EEAR e ESA funcao e inequacao do 1 grau

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 CURSOPROGRESSÃO CENTRO 
 
Prof Rodrigo 
 
 
Funçao do primeiro grau ou funçao 
afim 
 
Funçao constante – Uma aplicaçao f de R em R recebe 
o nome de funçao constante quando a cada elemento x 
 R associa sempre o mesmo elemento c R. 
 
f: R 
 x c 
 
 
 
Funçao indentidade – Uma aplicaçao f de R em R 
recebe o nome de funçao identidade quando a cada 
elemento x R associa o próprio x. 
 
f: R 
 x x 
 
 
 
Funçao linear - Uma aplicaçao f de R em R recebe o 
nome de funçao linear quando a cada elemento x R 
associa elemento ax R, onde a ≠ 0 é um número real 
dado. 
 
f: R 
 x ax, a ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da funçao linear é uma reta que sempre 
passa pela origem. 
 
Funçao afim - Uma aplicaçao f de R em R recebe o 
nome de funçao afim quando a cada elemento x R 
associa (ax + b) R com a ≠ 0. 
 
f: R 
 x ax + b, a ≠ 0 
Exemplos 
 
Repare que para b = 0 teremos, f(x) = ax que é uma 
funçao linear, entao, a funçao linear é um caso 
particular da funçao afim. 
 
Gráfico 
O gráfico cartesiano da funçao f(x) = ax + b, com a ≠ 
0, é uma reta 
 
 
Imagem 
O conjunto imagem de f de R em R definida por ax + 
b, com a ≠ 0, é R. 
De fato, qualquer que seja y R, existe x = 
 
 
 R , 
(isolando x na equaçao y = ax + b). 
 
Coeficientes da funçao afim 
O coeficiente a da funçao f(x) = ax + b, é denominado 
coeficiente angular ou declividade da reta 
representada no plano cartesiano. 
2 
 
O coeficiente b da funçao f(x) = ax + b, recebe o nome 
de coeficiente linear. 
Exemplo – Na funçao f(x) = 2x + 1 o coeficiente 
angular é 2 e o coeficiente linear é 1. observe que se x 
= 0, temos, f(0) = 2.0 + 1, f(0) = 1, portanto para x = 0, 
y = 1. Portanto, o coeficiente linear é a ordenada do 
ponto em que a reta corta o eixo y. 
 
Zero da funçao afim 
Zero de uma funçao é todo número x cuja imagem é 
nula, ou seja, f(x) = 0. 
 
Assim para determinarmos o zero da funçao afim , 
basta resolver a equaçao do primeiro grau 
ax + b = 0 
isolando x temos, ax = b, passando a dividindo, x = 
 
 
 
. 
Podemos interpretar graficamente o zero da funçao 
afim , como a abscissa do ponto onde o gráfico corta o 
eixo x. 
 
O zero desta funçao é 
 
 
, pois para x = 1/2 temos y = 
0, (1/2, 0). 
 
Funçoes crescentes ou decrescentes 
f se diz uma funçao crescente se num intervalo a 
 com < , temos f( ) < f( ). 
Ou seja se num intervalo x cresce, as imagens f(x) 
crescem também 
 
f se diz uma funçao decrescente se num intervalo a 
 , com < , temos f( ) > f( ). 
Ou seja se num intevalo x cresce, as imagens f(x) 
decrescem. 
 
Teorema – Uma funçao afim é crescente se o seu 
coeficiente angular (a) é positivo e é decrescente se o 
coeficiente angular é negativo. 
 
Exemplo - Especificar se para cada exemplo a funçao 
é crescente ou decrescente. 
a) y = 3x + 2 b) y = - 4x + 3 
Sinal de uma funçao 
Seja a funçao f: A B definida por y = f(x). Vamos 
resolver o problema, para que valores de x a funçao 
f(x) é positiva, é zero e é negativa. 
Resolver este problema significa estudar o sinal da 
funçao. 
Quando a funçao está representada no plano cartesiano 
basta analisar o gráfico. 
funçao y = f(x) que tem o gráfico abaixo 
 
vamos analisar o gráfico somente em relaçao ao eixo 
x, deixando de lado o eixo y. 
 
 
conclusao 
 
 
Exemplo – estudar o sinal das funçoes abaixo 
 
 
Sinal da funçao afim 
Como já vimos o zero da funçao é x = 
 
 
. 
Caso 1 – Se a > 0 ( funçao crescente) 
 
3 
 
 
Caso 2 – Se a < 0, (funçao decrescente) 
 
 
Inequaçoes simltaneas 
A dupla desilquadade f(x) < g(x) < h(x), se 
decompoem em 2 inequaçoes simultaneas 
 
Exemplo 
 
Temos que resolver as 2 inequaçoes 
1) 3x + 2 < - x + 3 => 4x < 1 => x < 1/4 
2) –x + 3 ≤ x + 4 => - 2x ≤ 1 => x ≥ - 1/2 
A interseçao desses dois conjuntos é 
 
 
Inequaçoes produto 
Sendo f(x) e g(x) duas funçoes na variável x, as 
inequaçoes f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≥ 0 e 
f(x).g(x) ≤ 0 sao denominadas inequaçoes produto. 
 
Exemplo – (x + 2).(2x – 1) > 0. Um processo prático é 
fazer o estudo de cada funçao separadamente. 
Fazemos o estudo de f(x) = (x + 2) e g(x) = (2x + 1). 
 
 
Agora usamos o auxilio do quadro abaixo onde 
usamos a regra dos sinais para a multiplicaçao. 
 
A inequaçao f(x).g(x) 0 tem como soluçao a uniao 
das soluçoes de f(x).g(x) > 0 com as soluçoes de 
f(x).g(x) = 0. 
 
Exemplo – Resolver a inequaçao (3x + 1).(2x – 5) ≥ 0 
em R. 
Fazendo o quadro-produto teremos 
 
Dentre as inequaçoes produto sao importantes as 
inequaçoes do tipo > 0, < 0, 
≥ 0 e ≤ 0. 
Para resolver essas inequaçoes vamos relembrar as 
regras de potencias 
1) toda potencia de base real e expoente ímpar 
conserva o sinal da base 
 
2) toda potencia de base real e expoente positivo 
resulta num número nao negativo 
 
Assim sendo temos 
4 
 
 
Exemplos 
 
 
Inequaçoes quociente 
As regras para se resolver as inequaçoes quociente sao 
as mesmas para as inequaçoes produtos, apenas 
devemos atentar para as restriçoes de nao se poder 
deixar zerar o denominador da fraçao pois nao existe 
divisao por zero. 
Exemplo- Resolver em R a inequação 
 
 
 2, temos 
 
 
 
Fazendo o quadro-quociente