Caderno matemática (caderno cursinho pré-vestibular unesp)

Prévia do material em texto

CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ-
UNIVERSITÁRIOS DA UNESP
ANTONIO FRANCISCO MARQUES 
 MARIA DA GRAÇA MELLO MAGNONI
E
S P
2016
MATEMÁTICA
NELSON ANTONIO PIROLA
O
VOLUME 2
Realização
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Rua Quirino de Andrade, 215 – 10° andar
São Paulo, CEP 01049-010 – SP
Tel (11) 5627-0264
Reitor
Julio Cezar Durigan
Vice-reitor
Eduardo Kokubun
Pró-reitora de Extensão Universitária
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-reitora de Pesquisa
Maria José Soares Mendes Giannini
Pró-reitor de Graduação
Laurence Duarte Colvara
Pró-reitora de Pós-Graduação
Lourdes Aparecida Martins dos Santos-Pinto
Pró-reitor de Administração
Carlos Antonio Gamero
Secretária Geral
Maria Dalva Silva Pagotto
Produção planejada pelo Projeto "Inovação nos pro-
cessos de gestão e pedagógico dos Cursos Pré-Vesti-
bulares da Unesp"
Diagramação e capa
Edevaldo Donizeti dos Santos
Impressão e acabamento: Gráica FCL/Araraquara
Revisão
Élide Feres
Maria Luzinete Euclides
Rony Farto Pereira
Conselho Editorial da PROEX - Unesp
Profa. Dra. Maria Candida Soares Del Masso (FFC / Marília)
Prof. Dr. Claudio César de Paiva (FCL / Araraquara)
Profa. Dra. Márcia Pereira da Silva (FCHS / Franca)
Profa. Dra. Rosane Michelli de Castro (FFC / Marília)
Sra. Angela de Jesus Amaral (PROEX / Reitoria)
Sr. Oscar Kazuyuki Kogiso (ICT / São José dos Campos)
Coordenação geral
Profa. Dra. Mariângela Spotti Lopes Fujita
Editores
Prof. Dr. Antonio Francisco Marques
Profa. Dra. Maria da Graça Mello Magnoni
Organizador
Nelson Antonio Pirola
Colaboradores
Emília de Mendonça Rosa Marques
Evandro Tortora
Fernanda Pizzigatti Marques Jasinevicius
Gabriela Pereira Sander
Gilmara Aparecida da Silva
José Luciano Santinho Lima
Juliana Aparecida da Silva dos Santos Morais
Márcio Rogério Ferreira
Patrícia Priscilla Ferraz da Costa Souza
Richael Silva Caetano
hais Regina Ueno Yamada
Marcio Rogerio Ferreira
Patricia Priscilla Ferraz da Costa Souza
Revisor de conteúdo
Profa Dra Mara Sueli Simao Moraes
M425 Matemática / Nelson Antonio Pirola, organizador. – [2. ed.] – São Paulo 
: Cultura Acadêmica, 2016. 
296 p. : il. - (Cadernos dos cursinhos pré-universitários da Unesp ; 2)
Inclui bibliograia
ISBN 978-85-7983-821-7
1. Matemática (Ensino médio) – Estudo e ensino. 2. Séries 
aritméticas. 3. Estatística. 4. Geometria. 5. Trigonometria. 6. 
Universidades e faculdades - Vestibular. I. Pirola, Nelson Antonio. II. 
Série.
CDD 510.7
3
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
PREFÁCIO
A ideia de construção dos conteúdos disciplinares dos 6 cadernos que com-
põem a 2° Edição do conjunto do material didático a ser utilizado pelos Cursinhos 
Pré-Universitários1 surgiu desde o início da gestão, em 2013, durante proveitosas dis-
cussões em reuniões com os professores e estudantes na condição, respectivamente, de 
coordenadores e tutores. Havia, naquela ocasião, uma grande preocupação com relação 
à disponibilidade do material didático de um ano vigente para um próximo ano, con-
siderando-se a provisão orçamentária. Além disso, havia um desejo dos envolvidos por 
conteúdos que mais se aproximassem do contexto social e educacional dos cursistas 
provenientes da escola pública e de famílias de baixa renda, para promover, de modo 
mais abrangente, a inclusão em um contexto de aquisição e de construção de conhe-
cimentos necessários ao ingresso em cursos de graduação ou no mercado de trabalho, 
mediante participação em concursos. 
O grande desafio da existência dos Cursinhos Pré-Universitários da UNESP 
sempre foi a oferta do material didático com os conteúdos disciplinares necessários, 
de um lado, para facilitar o processo comunicativo entre professor e cursista na sala 
de aula e, de outro, para orientar a aprendizagem do cursista fora da sala de aula. 
Portanto, o material didático é o instrumento que orienta o processo de aquisição e 
construção do conhecimento dos cursistas dos Cursinhos Pré-Universitários, em um 
curto período de tempo, com finalidade definida de ingresso em concursos e, ainda, 
a fim de propiciar sua inclusão. Nesse sentido, discutiu-se a viabilidade de a UNESP 
construir material didático próprio, dadas as características únicas de distribuição 
regional multicampus e da evolução histórica de seus Cursinhos Pré-Universitários, 
atualmente Subprograma de extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, do 
programa de extensão “Divulgação, Orientação e Informação Profissional”. 
Antes de sua concretização, essa discussão levou em consideração resultados 
de outras iniciativas da Pró-Reitoria de Extensão - PROEX - na tentativa de realizar 
1 Atualmente, existem 27 Cursinhos Pré-Universitários UNESP e 4 Cursinhos em convênios com Prefeituras, 
em funcionamento, localizados em 23 cidades do interior paulista, junto a Unidades Universitárias da UNESP. O 
modelo implantado atende a alunos regulares e egressos da rede pública de ensino e oferece aulas ministradas por 
graduandos dos diversos cursos da UNESP – bolsistas e voluntários –, que visam a suprir lacunas de formação de 
alunos regulares do 3º ano e egressos do ensino médio, com vistas a oferecer reforço de ensino e preparo para o 
ingresso e permanência na universidade. Para isso, a UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Extensão Universitária, 
mantém um Programa Institucional com bolsas de extensão universitária para alunos de seus cursos de graduação 
atuarem como tutores de ensino. 
4 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
parcerias com editoras comerciais e de organizações não governamentais, dedicadas a 
cursinhos populares e comunitários, que, após negociações, revelaram impossibilidade 
de execução. 
A proposta de construção do material didático, após debates, foi acolhida 
por Grupo de Pesquisa da Faculdade de Ciências do Câmpus de Bauru, com inser-
ção e experiência na coordenação de Cursinho Pré-Universitário, o qual elaborou o 
“Projeto de produção, manutenção e atualização de material didático-pedagógico”. 
O Projeto, coordenado pela Pró-Reitoria de Extensão Universitária e ela-
borado pelos Professores Doutores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça 
Mello Magnoni, da Faculdade de Ciências do Campus de Bauru, foi concebido com 
o objetivo de organizar, adequar e disponibilizar cadernos com os conteúdos curricu-
lares das diversas áreas do conhecimento para as atividades pedagógicas nos cursinhos 
pré-universitários da UNESP, nas seguintes áreas do conhecimento: “Linguagens e 
Códigos”, “Matemática”, “Biologia”, “Química”, “Física”, “Ciências Humanas” e o 
“Caderno de Material Complementar e de Apoio”. 
No ano de 2015, foram construídos os conteúdos das áreas de conheci-
mento que resultaram na publicação da 1° Edição com seus 5 cadernos: Linguagens e 
Códigos, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Material de Apoio.
A 2° Edição contemplou a atualização, reformulação e inclusão dos con-
teúdos para publicação dos cadernos, em 2016. Nesta nova edição, o Caderno 3 
- Ciências da Natureza que reunia as áreas de Biologia, Química e Física, foi seg-
mentado em três cadernos e cada uma destas áreas se constituiu em um caderno 
independente. 
Não restam dúvidas de que a publicação destes Cadernos representa 
um passo dado de grande relevância para o aprimoramento dos Cursinhos Pré-
Universitários, mas também, de alta responsabilidade social, porquanto deverá in-
fluenciar a inclusão, conforme preconiza a Política Nacional de Extensão e a Política 
de Extensão da UNESP. 
Dessa forma, os cadernos serão o instrumento principal da política pedagó-
gica do Subprograma de Extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, com 
a proposta de unificar a orientação pedagógica dos 27 Cursinhos Pré-Universitários 
e, ao mesmo tempo, dar visibilidade a essa importante ação de extensão universitária 
de grande espectro eimpacto social, no interior do Estado de São Paulo que, smj, é 
única no Brasil entre as IES. 
Pela atuação dos Professores editores Antonio Francisco Marques e Maria 
da Graça M. Magnoni, dos autores e dos colaboradores, agradecemos o empenho, 
esforço e dedicação, ao assumirem a responsabilidade de criação e atualização cons-
tante dos conteúdos dos Cadernos que, decisivamente, eleva o patamar de qualidade 
no atendimento das demandas pelos Cursinhos. 
5
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Faz-se mister destacar o apoio incondicional da Reitoria da UNESP, nas 
pessoas do Prof. Dr. Julio Cezar Durigan, Reitor, e Prof. Dr. Eduardo Kokubun, 
Vice-Reitor, na idealização e fortalecimento dos Cursinhos Pré-Universitários, o que 
facilitou a condução de todos os trabalhos de organização da publicação. 
Finalmente, é preciso salientar a valiosa atuação dos Cursinhos Pré-
Universitários na extensão universitária da UNESP, com resultados de impacto na 
transformação da realidade social da comunidade externa à Universidade. 
Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitora de Extensão Universitária da Unesp
6 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
7
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
APRESENTAÇÃO
Apresentamos a 2ª edição da coletânea de cadernos dos Cursinhos Pré-
Vestibulares da Unesp. 
Considerando a realidade concreta do Ensino Médio e os desafios que ele 
representa aos poderes públicos, os cursinhos pré-vestibulares apresentam uma ação 
em prol da democratização do ensino superior brasileiro, na tentativa de minimi-
zar uma realidade histórica e socialmente perversa, que exclui milhões de brasileiros 
das classes desfavorecidas da participação e ou da aprovação nos concursos vestibu-
lares para ingresso nas universidades públicas. Orientados pela lógica do direito à 
educação, os cursinhos pré-universitários constituem, então, situações emergenciais 
enquanto o Estado e a sociedade brasileira não garantirem uma educação básica de 
qualidade para todos. 
Tendo em vista que os Cursos Pré-Universitários da UNESP visam atender 
às demandas educacionais dos egressos e concluintes do último ano do ensino médio 
público, os editores e coordenadores dos cadernos optaram pelos conteúdos propos-
tos para a avaliação do ENEM.
Esta edição é uma revisão da edição anterior com ampliação dos conteúdos 
nas áreas de conhecimento de Linguagem, Matemática, Ciências Naturais, ficando 
este último subdividido em três cadernos. 
Ao permitir à Universidade atender parte dos seus objetivos, o Projeto 
proporciona ganhos aos seus docentes e discentes. Os alunos dos diferentes cursos 
ou licenciaturas, na situação de bolsistas e voluntários, têm a possibilidade de ampliar 
seus conhecimentos ao organizar didaticamente todo o processo de ensino destinado 
aos cursistas, envolvendo principalmente os conteúdos e as metodologias em função 
dos diferentes grupos atendidos. Os demais graduandos, não envolvidos diretamen-
te com o Cursinho, são beneficiados mediante a socialização das experiências pelos 
colegas bolsistas do Projeto, quando em sala de aula, ampliando as relações e vínculos 
com as atividades práticas na Educação Básica, etapa do ensino para a qual muitos 
estão em processo de formação.
A situação de aprendizagem para os discentes direta e indiretamente en-
volvidos ultrapassa, então, os limites dos saberes e práticas curriculares dos conheci-
mentos específicos, envolvendo experiências relativas às relações que se estabelecem 
entre todos os envolvidos no processo educativo e que não se restringem aos aspectos 
cognitivos, mas também afetivos e sociais. 
8 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX
Os investimentos em recursos humanos e financeiros destinados à pesquisa 
e produção dos recursos materiais voltados à extensão dos resultados à sociedade, 
através da divulgação do conhecimento científico, tecnológico, mais que concreti-
zar os nossos objetivos de proporcionar o acesso da comunidade à Universidade, 
nos permite vivenciar a Universidade como perspectiva, como possibilidade para a 
realização de um trabalho que proporciona o envolvimento pessoal e coletivo, um 
esforço conjunto de muitas pessoas que assumiram o compromisso da realização, o 
compromisso com a Universidade Pública e que se auxiliam nas dificuldades, nos 
contratempos, nas propostas, na coragem para enfrentar as críticas e solucioná-las.
 Como já colocado na edição anterior, o trabalho executado tem seus limi-
tes, porém é possível aperfeiçoá-lo nas próximas edições, com base nas experiências e 
avaliações dos usuários estudantes e dos monitores das salas de cursinhos espalhados 
nas dezenas de unidades universitárias da UNESP. 
O material estará disponível para os alunos matriculados nos Cursinhos 
da UNESP na forma impressa e online, oportunizando aos estudantes externos e 
demais interessados o acesso livre e gratuito. 
Antonio Francisco Marques
Maria da Graça Mello Magnoni
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
11 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
12 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
ℚ
a b b
 0b
b
a
a b
1
33 
1
1515 
8
12
422 
13 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2
3
48
412
8
12 

