, 5} – não se repete elementos.
Dica: quando se usa [2,2] é um elemento, quando se utiliza (2,2) são 2 elementos.
A disjunção inclusiva (P ou Q) = união de conjuntos.
	A
	B
	A ∪ B
	∈
	∈
	v
	∈
	∉
	v
	∉
	∈
	v
	∉
	∉
	f
Intersecção:
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos