II Sipemat - Número racional e diferentes significados. Nicole, Paula, Maurício Figueiredo e Rosinalda

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NÚMERO RACIONAL E SEUS DIFERENTES SIGNIFICADOS 
 
Nicole Rodrigues Fernandes 
nicolerfernandes@yahoo.com.br 
Colégio Exponente 
Paula Moreira Baltar Bellemain 
pmbaltar@ufpe.br 
Universidade Federal de Pernambuco 
José Mauricio Figueiredo Lima 
Colégio de Aplicação de Pernambuco 
Rosinalda Aurora de Melo Teles 
rosinaldateles@yahoo.com.br 
Universidade Federal de Pernambuco 
 
RESUMO 
 
O presente artigo é parte da monografia de conclusão de curso de 
graduação (licenciatura em matemática), que teve por objetivo realizar um 
estudo diagnóstico do conceito de número racional, abordando a 
multiplicidade de representações simbólicas e significados associados a 
esse conceito. Inicialmente foi feito um estudo teórico acerca do ensino-
aprendizagem dos números racionais. Em seguida foi aplicado um teste 
diagnóstico para 69 alunos da 6ª Série (7° ano do Ensino Fundamental) de 
escolas públicas e privadas da Região Metropolitana do Recife. O teste 
diagnóstico continha 18 itens dispostos em 8 questões, as quais focam o 
reconhecimento do número racional como número, as formas de 
representação simbólica de números racionais e a comparação de 
números racionais nas escritas fracionária e decimal. A análise dos 
resultados obtidos mostra indícios de que para uma parcela considerável 
dos sujeitos a idéia de número se restringe aos números naturais. 
Observou-se também uma forte tendência a associar o conceito de número 
racional apenas ao significado parte-todo assim como a predominância da 
representação fracionária em detrimento das representações decimal e 
percentual. 
Palavra chave: números racionais; diversidade de significados; fração; decimais. 
1 INTRODUÇÃO 
O conceito de número racional tem seu ensino iniciado, formalmente, a partir do 2º ciclo (3ª 
e 4ª séries) do Ensino Fundamental, se estendendo, pelo menos, até o final do 3º ciclo (5ª e 
6ª séries). O baixo desempenho atingido pelos alunos nas avaliações estaduais e nacionais 
do sistema educacional (SAEPE – Sistema de Avaliação Educacional de Pernambuco e 
SAEB – Sistema de Avaliação do Ensino Básico), frente a problemas que envolvam os 
números racionais, e os resultados encontrados nas pesquisas da Educação Matemática, 
tais como: NUNES e BRYANT (1997)1, PINTO (2000)2 e BROUSSEAU (1983)3 ; 
evidenciando dificuldades relacionadas ao ensino-aprendizagem desse importante conceito, 
motivaram a escolha do tema da pesquisa. Reflexões fundamentadas nesses resultados 
tornaram-se objetos de investigação, buscando identificar procedimentos relacionados ao 
conceito de número racional e comparação entre racionais. 
2 O PAPEL DO ERRO NO ENSINO DE MATEMÁTICA 
Tradicionalmente o ensino de matemática tem tratado o erro como reflexo da incompetência 
dos alunos em compreender os assuntos da disciplina. Poucas vezes, um professor se 
preocupa em observar o erro cometido por seus alunos. 
É preciso que os professores quebrem esse paradigma e assumam uma nova postura frente 
à maneira de avaliar, ou diagnosticar, o resultado de uma atividade matemática. CENTENO 
(1988)* citada em PINTO (2000), discípula de Brousseau, apóia-se na necessidade de o 
professor interpretar os erros para orientar o processo de ensino. Pois, aprendizagem se dá 
contra um conhecimento anterior, a partir da desconstrução deste conhecimento, ou seja, a 
aprendizagem sempre destrói um conhecimento para construir outro. É importante que o 
professor facilite essa construção do novo conhecimento considerando os registros escritos 
e as manifestações orais dos alunos independentemente do resultado, isto é, considerando 
 
1 NUNES, Teresinha, BRYANT, Peter. Crianças fazendo matemática, Porto Alegre: Artes Médicas, 
1997. 
2 PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: Estudo do erro no ensino da matemática 
elementar. Campinas: Papirus, 2000. 
3 BROUSSEAU, Guy. Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. 
Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, Vol. 4, nº 2, pp. 165-198, 1983 
a contribuição que esses registros podem ter na aprendizagem do aluno. 
Ao observar os “erros” do ponto de vista do processo de aprendizagem, a atitude do 
professor muda. Quando encara os erros como constitutivos do processo de aprendizagem, 
sua atitude passa a ser de investigação. 
“...o educador reflete sobre o significado dos erros e acertos dos alunos 
preocupando-se em compreender os diferentes processos que os alunos 
utilizam ao apropriar-se dos conhecimentos, ao inquietar-se frente aos 
resultados obtidos e buscar sua regulação” (PINTO, 2004, pp.123). 
Nesse sentido o professor passa a se perguntar, por que o aluno seguiu esse caminho e 
não outro? Quais foram os conceitos que ele utilizou para resolver a atividade? Se ele 
tomou um caminho inadequado na resolução, como ajudá-lo a retomar o raciocínio? Quais 
conceitos precisam ser revistos? Qual a lógica subjacente ao processo escolhido pelo 
aluno? O "erro" é visto agora como constitutivo do processo de aquisição de novos 
conhecimentos. Esse olhar diferenciado do professor sobre o erro do aluno torna o erro um 
observável para o professor e inicia o processo de transformar o estudo do erro em uma 
estratégia de ensino-aprendizagem para o professor. 
3 ENTRAVES E DIFICULDADES RELACIONADAS AOS NÚMEROS RACIONAIS 
A compreensão dos números racionais exige o enfrentamento de alguns entraves. A 
identificação e a caracterização desses entraves são essenciais à análise e construção de 
situações didáticas que favoreçam na superação das dificuldades dos alunos. Alguns 
conhecimentos relativos aos números naturais se constituem em obstáculos para a 
aprendizagem dos números racionais. Pesquisas anteriores à nossa discutem esses 
aspectos e as orientações didáticas dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática 
(Brasil, 1997) os apresentam. Pontuaremos a seguir alguns: 
− Comparações de racionais 
∗ Nos naturais o tamanho da escrita numérica é um bom indicador da ordem de 
grandeza, ou seja, 1287 é maior que 13 e o aluno pode identificar essa comparação 
apenas observando a quantidade de dígitos já que cada dígito representa uma 
ordem e nos naturais quanto mais ordens maior o número. O mesmo não ocorre nos 
racionais. Um exemplo é a comparação de 1,287 com 1,3 apesar de o primeiro 
número ser escrito por quatro algarismos o segundo é maior, mesmo sendo escrito 
por dois algarismos. 
∗ Quando a comparação deve ser feita na escrita fracionária ocorre um outro 
problema, acostumados com ab significar que o número natural a é maior que 
o número natural b terão que construir que quando a e b são naturais e ab tem-
se 
1
a
1
b , fato aparentemente contraditório. 
− Se nos naturais cada número só podia ser representado por uma única combinação de 
algarismos, nos racionais é possível representar o mesmo número de diferentes formas. 
− Na multiplicação de naturais uma das propriedades é que o produto de dois números 
diferentes de zero o resultado será sempre maior que cada um dos fatores, o mesmo 
não necessariamente acontece quando um dos números é um racional. 
− Os números racionais não permitem falar em sucessor e antecessor como nos naturais, 
pois entre quaisquer dois racionais sempre existe outro. 
A diversidade de significados e as formas de representação associadas ao número racional, 
é uma característica que merece atenção por parte dos educadores matemáticos e precisa 
ser considerada no contexto do ensino aprendizagem como geradora de rupturas e 
continuidades, e também como fonte de dificuldades conceituais. 
4 DIVERSIDADE DE SIGNIFICADOS DO NÚMERO RACIONAL 
A aquisição plena de um dado conceitomatemático exige o seu reconhecimento em 
diversas situações e em diversos contextos. A construção do conceito de número racional 
em sua totalidade exige explorá-lo em várias situações e contextos, trabalhando assim, seus 
diversos significados. 
Corrobora com essa idéia Kieren (1998) que afirma que a noção completa de fração 
abrange quatro sub-constructos, medida, quociente, número proporcional e operador 
multiplicativo. Behr, Lesh, Post e Silver (1983)4 evidenciam sete interpretações para as 
frações que denominam de sub-constructos: medida, razão, taxa, quociente, coordenadas 
lineares, decimal e operador. Ohlsson (1989) analisa as frações na perspectiva de quatro 
interpretações: razão, parte-todo, operador e uma interpretação parâmetro/parâmetro que 
não é descrita. Nas orientações didáticas do PCN de matemática (Brasil, 1998) para 3º e 4º 
ciclo encontramos relação parte-todo, divisão, operador e razão como os diferentes 
significados assumidos pelos números racionais. 
Assumimos em nosso estudo o número racional com cinco significados: número, parte-todo, 
razão, quociente e operador. A título de ilustração, apresentaremos sucintamente cada 
significado, utilizando exemplos nos quais o numero racional em questão será 2/5 . O 
número racional utilizado nos exemplos é o mesmo, mas o raciocínio empregado para lhe 
 