6
35
6
55

6
35
6
530
6
5
6
65
6
55
6.r denominado com 
fração em inteiras partes
 5 as -semTransforma 

14 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
9
12
9
48
9
4
9
8  1
8
8
8
102
8
1075
8
10
8
7
8
5 
5
4
3
2 
1553 
15
10
5
5
3
2
3
2 
3
2
15
10
15
12
3
3
5
4
5
4 
5
4
15
12
15
22
15
1210
15
12
15
10
5
4
3
2 
15
22
5
4
3
2 
15 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
28
15
74
53
7
5
4
3 

135
48
539
642
5
6
3
4
9
2 

20 de 
4
3 20
4
3 
.15
4
60
4
20320
4
320 de 
4
3 
78
70
613
710
6
7
13
10
7
6
13
10 

10
1
52
11
5
1
2
15
2
1 

10
2
10
17
100
35
100
168
1000
5
1000
49
1000
324
1000
5324
5,0
10
5  89,0
100
89  68,3
100
368  621,7
1000
7621 
16 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 

43,907,836,1  06,154,76,8  154,18576,8858,072,8 
+ − 
17 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
13,639,57,10 

412,96,262,3 


10
1
 .centésimo um 
100
1
1010
11
10
1
10
1 

01,0
100
1 
  décimo um 1,0
+ 
2 ordens decimais 
1 ordem decimal 
3 ordens decimais 
+ 
1 ordem decimal 
1 ordem decimal 
2 ordens decimais 
18 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
5,165,3475,5  0222,75,46,31 

65,3475,5   475,5
 65,3
1000
5475475,5 
100
36565,3 



100
365
1000
3650
10100
10365 

3650
5475
3650
1000
1000
5475
1000
3650
1000
5475 
36505475
3650
5475
1000
3650
1000
547565,3475,5
milésimo.por dividido será 
 milésimo seja,ou igualadas, 
estão decimais ordens As 
MilésimosMilésimos





  

− 
− 
− 
− 
− 
19 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
a n
,
na a n
n na n
a
 
idênticos fatores n
n aaaaa 
6444443 
 na na
 
256256 
256)4()4()4()4(4
256)4()4()4()4(4
4
4



1n aa 1 551 
0n 0a 10 a 120 
n
n
n
a
a 

 1 0a
9
1
33
11
3
1
3
13 2
22
2 



          216
1
216
1
666
111
6
1
6
16 3
33
3 





20 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
a b m n
nmnm aaa 
24333333 
3333 53232

     
243279 
3333333 32


nm
n
m
a
a
a  0a
497777
7
7 224
2
4
  49
49
2401
77
7777
7
7
2
4


11212
12
12 066
6
6
   10 a
 mmm baba 
  3241818183636 2222      324936336636 22 
21 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
0 com , 

 b
b
a
b
a
m
m
m
162
5
10
5
10 4
4
4
4



16
625
10000
5
10
4
4

  nmnm aa 
  64222 63232       6442 332 
 nma nma
 
.diferentes são resultados os que Observe 
6561333
729333
82222
63232
3 






a n
b a
n a
abab n  de enésima raiz a é 
ban 
 
a n
22 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
366 pois ,636 22 
36
273 pois ,327 33 
44 pois ,44 11 
a
0a n
00 n
a n
.a
a n
a
a b m n p
mmm baba 
4444444 5 55 235 235 25 3  
66 236 236 26 3 666666  
0 com ,  b
b
a
b
a
m
m
m
23 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
327
3
81
3
81 33
3
3

