27 Dependencia e independencia linear

Prévia do material em texto

n. 27 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Seja V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈ V. 
Diz-se que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (LI) 
quando: a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0 
 ⇒ a1 = a2 = ... = an = 0 
 Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os 
coeficientes de tal combinação linear deverão ser todos iguais a 
zero, ou seja, essa combinação é linearmente independente (LI). 
 
Caso contrário, isto é, se a1 v1 + a2 v2 + ... + aj vj + ... + an vn = 0 
 
e ∃ aj ≠ 0 para algum j, dizemos que {v1, v2, ..., vn} é um conjunto 
linearmente dependente (LD). 
 
 Três vetores u, v e w do ℝ3, são linearmente dependentes quando 
são coplanares. 
Sendo u = (x1 , y1, z1), v = (x2 , y2, z2) e w = (x3 , y3, z3) temos: 
u, v e w linearmente dependentes ⟺ [
𝑥1 𝑦1 𝑧1 
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
] = 0 
 
u, v e w linearmente independentes ⟺ [
𝑥1 𝑦1 𝑧1 
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
] ≠ 0 
≠ 0 
 
 
RETOMANDO: 
LI  a1 = a2 = ... = an = 0 ; Δ ≠ 0 ; 
Vetores LI não são múltiplos escalares uns dos outros. 
 
LD  Ǝ a ≠ 0 ; Δ = 0 
Quando podemos construir combinações lineares nulas, sem que os 
coeficientes sejam todos nulos temos vetores LD. 
 
Alguns exemplos de conjuntos de vetores que são LI ou LD 
1. Seja V = R2 e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2, sendo 
v1 = (2, -1) e v2 = (4, -2). O conjunto {v1 , v2,} é LI ou LD ? 
 
(0, 0) = a (2, -1) + b (4, -2) 
{
0 = 2 𝑎 + 4 𝑏
0 = − 𝑎 − 2 𝑏
 
a = - 2 b 
(0, 0) = - 2 b (2, -1) + b (4, -2) 
0 = - 4 b + 4 b 
0 = 2 b – 2 b 
É LD, pois para qualquer b ≠ 0 teremos combinações lineares nulas. 
Ou ainda, os vetores v1 e v2 são múltiplos escalares. 
 
Por exemplo, se b = -1 
2 v1 + (- 1) v2 = 0, isto é: 2 (2, - 1) + (- 1) (4, - 2) = (0, 0). 
R: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem 
que os coeficientes sejam todos nulos. 
 
2. Seja V = R2 e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2, sendo 
v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1). Este conjunto {v1 , v2,} é LI ou LD ? 
 
a1 v1+ a2 v2 = (0, 0) 
a1 (1, 0) + a2 (0, 1) = (0, 0) 
(a1 , 0) + (0 , a2 ) = (0, 0) 
(a1 , a2) = (0, 0) 
⇒ a1 = 0 e a2 = 0 
R: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que 
os coeficientes deverão ser iguais à zero. 
 
3. Seja V = R3 e o conjunto formado pelos vetores v1, v2 e v3, sendo 
v1 = (1, 0, 2) , v2 = (3, 4, 1) e v3 = (5, 4, 5). Este conjunto {v1, v2, v3} é 
LI ou LD? 
 
Basta fazer: 
𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0 
𝑎1(1, 0 , 2) + 𝑎2(3, 4 , 1) + 𝑎3(5, 4, 5) = (0, 0, 0) 
{
𝑎1 + 3𝑎2 + 5𝑎3 = 0
0𝑎1 + 4𝑎2 + 4𝑎3 = 0
2𝑎1 + 𝑎2 + 5𝑎3 = 0
 
[
1 3 5 | 0
0 4 4 | 0
2 1 5 | 0
] → 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [
1 3 5 | 0
0 4 4 | 0
0 −5 −5 | 0
] = 
[
1 3 5 | 0
0 4 4 | 0
0 −5 −5 | 0
] → 𝐿3 = 4𝐿3 + 5𝐿2 [
1 3 5 | 0
0 4 4 | 0
0 0 0 | 0
] 
Portanto, 
{
𝑎1 + 3𝑎2 + 5𝑎3 = 0
4𝑎2 + 4𝑎3 = 0
 
𝑎2 = −𝑎3 𝑒 𝑎1 = −2𝑎3 
 
Com 𝑎1 𝑒 𝑎2 dependem de 𝑎3 este sistema é SPI. 
Logo o referido conjunto é realmente LD. 
 
Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que: 
2 v1 + v2 – v3 = 0 
2 (1, 0, 2) + 1 (3, 4, 1) – 1 (5, 4, 5) = (0, 0, 0) 
(2, 0, 4) + (3, 4, 1) + (-5, - 4, -5) = (0, 0, 0) 
2 + 3 – 5 = 0 
0 + 4 – 4 = 0 
4 + 1 – 5 = 0 
Logo, podemos construir combinações lineares nulas, sem que os 
coeficientes sejam todos nulos. 
 
Ou ainda, podemos resolver esta questão calculando o 
determinante: 
 
[
1 0 2
3 4 1
5 4 5
 ] → 𝑑𝑒𝑡 = [
1 0 2 1 0
3 4 1 3 4
5 4 5 5 4
] = 20 + 24 − 40 − 4 = 0 
Det = 0 implica que o conjunto de vetores é LD. 
 
R: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará 
necessariamente que os coeficientes sejam nulos. 
 
4. Seja V = R3 e o conjunto formado pelos vetores v1, v2 e v3, sendo 
v1= (1, 0, 0) , v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1). Este conjunto {v1, v2, v3} 
é LI ou LD ? 
 
𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 = 0 
𝑎(1, 0, 0) + 𝑏(0, 1, 0) + 𝑐(0, 0, 1) = (0, 0, 0) 
{
𝑎 = 0
𝑏 = 0
𝑐 = 0
 
 
R: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que 
os coeficientes deverão ser iguais à zero. 
 
Proposição: 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LD) 

um dos vetores pode ser escrito como 
combinação linear dos outros. 
 
Demonstração: 
},,,{ 21 nvvv 
 é (LD) 

 
0vavava nn  2211
 com 
0ja
 para algum j 

 
podemos isolar o vetor 
jv
 (o vetor que tem coeficiente 
0ja
), 
obtendo 
aj vj = – a1 v1 – a2 v2 – ... – an vn 
vj = – 
𝑎1
𝑎𝑗
 v1 – 
𝑎2
𝑎𝑗
 v2 – ... – 
𝑎𝑛
𝑎𝑗
 vn 
n
j
n
jj
j v
a
a
v
a
a
v
a
a
v


























 2
2
1
1
 

 
um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. 
 
Exercícios sobre dependência e independência linear 
1. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para que 
os seguintes conjuntos de vetores do R3 sejam LI. 
a. {(3, 5 m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)} R: m ≠ 0 
b. {(1, 3, 5), (2, m +1, 10)} R: m ≠ 5 
c. {(6, 2, n), (3, m + n, m – 1)} R: m ≠ 1 ou n ≠ 0 
 
2. Verifique se os vetores do ℝ3 são linearmente dependentes ou não: 
(Lipschutz, p. 115) 
a. (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1) R: LD 
b. (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4) R: LD 
c. ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5) R: LI 
3. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD. 
Sendo u = (1, 2, 1), v = (2, 1, 0) e w = (3, 3, 1) (LCTE – p. 60) R: LD 
4. Verifique se os vetores do ℝ2 são linearmente dependentes ou não. 
Sendo u = (1, 0), v = (0, 1) e w = (7, 4). (Steinbruch/Winterle – p. 22) 
R: LD 
6. Verifique se os seguintes conjuntos ⊂ R4 são LI ou LD: 
a. {(1, 1, 0, 0); (0, 2, 1, 0); (0, 0, 0, 3)} R: LI 
b. {(1, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (2, 1, 0, 0)} R: LD - SPI 
 
 
Exercícios resolvidos 
1. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para 
que os seguintes conjuntos de vetores do R3 sejam LI. 
a. { (3, 5 m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)} 
Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 
 
modo 1 
Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: 
|
3 5𝑚 1
2 0 4
1 𝑚 3
| 
3 5𝑚
2 0
1 𝑚
 = 0 + 20 m + 2 m – 12 m – 30 m 
 
 22 m – 42 m = 0 
- 20 m = 0 ⟺ m = 0 
Como com m = 0 temos Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são 
LD. Logo, para ser LI m deve ser diferente de zero: m ≠ 0 
 
modo 2 
a1 (3, 5 m, 1 ) + a2 (2, 0 , 4) + a3 (1, m, 3) = (0, 0, 0) 
{
3 𝑎1 + 2 𝑎2 + 1𝑎3 = 0 (1) 
5 𝑚 𝑎1 + 𝑎2 (0) + 𝑚 𝑎3 = 0 (2)
𝑎1 + 4 𝑎2 +3 𝑎3 = 0 (3)
 