4 BEHR, M. J., LESH, R., POST, T. R. e SILVER, E. A. A. Rational number concepts aquisition of 
mathematical concepts and processes. Academic Press. New York: 1983, p. 91-126. 
 
dar sentido é diferente. 
− Número 
A idéia envolvida nesse significado é a do número racional, em suas representações 
fracionárias e decimais, expressando um número na reta numérica, ou ainda sua 
representação na notação decimal. 
Exemplo: Represente 
2
5 na reta 
numérica. 
− Parte todo 
Na relação parte todo, a fração indica a relação que existe entre um número de partes 
escolhidas e o total de partes em que o todo foi dividido, podendo ser feita com grandezas 
discretas e contínuas. É importante ressaltar que essas partes em que o todo é dividido 
precisam ser equivalentes. Behr et al (1983)5, citados em NEPEM/USF (2004) consideram 
que essa relação constitui a base fundamental para a formação do conceito de número 
racional. 
Exemplo 1: Um saco com 10 bolas foi dividido em 5 partes iguais. João ganhou duas dessas 
partes. Que fração representa o que João ganhou? 
Exemplo 2: Um agricultor dividiu o seu terreno em cinco lotes de mesma área. 
No primeiro lote plantou arroz, no segundo milho, no terceiro trigo e nos dois 
últimos feijão, como ilustrado na figura ao lado. Que fração representa a área do 
terreno em que o feijão foi plantado? 
− Razão 
Razão é considerada como uma relação entre duas quantidades de uma mesma grandeza, 
ou seja, indica um índice comparativo entre essas duas quantidades da mesma grandeza. 
Exemplo: Uma indústria fabrica 50 copos plásticos por minuto. Dois em cada cinco copos 
fabricados saem com defeitos. Qual a fração indica a razão de copos com defeitos? 
− Quociente 
Esse significado está presente em situações associadas a idéia de partição. O quociente 
consiste na representação do racional como uma divisão na forma 
a
b
, com b≠ 0 . 
Exemplo: Duas barras de chocolate foram divididas igualmente para cinco pessoas. Quanto 
recebeu cada uma? 
− Operador 
 
5 BEHR, M. J., LESH, R., POST, T. R. e SILVER, E. A. A. Rational number concepts aquisition of 
mathematical concepts and processes. Academic Press. New York: 1983, p. 91-126. 
Feijão 
Feijão 
T
ri
g
o
 