3
4
9
16
9
16 
  m nnm aa 
  33 223 1001010    2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
2
3
3
3
33 3
3
3 13
3
3 4
3
43

nmm n aa 
6322 3 121212   33 5 553 515 22232  
pm pnm n aa
  pm pnm n aa  
326 226 2 151515   
24 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
aaa
a
a
a
a
a


  

222
32
2
64
2
64
55 5555 555 55 5
5 51055
5
10
5
5 5
5 10
5
5
 4 348444 79544 795 55625 ccbbaacbacba
4 324 3424
4 344 44444 48444 4444 44
4 34 444 844 44 4
55
5
5
cbacbaccbbaa
ccbbaa
ccbbaa



    
a m n
a
n
m
.
n mn
m
aa 
2442
1
 55
4
5 45
4
625
1
5
155 

    623331 2222  
25 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
a b c x y
  comumfator o é 
produtoalgébrica soma
xbaxbxax


  2363
comum
fator 
 yxxxy
  xyyxyy 38248 2comum
fator 
3 
   
 
   yxbabaybaxbyaybxax
ba

  

. é comumfator O
Grupo .º2Grupo .º1
   
 
   2.54 é comumfator O
Grupo .º2
2
Grupo .º1
23 2545425410854 xyxxxxyxxyxy
x

   

     


. e monômios dos diferença
 pela soma da Produto 
 e :obtidos Monômios
22
22
ba
ba
bbaa
bababa 

   
.
22
22
ba
bababababa


26 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
       
. e 5 monômios dos 
 diferença pela soma da Produto
336
55
2
3
362
555
yx
yyxx
yxyxyx 

     
   .4 e monômios dos 
 diferença pela soma da Produto
22
416
42
2
242
4416
xy
xyyx
xyxyyx 

    22 bababa 
 

   
Termo .º2
2
2
Termo .º3
BaseBase
2
Termo .º1
4
222
222
yx
yyxx 

    
bases. das 
 soma da Quadrado
22224 2222 yxyyxx 
     
2242222
2222
2222222
222
yyxxyyxyyxxx
yxyxyx


27 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
   222222 22 babababababa 
      222 2 bababababa 
      222 2 bababababa 
   2233 bbaababa 
         1644444464 222333  xxxxxxxx
ba
    64641641641644 32232  xxxxxxxxx
   2233 bbaababa 
      
   4102525 
225525258125
2
223
3
3




zzz
zzzzz
ba
    81258205020501254102525 32232  zzzzzzzzz
 33223 33 bababbaa 
 3ba 
28 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
                22
 termos.dois 
de soma 
da Quadrado
23 2 bababababababababa

3223322223 3322 babbaababbaabbaa 
      
 33
3
3
2
33
23
3233
42
4423423241664128














z
zzzzzz
bbabaa
            2332323333 44 4442424242 zzzzzz
     
41664128
4444442488
3233
33232323233


zzz
zzzzz
 33223 33 bababbaa 
 3ba 
                22
 termos.dois 
de diferença 
 da Quadrado
23 2 bababababababababa

3223322223 3322 babbaababbaabbaa 
     
3
32
23
23
3
1
3
1
3
13
3
13
27
1
3 

 
































 ttttttt
bb
a
b
aa
27
1
327
1
9
3
3
3
27
1
9
2
393
2
9
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
23
2
3
22
3
2
23



 

 

 

 

 
t
tt
tt
t
tttt
t
t
ttttt
29 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  32233 33 babbaaba 
  32233 33 babbaaba 
5 ba 2ab
22 ba 
 222 2 bababa   ab2
        abbabaabbaabbaba 2222 222222 
5 ba 2ab
22 ba 
    214252252 22222222  babaabbaba
22 ba 
3
102
1
2
1
 aa 1 aa
9
100
3
82
9
82
82
100
9
16
3
102
1
2
1
 aa
30 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
9
100
3
10 2
2
2
1
2
1





  aa
222 110
Potência. de 
ePropriedad .ª5
2
2
1
Potência. de 
 ePropriedad .ª1
2
1
 
2
1
Potência. de 
 ePropriedad .ª5
2
2
12
2
1
2
1









   aaaaaaaaaaa

9
100
2
2
1
2
1



  aa 21
2
2
1
2
1



   aaaa
9
10021  aa
9
82
9
18100
2
9
1002
9
10022
9
1002
11
111




aaaa
aaaaaa
9
821  aa
1,0x
x
x


1
13
1,11 11,1 111,0 11,1 1,11
  
x
xxx
x
x



1
11
1
1 23
 1
     
 
   
   
 
  11
1
1
1
1
11
1
1
1
11 2222 




xx
xx
x
xxx
x
xxx
1,0x
  11,111,001,011,01,01 22  xx
31 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
11,1
1
13 

x
x
5 3
1
12457309396,135 
n ma
n mna  n mna 
2
25
2
25
2
2
2
5
2
5
2




2
.2
2 12 122 1 222  
3
34
3
34
3
3
3
4
3
4 6 2
6 6
6 2
6 2
6 2
6 46 4




6 23
6 43
6 26 466 4 333  
ba 
    22 bababa 
32 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
        
        
 
radical. o 
 se-Elimina
22
Conjugado.r.Denominado
radical. o 
 se-Elimina
22
Conjugado.r.Denominado





babababa
babababa


ba  ba  ba 
.ba         




 35
352
35
352
3535
35
2
35
2
22
  35
2
352 
 35   35 
         2 262 26446 26426 26426 26264264 22 




  26   26 
ba  ba 
ba 
     







 5353
53
53
53
53
1
53
1
33 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    2
53
4
53
59
53
53
53
22




       
10
642
616
642
64
642
6464
642
64
64
64
2
64
2
22















   5 6104010 61040210 10642101010 642 2 
 
348
26
2


1 31 1 31
 348 348
                  4864 34826348 34826348 348348 26
2
22
22
   
16
34826
2 
34 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 226  348
          












16
348348
16
34821226
16
34826
diferença. pela soma da Produto
322
2
  

 
16
348
22 
  1
16
16
16
4864
16
31664
16
3464
16
348 22
22

 
348
26
2


  102
25
253 

7 1027  1027  10225  10225 
 
25
253


       
   
    

1027
25
210253
25
210253
25
25
25
253
25
253
3
22
22






 




35 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
71021027 
  102
25
253 

a b 0aℝ x
0bax
0bax
b bbbax  0
bax 
a
a
b
a
ax 
a
b
x 




a
bS
0205 x
 igualdade. da membro os ambos de 20 se-Subtrai 20020205 x
205 x
 5.por igualdade da membros os ambos se-Dividem 
5
20
5
5 x
36 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  





000202002045 
 :inicial equação da igualdade a satisfaz 4 soluçãoA 
 4x
 4S
x y z
caçula irmã da idade x meio' do' irmã da idade y
 velhamais irmã da idade z
x
 15 xy
5 yz
15 xy 20515  xzxz
   
5
3
15
3
3153355035353
5035350201550


x
x
xx
xxxxzyx
5x 20155 y
25205 z
37 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
y
   
faltava que
 valor o 
teinicialmen ocontribuíd
 haviam já que pessoas 
50 pelas pago valor o 
pessoas 5 pelas
 pago valor o 
5107505 

y
32
5
160
5
5
160535051035035055103505


yy
yyy
a b c 0aℝ x
02  cbxax
38 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
02  cbxax
 
acb 42 
equação. da raízes as são e 
2
2
2 21
2
1
x x
a
b
x
a
b
x
a
b
x 









 
a
b
a
bS
2
;
2
 1 ,7 ,10 01710 2  cb a xx
  9404911047 2 
 
equação. da raízes as são 
5
1
 e 
2
1
 
5
1
20
4
20
37
2
1
20
10
20
37
102
97
2
1








x
x
x




5
1
;
2
1S


  5010
2
1
 05010
2
2
, c, b a xy
  010010050
2
1410 2 
39 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
equação. da raiz a é 10 
10
1
010
10
1
010
2
12
010
2
1
 
x
x
x 








 10S
 312 032 2  , c, b a zz
  232413241 2 
  vazioconjunto ØS
  0
  0
  0
b c
0 e 0  bc
  






a
b
xbax
x
baxxbxaxcbxax
0
0
000
comum
fator 
22
0x
a
b
x 
40 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 