De (3): a1 = - 4 a2 - 3 a3 (4) 
De (1) : 2 a2 = - a3 – 3 a1 𝑎2 = 
− 𝑎3− 3 𝑎1 
2
 (5) 
(5) em (4): a1 = - 4 (
− 𝑎3− 3 𝑎1 
2
 ) - 3 a3 
 a1 = - 2 (- a3 - 3 a1) - 3 a3 
 a1 = + 2 a3 + 6 a1 - 3 a3 
 a1 - 6 a1 = - a3 
 a3 = - 5 a1 (6) 
(6) em (2): 5 𝑚 𝑎1 + 𝑚 𝑎3 = 0 
 5 𝑚 𝑎1 + 𝑚 (− 5 𝑎1) = 0 
 5 𝑚 𝑎1 − 5 𝑚 𝑎1 = 0 
𝑎1 (5 𝑚 − 5𝑚) = 0 
Logo, para ser LI: a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, para que o sistema seja 
SPD devemos ter: m ≠ 0. Com m ≠ 0, o determinante é ≠ 0. 
 
b) {(1, 3, 5), (2, m +1, 10) 
Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 
a1 (1, 3, 5 ) + a2 (2, m + 1 , 10) = (0, 0, 0) 
{
1 𝑎1 + 2 𝑎2 = 0 (1) 
3 𝑎1 + 𝑎2 (𝑚 + 1) = 0 (2)
5 𝑎1 + 10 𝑎2 = 0 (3)
 
De (1): a1 = - 2 a2 (4) 
(4) em (2): 3 (- 2 a2) + m a2 + a2 = 0 
 - 6 a2 + a2 + m a2 = 0 
 m a2 = 5 a2 𝑚 = 
5 𝑎2
𝑎2
 m = 5 
Logo, para ser LI, m ≠ 5. 
 
c) { (6, 2, n), (3, m + n, m – 1)} R: m ≠ 1 ou n ≠ 0 
Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 
a1 (6, 2, n ) + a2 (3, m + n , m - 1) = (0, 0, 0) 
{
6 𝑎1 + 3 𝑎2 = 0 (1) 
2 𝑎1 + 𝑎2 (𝑚 + 𝑛) = 0 (2)
𝑛 𝑎1 + 𝑎2 (𝑚 − 1) = 0 (3)
 
De (1): 𝑎1 = 
− 3 𝑎2
6
 𝑎1 = 
− 1 𝑎2
2
 (4) 
(4) em (2): 2 ( 
− 1 𝑎2
2
) + a2 (m + n) = 0 
 - a2 + m a2 + n a2 = 0 
 a2 ( m + n) = a2 
 𝑚 + 𝑛 = 
 𝑎2
𝑎2
 
 m + n = 1 
n = 1 – m 
Logo: m ≠ 1 caso contrário, se m = 1 implica que n = 0 
e n ≠ 0, pois caso contrário se n = 0 implica que m = 1 
m e n não podem zerar, pois caso contrário teremos vetores LD, 
assim, com m ≠ 1 e n ≠ 0 para ser LI a1 = a2 = 0 
 
3. Determine se os seguintes vetores do ℝ3 são linearmente 
dependentes ou não: (Lipschutz, p. 115) 
a) (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1) 
modo 1 
Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: 
|
1 −2 1
2 1 −1
7 −4 1
| 
1 −2
2 1
7 −4
 = 1 + 14 – 8 – 7 – 4 + 4 = 0 
Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD. 
 
modo 2 
a1 (1, - 2, 1) + a2 (2, 1, - 1) + a3 (7, - 4, 1) = (0, 0, 0) 
(a1, - 2 a1, a1) + (2 a2, a2 , - a2 ) + (7 a3, - 4 a3, a3) = (0, 0, 0) 
{
𝑎1 + 2 𝑎2 + 7 𝑎3 = 0 (1) 
−2 𝑎1 + 𝑎2 − 4 𝑎3 = 0 (2)
𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 = 0 (3)
 