M
ilh
o
 
A
rr
o
z 
Operador está relacionado a idéia de função, com o papel de transformação, atua sobre um 
número em uma situação e modifica esse número. 
Exemplo: Maria tinha uma coleção de 50 bonecas de louça e deu a sua amiga 
2
5 dessa 
coleção. Com quantas bonecas de louça Maria ficou? 
5 DIVERSIDADE DE REPRESENTAÇÕES DO NÚMERO RACIONAL 
Segundo Maranhão (2003), ao apresentar o número racional no ensino fundamental 
utilizam-se três tipos de registros de representações semióticas: a representação por 
esquemas, por figuras e lingüística. O sujeito precisa estabelecer a coordenação desses três 
registros de representação semiótica, os quais possibilitam uma apreensão conceitual do 
objeto matemático: número racional. 
É necessário ao aluno perceber que é possível trocar de registro a todo momento, um 
exemplo disso seria uma atividade onde o aluno precise escrever 0,40 como 
2
5 , e que isso 
facilita sua compreensão, pois, “ a compreensão em matemática supõe a coordenação de 
ao menos dois registros de representação semiótica” (DUVAL, 2003, p. 15). É fundamental 
que o aluno compreenda mais do que as regras de transformação, como passar uma fração 
para a representação decimal, por exemplo. É preciso compreender os fenômenos de 
conversão, ou seja, compreender a transformação da representação em um registro para a 
representação de outro registro, pois, “do ponto de vista cognitivo, é a atividade de 
conversão que, conduz aos mecanismos de compreensão” (DUVAL, 2003, pp. 16). 
Estes três aspectos – dificuldades de aprendizagem, diversidade de significados e 
diversidade de representações simbólicas dos números racionais motivam este estudo pois 
para que haja compreensão dos alunos é necessário a explicitação das ligações existentes 
entre os diversos significados e representações que formam o conceito do número racional. 
6 METODOLOGIA DE PESQUISA 
A nossa pesquisa foi dirigida a alunos de 6ª série / 7º ano do Ensino Fundamental, com o 
intuito de diagnosticar a compreensão do conceito de número racional, em seus diferentes 
significados e representações e da comparação entre números racionais em diferentes 
contextos. 
Para isso foram escolhidas três escolas, sendo uma escola pública estadual e duas escolas 
particulares. A escola pública está situada no centro da cidade do Recife e atende as séries 
finais do ensino fundamental (5ª a 8ª série) e o ensino médio (1º a 3º ano). As escolas 
particulares disponibilizam da educação infantil ao ensino médio, uma está situada na região 
das praias da cidade do Paulista e a outra está situada na cidade de Olinda. 
O procedimento utilizado para coletar os dados foi a aplicação de um instrumento 
diagnóstico escrito contendo oito questões, elaborado e analisado pela equipe de 
educadores de uma formação continuada para professores de matemática de 3º e 4º ciclos 
(5ª a 8ª série) do Ensino Fundamental, da qual participamos no segundo semestre de 2005. 
A análise dos dados obtidos foi feita com base na confrontação com uma análise teórica das 
questões propostas, a qual, por sua vez, apoia-se na revisão de literatura e determina os 
aspectos que deveriam ser focados. 
7 TESTE DIAGNÓSTICO 
Questão 1 
Represente de diversas maneiras o número racional “um quarto”. 
Questão 2 
Considere os desenhos abaixo: 
 
Desenhe linhas no interior desses retângulos de modo que cada um deles fique dividido em 
quatro partes de mesma área. 
Questão 3 
O que se pode afirmar sobre o número que multiplicado por quatro resulta sete? 
Questão 4 
Represente de diversas maneiras o número racional “dois décimos”. 
Questão 5 
Em um jogo de bolinhas de gude, Joana perdeu metade de suas bolinhas e Pedro também 
perdeu metade das bolinhas que tinha. Você acha que Joana e Pedro perderam a mesma 
quantidade de bolinhas, um deles perdeu mais do que outro ou não podemos saber? 
Explique sua resposta. 
Questão 6 
Compare os números decimais abaixo: 
1,3 ______ 1,24 2,08 ______ 2,8 1,45 ______ 2,3 
3,456______ 3,6 1,5 ______ 1,50 0,485 ______ 0,5 
Questão 7 
Maria tem 
4
1
 do copo cheio de 
refrigerante. Bel tem 
3
1
. Qual é o copo de 
Maria? Por quê? 
 
Esse problema foi extraídos do livro didático de 5ª série Matemática de Imenes e Lellis em sua versão de 1997, publicado pela 
editora Scipione. E teve seu enunciado ligeiramente modificado. 
Questão 8 
Juca pediu meio quilo de carne no açougue. O pedaço de carne cortado pelo açougueiro 
pesou o que indica o visor da balança. 
 