2
5052
0
052052 2
xx
x
xxxx




2
5
 ;0S
0 e 0  cb
a
c
xcaxcaxcbxax  222 00
a
c
x 
a
c
x 






2228
2228
8
4
323240324
3
3
2222
xxx
xxx
xxxx
 22;22 S
0 e 0  cb
0000 222  xxaxcbxax
0x
 0S
41 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
y
 
 filhos de número o
 vezes2 menos 8
filhos de número
 o vezes2 
filhos de número
do quadrado o 
2 28 yy 
0822  yy
 8 ,2 ,1 0822  cb a yy
  3632481422 
equação. da raízes as são 4 e 2 
4
2
8
2
62
2
2
4
2
62
12
362
2
1








y
y
y
 8
T
 0t   400
4
2
 ttT t
42 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  400
4
2
 ttT
39T
400
4
39
2
 t
222 144416001561600156 ttt 
 1

3814441444 2
membros os ambos de 
quadrada raiz a seextrai
2 

ttt
 38
1x 2x 0 ,2  acbxax
a
b
xxS  21
a
b
x
21

a
b
x
22

a
b
a
b
a
bb
a
b
a
b
xxS 


 
2
2
22221
43 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
a
c
xxP  21
a
b
x
21

a
b
x
22

   
 
 
a
c
a
ac
a
acbb
a
b
a
b
a
b
a
b
xxP




 


 

22
22
2
2
2
Quadrados. de Diferença
22
21
4
4
4
4
4222


m n 01062  xx
nm
11 
5
3
6
1
nm
11 
 
nm
nm
nm
mn
nm
nmnm



, mmc
11
m n 01062  xx
1a 6b 10c





nm
nm
m n
a
bSnm 
a
cPnm    6
1
6 
a
bS
10
1
10 
a
cP
44 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
5
3
10
6 




P
S
nm
nm
5
311 
nm
v w
02  baxx a b 22 wv 
ba 22  ba 22  22 2ba  22 2ba  22 ba 
v w 02  baxx
a
b
wvS 
a
c
wvP  .
awv
a
wv
a
b
wv 
1
bwvbwv
a
c
wv  .
1
..
    2222
 termos.dois 
de soma 
da Quadrado
2 2 awwvvawv 

bwv .

222222 22 awbvawwvv
b
  b2
    bawvbabwbvawbv 22222 222222222 
bawv 2222 
45 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
85 x 113 2 x 3212  xxx
85 x
    595645564585 membros. os 
ambos de 5 se-Subtraimembros. os ambos 
quadrado, ao se,-Elevam
22  xxxx
    
 59x
88864855985 x
 59x
85 x
113 2 x
     
221111
 1111 1111
2
membros. os ambos a 1 se-Soma
2
2
membros. os ambos 
quadrado, ao se,-Elevam
2222
membros. os ambos 
cubo, ao se,-Elevam
3
3
3 2



 
xxx
xxxx
  
    
 2x
2x
46 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  11111111211211 3333 23 2 x
2x
  11111111211211 3333 23 2 x  2x
113 2 x
3212  xxx
   
        

3211222
32123212
22
membros. os ambos quadrado, ao se,-Elevam
2
 termos.dois de 
 diferença da Quadrado
2
xxxxx
xxxxxx
  
  
   
     
0642
4
162
1624422422
3222123211222
222
2
membros. os ambos quadrado, ao se,-Elevam
2222
2


xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxx
  
 6 ;1 ;1 062  cbaxx
    252416141 2 
 
equação. da raízes as são 3 e 2
3
2
6
2
51
2
2
4
2
51
12
251
2
1








x
x
x
   3 e 2  xx
47 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2x  32212223212 xxx
11112114 
3x
   33213233212 xxx
941 
3x
 2x
3212  xxx
x
399 33  xx 2x
   
           
         
            



279999399939
2799939939
2799939939
399399
3
 termos.dois de diferença
 pela soma da Produto 
3
 termos.dois de diferença
 pela soma da Produto 
3 23 2
3323332333
3
 termos.dois de 
diferença da Cubo
33333
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx

  
48 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
       
       
 
          
    181
9
981
93813999813
182798138193
271898138193
3 23 2
3 2
3. a igual é expressão 
 talenunciado, o Conforme
333 2
813 :ComumFator - Fatoração
33 23 23
3 23 2
3 2





xx
xxxx
xxxx
xxxx
x
  
  
       80181181181 22333 23 2  xxxx
802 x 2x
x
xx  55
0x
xy  5
 
 




equação .ª25
equação .ª15
yx
xy
xy  5
   
   
 
 
 










equação .ª45
equação .ª35
 
5
5
5
5
2
2
22
22
yx
xy
yx
xy
yx
xy
49 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 

 

yx
xy
5
5
2
2
 yxxy  22
     xyxyxyxyxy  
diferença. pela 
 soma da Produto
quadrados. 
de Diferença
22
     xyxyxy 
0 xy   0000  xy
0 xy xy 
0555 222  xxxxxy
    212015141 2 
 
raízes. as são 
2
211
 e 
2
211
 
2
211
2
211
12
211
2
1 







x
x
x
1 xy        xyxyxyxy 1
1 xy xy 1
  04521515 2222  xxxxxxxxy
    171614141 2 
50 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
equação. da raízes as são 
2
171
 e 
2
171
 
2
171
2
171
12
171
2
1









x
x
x
0x
 
2
171
 e 
2
211



  5x
2
211x
xx  55
2
211x
51 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
ℕ
 ℕ   4 3 2 1 0 ;;;;;
 ℕ   4 3 2 1 ;;;;
53260 2 
52 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 60 ;30 ;20 ;15 ;12 ;10 ;6 ;5 ;4 ;3 ;2 ;1)60( Divisores 
53 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
112 53260 
      12223111112 
 3608176653 
54 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
248763 
120165  121224 
12322 
55 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
360532 23 
24032220 
460240  380240 
56 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
g 244g 6  g 33g 1 
 8g 3 g 24 
ℤ
1
ℤ   4 3 2 1 0 1 2 3 4 ; ;;;;;;;;; 
ℤ+    4 3 2 1 0 ;;;;; ℕ ℤ  0 1 2 3 4 ; ;;;;  ℤ+ = ℕ
ℤ
 ℤ*   ;4 ;3 2 1; 1 2 3 4 ;  ;;;;; 
1
5
1 5
57 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 60 ;30 ;20 ;15 ;12 ;10 ;6 5 ;4 ;3 ;2 ;1)60( Divisores 
112 53260 
      positivos divisores 12223111112 
ℚ
b
a a ℤ b ℤ*
5
1
3125125125,0
58 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
1253,0 
 
431543154315,0 1111,45
263333,5
30982323232,0
9
777777,07,0  
99
2525252525,025,0  
999
451451451451,0451,0  
99000
1330001313131,013000,0  
59 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
90
505555,050,0  
 
45
62
90
124
90
7117
 
90
7
 
10
130777,03,137777,173,1
Caso. 2.º o 
 seAplica
periódica. dízima a se-Decompõe
periódica parteperiódica-não
 parte 


  


 
3
14
9
42
9
636
 
9
6
 4666,046666,46,4
Caso. 1.º o
seAplica
periódica. dízima a se-Decompõe
periódica parteperiódica-não
 parte 


  


77777,0 77777,0x
77777,710 x
x10  77777,7
 x  77777,0
x9  7
x  9
7
2 280168872423730950481,41421356
60 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
33,14159265 84590452,71828182e
b
a a ℤ b ℤ*
ℝ
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ  contido. está :se-Lê
ℂ
61 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 cba ; ;
 fed ; ;
fed
cba
f
c
e
b
d
a


fcebda 
S
 b  d
 x
S
2
2
x
dbkS  2x
dbkS 
x
dbkS
2
x
dbkS 
2
x
dbkS
2
22 
62 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
S  b  2d
S
 2x
S
3m 14 3m
2
7
14
241241

 bacbac
22
1
 cc
21471424  xxxxx
63 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 telhas.6009001500 
 tijolos48012006001500 
x
1200
600
1500
 
600
12001500
tijolostelhas





 xx
x
64 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
y54
326
(pão) kgdiaspessoas de n.º
56012
20
123
5
2
4
63  yy
yy
47,0
100
47%47  1,0
10
1
100
10%10  01,0
100
1%1 
5,22753,075
100
3075 de %30 
65 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
35,0
80
28 
%35
100
3535,0 
litros de bilhões 5,12
64
800100864
100
648
 