 De (1): a1 = – 2 a2 – 7 a3 (4) 
(4) em (2): - 2 (– 2 a2 – 7 a3 ) + a2 – 4 a3 = 0 
4 a2 + 14 a3 + a2 – 4 a3 = 0 
5 a2 + 10 a3 = 0 
a2 = 
− 10
5
 a3 
a2 = - 2 a3 (5) 
(5) em (4): a1 = – 2 (- 2 a3 ) – 7 a3 
a1 = 4 a3 – 7 a3 
a1 = – 3 a3 (6) 
(5) e (6) em (3): a1 – a2 + a3 = 0 
 – 3 a3 - (- 2 a3 ) + a3 = 0 
 – 3 a3 + 2 a3 + a3 = 0 
– 3 a3 + 3 a3 = 0 
Logo, a3 (- 3 + 3) = 0 
 a3 (0) = 0 
Para qualquer a3 teremos zero, portanto os vetores são LD. 
 
b) (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4) 
modo 1 
Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: 
|
2 −3 7
0 0 0
3 −1 −4
| 
2 −3
0 0
3 −1
 = 0 
Pois temos uma linha toda composta por zeros 
Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD. 
 
modo 2 
a1 (2, - 3, 7) + a2 (0, 0, 0) + a3 (3, - 1, - 4) = (0, 0, 0) 
... 
 
c) ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5) 
modo 1 
Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: 
|
1 2 −3
1 −3 2
2 −1 5
|
1 2
1 −3
2 −1
 = - 15 + 8 + 3 – 18 + 2 – 10 = 13 – 43 = - 30 
Como Δ ≠ 0 os vetores são LI. 
 
modo 2 
a1 (1, 2, - 3) + a2 (1, - 3, 2) + a3 (2, - 1, 5) = (0, 0, 0) 
... 
 
4. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD. 
(LCTE – p. 60) 
 u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 0) w = (3, 3, 1) 
 
modo 1 
Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: 
|
1 2 1
2 1 0
3 3 1
| 
1 2
2 1
3 3
 = 1 + 0 + 6 – 3 – 0 – 4 = 0 
Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD. 
 
modo 2 
a1 (1, 2, 1) + a2 (2, 1, 0) + a3 (3, 3, 1) = (0, 0, 0) ... 
 
1. Verifique se os vetores do ℝ2 são linearmente dependentes ou 
não. (Steinbruch/Winterle – p. 22) 
 u = (1, 0) v = (0, 1) w = (7, 4) 
 
a1 u + a2 v + a3 w = (0, 0) 
a1 (1, 0) + a2 (0, 1) + a3 (7, 4) = (0, 0) 
(a1 , 0) + (0, a2) + (7 a3, 4 a3) = (0, 0) 
a1 + 7 a3 = 0 (1) 
a2 + 4 a3 = 0 (2) 
De (1): a1 = - 7 a3 (3) 
De (2): a2 = - 4 a3 (4) 
Logo, como temos um sistema possível e indeterminado, o conjunto 
de vetores é LD. 
 
2. Verifique se os seguintes conjuntos ⊂ R4 são LI ou LD. 
a. {(1, 1, 0, 0); (0, 2, 1, 0); (0, 0, 0, 3)} R: LI 
 
a1 (1, 1, 0, 0) + a2 (0, 2, 1, 0) + a3 (0, 0, 0, 3) = (0, 0, 0, 0) 
(a1, a1, 0, 0) + (0, 2 a2, a2, 0) + (0, 0, 0, 3 a3) = (0, 0, 0, 0) 
Logo: a1 = 0 
 a1 + 2 a2 = 0 
 a2 = 0 
 3 a3 = 0 
Logo, a1 = a2 = a3 = 0 
Portanto, o conjunto de vetores é LI. 
 
b. {(1, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (2, 1, 0, 0)} R: LD - SPI 
 
a1 (1, 1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0, 0) + a3 (2, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) 
(a1, a1, 0, 0) + (0, a2, 0 , 0) + ( 2 a3 , a3 , 0, 0) = (0, 0, 0, 0) 
Logo: a1 + 2 a3 = 0 (1) 
 a1 + a2 + a3 = 0 (2) 
 0 = 0 
 0 = 0 
 
De (1): a1 = - 2 a3 (3) 
(3) em (2): - 2 a3 + a2 + a3 = 0 
 a2 = a3 (4) 
Logo, temos um SPI, portanto, o conjunto de vetores é LD. 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-
Hall, 1998. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemáticada 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.