Responda em seu caderno: 
a) O pedaço de carne que o açougueiro cortou pesa mais ou menos que meio quilo? 
b) Quanto Juca pagará por esse pedaço de carne, se 1kg dessa carne custa 3 reais? 
Esse problema foi extraídos do livro didático de 5ª série Matemática na Vida e na Escola de Ana Lucia Bordeaux et alli, em sua 
versão de 1999, publicado pela Editora do Brasil. 
8 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
A análise quantitativa dos 69 testes aplicados foi organizada distinguindo inicialmente: os 
acertos (os alunos respondem corretamente a questão); os acertos parciais (quando há 
ocorrência de erros, mas a resolução proposta é predominantemente correta); os erros (a 
estrutura da resposta nos parece predominantemente equivocada); e a ausência de 
resposta (quando a questão está em branco, o aluno colocou não sei ou iniciou uma palavra 
para responder, mas não chegou a concluir algo que pudesse ser analisado como erro, 
acerto ou acerto parcial). 
A única questão que obteve 0,00% de ausência foi a questão 2, a qual destaca-se também 
por ter o menor percentual de erros, apenas 4,35%. Já a questão 3 além de tido a maior 
ocorrência de ausências, 42,03%, teve o menor percentual de acertos, apenas 5,00% dos 
alunos que resolveram a questão. 
Destaca-se ainda, a questão 5 com o maior percentual de acertos, 69,35% dos alunos que 
responderam a questão. E a questão 8 item (b) com o maior percentual de erros, 88,89% 
dos protocolos com resposta nesse item. Apresentamos em anexo a tabela contendo todos 
os dados quantitativos do teste, na monografia foram disponibilizadas as tabelas individuais 
por escola e aluno, permitindo ao leitor observar todas as respostas dos alunos e fazer sua 
própria análise. 
Neste trabalho enfatizamos em especial, dois significados associados ao número racional: a 
relação parte todo, focada nas questões 1, 2 e 4, e o número racional como operador na 
questão 3. 
A utilização de representações figurativas nas questões 1 e 4 mostrou que 55,9 % dos 
alunos associam os números racionais “um quarto” e “um décimo” à idéia parte todo. Os 
protocolos abaixo ilustram esse aspecto, 
 
Dos alunos que utilizam representação figurativa nessas questões 34,8 % cometem erros na 
representação, dos quais destacamos os mais freqüentes, desconsiderar que as partes em 
que o todo é dividido precisam ser de mesma área, dividir o todo sem tomar nenhuma de 
suas partes e fazer a relação parte pintada versos parte não pintada, ressaltamos nesse 
último que o aluno pode estar compreendendo a fração como uma razão entre a quantidade 
de partes pintadas e quantidade de partes não pintadas. 
Já a idéia de número racional como operador parece estar ausente das estratégias dos 
alunos. Apenas 14,6% dos alunos que responderam a questão demonstraram ter noção do 
número racional como operador, por exemplo, quando dá uma resposta aproximada ou 
expressam verbalmente que é um número racional, como ilustrado nos protocolos abaixo, 
 
Por outro lado, na questão 3, além da idéia do número racional como operador há também a 
ruptura com o domínio do número natural, propõe-se uma multiplicação onde o produto não 
é múltiplo do fator, sendo necessário aceitar a existência de números não inteiros. 
Com relação à mobilização das diversas formas de representação do número racional, foi 
possível identificar que nas questões 1 e 4 os alunos mobilizam as formas de representação 
fracionária, figurativa e decimal. Surgindo a presença da representação percentual em 
apenas um protocolo. 
Representação 
figurativa 
Representação 
fracionária 
Representação 
decimal 
Representação 
percentual 
Representação 
na língua natural 
C E C E C E C E C 
Questão 1 25 12 45 2 0 9 0 1 3 
Questão 4 18 11 42 1 4 11 1 0 3 
Em ambas as questões solicitam-se que seja representado de diversas maneiras um 
número racional, porém é importante observarmos algumas diferenças entre elas: na 
questão 1 temos uma fração irredutível; na questão 4 a fração é redutível e de denominador 
10, fato que facilitaria a sua escrita decimal. 
Nas questões envolvendo a comparação de números racionais é importante perceber que 
há três tipos de comparações envolvidas. A questão 5 trata a comparação conceitual que 
envolve a relação de equivalência, o cerne dos números racionais. Já na questão 6 temos 
uma comparação entre escritas numéricas decimais, em um contexto estritamente intra-
matemática. As questões 7 e 8 tratam da comparação de números racionais no contexto das 
medidas, sendo a questão 7 uma comparação entre frações através de medidas de 
capacidade e com auxílio da figura, e a questão 8 na representação decimal dentro do 
contexto de medida de massa e sem apoio de figuras. 
Questões 6 8 
 