100
648
(esgoto) %litros) de bilhões (em esgosto de volume







xxx
x
x
litros. de bilhões 5,845,12 
66 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
%68
100
6868,0
5,12
5,8 
xxx  27,127,0
%27
27,01
100
1 p
100
1 p
xxx  73,027,0
67 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
reais. 00,4000,508,0 
reais 00,400,401,0 
 
 equação 2.ª
equação 1.ª
JCM
niCJ


   niCniCCM  1
68 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
00,24000,200012,0 
00,24000,200012,0 
00,24000,200012,0 
00,720312,000,2000  niCJ
y C
 niCM  1
a.m. %4
12
a.a. %48  meses 2
30
dias 60 
     08,1204,011  yMyMniCM
 yM 08,1
a.m. %5
12
a.a. %60  meses 4
30
dias 120 
69 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 niCM  1
    yMyMyM 296,12,108,1405,0108,1 
00,160296,136,207  yy
 niCM  1
00,224000,24000,2000  00,24000,200012,0 
80,250880,26800,2240  80,26800,224012,0 
86,280906,30180,2508  06,30180,250812,0 
86,809
70 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    86,2809404928,100,200012,100,200012,0100,2000 33 M
JCM 
86,80900,200086,280900,200086,2089  JJJJCM
00,28595,000,300 
71 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    75,3301025,100,30005,100,30005,0100,300 22 M
00,31505,000,30000,300 
50,28390,000,315 
0526,1
285
300 
    30,3261449,100,28507,100,28507,0100,285 22 M
25,284
2
50,28300,285 
72 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
.221642 73 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 0r  0r
 ,0r
  ,15 ,11 ,7 ,3 4r
  ,4 6, ,8 ,10 2r
  ,7 ,7 ,7 ,7 0r
1a na
  rnaan  11
  81765419519120 2020120120  aaraaraa
74 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  raa
r


. de 
 eCoeficient
12315
315 12
 cba , ,
2
cab 
 cba , , rab 
.2rarracrbc 

rara
ra
ra
raa
ra
cab
c
b

2
22
2
2
2

7 , ,3 x
 7 e 3
2
2
4
2
73 x
 nn aaaa , , , , 121 
75 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    nnn
a
n
a
nn aaaaaararaaaaa
n


 1111
extremos. 
dos Soma
1
extremos. dos 
 tesequidistan 
 termosdos Soma
12
12
 
 
2
1 naaS nn




PA. da termosde número o indica 
e termoenésimo o é 
 termo;primeiro o é 1
n
a
a
n
,42 ,6 ,1 2321  xaxaxa
 
05112124216
2
421 222
2
31
 xxxxxxxx
a
aa 
  814012152411 2 
76 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
equação. da raízes as são 
2
1
 e 5 
2
1
4
2
4
911
5
4
20
4
911
22
8111
2
1








x
x
x
2
1
,510,5111  xa 35,066 2  xa
5,15,1312  aar  100S
1505,1995,199 1001001100  aaraa
    7575
2
1001505,1
2 100100
1001
100  SSnaaS
2
1
1q
10  q
  ,45 ,81 ,6 ,2 3q
  ,1 ,2 ,4 ,8 
2
1q
77 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
10  q
1q
  ,1 ,2 ,4 ,8
2
1q
  ,81 ,27 ,9 ,3  3q
1q
  ,7 ,7 ,7 ,7 1q
0q
  ,45 ,18 ,6 ,2  3q
0q
  ,0 ,0 ,0 ,9 0q
na
1a
1
1
 nn qaa
2
64
128641282128 111
6
1
17
17   aaaaqaa
12
315 qaa 
78 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 cba , ,
cab 2
 cba , , qab 
  2qaqqacqbc 
 
22222
2
2 qaqaqaaqacab
cb







 
15
3
5
153 a 3
5
5 a
4a
      52525
3
515 44
2
4
2
453
2
4 

 aaaaaaa
4a 54 a
3
1
15
5
3
4 

a
aq
5
3
1
 nn aaaa , , , , 121 
79 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 

nnn
a
n
a
nn aaaaaaq
aqaaaaa
n





 1111
extremos. 
dos Produto
1
extremos. 
dos tesequidistan 
 termosdos Produto
12
1
2
 
nP
 nnn aaP  1
 61 ,8 ,4 ,2
    10243232162 4244444  PPPP
102416842 4443214  PPaaaaP
1q
q
q
aS
n
n 

1
1
1
1
1
1 

q
q
aS
n
n
11 onde ,
1
1  qq
aSn
80 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2
1
3 e 0 ,
2
1
275  aaqS
   I 112
1
1
2
1
1
1
1
1 5
1
5
1
5
151 


 qqa
q
q
a
q
q
aS
q
q
aS
n
n
   (II) 3133 5116127
27
 qqaqaqaaa
aa

   0663 123 1112 2251
5
1 
 qqqqq
q
q
qqa
qa
 062  qq
    252416141 2 
 
equação. da raízes as são 2 e 3 
2
2
4
2
51
3
2
6
2
51
12
251
2
1








q
q
q
0q 2q
2
81 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
     
22
1366312231 11
5
1
5
1  aaaqqa
 
 
 
22
33
22
1
3
9
22
1
3
81
22
1
21
81
22
1
21
21
22
1
1
1
333
33
3
31





SSS
SSS
q
q
aS
n
n
2
22
3
82 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 
 
 
 
 
83 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A B
A B BA yx, Ax By
  ByAxyxBA  e /,
 2 ,1A  3 ,2 ,1 B
A B
            3 ,2,2 ,2,1 ,2,3 ,1,2 ,1,1 ,1 BA
 R A B
BA
A B
R .xy 
       2 ,2 ,1 ,1/,  xyBAyxR
84 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
f A B
x A
y B
BAf :
A A B fD D B
f  fCD
f  fIm
B A
f R
   2 ,1Im f
 4 ,1 ,0A  5 ,2 ,1 ,0 ,1B
A B   1/,  xyBAyxR
  xyBAyxS 2/,    xyBAyxT  2/,
A B
         5 ,4 ,2 ,1 ,1 ,01/,  xyBAyxR
       2 ,1 ,0 ,02/,  xyBAyxS
85 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
           2 ,4 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0/, 2  xyBAyxT
R
Ax By
S A4
B .S
T B 1 1
A1
652  xxy
y
x
BAf :
)( AD  )( BCD 
( ) {0,1,4}
( ) { 1,0,1,2,5}
Im( ) {1,2,5}
D f A
CD f B
f
 
  

86 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A
:f ℝ → ℝ   xyxf 2 :fℕ → ℝ y ℝ n ℕ 2 ny
 
x
xf
2
7
002  xx
D ℝ∗   x ℝ/ 0x
   42  xxf
2
2042  xx
  xD ℝ 2/ x
   5 3 3 xxf
 yx,
   1/, xyBAyxR
        NML ,,5 ,4 ,2 ,1 ,1 ,0 
87 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 xfy 
x
  xfx,
  xD ℝ 0/ x
x
   



50 para ,505,160
500 para ,60
xx
x
xf
A B
y
A B
 
4
    yfIm ℝ 4/ y
 
88 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A B
y
 fDx   0xf
f
x
  652  xxxf
21 x 32 x   0xf
3 e 2065 212  xxxx
 6 ,0
y
 fDx
   xfxf 
  2xxf 
 
 
89 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
     11111 22 ff 
       xxfxxxf ,22 ℝ
y
 fDx
   xfxf 
  3xxg 
       11111 33 gg 
           xgxxxxg  3333 1
 xg
90 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  1 xxh   01 h   21 h
y
f
1x 2x 21 xx 
    21 xfxf 
    21 xfxf 
    21 xfxf     kkxf ,ℝ.
,2  2 , 
 2 ,2
  ,2
BAf :
1x 2x
   2121 xfxfxx      2121 xxxfxf 
91 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
BAf :
By Ax   yxf 
   fCDf Im
BAf :
    2121 xxxfxf    fCDf Im
 
92 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
BAf :
ABg : f
g
  baf  Aa   abg  Bb
 xf  xf 1
       xfxyxfyx 1,, 
xxf 2)( 
2
)( xxg 
2)1( f
1)2( g
 2 ,1
 xf  1 ,2
 xg
93 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
f 1f
xy 
BAf : CBg :
   gDfCD  CAh :
g f     xfgxh 
   xfgxh 
      xxidxffxff    11
 xP
x
  xxP  75,010 0x
:f ℝℝ   baxxf  a b
a
b
94 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
0b   axxf 
 0 ,0
  xxf 2   xxg 5,0
0a
0a
1a   xxf 
x
  baxxf    0xf
 
a
b
xbaxxf  00
  73  xxf
  0xf
3
773073  xxx
95 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
0x   baxxf 
  bf 0  b ,0
y
a b
0a 0a
0b
0b
0b
0a   bxf ℝ.
96 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  82  xxf
4
2
8082  xxx
   0xf
4x
   0xf
4x
   0xf
4x
97 
 
Pró-Reitoria de Extensão– PROEX 
  xxP  75,010 0x
10075,010  x
:f ℝℝ
  baxxf 
  0xf   0xf   0xf
  0xf
1209075,010075,010  xxx
 xf
 xg
0 e 0 ;0 ;0  gfgfgfgf
0
g
 e 0
g
 ;0
g
 ;0  fff
g
f
    07234  xx
  
3
4034  xxxf
3
4
  
2
7072  xxxg
2
7
98 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    07234  xxܵ = ݔ ∈ ℝ / 4
3
< ݔ < 7
2
 
x
x2
99 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
:f ℝℝ   cbxaxxf  2
a b c 0a
a b c
x   0xf
02  cbxax
a
b
x
2

.42 acb 

 0
 0
 0


 
aa
bV
4
;
2
  xxxf 22 
x   0 yxf
022  xx 0x 2x
100 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
a ℝ
x
101 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  xxxf 22 
 0)( xf 0x
2x
 0)( xf 0x
2x
 0)( xf 20  x
:f ℝℝ
  cbxaxxf  2 a b c ℝ 0a
      0 ;0 ;0  xfxfxf   0xf
102 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
0156 2  xx
0156 2  xx ,
3
1x
2
1x
 0)( xf
3
1x
2
1x
 0)( xf
2
1
3
1  x
0156 2  xxܵ = ݔ ∈ ℝ / 1
3
< ݔ < 1
2
 
x x
x




0 se ,
0 se ,
xx
xx
x
33    444 
103 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
:f ℝℝ
  xxf    



0 se ,
0 se ,
xx
xx
xf
213 x
 





3
1213213
2213
213
xxx
xx
x



 1 ;
3
1S
104 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
k ℝ+







kxkxkx
kxkxkx
kxkkx
kxkkx
;
;
 M    tiMt  11000: ݐ i
:f ℝℝ+∗  xaxf  0a 1a
a ℝ+∗ 1a
105 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
,21
21 xxaa
xx  0a 1a
81
3
1 

 x
.4
3
1
3
13
3
181
3
1 44 







 
x
xxx
 4S
 1a
;2121 xxaa
xx 
 10  a
.21
21 xxaa
xx 
CM 2 M
C
    21212  tt iCiCCM
1,0%10  ii
.21,1 t
106 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
ba , ℝ+∗ 1a c ℝ
bacb ca log
 a
 b
 c
 ;01log a
 ;1log aa
 ;log nana 
 ;loglog cbcb aa 
 ba ba log
cba , , ℝ+∗ 1a n ℝ
   ;logloglog cbbc aaa 
 ;logloglog cb
c
b
aaa 


 ;loglog bnb ana 
 .
log
loglog
a
bb
c
c
a 
:f ℝ+∗ ℝ   xxf alog
0a 1a .
107 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
   73log3log 22  xx
    144733  xxxx
 1S
 2121 loglog:1 xxxxa aa 
 2121 loglog:10 xxxxa aa 
   73log3log 22  xx
108 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    144733  xxxx
ܵ = ݔ ∈ ℝ / ݔ > −1 .
109 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
110 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
o 
o 
 
o 
o 
111 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
112 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
113 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
if
if i
1f 2f
if
n
i
n
ffr ii 
114 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
if
n
if ifr
%707,0
30
2 
%3030,0
30
9 
%4343,0
30
13 
%1717,0
30
5 
%303,0
30
1 
%4343,0
30
13 
%5757,0
30
17 
115 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
xOy
 
 
o
i
oi fr
n
f 360360 
if
ifr
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Feminino Masculino
Fr
eq
uê
nc
ia
Gênero
116 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
xOy
 
 
Feminino
43%Masculino
57%
117 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
118 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 
NV
PTIP 
 
 
400IP 000.900.321 milhões 9,321 PT
NV
000.900.321400 
750.804
400
000.900.321 NV
119 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
750.804
441 PT
spassageiro 750.894.354750.804441 PT
 
1P 2P
2
21 PPM 
1P 2P 3P 4P 5P
5
54321 PPPPPM 
nxxxx ,,,, 321 
n
xxxx
x n
 321
ix x
nxxxx  321


n
i
ix
1
n
120 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
x
n
x
x
n
i
i
 1
30n
43,4
30
0,133
30
0,40,30,50,70,70,50,25,3
30
1 

 
n
x
x i
i
121 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
30n
43,4
30
0,133 x
ix
ix
if
ix if ii fx
0,325,1 
0,630,2 
0,620,3 
0,1445,3 
0,2460,4 
0,3570,5 
0,2130,7 
122 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
0,1525,7 
0,910,9 
 
n
fx
x
N
i
ii
 1
 
43,4
30
0,133
9
1 


n
fx
x i
ii
 
me
0,4me
123 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
5,4
2
0,50,4 me
2
1n
2
n 1
2
n
 
0,7mo
124 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
125 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
ix
if ii fx
050 
331 
842 
933 
824 
1025 
717 
n
 
25,2
20
45 
n
fx
x
ii
10
2
20
2
n 111101
2
201
2
n
ix
if
126 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
n
 
 
 
 
 
 
 
2
2
22 me
0mo
25,2X  x 2Y  me 0Z mo
XYZ 
127 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 5
5
25 
n
x
x
i 5md
 5
5
25 
n
x
x
i 5md
 
x
 
1
1
2
2





n
xx
s
n
i
i
x
n ix
128 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
ix
67,4
9
42
9
9
1 

i
ix
x  2xxi 
ix
ix  2xxi 
  37,167,45,3 2 
  13,767,40,2 2 
  11,067,40,5 2 
  43,567,40,7 2 
  43,567,40,7 2 
  79,267,40,3 2 
  45,067,40,4 2 
  43,567,40,7 2 
  37,167,45,3 2 
 
69,3
19
51,29
1
9
1
2
2 




n
xx
s i
i
129 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
1
1
2
2





n
fxx
s
N
i
ii
N
ix if
ix   ii fxx 2
x
ix if   ii fxx
2
  17,17243,45,1 2 
  71,17343,40,2 2 
  09,4243,40,3 2 
  46,3443,45,3 2 
  11,1643,40,4 2 
130 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  27,2743,40,5 2 
  81,19343,40,7 2 
  85,18243,45,7 2 
  88,20143,40,9 2 
 
63,3
130
35,105
1
9
1
2
2 




n
fxx
s i
ii
 
 
1
1
2





n
xx
s
n
i
i
 
1
1
2





n
fxx
s
n
i
ii
69,32 s
92,169,3 s
131 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
ix if
63,32 s
90,163,3 s
132 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 
 
 
 
n
n !n
    1221!  nnnn ǿΝ.n
133 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
720123456!6 
1234567891011121314151617181920!20 
1!1
 !kn ! ! kn 
6n 4k
  212!2! 46 
720!6  241234!4 
69624720!4 !6 
 ! 46 !4 !6 

134 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
1n
222 1 
4222 2 
82222 3 
1622222 4 
32222222 5 
623216842 
135 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
43 102610101010262626 
34 102610101026262626 
6,2
10
26
1026
1026
43
34


6,116,2 
6!31233 P
letras algarismos 
letras algarismos 
136 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
!nPn 
50401234567!77 P
60256
12
456
12!3
!3456
!2!3
!6
6
2,3 

P
!!!
!
,...,,
cba
nPn
cba
137 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 !310
!10
!7
!10
1234567
123456789108910 

  7208910!7
!10
!310
!10
3,10 A
 !
!
, kn
nA kn 
 !!
!
, knk
n
k
n
C kn 



138 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  102512
45
!312
!345
!3!2
!5
!25!2
!5
2
5
2,5 




C
  2107310!61234
!678910
!6!4
!10
!410!4
!10
4
10
4,10 



C
5
4
25
20
50
40
100
80%80 
139 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 6,5,4,3,2,1S
 6,4,2E
 6,5F
 FE
140 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 6,5,4,2FE
 FE
 6FE
 E cE
 5,3,1E
 EP
    Sn
EnEP 
 En E  Sn
S
  3En
141 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
     %5050,02
1
6
3 
Sn
EnEP
     %33,333333,03
1
6
2 
Sn
FnFP
     1 Sn
SnSP
ܲ ∅ = ݊ ∅ ݊ ܵ = 0݊ ܵ = 0
E F
S
   10  EP
    EPEP 1
        FEPFPEPFEP 
 FE
     FPEPFEP 
 