5 1,3 
_____ 
1,24 
3,456 
_____ 
3,6 
2,08 
_____ 
2,8 
1,5 
_____ 
1,50 
1,45 
_____ 
2,3 
0,485 
_____ 
0,5 
7 
a) 
Acertos 62,32% 37,68% 47,83% 42,03% 24,64% 52,17% 42,03% 30,43% 50,72% 
Erros 27,54% 44,93% 34,78% 37,68% 56,52% 27,54% 34,78% 59,42% 28,99% 
Ausência 7,25% 17,39% 17,39% 20,29% 18,84% 20,29% 23,19% 7,25% 17,39% 
% de acertos 
dos que 
resolveram à 
questão 
67,19% 45,61% 57,89% 52,73% 30,36% 65,45% 54,72% 32,81% 61,40% 
Na tabela acima, podemos observar que os alunos, que responderam, apresentaram maior 
dificuldade em perceber a igualdade de duas representações decimais e na comparação 
entre frações. No caso da questão 7, trata-se de uma dificuldade causada pela extensão 
indevida da propriedade dos números naturais. O aluno compara as duas frações 
observando exclusivamente o denominador, como 4 é maior que 3 ele julga que 
1
4 é maior 
que 
1
3 . 
9 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Foi possível perceber, através das questões 1 e 4, o que Campos et al (1995) citada em 
Nunes & Brynt (1997), já haviam constatado, a forte tendência de introduzir o conceito de 
número racional apenas na exploração do significado parte-todo. Ao serem questionados 
quanto à diversidade de representações dos números racionais, 60,66% dos alunos que 
responderam a questão 1 e 50,88% dos alunos que responderam a questão 4 apresentaram 
nos seus procedimentos representações figurativas, associadas ao significado de parte 
todo. Nas representações figurativas observa-se ainda uma predominância do contexto de 
quantidades contínuas em detrimento das quantidades discretas e as representações 
fracionárias são bem mais freqüentes do que a decimal e percentual. 
Nossos resultados indicam uma forte tendência dos alunos em restringir a idéia de número 
aos números naturais: 82,5% dos alunos que responderam a questão 3 não reconhecem os 
números racionais como números. Esse percentual elevado de erros também aponta para a 
necessidade de trabalhar o número racional com o significado de operador. 
Em relação à comparação de números racionais, os resultados confirmam a revisão de 
literatura, em três aspectos: grande parte dos alunos ao comparar 1/3 e 1/4, atribui o maior 
valor à 1/4. Na questão 6, os critérios do tamanho da escrita e número decimal como par de 
números também tiveram forte presença. E o contexto parece ter influenciado, uma vez que 
a comparação de medidas de massa teve índices de acerto nitidamentesuperiores à 
comparação de números. 
Concluímos afirmando nossa convicção de que a compreensão do raciocínio empregado 
pelos alunos, dos entraves enfrentados por eles, das suas dificuldades e dos erros 
cometidos são fontes importantes para o professor conceber situações de aprendizagem 
que contribuam efetivamente para uma compreensão mais consistente desse tópico pelos 
alunos de ensino fundamental. 
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Fundamental. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. 
Brasília, 1998. 
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matemática: registros de representações semióticas. São Paulo: Papirus, 2003, p. 11-
33. 
KIREN, T. E. Personal Knowledge of rational numbers: its intuitive and formal developmente. 
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representações semióticas. São Paulo: Papirus, 2003, p. 57-70. 
NÚCLEO DE ESTUDOS E PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Números racionais 
no Ensino Fundamental. Subconscrutos, o papel da linguagem e dos materiais 
manipulativos. In. : Anais do 8º Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, 
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NUNES, Teresinha, BRYANT, Peter. Crianças fazendo matemática, Porto Alegre: Artes 
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PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: Estudo do erro no ensino da 
matemática elementar. Campinas: Papirus, 2000. 
11 ANEXO 
Tabela 1: Dados quantitativos dos 69 protocolos das 3 escolas.