142 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
E
   
2
1
6
3
6
36
6
311  EPEP
 
FE
       
3
2
6
4
6
123
6
1
6
2
6
3  FEPFPEPFEP
 
FG
     
3
2
6
4
6
22
6
2
6
2  FPGPFGP
 6,5,4,3,2,1S
143 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
F E
    EP
EFPEFP 
 6,4,2E  6,5F
 6EF
     3
1
18
6
63
61
6
3
6
1


EP
EFPEFP
E F
S E F
   EPFEP     FPEFP 
E F
     FPEPFEP 
144 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
1E
2E
 21 EEP 
     
4
1
2
1
2
1
2121  EPEPEEP
145 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
5
1
4
1
5
2
5
3
4
3
  4Sn
 Suburbano lResidencia Urbano,lResidencia Rural,E
  3En
146 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
     4
3
Sn
EnEP
 
 
 
 
147 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
    
 
  
 
%9595,0
100
95
200
100
200
95



Sn
Fn
Sn
FEn
FP
FEPFEP
148 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
20
1
242
3
22
5
25
6
15
7
 FEP 
149 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
     FPEPFEP 
 EP  FP
    Sn
EnEP   En
 Sn
  30En   100603010 Sn
     10
3
100
30 
Sn
EnEP
    Sn
EnEP   Fn
 Sn
  20Fn   120802020 Sn
     6
1
120
20 
Sn
FnFP
     
20
1
60
3
6
1
10
3  FPEPFEP
150 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
151 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
152 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
153 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
154 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
x
60
7050180
1807050



x
x
x
y
 1807560 y
 
457560180  yy 
155 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
451353451803180453  xxxx
156 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
157 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
158 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
159 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
160 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
θ
161 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
S
     5401803180251802  SSSnS


108
5
540 
θ
θ
36θ324360θ3108θ360 
162 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
163 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
164 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
165 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
166 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
167 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
168 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
x
3
5
2 
152 x
5,7x
   
6
124
4
44  xx
    4124644  xx
48162424  xx
728 x
9
8
72 x
169 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
170 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
171 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
172 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
173 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
6,0
15
9
asen 
8,0
15
12
a cos 
75,0
12
9
a tg 
8,0
10
8bsen 
6,0
10
6b cos 
33,1
6
8b tg 
174 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 
32h
12h
416h
4h16
2h4
2
lhr
2
2
222
222






175 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
176 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
177 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
178 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
179 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
180 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
181 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
182 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
183 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
xAE
AE 2x 250105 xxx 
184 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
185 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
rπ2C 
2
3
25
63
5
12
25
58
25
56
5
11



5
6
186 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 



10
21



25
63
4
π33 
2
π3 
2
π32  π234  π338 
     cpbpapp   
2
cbap 
3
2
π
2
π3 
187 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
188 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A
V F
2FAV 
6VA 
189 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2FAV 
  8F62F2F62F6VV 
6
3 a
2
3 h
4
32  A
1:2
2
3
4
3
442
2
2
2
2
2
2
22
2
22






hh
hhh
ha 3
6
3
2
33
2
3   aah
2

 
a 

a 
 
2a 
B 
190 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
hbA 
2
1
4
3
2
3
2
1
2
1 2   AAhbA
2
a 2A
2
3 a
2
33 2A
LB AAA  2T
TA
BA
LA
hAV B 
V
BA

a 


a 
191 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2
B aA 
BA
2
L 4 aA 
LA
2
T 6 aA 
TA
2 ad
d
3 aD
D
3aV 
V
2 ad
 
33
22
22
222222
222



aDaD
aaDaaD
adD
222 cbaD 
D
 cbcabaA  2T cbaV 
V
c 
b a 
a D 
a 
d 
192 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
(sólido) Arestaou planas) (figuras Apótema a Altura h
Meridiana Seccão da Área SM A Geratriz g
Base da Raio r Base da Aresta 
Sólido do Diagonal D Face da Diagonal d
Base da Área B A Lateral Área L A
Total Área T A Volume V
cbaV 1
a25,1 b25,1
hbacbaV  5625,125,125,12
193 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
chchchhbacbaVV  64,0
5625,1
5625,15625,121
138243  aV
cm 24a
cm 12622  drd
8222 

222 ahb 
b

r. triangula
 face cada 
 de Área 
L 2
b
nA  
n
LBT AAA  hAV  B3
1
a 
h b 

194 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 

bAA  
2
1
alturabase
2
1
.
2L
b
nA  
3
6 h
2
3 g
4
32
B
 A
4
32
LB
 AA
32T  A
12
23  V
222 ch 
3
2c
3
3 c
3
6
3
2
333
3 22222222
2
22 


   hhhhh
c 
h 

 
 

195 
 
Pró-Reitoria de Extensão– PROEX 
34 m 1088,1 
78,64,12,2 2  2,188,126,2 
hAV  B3
1
        
366
1010
2
78,6
22
Altura
Base 
da Área
2
m 1026,210
3
78,6
1001004,12,2
3
11004,11002,2
3
1140220
3
1
24


 
V
120102,1
1088,1
1026,2 2
dias. 60 
em construída
 Capacidade 
4
Volume
6




anos 20meses 240meses 2120 
196 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
hrhAV  2B 
2
B rA  hrA  2L
hrA  2SM LBT
2 AAA 
  hrrA   22 2T  hrrA  2T
rh 2
3
m 2,0cm 20 
  322 m 72,012,0366  hrV 
h 
r 
2r 
197 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
3m 64,872,012 
60,21 R$50,264,8 
222
rhg  2
B rA  hrA SM 33
1 2
B
hrhAV  
g
r  2 grA L
LBT AAA 
grrA   2T  grrA  T
rg  2
g
r  2
 
L
2
A 
º3602



 g
grA  L 
g  
2r 
r 
g g 
2r 
 
h 
198 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
3
3
22
B cm 1443
10439,0
3
9,0
3
19,0  hrhAV 
g 4,5014435,0 m
24 rA   33
4
rV  r 
199 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 

1V
33232
1 mm 1250533
41053
3
4  rhrV 
2V
33232
2 mm 736433
41043
3
4  rhrV 
200 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
201 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
8,0
5
4
OP
QP
OG
HG
OE
FE
OC
DC
OA
BA 
6,0
5
3
OP
OQ
OG
OH
OE
OF
OC
OD
OA
OB 
3,1
3
4
OQ
QP
OH
HG
OF
FE
OD
DC
OB
BA 
α
α
202 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 
 
β β
71429,0
80,2
2
a
bβ sen 7,0
80,2
96,1
a
cβ cos  02041,1
96,1
2
c
bβ tg
203 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
c
bβ sen β sencb 
c
aβ os c β cos ca
2c
   22 β sβ cos en
     
   
   
    
    2222
2222
22222
222
222
222
β sβ cos
c
c
β sβ coscc
β scβ coscc
β scβ coscc
bac
CatetoCatetoHipotenusa
en
en
en
en






    1β sβ cos 22  en
β cos
β sen β β cos
β 
tg
a
b
c
a
c
b
sen 
β cos
β β sentg 
2
204 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2
245 sen
2
245 os c 145 g t
2
3l
2
306 sen 2
106 os c 306 g t
205 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2
103 sen
2
303 os c
3
303 g t
x xsen xc os xt g
30 2
1
2
3
3
3
45
2
2
2
2 1
60
2
3
2
1
3
206 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
x
x
12
30 xsen 
30 sen 6122
122
1  xxx
x
α
α x
207 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
15
60 cos x 60 cos
5,7152
152
1  xxx
x y
α
α x
α y
x
y
30
60en ys 
3153302
302
3  yyy
30
60 cos x
15302
302
1  xxx
α
208 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
m 36h
6
h3
6
h60 
adjacente cateto
oposto catetoα 



tg
tg
m 7,57
3
3100
31003
1003
3
100
30 



xx
x
x
x
tg 
h x
m 4,597,5770,170,1  hhxh
R
sen
c
sen
b
sen
a 2
C B A 

209 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
Aˆcos2222  cbcba
Bˆcos2222  cacab
Cˆcos2222  babac
 
 
2

2

210 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
2
3
 
2
3
x
x   xsenxf  x
xsen −1 1 1 ,1
211 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 

11  y
π
x
x   xxf cos
 1 ,1
 11  y
π
x
x   xtgxf 
2
π
2
3π
212 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 ,
2
 h 
π
α
α2
30α 
m 2000AB
1000 31000
3
32000 2000 32000
213 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
AP
2000BP 
dCP
30 cos 60 sen
30 cos
m 31000
2
3
m 2000º30cosm 2000
m 2000
º30cos  dddd
214 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
2
2
3
34
2
3 1
2
33
60 sen
3
34
3
3
3
4432
2
3260 


 xxx
xx
sen 
215 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
xBC
15 tg
x
64,2926,0114
114
26,0
114
15  xxxxtg 
  2BASE2BASE2BASE m 5296,878A64,29AA  x
  xysenyxsenyxsen cos cos 
  xysenyxsenyxsen cos cos 
  ysenxsenyxyxc cos cos os 
216 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  ysenxsenyxyxc cos cos os 
 
ytgxtg
ytgxtgyxt
 1
 
 g 

 
ytgxtg
ytgxtgyxt
 1
 
 g 

2
130 sen
2
360 sen
30 sen 60 sen
θ
2θ sen 2θ osc 2θ tg
θ 2θ
2θ osC
2θ osc
  θ θ cosθ θ θcosθ cosθθ osθ2 os 22 sensensencc 
2θ osc
θ θ cosθ2 os 22 senc 
2θen S
2θen s
217 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
  θcosθ 2θcosθ θcosθ θθ 2θ  sensensensensen
2θen s
θcosθ 22θ  sensen
2θ gT
2θ gt
  θ 1
θ 2
θ θ 1
θ θ θθ g2θ 2tg
tg
tgtg
tgtg
ttg 


2θ gt
θ 1
θ 22θ 2tg
tg
tg 

218 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
nm m n m
n
33A 
A
23a 
ija i
j ,A nm j i,  j i,a ij f
22A  ji2a ij 



2121
1211
aa
aa
A 




222122
212112
A



23
01
A
219 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
nm 



15
32
A
A 











118
330
4
2
12
B
B
nn a,,a,a,a 332211 
ija
ji  ija
1ji  n









44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A



10
37
C
12c 










591
013
004
D
 323121 d e d ,d 
0a ij  ji  0a ij 
ji 
220 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 





80
0
5
6
D









300
0100
006
E
0a ij  ji 
nI



10
01
I2









100
010
001
I3











10000
01000
00100
00010
00001
I5




ji para 0,a
ji para 1,a
ij
ij
nm0
 0000 31 









00
00
00
00
0 24









000
000
000
03
n0
A A
A
A
221 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 











84
02
31
A












84
02
31
A
A
A
A B nm
mn B A
B A
jiij
tAB ab 



 045
123
A







 

01
42
53
AB t
A B nm
A B BA  C
nm
A B
ijijij bacBAC 
32A  32B 





753
102
A 




152
231
B
222 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
  












175523
213012
152
231
753
102
BA
32C801
133





A B nm
A B BA 
A B C
nm
   ijijij bacBABAC 
41A  41B 


 74
2
11A  8023B 
   
   
      
        
41CBA
B
A
B
A
14
2
5287042
2
131
802374
2
11802374
2
11



 

 







AB   
     
      
        
41DAB
A
B
A
B
14
2
527840
2
1213
74
2
11802374
2
118023



 

 




 




ABBA   BACDAB 
223 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A nm α
αA ijbB  nm ijij aαb 
i j

 
   3333 BA
α
16812
016
2102
824262
02
2
1232
125212
846
0
2
13
151
2


































 

21
21
B
Aα
1
3
13
3
11
3
131
3
1




 

 
A nm B pn
A B C pm
ijc
i A j B
C AB
pmpnnm   C B A
23A  32B 









3231
2221
1211
23
aa
aa
aa
A 


232221
131211
32 bbb
bbb
B
224 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
     
     
      33233213312232123121321131
232213212222122121221121
231213112212121121121111
B
232221
131211
A
3231
2221
1211
C
babababababa
babababababa
babababababa
 
bbb
bbb
aa
aa
aa
BA
32
23



























  
ABBA 
0BA  0A  0B 


 
30
12
A 

 
310
012
B
BA  AB
BA 
A  2j B  2i 
       
  

 






 

  
930
334
330013100320
310211120122
 
310
012
30
12
BA 3222
AB 
B  3j A  2i 
C
P
1P 2P 3P
225 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
salada
carne
arroz
2
3
1
C

















0 2 2
1 2 1
1 1 2
saladacarnearroz
P
1P 2P
3P








8
9
7








4
4
4








4
11
9








8
6
2








4
2
2
1P 2P 3P P C







































8
9
7
203212
213211
213112
2
3
1
022
121
112
CP
11a
1111 aAdet 
 8C  8cC det 11 
prato 1P 
prato 2P 
prato 3P 
226 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A 


2221
1211
aa
aa
A
21122211 aaaaAdet  21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa 



54
32
B
212104552
54
32  2Bdet 
A









333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 11 ∙ 22 ∙ 33 a12 ∙ a23 ∙ a31 a13 ∙ a21 ∙ a32 
227 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
− 13 ∙ 22 ∙ 31 − 11 ∙ 23 ∙ 32 
 − 12 ∙ 21 ∙ 33 
     
          
  
secundária diagonal da produtos
332112322311312213
principal diagonal da produtos
322113312312332211
aaaaaaaaa 
aaaaaaaaaA det









 

413
221
112
B
              
      199284461616
411122321111321422
13
21
12
 
413
221
112
 
secundária diagonal da produtosprincipal diagonal da produtos




    
19B det 
00301
00
31 
           0502031410104035210
450
310
210



228 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
0663232 
33
22
 
       0371263152371263152 
132
657
132
 
0112
2
111 1
2
1
21
 
       0138153231312153831 
831
531
231
 




 
54
12
A 

 
520
110
B
B
A
A det5B det 
229 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 
 






702050201510
520
110
Bdet
144104152
54
12
Adet
14570
A det5B det


A n 
n   nnn A detA det  









641
413
902
A 2












1282
826
1804
B
    33333
B
A det8B detA det2B detA detA det  nnn
n


A B
     73036244911439140612A det 
             
              
  584025672864096 
06124881822
86182801224B det



  584584738584A det8B det 33 
A tA tAdet Adet 
230 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 



13
51
A 


15
31
A t
 14151
13
51
14Adet   1415115
31
14Adet t 
A
B
A









574
331
132
A









132
331
574
B
A
A detB det 
 
  



4736973630154212B det
4697315421273630A det
44 
A detB det


4
302
4
31
4
32
01
principal diagonal
 da produto 



 
180
2
1130420004038
2
121
2
100
320
481
principal diagonal
 da produto 


 






231 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A B
AB
     B detA detAB det 



51
43
A 


26
18
B



1122
110
AB
  






2421122110AB det
226161628B det
114154153A det      
 
242242 
2211242 
B detA detAB det



A

B A B



52
13
A 2
 

  















52
117
52
10143B
2522

A B





13223511257B det
132151253A det
B detA det 
232 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
A
1a ij 
 i  j 1a ij 
1a ij 
  ji1 
i j
1a ij 











4322
0214
9631
1021
M4
4M
1a11 
4M
 −
−
− 1a ij 
233 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
= 3 − 2 ∙ 1 6 − 0 ∙ 1 9 − −1 ∙ 1 1 − 2 ∙ 4 2 − 0 ∙ 4 0 − −1 ∙ 4 
2 − 2 ∙ −2 3 − 0 ∙ −2 −4 − −1 ∙ −2 = 1 6 10−7 2 46 3 −6 










636
427
1061
M3
    4622521212021014412M det 3 
462M detM det
Chió). de (regra iguais São
34 
  
1a11  3M
= 1 6 10−7 2 4
6 3 −6 = 2 − 6 ∙ −7 4 − 10 ∙ −7 3 − 6 ∙ 6 −6 − 10 ∙ 6 = 44 74−33 −66 
2M
     4622442290433746644
6633
7444
M det 2 
3M 4M
      1111 211ji  
  ijjiij D1A  
234 
 
Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 
 ijA ija A
 ijD A
A i j
ija
11a









315
173
421
A
11a
  111111 D1A  
11D
D
A









315
173
421
A 11D20113731
17
D det 
  20021A 211 
11a
A n
A 1A n
A 1A